Calculo01-Tarefa_1-gabarito

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TURMA 2012: – Cálculo 01 
Prof. Jorge Andrés Julca Avila 
GABARITO DA TAREFA 1 
Data limite para submissão: 29/03/2017. 
Esta tarefa aborda os capítulos 1, 2 e 3 da Apostila. 
Questão 1 (5 pontos) 
Prove ou dê um contraexemplo: “O limite de uma sequência convergente de números irracionais é 
irracional”. 
Solução. 
Não é verdade, pois considere, o seguinte contraexemplo: 
1
n
nx e . Note que nx é uma sequência de 
números irracionais, isto, é,  1 2 1 3, , ,...e e e porém nx converge a 0e , quando n tende ao infinito, e 0 1e  
não é irracional. 
Existe outros contraexemplos: 
1
2
n
nx  , 
1 n
nx  , ... 
Questão 2 (5 pontos) 
Calcule o limite pedido, caso exista. 
 
1
2 2
2
1
lim
1
u
u
u
u


 
 
 
 
Solução. 
Não existe o limite e vamos explicar porque. 
Segundo a Definição 19 podemos definir o limite lateral direito infinito. 
lim ( ) 0, 0 tal que ( ) sempre que 
x b
f x B f x B b x b 

           
Aplicando a nosso exercício, consideremos f definida em (2, ) . Assim, temos que provar que: 0B  existe um 
0  tal que ( )f u B sempre que 2 2u    . 
De fato, 
1 1
2
2
u
u


   

. 
Por outro lado, 3 1 3 3 3 4u          , ou equivalente, 
1 1
1 4u 


. 
Também, 
2 2 2 24 (2 ) 5 1 (2 ) 1u u          . Assim, 2 1 5u   . 
 
 
Logo, 0B  existe um 
5
4
 
B
  tal que 
1 1 1
2 2 21 5 5 5
( )
1 4 4 4
u uu
f u B
u

  
      
         
     
 sempre que 
2 2u    . 
Questão 3 (5 pontos) 
Dê um exemplo de funções f e g , ambas descontínuas no ponto 1, mas tais que f g seja contínua em 1. 
Solução. 
Sejam 
2 2se 1 2 se 1
( ) e ( )
2 se 1 0 se 1
x x x x
f x g x
x x
    
  
  
 . Note que ambas funções são descontinuas 
em 1x  . Porém, a soma delas, 
2 2
( ) ( ) ( )
2 se 1
2 0 se 1
2 se 1
2 se 1
2
h x f x g x
x x x
x
x
x
 
   
 
 

 


 
é a função constante 2, a qual é contínua para todo x real, em particular em 1x  . 
Questão 4 (5 pontos) 
Sejam ,f g funções satisfazendo: 0 ( ) ( )f x g x  , x  . Sabe-se que g é contínua e que (0) 0g  . 
Prove que f é contínua em 0. 
Solução. 
Pela hipótese 0 (0) (0)f g  e pela condição (0) 0g  , temos que 0 (0) 0f  . Assim (0) 0f . Se g é 
contínua, então 
0
lim ( ) (0) 0
x
xg g . Aplicando limite, quando 0x , à desigualdade, temos 
 
0 0 0
0 lim0 lim ( ) lim ( ) 0
x x x
f x g x
  
    
 Agora, pelo Teorema do Confronto, 
0
lim ( ) 0 (0)
x
f x f

  . Portanto f é contínua em 0x .