5 - Binómio de Newton

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12/09/2020 Binómio de Newton – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Binómio de Newton
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em matemática, 'binómio de Newton' (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro)
permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome
é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o
Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou
foram regras que valem para quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que
leva ao estudo de séries infinitas.[1]
Casos particulares do Binômio de Newton são:
Notação e fórmula
O triângulo de Pascal
Demonstração do teorema do Binômio de Newton
Aplicações
Referências
Ver também
O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
Os coeficientes são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
 onde e são inteiros, e é o fatorial de x.
O coeficiente binomial corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n
elementos agrupados k a k.
Índice
Notação e fórmula
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Portugu%C3%AAs_europeu
https://pt.wikipedia.org/wiki/Portugu%C3%AAs_brasileiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Base_can%C3%B4nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema
https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficientes_binomiais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_combinat%C3%B3ria
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O triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal
Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais 
onde representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição
horizontal).
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma
dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O
elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do
triângulo de Pascal:
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no
século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O
matemático persa Omar Caiam, pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:
Para resolvermos binômios do tipo (x+y)n é possível utilizar o
triângulo de pascal, onde n é a linha reapresentada no triângulo
(na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o
primeiro (x) termo da esquerda para a direita:
(x+y)n= __xn___+__x(n-1)__x(n-2)+ ...+__x(n-n)__
Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo termo
(y), porém da direita para a esquerda:
(x+y)n=__xn y(n-n)+__x(n-1) y1+__x(n-2) y2+ ...+__x(n-n) yn.
Para sabermos os coeficientes deste binômio basta olhar, no triângulo de Pascal, a n-ésima linha e
colocá-los na ordem em que se encontra.
Para isso, segue o seguinte exemplo:
Podemos ver que os coeficientes correspondem aos da linha 3 do triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Pascal_triangle.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangulo_de_Pascal.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_Stifel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Yang_Hui
https://pt.wikipedia.org/wiki/Omar_Caiam
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Neste exemplo podemos verificar que os coeficientes são, consecutivamente, os valores da linha 3 do
triângulo de Pascal.
Sendo assim teríamos para cada linha do triângulo de Pascal um binômio[2]:
n (x+y)n
0 1 1
1 1 1 x+y
2 1 2 1 x2+2xy+y2
3 1 3 3 1 x3+3x2y+3xy2+y3
4 1 4 6 4 1 x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
5 1 5 10 10 5 1 x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
6 1 6 15 20 15 6 1 x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6
Antes de começar, vale lembrar que:
 (1)
Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.
Demonstraremos por indução matemática.
Base:
Recorrência:
Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:
Da hipótese de indução:
Por distributividade de produto sob a soma:
Demonstração do teorema do Binômio de Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Inteiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
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Que pode ser reescrito usando (1):
Usando a formula do triângulo de Pascal:
Reagrupando o somatório:
E segue o resultado.
O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da
escolha adequada de x e y. Por exemplo:
 onde são os polinómios de
Bernstein.
Recomendado:
1. GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Editora Livraria da Física. São Paulo,
2007. ISBN 85-88325-76-4
2. «Pascal's triangle and the binomial theorem» (http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/m
c-ty-pascal-2009-1.pdf) (PDF). www.mathcentre.ac.uk. Consultado em 5 de dezembro de 2018
Aplicações
Referências
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Somat%C3%B3rio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mios_de_Bernstein
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/8588325764
http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-pascal-2009-1.pdf
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Binómio_de_Newton 5/5
line feed character character in |titulo= at position 22 (ajuda)
Triângulo de Pascal
Combinação
Polinômios
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Ver também
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ajuda:Erros_nas_refer%C3%AAncias#invisible_char
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B4mio
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Bin%C3%B3mio_de_Newton&oldid=58547144
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pt
https://foundation.wikimedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_Uso