Exercícios Resolvidos: Operações Leis de Decomposição Internas

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Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Álgebra 
Aluno: Sérgio Ferreira Guimarães Júnior – AQ3000311 
 
Operações – Leis de Decomposição Internas: Exercícios Resolvidos 
 
(EX. 114/PÁG. 116) Estabeleça as condições sobre 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ de modo que a operação ∗ sobre 
ℤ dada pela lei 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦. 
 
a) seja associativa; 
 
Escolhendo-se quaisquer que sejam 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ tem-se: 
𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 
 
𝑥 ∗ (𝑚𝑦 ∗ 𝑛𝑧) = (𝑚𝑥 ∗ 𝑛𝑦) ∗ 𝑧 
𝑚𝑥 + 𝑛(𝑚𝑦 + 𝑛𝑧) = 𝑚(𝑚𝑥 + 𝑛𝑦) + 𝑛𝑧 
𝑚𝑥 + 𝑛𝑚𝑦 + 𝑛2𝑧 = 𝑚2𝑥 + 𝑚𝑛𝑦 + 𝑛𝑧 
 
Para que seja associativa, conclui-se que: 
𝑚 = 𝑚2, 𝑛𝑚 = 𝑛𝑚, 𝑛2 = 𝑛 
𝒎 = 𝟎 𝐨𝐮 𝒎 = 𝟏 𝐞 𝒏 = 𝟎 𝐨𝐮 𝒏 = 𝟏 
 
b) seja comutativa; 
 
Escolhendo-se quaisquer que sejam 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ tem-se: 
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 
 
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑚𝑦 + 𝑛𝑥 
 
Para que seja comutativa, conclui-se que: 
"𝒎" e "𝒏" podem ser qualquer inteiro desde que 𝒎 = 𝒏. 
 
c) admita elemento neutro. 
 
Escolhendo-se quaisquer que sejam 𝑥 ∈ ℤ tem-se: 
𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 
 
Resolvendo à esquerda: 
𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 
𝑚𝑒 + 𝑛𝑥 = 𝑥 
𝑚𝑒 = 𝑥 − 𝑛𝑥 
𝑚𝑒 = 𝑥(1 − 𝑛) 
𝑒 =
𝑥(1 − 𝑛)
𝑚
 
 
Se "𝑛" não for "1" o numerador dará qualquer elemento "𝑥" e se "𝑚" não for "1" ou " − 1" não será inteiro. 
 
Para que se tenha elemento neutro à esquerda, conclui-se que: 
𝑛 = 1 e 𝑚 = 1 ou 𝑚 = −1 
 
Resolvendo à direita: 
𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 
𝑚𝑥 + 𝑛𝑒 = 𝑥 
𝑛𝑒 = 𝑥 − 𝑚𝑥 
𝑚𝑒 = 𝑥(1 − 𝑚) 
𝑒 =
𝑥(1 − 𝑚)
𝑚
 
 
Se "𝑚" não for "1" o numerador dará qualquer elemento "𝑥" e se "𝑛" não for "1" ou " − 1" não será inteiro. 
 
Para que se tenha elemento neutro à direita, conclui-se que: 
𝑚 = 1 e 𝑛 = 1 ou 𝑛 = −1 
 
Para que se tenha elemento neutro, tem que se ter o mesmo elemento à esquerda e à direita, então: 
𝒎 = 𝒏 = 𝟏 
 
(EX. 122/PÁG. 120) Mostre que nenhum elemento de ℝ é regular a operação ∗ assim definida: 
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 
 
 
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 
 
∀𝑎 ∈ ℝ, tem-se que: 
𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑎 ∗ 𝑦 ou 𝑥 ∗ 𝑎 = 𝑦 ∗ 𝑎 
 
Só poderia ser possível se 𝑥 = 𝑦 
 
Resolvendo a equação à esquerda: 
𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑎 ∗ 𝑦 
𝑎2 + 𝑥2 + 𝑎𝑥 = 𝑎2 + 𝑦2 + 𝑎𝑦 
𝑎2 + 𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑎2 − 𝑦2 − 𝑎𝑦 = 0 
𝑥2 − 𝑦2 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 0 
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) + 𝑎(𝑥 − 𝑦) = 0 
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦 + 𝑎) = 0 
 
Essa igualdade é verdadeira se: 
𝑥 = 𝑦 ou 𝑥 = −𝑦 − 𝑎 
 
Mesmo que “𝑎 = 0”, “𝑥” não será igual a “𝑦”, mas sim 𝑥 = −𝑦. 
Portanto, não há valor para “𝒂” que torne 𝒙 = 𝒚 
 
Nem precisa fazer à direita.