Resumo: Teoremas sobre Derivadas

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Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Aluno: Sérgio Ferreira Guimarães Júnior – AQ3000311 
 
Atividade II – Teoremas sobre Derivadas 
 
TEOREMA DE ROLLE. Seja f uma função contínua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏). Se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) 
então, existe pelo menos um c em (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
DEMONSTRAÇÃO: Como f é contínua no intervalo fechado [𝑎, 𝑏], logo, pelo teorema do valor extremo, 
f assume um valor máximo absoluto f(m) e um valor mínimo absoluto f(n) em certos pontos m e n em [𝑎, 𝑏]. 
Isto é, sejam m e n tais que 𝑓(𝑛) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑚), para todo x em [𝑎, 𝑏]. 
 
Devemos considerar dois casos possíveis: 
 
1. 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) para todo x de [𝒂, 𝒃]: 
Nesse caso, f é constante em [𝑎, 𝑏], logo 𝑓′(𝑥) = 0 para todo x de (𝑎, 𝑏). 
 
2. 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) para algum x em (𝒂, 𝒃): 
Suponhamos que 𝑐 = 𝑚 ou 𝑐 = 𝑛. 
Nesse caso, ou m ou n é diferente das extremidades a e b do intervalo. 
Como m é um ponto de máximo contido em (𝑎, 𝑏) onde f é derivável, temos que 𝑓′(𝑚) = 0. 
Como n é um ponto de mínimo contido em (𝑎, 𝑏) onde f é derivável, temos que 𝑓′(𝑛) = 0. 
Logo, como 𝑐 = 𝑚 ou 𝑐 = 𝑛, então 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
Portanto, satisfaz a conclusão do teorema. 
 
O teorema de Rolle nos diz que, dada uma função f que seja continua em um determinado intervalo [𝑎, 𝑏] e 
derivável em qualquer ponto dentro desse mesmo intervalo, se os pontos 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) forem iguais, então terá ao 
menos um ponto 𝑐 contido nesse intervalo de modo que, quando aplicado na derivada de 𝑓, o resultado será zero. 
Ou seja, pelo teorema de Fermat, esse ponto será o máximo, ou o mínimo, de f. 
 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO. Se f é uma função contínua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏). Então, 
existe pelo menos um c em (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
. 
 
DEMONSTRAÇÃO: Fazendo-se uso do teorema de Rolle, vamos considerar uma função 𝑑(𝑥) = 𝑓(𝑥) −
𝑔(𝑥), onde 𝑔(𝑥) é a função da reta que liga os pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (𝑏, 𝑓(𝑏)). 
Desse modo, teremos: 
𝑑(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
 
𝑑(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
. (𝑥 − 𝑎) 
 
Desse modo, fica definida que 𝑑(𝑥) mede, para cada 𝑥, a distância vertical entre os pontos (𝑥, 𝑓(𝑥)), do gráfico 
de 𝑓(𝑥), e (𝑥, 𝑔(𝑥)), do gráfico de 𝑔(𝑥). 
 
 Por consequência, a função 𝑑(𝑥) satisfaz o teorema de Rolle, ou seja, é contínua em [𝑎, 𝑏] e diferenciável em 
(𝑎, 𝑏), já que 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são. E, também, 𝑑(𝑎) = 𝑑(𝑏) = 0, pois os gráficos de 𝑓 e 𝑔 passam pelos pontos 
(𝑎, 𝑓(𝑎)) e (𝑏, 𝑓(𝑏)). Assim, existe um ponto 𝑐 no intervalo (𝑎, 𝑏) tal que 𝑑′(𝑐) = 0. 
 
Logo, se 
𝑑′(𝑐) = 0 
 
𝑓′(𝑐) − 𝑑′(𝑐) = 0 
 
𝑓′(𝑐) −
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
= 0 
 
𝒇′(𝒄) =
𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂)
𝒃 − 𝒂
 
 
Portanto, satisfaz a conclusão do teorema. 
 
O teorema do valor médio nos diz que, dada uma função f que seja continua em um determinado intervalo [𝑎, 𝑏] 
e derivável em qualquer ponto dentro desse mesmo intervalo, e ligar os pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (𝑏, 𝑓(𝑏)), então terá 
ao menos um ponto 𝑐 contido nesse intervalo de modo que a reta tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑐 é paralela a reta 
secante que passa pelos mesmos pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (𝑏, 𝑓(𝑏)). 
 
Consequências do teorema do valor médio 
 
Uma das consequências é de que a derivada de uma função constante é zero, ou seja, se a derivada de uma função 
é zero, a função é constante: 
 
COROLÁRIO 1. Se 𝑓′(𝑥) = 0 em (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é uma função constante em [𝑎, 𝑏], isto é, existe um 
número real 𝐶, tal que, 𝑓(𝑥) = 𝐶, para qualquer que seja o ponto 𝑥 de [𝑎, 𝑏]. 
 
Uma outra consequência é sobre a relação entre duas funções com derivadas idênticas ao longo de um intervalo: 
 
COROLÁRIO 2. Se 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) para todo 𝑥 em (𝑎, 𝑏). Então, 𝑓 e 𝑔 diferem por uma constante, isto é, 
existe um número real 𝐶, tal que, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝐶, para todo 𝐶 em [𝑎, 𝑏]. 
 
Aplicações do teorema do valor médio e, por consequência, do teorema de Rolle 
 
O teorema do valor médio relaciona a taxa de variação média a função em um determinado intervalo [𝑎, 𝑏] com 
a taxa de variação instantânea dessa mesma função em um determinado ponto deste intervalo, pois, o teorema 
diz que a derivada da função em um determinado ponto é exatamente igual a média de sua variação num dado 
intervalo. 
 
EXEMPLO 1. A função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é contínua no intervalo [0,2] e diferenciável no intervalo (0,2). Logo, pelo 
teorema do valor médio, existe pelo menos um ponto 𝑐 pertencente ao intervalo (0,2), tal que: 
 
𝑓′(𝑐) =
𝑓(2) − 𝑓(0)
2 − 0
 
 
𝑓′(𝑐) = 2 
 
De fato, 𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 e, portanto, tomando 𝒄 = 𝟏, temos 𝒇′(𝒄) = 𝟐. 
 
EXEMPLO 2. Um carro percorreu 150𝑘𝑚 em 1ℎ30𝑚. Mostre que em algum momento o carro estava a uma 
velocidade maior que 80 km/h. 
 
Seja 𝑠(𝑡) a função da distância 𝑠, em quilômetros, percorrida pelo carro em relação ao tempo 𝑡, em horas. Logo, 
pelo teorema do valor médio, existe pelo menos um ponto 𝑡1 pertencente ao intervalo (0,1,5), tal que: 
 
𝑠′(𝑡1) =
𝑠(1,5) − 𝑠(0)
1,5 − 0
⇒ 𝑠′(𝑡1) =
150 − 0
1,5 − 0
⇒ 𝑠′(𝑡1) =
150
1,5
⇒ 𝒔′(𝒕𝟏) = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒎/𝒉 
 
Ou seja, em algum momento (𝒕𝟏) o carro atingiu a velocidade de 𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎/𝒉.