aula 4 MODELAGEM MATEMÁTICA

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MODELAGEM MATEMÁTICA 
APLICADA ÀS FINANÇAS 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ernani João Silva 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa quarta aula sobre modelagem matemática 
aplicada a finanças. Hoje vamos iniciar nossos estudos sobre os movimentos do 
fluxo de caixa que ocorrem no intervalo entre os momentos VP e VF. E, nesta 
aula, em específico, vamos trabalhar com as séries uniformes puras e suas 
derivações em sistema de amortização. Sendo assim, teremos cinco temas de 
estudo neste encontro: 
1. Séries uniformes: postecipada, antecipada e diferida; 
2. Identificação da taxa de juro em fluxo de caixa uniforme; 
3. Sistema de preço constante: SPC; 
4. Sistema de amortização constante: SAC; 
5. Outros sistemas de amortização: misto, americano e alemão. 
Com esses cinco temas, nosso objetivo é trazer-lhe uma melhor 
compreensão sobre o que é uma análise sobre séries uniformes de pagamentos 
e amortizações. E, sendo assim, vamos trabalhar. 
CONTEXTUALIZANDO 
Até a aula 3 tratamos nossas análises do fluxo de caixa apenas com 
valores presentes (ou atuais) e valores futuros (ou nominais), porém, chegou a 
hora de iniciarmos nossos estudos sobre as operações existentes entre esses 
dois momentos extremos. Na aula de hoje, iremos estudar as operações de 
capitalização compostas de séries uniformes (as séries não uniformes iremos 
trabalhar na aula 5). E, para tanto, vamos usar novamente os conceitos vistos 
no diagrama do fluxo de caixa. 
Como estudamos anteriormente, as entradas de capital são lançadas na 
parte superior da linha do tempo (aquela linha que vai de zero a n), já as saídas 
na área abaixo, localizada abaixo da linha. Pois bem, entre os lançamentos VP 
(momento zero) e o VF (momento “n”), também podem ocorrer entradas e saídas 
de capital. Essas entradas/saídas, para poderem ser chamadas de uniforme, 
precisam ser iguais e consecutivas, isto é, sem lacunas entre elas. As 
entradas/saídas uniformes são representadas, geralmente, ou pela letra “U” 
devido à expressão “valor Uniforme” ou por “PMT” (do inglês, pagamento 
periódico), por ser esta a denotada presente na calculadora HP 12c. 
 
 
3 
Quanto à forma de classificação dos fluxos uniformes, temos que esse 
tipo de fluxo pode ser classificado de formas distintas conforme o momento de 
início do valor PMT: 
a. Fluxo antecipado: o PMT começa no momento zero ou, como alguns 
preferem, no início do momento 1 (uma diferença apenas semântica, pois 
na prática o início do momento 1 ocorre junto com o momento 0); 
b. Fluxo postecipado: o PMT começa 1 período após o momento zero ou, 
como alguns preferem, no fim do período 1 (novamente é a mesma coisa, 
já que o fim do momento 1 é exatamente 1 período em relação ao 
momento zero); 
c. Fluxo diferido: trata-se de variação do postecipado, onde o PMT começa 
alguns períodos após o momento zero. Por exemplo, em pagamento com 
3 meses de carência, o PMT começa no momento 4; sendo assim, o 
momento 3 (o terceiro mês) vira o novo momento zero nos cálculos. Ficou 
confuso? Fique tranquilo, você vai entender tudo durante esta aula. 
Por fim, além dessas três formas puras de fluxo uniforme, precisamos citar 
que também sugiram ramificações práticas desses conceitos. Estamos falando 
dos sistemas de amortização de débitos, em que temos: 
I. SPC: Sistema de Preço Constante; 
II. SAC: Sistema de amortização Constante; 
III. Sistema de amortização misto (a média entre “SPC e SAC”), 
IV. Sistemas de amortização alemão (antecipação de juros) e 
V. Sistemas de amortização americano (pagamento apenas do juro em 
PMT). 
A partir dessa ideia geral dos assuntos, vamos estudá-los! 
TEMA 1 – FLUXO DE CAIXA: POSTECIPADO, ANTECIPADO, DIFERIDO 
Neste tópico, vamos estudar os três tipos básicos de séries uniformes: 
postecipado, antecipado e diferido, e também seus fatores de cálculos. Dessa 
forma, iremos desvendar a lógica de cada uma dessas ramificações e como elas 
devem ser usadas nas atividades da prática comercial. 
 
 
 
4 
1.1 Fluxo de caixa Série Uniforme: Postecipado 
Fluxo de caixa postecipado é aquele que a série uniforme “PMT” começa 
um período pós VP (ou, como alguns preferem dizer, no fim do período zero). 
Sua fórmula base para estabelecer os valores que serão iguais e consecutivos 
na linha do tempo é definida como sendo: 
Fórmula 1 – Valores iguais ou consecutivos na linha do tempo 
PMT = VP . 
 (1+i) 𝑛𝑛 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 
Onde: 
• PMT: Valor uniforme; 
• VP: Valor presente; 
• i: taxas de juro; 
• n: período. 
A partir da fórmula “base”, podemos deduzir três fórmulas igualmente 
importantes para a pauta do fluxo uniforme postecipado, as quais são: 
Fórmula 2 – Fórmulas a partir da fórmula base 
VP = PMT . (1+i) 
𝑛𝑛 − 1 
(1+i) 𝑛𝑛 . i
 , permite encontrar o VP a partir do PMT 
VF = PMT . 
 (1+i) 𝑛𝑛 − 1
 i
 , permite encontrar o VF a partir do PMT 
PMT = VF . i
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 , permite encontrar o PMT a partir do VF 
* Onde temos que, VF = Valor Futuro 
Agora que já temos as fórmulas, vamos fazer algumas exemplificações 
para que você tenha um melhor entendimento sobre o fluxo postecipado. 
 
 
 
5 
1.1.1 Exemplo 1 
Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A 
operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais iguais, 
mediante o uso de uma taxa de juro de 2% ao mês em regime de juros 
compostos postecipados. Responda: Qual o valor de cada prestação? 
Solução 
Como temos PV e queremos PMT, a formula é: PMT= VP . (1+i) 
𝑛𝑛 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 
PMT= 600. (1+2%) 
4 . 2% 
(1+2%) 4 − 1
 → 600. 1,08243 . 2 
1,08243 − 1
 → 600. 0,02165 
0,08243
∴ 
PMT = 600 . 0,2626238 = R$157,5743 (aqui está o valor uniforme) 
Representando esta transação em um diagrama, pela ótica do 
comportamento do caixa da empresa que cedeu o crédito, temos que: 
Figura 1 – Diagrama pela ótica do comportamento do caixa 
 
Ou seja, temos um VP de - R$ 600 (negativo porque saiu um bem nesse 
valor) e quatro PMT de + R$ 157,5743 (positivo porque o valor entrará quatro 
vezes no caixa). Vamos entender o que isso significa em cada etapa da 
diagramação. 
 
 
 
6 
Tabela 1 – Etapas da diagramação 
n 
Juros = J Saldo Inicial = SI Entrada = E 
( PMT ) 
Saída = S 
Saldo Final = 
SF 
(2% . SF anterior) (J + SF anterior) (SI + E – S ) 
0 R$ - R$ - R$ - -R$600,00 -R$ 600,00 
1 -R$12,00 -R$ 612,00 R$157,5743 R$ - -R$ 454,43 
2 -R$ 9,09 -R$ 463,51 R$157,5743 R$ - -R$ 305,94 
3 -R$ 6,12 -R$ 312,06 R$157,5743 R$ - -R$ 154,48 
4 -R$ 3,09 -R$ 157,57 R$157,5743 R$ - R$ - 
 
No quadro acima temos que os 2% da taxa de juros incide sobre o valor 
do saldo final do período anterior (ex.: “600 . 2%” = “12 de Juros no n=1”). Por 
isso, o saldo inicial de cada período é o valor do saldo anterior mais o juro do 
período (ex.: “$600 do SF do n=0” + “$12 de Juro” = “612 SI do n=1”). O saldo 
inicial do período sofre o impacto do resultado líquido das entradas e saídas que 
ocorrem naquele momento (ex.: “- $612 SI” “+ $157,5743 Entrada” “- $0 Saída” 
= “$ 454,43 SF no n=1”). Isso ocorre até que na última entrada tenhamos o saldo 
final de dívida zerado. Convenhamos, é bem simples! 
Como você já entendeu a lógica da fórmula, vamos ver como fica na 
HP12c: 
• F CLx (limpa a máquina); 
• F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 
• Verificar se a Hp12c está na forma postecitapada: 
a. Se no visor não aparece Begin, então Hp está na forma postecipada; 
b. Se no visor aparece “Begin”, então a Hp está na forma antecipada e 
precisa ser alterada para forma postecipada (o “BEGIN” precisa sumir). 
Use o comando “g END” para apagar o “BEGIN”. 
• 4 n (lançamento dos meses que terão o valor uniforme); 
• 2 i (taxa de juro efetiva); 
• 600 CHS PV (CHS, para troca o sinal para negativo, pois saiu do caixa); 
• PMT= na tela aparece o valor futuro= 157,5743 (positivo, pois vai entrar). 
Agora, vamos ver uma questão sobre investimento usando fluxo 
postecipado. 
 
 
 
7 
1.1.2 Exemplo 2 
Você vai fazer uma aplicação financeira com uma entrada de $ 500 e mais 
4 pagamentos uniformes de R$ 200. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao 
mês com capitalização mensal por juros compostos, responda: Qual o valor da 
aplicação imediatamente após último depósito? 
Solução 
Como temos PMT e queremos FV, a formula é: VF = PMT . (1+i) 
𝑛𝑛 − 1 
 i
 
 VF = 200 . (1+2%) 
4 − 1 
 2%
 ∴ 
VF = 200 . 1,084232 − 1 
0,02
 ∴ 
 VF = 200 . 4,121608 → VF = R$ 824,32 
Agora, vamos entender o que isso significa 
Tabela 2 – Resolução do exemplo 2 
n Valor aplicado VF até o n=4 
0 R$ 0,00 R$ 0,00 
1 R$ 200,00 R$ 212,24 ← 200 . (1+2%) 4 – 1 (Rende 3 meses) 
2 R$ 200,00 R$ 208,08 ← 200 . (1+2%) 4 – 2 (Rende 2 meses) 
3 R$ 200,00 R$ 204,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 3 (Rende 1 meses) 
4 R$ 200,00 R$ 200,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 4 (Rende 0 meses) 
Total VF: R$ 824,32 
 
Como demonstra a tabela anterior, após a última aplicação dos R$ 200,00, 
temos R$ 824,32 de saldo, ou seja, de Valor Futuro (VF). Perceba que o último 
R$ 200 não rendeu nada, isso aconteceu porque, como ele foi aplicado no mês 
4 (o último mês na análise), este valor teve zero meses de capitalização. Está 
duvidando do resultado? Então, vamos fazê-lo com a Hp12c1. 
• F CLx (limpa a máquina); 
• 4 n (lançamento dos meses com valores uniformes); 
• 2 i (taxa de juro); 
• 200 CHS PMT; 
 
1 Já foi ensinado no EX.1 como ajusta as casas decimais e arruma a HP12c para postecipado, 
sendo assim, vamos pular essa parte no Ex.2 
 
 
8 
• FV = na tela aparece o valor futuro = R$ 824,32. 
Viu? O valor da fórmula e da Hp12c batem com o que foi apontado na 
tabela. 
A lógica para obter o VP ou VF a partir do PMT é a mesma, sendo assim, 
vamos estudar agora o fluxo antecipado. 
1.2 Fluxo de caixa Série Uniforme: Antecipado 
Fluxo antecipado é aquele que uma série uniforme (PMT) começa no 
período que antecipa o primeiro pagamento para coincidir com a data do VP 
(alguns preferem dizer que o PMT começa no início do período 1). Dessa forma, 
temos que sua fórmula base para estabelecer os valores que serão iguais e 
consecutivos na linha do tempo é definida como sendo: 
Fórmula 3 – Fórmula base para estabelecer os valores que serão iguais e 
consecutivos na linha do tempo 
PMT = VP . (1+i) 
𝑛𝑛−𝟏𝟏 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 
Ou seja, é a mesma fórmula do postecipado com a adição do “-1” no “n” 
do numerador. E a partir dessa fórmula base, podemos deduzir três fórmulas 
igualmente importantes para a pauta do fluxo uniforme antecipado: 
Fórmula 4 – Três fórmulas igualmente importantes para a pauta do fluxo uniforme 
antecipado 
VP = PMT . (1+i) 
𝑛𝑛 − 1 
(1+i) 𝑛𝑛−𝟏𝟏 . i
 , permite encontrar o VP a partir do PMT 
VF = PMT . (1+i) 
𝑛𝑛 − 1 
 i
 . (𝟏𝟏 + 𝐢𝐢) , permite encontrar o VF a partir do PMT 
PMT = 
 VF 
(𝟏𝟏+𝐢𝐢) 
 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 , permite encontrar o PMT a partir do VF 
Vamos fazer duas exemplificações para que você tenha um melhor 
entendimento sobre como funciona o fluxo de caixa uniforme antecipado. 
 
 
9 
1.2.1 Exemplo 1 
Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A 
operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais iguais, na 
condição antecipada, mediante o uso de uma taxa de juro de 2% ao mês. Sendo 
assim, responda: Qual o valor de cada prestação? 
Solução 
Como temos PV e queremos PMT, a formula é: 
PMT= VP . (1+i) 
𝑛𝑛−1 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 
PMT= 600. (1+2%) 
4−1 . 2% 
(1+2%) 4 − 1
 ∴ PMT = R$154,4846 (valor uniforme) 
Podemos representar esta transação comercial na seguinte forma: 
Figura 2 – Transação comercial 
 
Agora, olhe com atenção: o primeiro pagamento ocorre no momento zero 
(= início do momento 1), sendo assim, em verdade, o que temos aqui é uma 
operação que tem uma entrada e mais 3 parcelas; onde a entrada e cada parcela 
são iguais em valor. Ou seja, sempre que o valor da entrada for igual ao valor de 
cada prestação, em uma condição consecutiva de pagamentos, o que temos 
nesses casos é um fluxo de caixa do tipo antecipado. 
Vamos estudar melhor o que ocorre em fluxo de caixa antecipado na 
condição de pagamento, analisando nosso problema em uma tabela: 
 
 
 
10 
Tabela 3 – Fluxo de caixa antecipado 
n 
Juros Saldo Inicial 
Entrada Saída 
Saldo Final 
(2% . SF anterior) (J + SF anterior) (SI + E – S ) 
0 R$ - R$ - R$ 154,4846 R$ 600,00 -R$ 445,52 
1 -R$ 8,91 -R$ 454,43 R$ 154,4846 R$ - -R$ 299,94 
2 -R$ 6,00 -R$ 305,94 R$ 154,4846 R$ - -R$ 151,46 
3 -R$ 3,03 -R$ 154,48 R$ 154,4846 R$ - R$ 0,00 
4 - - - - - 
Onde: 
• SF = Saldo Final; 
• J = Juros; 
• SI= Saldo inicial; 
• E = Entrada; 
• S = Saída. 
No momento zero, R$ 600 é o valor que a empresa precisaria receber do 
cliente no ato da venda, porém, como a 1º PMT também ocorre nesse momento, 
o 1º PMT funciona como valor de entrada; assim, ele diminui o saldo devedor já 
no início da operação (ex: 600 - 154,4846= “$445,5154 SF no n=0”). Por 
consequência, o valor do juro no sistema antecipado é menor, em comparação 
ao valor que seria cobrado no postecipado (ex.: no postecipado seria “$12 de 
juro n=0”, aqui é → 445,5154 . 2% = “$8,91 de juro no n=1”). E, partir daí, a lógica 
do cálculo é a mesma que no fluxo postecipado, a única coisa que muda é que 
no fim do quarto período (isto é, 30 dias após o último pagamento) a operação 
já está finalizada. O motivo? Você encerou o débito no início do quarto período, 
o qual ocorre junto com o fim do terceiro período. 
Veja como fica na HP12c: 
• F CLx (limpa a máquina); 
• F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 
• Verificar se a Hp12c está na forma antecipada: 
a. Se no visor aparece Begin, então Hp está na forma antecipada; 
b. Se no visor “não” aparece “Begin”, então a Hp está na forma 
postecipada e precisa ser alterada para forma antecipada (o “BEGIN” 
precisa aparecer). Use o comando “ g BEGIN ” para ativar o BEGIN. 
• 4 n (lançamento dos meses com valores uniformes); 
 
 
11 
• 2 i (taxa de juro); 
• 600 CHS PV; 
• PMT = na tela aparece o valor futuro = 154,4846. 
Agora, vamos fazer um exemplo considerando um processo de 
investimento. 
1.2.2 Exemplo 2 
Você vai fazer uma aplicação financeira com 4 pagamentos uniformes de 
R$ 200. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês com capitalização mensal 
por juros compostos, responda: Qual o valor da aplicação após um período do 
último depósito? 
Solução 
Aqui, vamos fazer um pouco diferente, vamos vou começar com a tabela: 
Tabela 3 – Solução do exemplo 2 
n Valor aplicado VF até o n=4 
0 R$ 0,00 R$ 0,00 
1 R$ 200,00 R$ 212,24 ← 200 . (1+2%) 4 – 1 (Rende 3 meses) 
2 R$ 200,00 R$ 208,08 ← 200 . (1+2%) 4 – 2 (Rende 2 meses) 
3 R$ 200,00 R$ 204,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 3 (Rende 1 meses) 
4 R$ 200,00 R$ 200,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 4 (Rende 0 meses) 
Total VF até n=4: R$ 824,32 ← Saldo até o último depósito 
Total VF em n=5: R$ 840,81 ← FV = 824,32 . (1+2%) 1período 
 
Como demonstra a tabela anterior, após a última aplicação dos R$ 200, 
temos R$ 824,32 de saldo e, após um período do último depósito, temos R$ 
840,81, pois os R$ 824,32 renderam mais um mês. Agora, olhe o que acontece 
quando usamos a fórmula do fluxo antecipado nesse problema. 
Fórmula 5 – Fórmula do fluxo antecipado 
VF = PMT . (1+i) 
𝑛𝑛 − 1 
 i
 . (𝟏𝟏 + 𝐢𝐢) 
VF = 200 . (1+2%) 
4 − 1 
 2%
 . (1 + 2%) 
 
 
12 
VF = 200 . 1,084232 − 1 
0,02
 . 1,02 
VF = 200 . 4,121608 . 1,02 
VF = 824,3216 . 1,02 
VF = 840,81Ou seja, o valor da fórmula fica igual ao da tabela. O motivo? Simples, 
como a teoria entende que, na fórmula antecipada, o valor do PMT ocorre no 
início do período, então a última entrada no fluxo de caixa tem todo o último 
período para ser capitalizada, bem como o saldo formado até aquele momento. 
Ou seja, em uma aplicação a fórmula do fluxo antecipado, equivale à fórmula do 
postecipado com mais um período de aplicação após o último depósito, devido 
à multiplicação final por (1+i). 
Vamos refazer a questão com a Hp 12c, tendo o Begin na tela2. 
• F CLx (limpa a máquina); 
• 4 n (lançamento dos meses com valores uniformes); 
• 2 i (taxa de juro); 
• 200 CHS PMT; 
• FV = na tela aparece o valor futuro = R$ 840,81. 
Bem tranquilo, não acha? E como a lógica para obter o VP ou VF a partir 
do PMT é a mesma, vamos agora estudar o fluxo diferido. 
1.3 Fluxo de caixa Série Uniforme: Diferido 
A palavra diferido significa adiado, assim, fluxo de caixa diferido é um 
fluxo de caixa postecipado, que tem seu início de PMT adiado em “m” períodos 
após a ocorrência do evento 0 (zero). Por exemplo, imagine que você, em 
dezembro/2107, comprou um celular em 4 pagamentos iguais, sem valor de 
entrada, em uma promoção que diz: “compre agora e só comece a pagar depois 
do carnaval (isto é, no mês seguinte ao mês do carnaval)”. Nesse cenário, as 
prestações somente serão adiadas (diferidas) até março/2018... Entendeu o que 
 
2 Já foi ensinado no exemplo 1 como se ajustam as casas decimais e se arruma a HP12c para 
antecipado, sendo assim, vamos pular essa parte no exemplo 2. 
 
 
13 
é um fluxo diferido? Acredito que sim, então vamos ver quais são as duas 
fórmulas principais deste tipo de fluxo: 
Fórmula 6 – Fórmulas principais deste tipo de fluxo 
PMT = VP . (1+i) 
𝑛𝑛+𝑚𝑚 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 ; VP = PMT. (1+i) 
𝑛𝑛 − 1 
(1+i) 𝑛𝑛+𝑚𝑚 . i
 
As fórmulas são bem simples, tratam-se de um fluxo postecipado com o 
acréscimo de “+m” no “n” que compõe a expressão multiplicada por “i”. Agora 
que temos as fórmulas, vamos fazer uma exemplificação para que você tenha 
um melhor entendimento sobre como funciona o fluxo diferido. 
1.3.1 Exemplo 1 
Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A 
operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais iguais, com 
dois meses de prazo de carência para o início da cobrança. Sendo assim, 
responda: Qual o valor de cada prestação? 
Solução 
Como temos PV e queremos PMT, a formula é: 
PMT= VP . (1+i) 
𝑛𝑛+𝑚𝑚 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 
PMT= 600. (1+2%) 
4+2 . 2% 
(1+2%) 4 − 1
 ∴ PMT = R$163,94 (valor uniforme) 
Podemos representar esta transação comercial na seguinte forma: 
 
 
 
14 
Figura 3 – Transação comercial 
 
Ou seja, usar a fórmula do diferido equivale a transformar o VP de n=0 
para um VF em n=m e depois aplicar este novo valor em uma fórmula de PMT 
postecipado; veja como fica: 
Parte 1: VP de n=0 para VF em n=2 
VF = VP. (1+ i)n → VF = 600 . (1+ 2%) 2 → VF = 624,24 (esse é o VP do PMT) 
Parte 2: Usando o valor de VF de n=2 como VP para o cálculo do PMT 
PMT= VP . (1+i) 
𝑛𝑛 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 → PMT= 624,24 . (1+2%) 
4 . 2% 
(1+2%) 4 − 1
 → PMT =163,94 
Como eu disse, o mesmo resultado! Ou seja, a fórmula do fluxo diferido é 
o resultado da incorporação de duas fórmulas. Dado esse fato, a Hp12c, sequer 
tem um comando especial para fazer esse cálculo. Sendo assim, para resolver 
o fluxo diferido na Hp12c, primeiro precisamos fazer “VP para VF carência” e depois 
lançar o VF carência como VP para obter PMT, como fizemos com as fórmulas 
acima. Vamos refazer o problema com a Hp 12c3. 
• F CLx (limpa a máquina); 
• 2 n (lançamento dos meses de carência, que é o valor “m” da fórmula); 
 
3 Já foi ensinado no exemplo 1 como se ajustam as casas decimais e arrumam a HP12c para 
postecipado, sendo assim, vamos pular essa parte nesse exemplo. 
 
 
15 
• 2 i (taxa de juro efetiva de 2%); 
• 600 PV (aqui é bom não usar o CHS, pois o PV para o PMT é outro); 
• FV (na tela aparece o valor futuro pós carência = R$624,24); 
• CHS PV (agora vamos usar o CHS, pois o 624,24 é o PV para o PMT); 
• 0 FV (Fazemos isso para zerar o 624,24 no FV); 
• 4 n (lançamento dos meses do pagamento uniforme); 
• PMT (na tela aparece o valor = R$163,94). 
1.4 Fluxo de caixa Série Uniforme: Fatores de cálculo 
Para encerrar este tópico, vamos aprofundar nossos conhecimentos 
sobre os fatores de cálculos. Já vimos o que são “fatores de cálculos” nos juros 
simples (aula 2) e nos juros compostos em VP e VF (aula 3), agora vamos vê-
los nas séries uniformes. 
Nas séries uniformes os fatores continuam sendo elementos de 
multiplicação dos valores VP e VF, e, agora, também do PMT. E, dado esse fato, 
chegou a hora de apresentarmos quais são os nomes especiais que os fatores 
recebem, conforme o objetivo a que se prestam. Para tanto, vamos usar como 
exemplo as modelagens do fluxo uniforme postecipado, porém, quero que fique 
bem claro que a lógica que segue é a mesma para os cenários antecipados e 
diferidos: 
a. Fator de recuperação do capital: FRC = VP → PMT 
São os multiplicadores que transformam o valor PMT em VP, ou seja: 
PMT = VP . (1+i) 
𝑛𝑛−1 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 ∴ PMT = VP . FRC ( i , n ) 
Por exemplo: 
PMT= VP. (1+2%) 
4 . 2% 
(1+2%) 4 − 1
 ∴ PMT = VP . FRC ( 2% , 4 ) 
PMT= VP. 0,2626238 
Importante 
Como os exemplos são de aplicações já conhecidas e trabalhadas nas 
laudas anteriores, nos próximos itens indicaremos apenas as fórmulas. 
 
 
16 
b. Fator de valor atual: FVA = PMT → VP 
São os multiplicadores que transformam o valor PMT em VP, portanto: 
VP = PMT . (𝟏𝟏+𝐢𝐢) 
𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 
(𝟏𝟏+𝐢𝐢) 𝒏𝒏 . 𝐢𝐢
 ∴ VP = PMT . FVA ( i , n ) 
c. Fator de acumulação do capital: FAC = PMT → VF 
São os multiplicadores que transformam o valor PMT em VF, sendo assim: 
VF = PMT . (𝟏𝟏+𝐢𝐢) 
𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 
 𝐢𝐢
 ∴ VF = PMT . FAC ( i , n ) 
d. Fator de formação do capital: FFC = VF → PMT 
São os multiplicadores que transformam o valor VF em PMT, por exemplo: 
PMT = VF . 𝐢𝐢
 (𝟏𝟏+𝐢𝐢) 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 
 ∴ PMT = VF . FFC ( i , n ) 
Bem, agora que sabemos o conteúdo base, temos condições de estudar 
as formas derivadas desses fluxos, isto é, os sistemas de amortização. Todavia, 
antes de fazê-lo, precisamos ver ainda mais um tópico para completar nosso 
conhecimento sobre o fluxo de caixa uniforme. Precisamos aprender como 
determinamos de forma prática a taxa de juro em séries uniformes. 
TEMA 2 – IDENTIFICAÇÃO DA TAXA DE JUROS EM FLUXOS UNIFORMES 
Quando trabalhamos com fluxo de caixa uniforme, em geral, acabamos 
tendo que trabalhar com a fórmula do fluxo postecipado PV para PMT: 
Fórmula 7 – Fórmula do fluxo postecipado PV para PMT 
PMT= VP . (1+i) 
𝑛𝑛 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 
 E quando isso acontece em um problema que exige que descubramos o 
valor da taxa “i”, a tarefa fica complicada. O motivo? Simples, não dá para 
solucionar esse problema isolando o “i”, pois ele aparece tanto no numerado 
quanto no denominador, de tal forma que nos impede de executar tal operação. 
Muitas vezes, a solução encontrada para este problema é o método de 
“tentativa e erro”. Todavia, existem alternativas que são mais eficientes por 
 
 
17 
gerarem valores bem próximos do verdadeiro resultado e de forma bem rápida. 
E, dentre estas, estudaremos duas delas: (i) Baily-Lenzi e (ii) Karpin. Veja, a 
seguir, como elas são aplicadas por meio de um exemplo. 
2.1 Exemplo 
Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A 
operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais de R$ 
157,57 cada, obtidos por juros compostos postecipados. Informe qual foi a taxa 
de juro efetiva mensal dessa operação. 
SoluçãoPMT = PV . 
(1+i)n . i
(1+i)n − 1
 → 157,57 = 600 . (1+i)
4 . i
(1+i)4 − 1
 ∴ 
157,57
600
 = (1+i)
4 . i
(1+i)4 − 1
 ∴ PMT
PV
 = 157,57
600
 = 0,262624
1
 ∴ 0,262624 = (1+i)
4 . i
(1+i)4 − 1
 
Sendo assim, temos as seguintes informações sobre essa equação: Para 
cada um real (R$ 1) de PV, temos de PMT R$ 0,262624, considerando n=4. 
Dado esse fato, ou seja, dada a obtenção do fator de cálculo “FRC” para n=4, 
podemos utilizar métodos Baily-Lenzi e Karpin para a obtenção de “i”: 
2.2 Resolução: Baily-Lenzi 
Este método usa duas fórmulas, ou seja, dois passos: 
Passo 1: achar o índice “h” 
h = ( n . PMT
PV
 )
2
𝑛𝑛+1. ── 1 
Portanto: 
h = ( 4 . 0,262624 )
2
4+1. ─ 1 → h = (1,050496 )
2
 5. ─ 1 → h = 0,0199 
Passo 2: achar a taxa “i” usando o índice “h” 
i = h . 
12−(n−1) . h
12−(n−1). h . 2
 , 12 e 2 são números da fórmula 
 
 
18 
i = 0,0199 . 
12−(4−1) . 0,0199
12−(4−1). 0,0199 . 2
 → i = 0,0199 . 11,9403
11,8806
 ∴ 
i = 0,0199 . 1,0052025 → i = 0,02 ∴ i= 2% (resposta) 
2.3 Resolução: Karpin 
Este método usa duas fórmulas, ou seja, dois passos: 
 
Passo 1: achar o índice “a” 
a = 
n . PMT−PV
PV
 
a = 
4 . 0,262624− 1
1
 → a = 0,050549
1
 → a = 0,050496 
Passo 2: achar a taxa “i” usando o índice “a” 
i = 
2 . a . ( 3 + a ) 
2 . a . n + 3 . ( n + 1 )
 
i = 
2 . 0,050496 .( 3 + 0,050496 ) 
2 . 0,050496 . 4 + 3 . ( 4 + 1 )
 → i = 0,100992 . 3,050496 
0,100992 . 4 + 3 .5
 
i = 
0,308079 
15,40397
 → i = 0,02 ∴ i= 2% (resposta) 
Importante 
Logicamente, também podemos resolver esse problema com a HP12c: 
• F CLx (limpa a máquina); 
• Verificar se a Hp12c está na forma postecitapada; 
• 4 n (lançamento dos meses com terão o valor uniforme); 
• 600 CHS PV; 
• 157,57 PMT; 
• i (na tela irá aparecer o valor 2 → 2%). 
Realmente é bem fácil descobrir o valor de “i” com a Hp12c, porém, nem 
sempre a teremos à disposição para fazer o cálculo, por isso a importância do 
aprendizado desses dois métodos vistos aqui! Dito isso, vamos para o Tema 3. 
 
 
19 
TEMA 3 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO POR PREÇO CONSTANTE: SPC 
Um sistema de amortização (ou série de pagamento) trata-se de um 
conjunto de expressões que nos permite analisar uma dívida com relação ao: 
a. Valor das prestações a serem pagas 
b. Valor dos juros presentes em cada prestação 
c. Valor amortizado em cada prestação paga 
d. Valor do saldo devedor após o pagamento de cada prestação 
Sendo assim, um sistema de amortização está regido por quatro fórmulas 
básicas: 
P t = J t + A t 
J t = S anterior . i 
A t = P t – J t 
S t = S anterior – A t 
Onde: 
• P t = Valor do pagamento (Preço=Parcela) no período de tempo t; 
• A t = Valor da Amortização da dívida no período de tempo t; 
• J t = Valor do Juro da dívida no período de tempo t; 
• S t = Saldo final da dívida no período de tempo t ; 
• S anterior = Saldo final da dívida no período anterior (isto é, t - 1) ; 
Como podemos ver nas quatro fórmulas anteriores, dentro do tempo t, 
temos três dados principais a considerar: P t ; A t ; J t . Acontece que, conforme 
o sistema financeiro que tivermos usando, um desses três dados será constante, 
isto é, uniforme (mesmo valor, presente de forma ininterrupta). Neste tópico, 
vamos abordar o Sistema de Preço constante – SPC, em que preço significa 
pagamento. 
O SPC também é conhecido pelas alcunhas: Sistema francês de 
pagamento ou Sistema Price (por ter sido apresentado por Richard Price, em um 
artigo no Século XVIII). Nomes à parte, o que nos interessa é que o SPC trata-
se de um método no qual os pagamentos realizados são constantes, ou seja, 
 
 
20 
uniformes em seu valor. Sendo assim, o SPC nada mais é do que um fluxo de 
caixa uniforme. 
Importante 
Aqui, iremos trabalhar com o postecipado para exemplicar sua lógica. 
Portanto, toda a lógica que foi trabalhada lá no Tópico 1 é válida aqui. 
E, por isso, vamos partir logo para as fórmulas que são específicas sobre 
este sistema: 
Fórmula 8 – Fórmulas específicas 
P = PMT = VP . (1+i) 
𝑛𝑛 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 , acha o preço (prestações=PMT) a partir de VP. 
J t = PMT . (1+i) 
𝑛𝑛+1−𝑡𝑡 − 1 
(1+i) 𝑛𝑛+1−𝑡𝑡 
 , acha o valor do juro na prestação “ t ”. 
A t = (PMT ─ i . PV) ( 1 + i ) t - 1 , acha o valor amortizado na prestação “ t ”. 
S t = PMT . (1+i) 
𝑛𝑛−𝑡𝑡 − 1 
(1+i) 𝑛𝑛−𝑡𝑡 . i 
 , achar o saldo final após a prestação “ t ”. 
Vamos demonstrar essas quatro fórmulas em um exemplo. 
3.1 Exemplo 1 
Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A 
operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais segundo o 
sistema Price, mediante o uso de uma taxa de juro de 2% ao mês. Sendo assim, 
responda: 
a. Qual o valor de cada prestação? 
b. Qual o valor do juro presente na prestação no terceiro mês? 
c. Qual o valor amortizado de dívida na prestação no terceiro mês? 
d. Qual o valor do saldo da dívida após o pagamento da terceira prestação? 
Solução 
 
a. Parcela 
 
 
21 
PMT= 600. (1+2%) 
4 . 2% 
(1+2%) 4 − 1
 → 600. 1,08243 . 2 
1,08243 − 1
 → 600. 0,02165 
0,08243
∴ 
PMT= 600. 0,2626238 ≅ R$157,57 (valor uniforme = preço constante) 
b. Juro presente na prestação em t = 3 
J 3 = 157,57 . (1+2%) 
4+1−3 − 1 
(1+2%) 4+1−3 
 ≅ R$ 6,12 (juros na 3º prestação) 
c. Amortizado presente na prestação em t = 3 
A 3 = (157,57 - 2% . 600) . ( 1 + 2% ) 3 - 1 
A 3 = 145,5743 . 1,04040 ≅ R$ 151,46 (amortização na 3º prestação) 
d. Saldo devedor após pagamento da prestação em t = 3 
S 3 = 157,57 . (1+2%) 
4−3 − 1 
(1+2%) 4−3 . 2%
 ≅ R$ 154,48 (saldo final após 3º prest.) 
Vamos entender! Quando for pagar a 3º prestação no valor de R$ 157,57, 
será descontado o juro de R$ 6,12 (referente ao custo do saldo anterior da 
dívida), o que sobra da prestação (R$157,57 – R$6,12 = R$151,46) vai amortizar 
o saldo da dívida (R$ 305,94 de S anterior – 151,46 de A t = R$154,48 de SF na 
dívida). Veja essa lógica nas etapas presentes no quadro abaixo: 
Quadro 2 – Etapas da solução 
t 
P t J t A t S t 
Pagamento 
Juros Amortização Saldo final 
( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 
0 - - - - 600,00 
1 R$ 157,57 12,00 145,57 - 454,43 
2 R$ 157,57 9,09 148,49 - 305,94 
3 R$ 157,57 6,12 151,46 - 154,48 
4 R$ 157,57 3,09 154,48 0,00 
 
 
 
22 
“Resumindo a ópera”, temos que o uso dessas quatro fórmulas substitui 
a necessidade de montar uma tabela completa sobre a operação para 
descobrirmos o que ocorre em determinado momento “t” da operação. 
Ah! Também podemos obter a soma do “J” e do “A” no SPC na Hp12c: 
• F CLx (limpa a máquina); 
• 600 PV (positivo porque entrou no caixa, lá quadro é negativo, pois 
dívida); 
• 157,57 CHS PMT (negativo, pois sai no caixa quando pagamos); 
• 2 i (taxa de juro efetiva); 
• 3 n (pois queremos analisar o t=3); 
• F Amort (aparece na tela o total pago de juros até t=3: R$ 27,21); 
• X >< y (aparece o total amortizado até t=3: R$445,50); 
• RCL PV (aparece na tela, o Saldo final após t=3 : R$154,5 ou 154,48). 
Importante 
Antes de repetir com outro valor de t=n, lance novamente o PV original. 
Como você pôde ver no “SPC” o valor de cada prestação é obtido por 
meio da modelagem do fluxo uniforme, e deste valor se obtêm as variáveis juros, 
valor de amortização e saldo devedor. 
TEMA 4 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE: SAC 
O Sistema de Amortização Constante – SAC – é um sistema no qual o 
que é constante no processo de pagamento da dívida é o valor da Amortização. 
Sendo assim, o que primeiro devemos estabelecer é este valor uniforme e, partir 
dele, o saldo final da dívida em cada período. A partir do saldo final do período, 
devemos calcular o juro do período e, assim, definir o valor da prestação 
(=amortização + juro). Vamos entender esse processo com um exemplo: 
4.1Exemplo 1 
Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A 
operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais segundo o 
sistema de amortização constante – SAC, mediante o uso de uma taxa de juro 
de 2% ao mês. Com esses dados observe o quadro dessa operação: 
 
 
23 
Solução 
Quadro 3 – Solução 
t 
(4º) P t (3º) J t (1º) A (2º) S t 
Pagamento 
Juros Amortização Saldo final 
( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 
0 - - - - 600,00 
1 162,00 12,00 $ 150,00 - 450,00 
2 159,00 9,00 $ 150,00 - 300,00 
3 156,00 6,00 $ 150,00 - 150,00 
4 153,00 3,00 $ 150,00 0,00 
 
Vamos agora entender todo esse processo por meio de uma modelagem 
e, para tanto, vamos usar as quatro fórmulas que seguem: 
A = 
 S0
n
 
J t = A . i . ( n + 1 – t ) 
P t = A . [ 1 + i . (n + 1 – t) ] 
S t = A . ( n – t ) 
Onde: 
• A = Amortização constante; 
• S0 = Saldo inicial em n=0; 
• n = Tempo total do débito 
• t = Período específico dentro do tempo do débito. 
Agora que já conhecemos as fórmulas, vamos exemplificar o uso da 
modelagem para SAC. Sendo assim, utilizando o enunciado do exemplo anterior 
responda: 
a. Qual o valor de cada prestação? 
b. Qual o valor do juro presente na prestação no terceiro mês? 
c. Qual o valor amortizado de divida na prestação no terceiro mês? 
d. Qual o valor do saldo da dívida após o pagamento da terceira prestação? 
Solução 
 
 
24 
 
a. Parcela em t=3: 
Primeiro, precisamos calcular a amortização uniforme: 
A = 
 600
4
 = R$ 150,00 (este valor será usado no item a, b , c) 
Agora, vamos calcular a parcela no momento em t=3 
P 3 = 150 . [ 1 + 2% . (4 + 1 – 3) ] ∴ 
P 3 = 150 . [ 1 + 2% . 2 ] ∴ 
P 3 = 150 . 1,04 = R$ 156,00 (Parcela no momento t=3) 
b. Juro presente na prestação em t = 3 
J 3 = 150 . 2% . ( 4 + 1 – 3 ) 
J 3 = 150 . 2% . 2 
J 3 = 150 . 0,04 = R$ 6,00 (juro presente na prestação em t=3) 
c. Amortizado presente na prestação em t = 3 
A = 
 600
4
 = R$ 150,00 (amortização em t=3 é igual para qualquer t) 
d. Saldo devedor após pagamento da prestação em t = 3 
S 3 = 150 . ( 4 – 3 ) = 150 . 1 = 150 (saldo final após 3º prest.) 
Como você pode ver, cada um desses resultados é idêntico aos 
calculados no quadro visto no início do tema. Ou seja, como ocorreu no Price, o 
uso da modelagem no SAC nos permite obter facilmente o valor de A, P, J e SF 
em qualquer momento t de um endividamento sem a necessidade de construir 
uma tabela para tanto. Convenhamos, é bem mais fácil usar a modelagem! 
 
 
 
25 
TEMA 5 – OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
O Sistema De Amortização Por Preço Constante – Price – e por 
Amortização Constante – SAC – são, no Brasil, os mais utilizados. Todavia, 
existem outras possibilidades para o processo de quitação de uma dívida. Dentre 
estes, podemos citar como exemplos: Sistema Misto (média entre SPC e SAC), 
Sistema Americano (juros constantes) e o Sistema Alemão (antecipação dos 
juros). 
5.1 Sistema de Amortização Misto 
O Sistema de Amortização Misto – SAM – apresenta em cada período “t” 
do endividamento os valores de prestação, juros, amortização e saldo como 
sendo o valor da média simples destes, respectivamente, aos valores SPC e 
SAC. Ou seja, apresenta como fórmula as seguintes expressões: 
Fórmula 9 – Sistema de Amortização Misto 
P t = (P t do SPC + P t do SAC ) / 2 
J t = (J t do SPC + J t do SAC ) / 2 
A t = (A t do SPC + A t do SAC ) / 2 
S t = (S t do SPC + S t do SAC ) / 2 
Vamos testar essas fórmulas com os dados vistos nos temas 3 e 4, para t=3: 
P 3 = (157,57 do SPC + 156 do SAC ) / 2 = R$ 156,79 
J 3 = ( 6,12 do SPC + 6 do SAC ) / 2 = R$ 6,06 
A 3 = (151,46 do SPC + 150 do SAC ) / 2 = R$ 150,73 
S 3 = (154,48 do SPC + 150 do SAC ) / 2 = R$ 152,24 
Comprovando no quadro: 
 
 
 
26 
Quadro 4 – Sistema de Armotização Misto 
t 
P t J t A t S t 
Pagamento 
Juros Amortização Saldo final 
( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 
0 R$ - R$ - R$ - -R$ 600,00 
1 R$ 159,79 R$ 12,00 R$ 147,79 -R$ 452,22 
2 R$ 158,29 R$ 9,05 R$ 149,25 -R$ 302,97 
3 R$ 156,79 R$ 6,06 R$ 150,73 -R$ 152,24 
4 R$ 155,29 R$ 3,05 R$ 152,24 R$ - 
5.2 Sistema de Amortização Americano 
Neste sistema, as prestações de cada período, para “t” valor definido 
como sendo 0 < t < “n-1”, é igual ao valor juro do período, já para t=n (última 
prestação) o valor pago é definido como “juro + Principal”. Ou seja, após o 
endividamento no “t=0”, todos os pagamentos antes do t final serão apenas de 
juros (nada de amortização), já o último será de juros mais a quitação integral 
dívida assumida. Portanto, sua modelagem fica: 
Para t → 0 < t < (n-1) 
P t = J t 
J t = i . S0 
A t = zero 
S t = S0 
Para t → t = n 
P n = J t + S0 
J n = i . S0 
A n = S0 
S n = 0 (zero) 
Veja esse exemplo: 
 
 
27 
Quadro 5 – Exemplo de Sistema de Amortização Misto 
t 
P t J t A t S t 
Pagamento 
Juros Amortização Saldo final 
( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 
0 R$ - R$ - R$ - -R$ 600,00 
1 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 
2 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 
3 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 
4 R$ 612,00 R$ 12,00 R$ 600,00 R$ - 
 
Como podemos ver, entre t = 1 e t = 3, para todas as linhas temos que P= 
12, J=12, A=0 e S=600; já para t= 4 temos P= 612 (12+600), J= 12, A= 600, S= 
0. Sendo esse o comportamento que sempre iremos observar se optarmos no 
uso da modelagem do Sistema Americano, ou seja, a taxa de juro será constante 
e as prestações serão este valor mantendo sempre o saldo devedor igual. 
5.3 Sistema de Amortização Alemão 
O sistema alemão é muito parecido com o sistema francês (Price), o que 
muda é a forma de abordar os juros em cada período t. No SPC, os juros são 
incorporados em condição postecipada, já no sistema alemão os juros são 
tratados de forma antecipada. Ou seja, neste sistema temos no t=0 o pagamento 
do juro do S0 (saldo inicial da dívida), já nas demais linhas os preços serão 
constantes até t=n. Vejamos as fórmulas: 
P0 = Jo = S0 . i , para t = 0 
P = 
𝑃𝑃 0 
1 −(1−i)𝑛𝑛
 , para t > 0 
A t = 
 P . ( 1 – i) 𝑛𝑛−1
( 1 – i) 𝑡𝑡−1
 
J t = P - A t 
S t = J t / i 
Vamos testar essas fórmulas com os dados do problema sobre sistemas 
de pagamento visto desde o Tema 3, considerando t=3: 
 
 
28 
 
P0 = J0 = S0 . i → P0 = 600 . 2% = $ 12 (Pagamento t=0) 
P = 
P0 . 𝑖𝑖 
1 −(1−i)𝑛𝑛
 → P = 12 
1 −(1−2%)4
 = $154,58 (prestação constante) 
A t = 
P . ( 1 – i) 𝑛𝑛−1
( 1 – i) 𝑡𝑡−1
 → A 3 = 154,58 . ( 1 – 2%)
 4−1
( 1 – 2%) 3−1
 = $151,48 (amort. em t=3) 
J t = P - A t → J 3 = 154,58 - 151,48 = R$ 3,09 (juros em t=3) 
S t = J t / i → S 3 = 3,09 / 2% = R$ 154,58 (saldo final em t=3) 
Vamos comprovar os dados obtidos na modelagem com o quadro 
abaixo: 
Quadro 6 – Dados obtidos na modelagem 
t 
P t J t A t S t 
Pagamento 
Juros Amortização Saldo final 
( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 
0 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 
1 R$ 154,58 R$ 9,09 R$ 145,49 -R$ 454,51 
2 R$ 154,58 R$ 6,12 R$ 148,45 -R$ 306,06 
3 R$ 154,58 R$ 3,09 R$ 151,48 -R$ 154,58 
4 R$ 154,58 R$ 0,00 R$ 154,58 R$ - 
 
Viu? Tudo bateu. E com essa demonstração no uso do sistema alemão 
encerramos este tópico e, também, a aula de hoje. Espero que tenha gostado do 
conteúdo. Abraços! 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos vários 
conceitos sobre o processo de capitalização composta, dentre outras, as 
aplicações do fluxo de caixa uniforme. Agora, entreno Fórum da disciplina e, 
usando este conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares sobre: Qual o 
tipo fluxo de caixa que está presente nas propagandas de produtos que 
 
 
29 
apresentam promoções do tipo “uma entrada + 10 vezes”, em que o valor da 
entrada e as prestações são iguais? 
NA PRÁTICA 
a. Leitura do caso 
O Sr. Kenenóis tem uma dívida no valor de R$ 2,5 mil que precisa pagar 
em 6 prestações mensais iguais. Sabendo que a taxa de juro é de 3% ao mês e 
que a dívida foi calculada por juros compostos mensais, série uniforme 
postecipada, responda: qual o valor de cada prestação? 
b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
Para resolver esse problema, precisamos aplicar a fórmula vista no Tema 1. 
c. Apresentação da solução do problema 
PMT = VP . (1+i) 
𝑛𝑛 . i 
(1+i) 𝑛𝑛 − 1
 → PMT = 2,5 mil . (1+3%) 
𝑛𝑛 . 3% 
(1+3%) 𝑛𝑛 − 1
 ∴ 
PMT = 2,5 mil . (1+3%) 
𝑛𝑛 . 3% 
(1+3%) 𝑛𝑛 − 1
 = 0,46149 = R$ 461,49 
FINALIZANDO 
Nesta aula estudamos os juros compostos em fluxo de caixa uniforme. 
Vimos as diferenças e semelhanças entre os sistemas postecipado, antecipado 
e diferido. Também praticamos formas de obtenção da taxa de juro de um 
sistema uniforme postecipado por meio dos artefados Karpin e Baily-Lenzi. E, 
por fim, estudamos os sistemas de amortização: SPC, SAC, SAM, sistema 
alemão e sistema americano. Tudo isso foi estudado utilizando exemplos 
numéricos nos quais os cenários foram mantidos didaticamente semelhantes 
para facilitar a sua aprendizagem sobre as diferenças e similaridades de cada 
conteúdo. 
 
 
30 
REFERÊNCIAS 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: InterSaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011. 
 
	Conversa inicial
	Contextualizando
	Trocando ideias
	Na prática
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS