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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro APX1 – Métodos Estat́ısticos I – 2/2020 Código da disciplina EAD06076 GABARITO Nome: Matŕıcula: Polo: Atenção! • Todas as respostas devem estar devidamente justifi- cadas e com todos os cálculos. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta para registro das resoluções nas Folhas de Respostas. Com os dados do diagrama de ramo-e-folhas abaixo, que vão de 1,12 a 5,56, resolva as questões de 1 a 7. 1 12 12 12 12 12 12 2 77 77 77 77 77 77 77 3 10 10 10 10 4 00 5 15 15 56 56 56 56 56 Questão 1 [0,5 ponto] Qual é a amplitude total dos dados? R: A amplitude total dos dados é a diferença entre o maior e menor valor observado. Assim: ∆ = xmax − xmin = 5, 56− 1, 12 = 4,44 Questão 2 [0,5 ponto] Qual é o tamanho dessa amostra? R: O tamanho da amostra é obtido a partir da contagem dos dados. Assim: n = 25 Métodos Estat́ısticos I APX1 2020/2 Questão 3 [0,5 ponto] Obtenha a moda. R: A moda é o valor de maior frequência. Logo: x∗ = 2,77 Questão 4 [1,0 ponto] Obtenha a tabela de distribuição de frequências com frequência simples absoluta e frequência simples relativa. R: A frequência absoluta se obtém a partir da contagem dos dados e a frequência relativa a partir da razão entre a frequência absoluta e o tamanho da amostra. Logo: xi ni (Freq. Abs.) fi (Freq. Relativa) 1,12 6 0,24 2,77 7 0,28 3,10 2 0,08 4,00 1 0,04 5,15 4 0,16 5,56 5 0,20 Total 25 1 Questão 5 [1,0 ponto] Obtenha a média desses dados. R: Para o cálculo da média, vamos completar a tabela da questão anterior com a coluna (nixi), que é obtida a partir do produto da coluna xi pela coluna ni. xi ni (Freq. Abs.) nixi 1,12 6 6,72 2,77 7 19,39 3,10 2 6,20 4,00 1 4,00 5,15 4 20,60 5,56 5 27,80 Total 25 84,71 X = ∑ nixi n = 84, 7125 = 3,39 Questão 6 [0,5 ponto] Obtenha a mediana desses dados. R: Como n é ı́mpar (n = 25), a mediana será o valor intermediário. Ou seja: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX1 2020/2 • • • • • • • • • • • • ◦ • • • • • • • • • • • • ⇑ x(13) Q2 = x(n+1)/2 = x(13) = 2,77. Questão 7 [1,0 ponto] Obtenha os quartis Q1 e Q3. R: Excluindo-se a mediana, temos dois conjuntos com n = 12 observações, cada. Os quartis Q1 e Q3 são as medianas de cada uma destas partes. Então os cálculos destes quartis são feitos a partir da média entre as observações centrais de cada parte. Ou seja: • • • • • ◦ ◦ • • • • • ◦ • • • • • ◦ ◦ • • • • • ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ x(6) x(7) Q2 x(19) x(20) Q1 = x(6) + x(7) 2 = 1, 12 + 2, 77 2 = 3, 89 2 = 1,945 Q3 = x(19) + x(20) 2 = 5, 15 + 5, 15 2 = 5,15 Questão 8 [1,0 ponto] Sabendo que σ2 = 1 n (∑ nix 2 i − n(X)2 ) e que uma amostra de tamanho 40 resultou em uma média 10 e um desvio padrão 5, determine ∑ nix 2 i . R: Temos: n = 40 X = 10 σ = 5⇒ σ2 = 25 Com isso e a fórmula, podemos substituir e então teremos: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX1 2020/2 σ2 = 1 n (∑ nix 2 i − n(X)2 ) 25 = ∑ nix 2 i − 40× (102) 40 25× 40 = ∑ nix 2 i − (40× 100) 1.000 = ∑ nix 2 i − 4.000∑ nix 2 i = 1.000 + 4.000∑ nix 2 i = 5.000 Questão 9 [1,0 ponto] Dada a tabela de distribuição de frequências agrupada, obtenha a mediana. Classes Freq. Freq. Freq. Freq. Abs. Relat. (%) Acum Abs. Acum Relat. (%) 01 ` 06 5 3,33 5 3,33 06 ` 11 26 17,33 31 20,67 11 ` 16 53 35,33 84 56,00 16 ` 21 46 30,67 130 86,67 21 ` 26 15 10,00 145 96,67 26 ` 31 5 3,33 150 100 Total 150 100 R: Para o cálculo da mediana, observa-se a classe cuja frequência acumulada relativa contenha os 50%. Na ocasião, esta frequência é 56%. A classe associada a essa frequência é 11 ` 16. Com isso, pode-se fazer a proporção conforme as ilustrações das páginas 23 e 24 da aula 03. Então, teremos: 16− 11 Q2 − 11 = 56− 20, 6750− 20, 67 5 Q2 − 11 = 35, 3329, 33 5× 29, 33 = 35, 33× (Q2 − 11) 156, 65 = 35, 33Q2 − 388, 63 35, 32Q2 = 535, 28 Q2 = 535, 28 35, 32 Q2 = 15,15 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX1 2020/2 Considere a “palavra” PERNAMBUCO e resolva as questões de 10 a 13. Questão 10 [0,5 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavra PERNAMBUCO em que a expressão BOCA aparece? R: Para que a expressão BOCA apareça, é necessário que as letras B - O - C - A estejam juntas e nessa ordem. Assim, basta considerar a expressão BOCA com uma “letra” dentre as outras restantes. A palavra PERNAMBUCO contém 10 letras diferentes. A expressão BOCA contém 4 dessas letras. Assim, sobram 6 letras mais a “letra” BOCA. Logo: P7 = 7! = 5.040 Questão 11 [0,5 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavra PERNAMBUCO que iniciam com a letra P e terminam em vogal? R: A palavra PERNAMBUCO possui 4 vogais. Fixando a letra P no ińıcio e fixando cada uma das 4 vogais no final, teremos as outras 8 letras que podem permutar entre si tendo a segunda posição, 8 possibilidades, a terceira, 7 e assim por diante. Ou seja: P 8 7 6 5 4 3 2 1 A P 8 7 6 5 4 3 2 1 E P 8 7 6 5 4 3 2 1 O P 8 7 6 5 4 3 2 1 U Logo: 4× P8 = 4× 8! = 4× 40.320 = 161.280 Questão 12 [1,0 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavra PERNAMBUCO em que as consoantes estão sempre juntas? R: Para que as consoantes estejam juntas, precisamos pensar em duas coisas: elas juntas formam uma “letra” e elas permutam entre si. Pensando no fato de elas serem uma única “letra”, temos 6 consoantes B - C - M - N - P - R, restando as demais 4 letras da palavra PERNAMBUCO. Se ela pode ser considerada uma única letra, temos então ela mais as 4 letras restantes. Ou seja: 5 “letras” para permutar. P5 = 5! = 120. Porém, como bem já foi lembrado aqui, as consoantes podem permutar entre si. Como são 6 consoantes, então: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX1 2020/2 P6 = 6! = 720. Então, para cada uma das 720 permutações, há as 120 permutações. Logo: 720× P5 = 720× 120 = 86.400. Questão 13 [1,0 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavras PERNAMBUCO em que a expressão COR não aparece? R: Inicialmente vamos verificar quantos anagramas possuem a expressão COR para em seguida verificar quantos não apresentam esta expressão. Para verificar essa quantidade, basta seguir os mesmos passos seguidos na questão 12. Então a expressão COR é considerada como uma letra e, portanto, será considerado 7 letras + a letra COR para permutar. Ou seja: P8 = 8! = 40.320 Como eu estou interessado nos anagramas em que não aparecem a expressão COR, então teremos que subtrair do total. O total são 10 letras permutando. P10 = 10! = 3.628.800. Então: P10 − P8 = 3.628.800− 40.320 = 3.588.480 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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