Tp's e Provas de Calculo 4

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 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
1º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 11 de março de 2014 )
- Objetivo da tarefa : Avant-première da 1ª. prova parcial a ser realizada em 12/03/2014 .
- Valor : 5 pontos .
No espaço entre parênteses, anotar se a sentença é verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) :
 
 
 
1ª. Questão .
( 8 pontos )
3ª. Questão .
( 5 pontos )
V
F
F 
F
Resolução . 

π y π
0 0 0 x
a Afirmamos que cosx .dx .dy cosx .dy .dx .

   
Resolução .
b A equação polar r 3cos 2 representa um círculo de raio 3 .
Utilizando integração dupla, calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos cartesianos e o plano 
inclinado expresso pela equação 3x 8 y 24z 24 0 .   
x: 0 8
3D :
y: 0 3 x
8

  

3
8 3 x
8
0 0
3
3 x
2 88
0
0
2
8
0
x y
V 1 .dy .dx
8 3
xy y
y .dx
8 6
3 3x 3x
.dx V 4u.v
2 8 128
.


 
   
 
 
   
 
 
     
 
 


Inverter a ordem de integração e resolver a integral dupla
X0
Y
0 y
5 sen x
dx dy
x
 
 
y = x 
y 
x 
D
 y: 0 x: 0D : D :x: y y : 0 x   
 
x
0 y 0 0
0
5 sen x sen x
dx dy 5 dy .dx
x x
5 cos x 10 .
  

 
  
   
2ª. Questão .
( 5 pontos )

 
c A interseção das retas 2r . cosθ+r . senθ - 4=0 e
π
θ = é o ponto 4, π .
2

n q n q
m p m p
d Sendo m , n , p e q constantes dadas, é válido escrever
z .dx .dy z .dy .dx .   
4ª. Questão .
5ª. Questão .
6ª. Questão .
7ª. Questão .
a
b 
c
d
4 5 6 7 
As 4 (quatro) questões seguintes são objetivas, valendo 3 (três) pontos cada uma . 
- Utilizando a folha anexa para os cálculos, assinalar as soluções no quadro abaixo :
2 n x
1 0
z .dy .dx , 
 
 
y
x
2 e n 2 2
0 1 0 e
2 n 2 e 2
1 e 1 e
a z .dx .dy b z .dx .dy
c z .dx .dy d z .dx .dy
   
   
Sendo R a região plana limitada pelo círculo ao lado, o valor da integral dupla 
2 2
R
y
dA será
x y



X0 
Y 
2 2x y 1 
 1, 0  1, 0

r
 x r cosy r sen
R
   a 0 b 2,8 c d 2 
O volume do sólido limitado pelos dois cilindros x² + y² = 9 e x² + z² = 9 , em m³ , 
vale um número inteiro 
 3, 0, 0
 0, 3, 0
 0, 0, 3
Z
X
Y
0
D
Zi
2y 9 x 
2z 9 x 
 
 
a múltiplo de 5 b múltiplo de 8
c divisor de 144 d divisor de 210
> with (plots) : implicitplot3d 
({z=1-x^2-y^2, z=0}, 
x=-1..1, y=-1..1, z=0..1, 
numpoints=3000) ;
Invertendo a ordem de integração de teremos :
O volume do paraboloide de revolução ao lado, em m³ , vale
 
 
a 1,21 b 1,37
c 1,44 d 1,57

 
 
2
2
2 2
2 2
1 1 x
2 2
1 1 x
2 1
2
0 0
z 1 x y :
x : 1 1 : 0 2
D ou D
r : 0 1y : 1 x 1 x
V 1 x y .dy .dx
1 r .r .dr .d 1,57
2

 



  
  
  
    
  
   
 
 
O volume do paraboloide de revolução ao lado, em m³ , vale
   a 1,21 b 1,37 c 1,44 d 1,57
4ª. Questão .
5ª. Questão .
6ª. Questão .
7ª. Questão .
a
b 
c
d
4 5 6 7 
As 4 (quatro) questões seguintes são objetivas, valendo 3 (três) pontos cada uma . 
- Utilizando a folha anexa para os cálculos, assinalar as soluções no quadro abaixo :
2 n x
1 0
z .dy .dx , 
 
 
y
x
2 e n 2 2
0 1 0 e
2 n 2 e 2
1 e 1 e
a z .dx .dy b z .dx .dy
c z .dx .dy d z .dx .dy
   
   
Sendo R a região plana limitada pelo círculo ao lado, o valor da integral dupla 
2 2
R
y
dA será
x y



X0 
Y 
2 2x y 1 
 1, 0  1, 0

2 2x: 1 1 : 0 2R : R : r : 0 1y: 1 x 1 x
   
    
coordenadas cartesianas coordenadas polares
r
 x r cosy r sen
2 1
2 2 2 20 0
R
1 222 2
0 0
00
x r cos
dA r dr d
x y r cos sen
r 1 1
cos d cos d sen 0
2 2 2
.

 


 
    
 
 
    
  
 
R
   a 0 b 2,8 c d 2 
O volume do sólido limitado pelos dois cilindros x² + y² = 9 e x² + z² = 9 , em m³ , 
vale um número inteiro 
 3, 0, 0
 0, 3, 0
 0, 0, 3
Z
X
Y
0
2
x : 0 3
D :
y : 0 9 x


 
D
Zi
2y 9 x 
2z 9 x 
 
2
29 x3 3 9 x
2 2
i
0
D 0 0 0
33 3
2
0 0
V z . dA 9 x . dy . dx y 9 x . dx
x
9 x . dx 9x V 18 u. .v
3


     
 
      
 
   

 
 
a múltiplo de 5 b múltiplo de 8
c divisor de 144 d divisor de 210
y
y : 0 n 2x : 1 2
D : D :
y : 0 n x x : e 2
 
 
  
> with (plots) : implicitplot3d 
({z=1-x^2-y^2, z=0}, 
x=-1..1, y=-1..1, z=0..1, 
numpoints=3000) ;
Invertendo a ordem de integração de teremos :

y
n 2 2
0 e
Então, b z .dx .d .y 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
1º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 10 de setembro de 2013 )
- Objetivo da tarefa : Ensaio da 1ª. prova parcial a ser realizada em 11/09/2013 .
- Valor : 5 pontos .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
- As questões devem ser desenvolvidas pelos métodos algébricos convencionais .
- As resoluções por meio de sistemas computacionais devem ser feitas em casa .
1ª. Questão . Utilizando integração dupla, calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos cartesianos e o plano 
inclinado expresso pela equação 3x 8 y 24z 24 0 .   
Resp.: 4u.v.
2ª. Questão . Inverter a ordem de integração e resolver a integral dupla
X0
Y
0 y
5 sen x
dx dy
x
 
 
y = x 
y 
x 
D
Resp.: 10
3ª. Questão . Mediante o sistema de coordenadas polares, calcular a integral dupla sendo
R a região plana limitada pela curva 2 2x y 4 . 
2 2
R
y
dA ,
x y



Resp.: 0
4ª. Questão . Calcular a massa M do “pilão” não homogêneo, limitado pelas três superfícies
Em cada ponto do sólido, a densidade de massa é
- Utilizar coordenadas cilíndricas, levando em conta que 
2 2z x y 
  2 2 3x, y x y kg / m .  
X
Y 
Z 
0 

r  0, 3 0, 3
 3, 0
486
Resp. : M kg 305,2 kg
5
 
2 2x y 9 , 
i
n
i
i
n
ii 1 Dou
V 0
M
M lim V dV kg .
V


 



   
e z 0 .
5ª. Questão. Utilizando coordenadas esféricas, calcular o volume da cunha esférica
de raio r = 2 m , limitada por dois planos diametrais formando entre si
um ângulo de 
rad .
2

X
Y
Z
0
: 0
2
D : : 0 2
: 0



 





 
coordenadas esféricas
38Resp. : V 8,38 m .
3
 
2

6ª. Questão. Resolver os problemas propostos 3 e 5 da página 8 do compêndio .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução das questões
1ª. Questão . Utilizando integração dupla, calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos cartesianos e o plano 
inclinado expresso pela equação 3x 8 y 24z 24 0 .   
2ª. Questão . Inverter a ordem de integração e resolver a integral dupla
X0
Y
0 y
5 sen x
dx dy
x
 
 
y = x 
y 
x 
D
3ª. Questão . Mediante o sistema de coordenadas polares, calcular a integral dupla sendo
R a região plana limitada pela curva 2 2x y 4 . 
2 2
R
y
dA ,
x y



4ª. Questão . Calcular a massa M do “pilão” não homogêneo, limitado pelas três superfícies
Em cada ponto do sólido, a densidade de massa é
- Utilizar coordenadas cilíndricas, levando em conta que 
2 2z x y 
  2 2 3x, y x y kg / m .  
X
Y 
Z 
0 

r  0, 3 0, 3
 3, 0
2 2x y 9 , 
i
n
i
i
n
ii 1 Dou
V 0
M
M lim V dV kg .
V


 



   
e z 0 .
5ª. Questão. Utilizando coordenadas esféricas, calcular o volume da cunha esférica
de raio r = 2 m , limitada por dois planos diametrais formando entre si
um ângulo derad .
2

X
Y
Z
0
: 0
2
D : : 0 2
: 0



 





 
coordenadas esféricas
38Resp. : V 8,38 m .
3
 
2

x: 0 8
3D :
y : 0 3 x
8

  

3
8 3 x
8
0 0
3
3 x
2 88
0
0
2
8
0
x y
V 1 .dy .dx
8 3
xy y
y .dx
8 6
3 3x 3x
.dx V 4 u.v.
2 8 128


 
   
 
 
   
 
 
     
 
 


 
 
2
D
1
2
22
0 0 0
2
3
2
0 0
0
2
00
3
0
V f , , sen d d d
sen d d d
sen . d d
3
8
sen . d
3
4 8
cos V 8,38 m .
3 3






       
    

  
  
  





    

  
 

2 2
2 2 2
x: 3 3 : 0 2
D : y : 9 x 9 x D : r : 0 3
z : 0 x y z : 0 r
     
      
   
coordenadas cartesianas coordenadas
cilíndricasEm cada sub-região infinitesimal do “ pilão” , a massa Mi é dada por
i
i i i i
i
M
M V V
V


    

Então, a massa total M será
2
n
i
n
i 1 D
2 3 r
0 0 0
M lim M dV
486
M r . r dz dr d kg 305,2 kg .
5


 


  
  
 
  
 y : 0 x: 0D : D :x: y y : 0 x   
 
x
0 y 0 0
0
5 sen x sen x
dx dy 5 dy .dx
x x
5 cos x 10 .
  

 
  
   
2 1
2 2 2 20 0
R
x r cos
dA r dr d 0 .
x y r cos sen
 

 
  
 
  
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
1º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 10 de setembro de 2013 )
- Objetivo da tarefa : Ensaio da 1ª. prova parcial a ser realizada em 11/09/2013 .
- Valor : 5 pontos .
 b ) O campo vetorial de velocidades 
será conservativo quando o parâmetro p = 4 . 
a ) Se p = 5 , o campo vetorial elétrico será um solenoide .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
2º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 29 de outubro de 2013 )
- Objetivo da tarefa : Ensaio da 2ª. prova parcial a ser realizada em 30/10/2013 .
- Valor : 5 pontos .
No espaço entre parênteses, anotar se a sentença é verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) :
F
V
V
 
 F 
 
1ª. Questão .
( 4 pontos )
2ª. Questão .
( 6 pontos )
d ) Sendo a função vetorial então
2 2v x z i x y j x y z k ,  
     3 2 2v x, y, z p x y z , p 2 x , 1 p x z   
v px i 3py j 4z k  
Aplicando o teorema de Green, determinar o trabalho realizado pelo campo de forças , em joules , 
ao deslocar uma partícula ao longo da trajetória circular no sentido anti-horário .
   3 3 3 3F x y i x y j ,   
2 2x y 4 , 
 rot v 0 . 
c ) Se a área A da elipse 9x² + 16y² - 144 = 0 vale, 
aproximadamente, 31,40 u. a. ..
C
1
A x dy y dx ,
2
 
   
2
3 3
3 3 3 3
3 3
C C 2
M
3y
M x y yW F d r x y dx x y dy :
NN x y
3x
x

              

 
O trabalho será calculado pela integral de linha 
Aplicando o teorema de Green, teremos :
 
 
2
2
2 4 x
2 2
2 4 x
D
2 2
2
0 0
2
42
0
0
N M
W dA 3 x y dy dx
x y
3 r . r dr d
r
3 d
4
12 2 0 W 24 J




 

  
  
    
  


   
  
 

X0 
Y 
2 2x y 4 
 2, 0  2, 0

r
coordenadas polares
2 2x : 2 2 : 0 2D : D : r : 0 2y : 4 x 4 x
   
    
coordenadas cartesianas
ou W 75,39 J
Resolução .
3ª. Questão .
 
 
a irracional positivo b múltiplo de 3
c irracional negativo d nulo
a
b 
c
d
5ª. Questão .
4ª. Questão . Num campo magnético a taxa de variação das linhas de força , 
no ponto P ( 3, - 1, 2 ) , é dada por um número
6ª. Questão .
 
 
a par positivo b par negativo
c ímpar positivo d ímpar negativo




a 3x 6 y 2z 18 0
b 3x 6 y 2z 18 0
c 3x 6 y 2z 18 0
d 3x 6 y 2z 18 0
   
   
   
   
As 5 (cinco) questões seguintes são objetivas, valendo 4 (quatro) pontos cada uma . 
- Utilizando a folha anexa para os cálculos, assinalar as soluções no quadro abaixo :
Dado o campo vetorial de forças o trabalho realizado ao longo do círculo 
abaixo é dado por um valor numérico
   F x, y x y, x y ,   
A equação cartesiana do plano tangente ao elipsoide no ponto P ( - 2, 1, - 3) , é
  2M x, y, z 5x , x 2y z, 3x z ,   
X
Y
0

r
2 2
2x zy 3 ,
4 9
  
Se as pás mecânicas de um exaustor estiverem submetidas ao campo de velocidade 
podemos afirmar que : 
     z zv x, y,z y i x e j 1 y e k ,    
b ) não haverá movimento giratório das pás mecânicas
a ) haverá movimento rotacional positivo
c ) haverá movimento rotacional negativo
n
Eixo de
rotação
d ) haverá movimentos rotacionais alternados
7ª. Questão . Uma porção de arame metálico tem a forma de um arco circular Se a função den-
sidade sua massa em kg será , aproximadamente ,
2y 9 x , 0 x 3.   
 x, y x y kg / m , 
 
 
a 10,40 b 11,12
c 12,38 d 13,25
O (3, 0)
t
P
Pás mecânicas
M
x
y
N
1
x

 
 
 

 
 
   
 
C
R
R
2 1 2
0 0 0
2
0
N M
xy dx x y dy dA
x y
1 x dA
1
1 cos r dr d 1 cos d
2
1
sen .
2
 

   
  
  
    
  
 
   
  
 

  
 
 
2
2
M x, y, z 5x , x 2yz, 3xz
M , , 5x , x 2yz , 3xz
x y z
10x 2z 3x
M 3, 1, 2 30 4 9 35
   
  
      
  
  
     
 
  n
x 2z
f x, y, z i 2y j k
2 9
2
f 2, 1, 3 i 2 j k v 3, 6 , 2
3
   
            
     3 x 2 6 y 1 2 z 3 0 ou 3x 6 y 2z 18 0         
Se calcularmos o rotacional do campo vetorial, teremos a resposta :
z z
i j k
rot v 0, 0 , 0
x y z
y x e 1 y e
  
   
  
 
O vetor nulo indica que não haverá movimento giratório das pás mecânicas .
 
 
 
 
C C
2
3 3
4 42 2
20 0
x,y kg / m
comprimento ds
2 23 3
4 42 2
2 20 0
1
2 4
3
10
2 2
Método convencional :
m x, y .ds x . y .ds, 0 x 3
x
x . 9 x .ds x . 9 x . 1 dx
9 x
9 x x 3
x . 9 x . dx x . 9 x . dx
9 x 9 x
9 x
3 x dx 3 x 9
9 x

   
 
      
  
 
      
 

    

 
 
 
  

1
3 3
2 4
4 20 0
2 2 2
0
3
1 023 0 0
32
4 20 3 3 3
3
x
x dx 3 dx
9 x
artifício: 9 x u u 9 x
2u .du 2x .dx
x:0 3
u :3 0
3 2x .dx 3 2u .du u
3 u .du 3 2 u
32 2 u9 x
2
6 3 10,40

    

    
  



         

 
 
  
Resoluções :
3ª.
4ª.
5ª.
6ª.
7ª.


Parametrização:
x 3cos t
C : , 0 x 3
y 3 sent
dx 3 sent .dt
, t 0
dy 3cos t .dt 2


 

 
 

     
0 2 2
2C
0
2
0 1
1 0
x, y .ds 3cos t . 3 sent . 3sent 3cos t . dt
sent u du cos t.dt
9 3 sent .cos t .dt
t : 0 u : 1 0
2
9 3 u .du 9 3 u .du 6 3 10,40




   
  

  
  

    
 

 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
2º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 21 de maio de 2013 )
- Objetivo da tarefa : Ensaio da 2ª. prova parcial a ser realizada em 22/05/2013 .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
1ª. Questão . 
- As questões devem ser desenvolvidas pelos métodos algébricos convencionais .
- As resoluções por meio de sistemas computacionais devem ser feitas em casa .
2ª. Questão . 
Dada a função vetorial calcular .2 2v x z i x y j x y zk ,    rot v
Determinar o parâmetro p de modo que o campo de velocidades
seja conservativo ( vale dizer, irrotacional ) .
     3 2 2v x, y, z p x y z , p 2 x , 1 p x z   
Determinar o valor de p tal que seja um campo solenoidal .v px i 3py j 4z k  3ª. Questão . 
Verificar se o campo vetorial é conservativo .2 2 3 3 2F 3x y z i 2x y z j x y k  
é um campo vetorial conservativo .
4ª. Questão . 
Resp.: 0
Resp.: p 4
Resp.: p 2
5ª. Questão . Sendo verificar se o campo representa uma fonte , um 
poço ou um solenoide . 
  2 2v x, y, z x z, x y , x y z ,  rot v
é um campo vetorial solenoidal .
6ª. Questão . Aplicando o teorema de Green, determinar o trabalho realizado pelo campo de forças 
para deslocar uma partícula ao longo da trajetória circular 
no sentido anti-horário . - Sistema MKS -
   3 3 3 3F x y i x y j    2 2x y 4 , 
X0 
Y 
2 2x y 4 
 2, 0  2, 0

r
coordenadas polares
2 2x : 2 2 : 0 2D : D : r : 0 2y : 4 x 4 x
   
    
coordenadas cartesianas
Resp.: W 24 J ou W 75,39 J 
Aplicando o teorema de Green , calcular a integral curvilínea sendo C 
o círculo
 
C
xy dx x y dy , 
X
Y
0

r
2 2x y 1 . 
 
C
Resp.: xy dx x y dy .  
 : 0 2R: r : 0 1 
coordenadas polares
7ª. Questão . 
8ª. Questão . Aplicando o teorema de Green , calcular o trabalho realizado pelo campo de forças
ao deslocar uma partícula ao longo da trajetória mostrada na figura . 
 
2
2
y
F x, y i 2y arctg x j
1 x
 

X0 
2y x
Y 
y x
D
Resp.: W 0 .
9ª. Questão . Verificar se, no ponto P ( 3, - 2, 1 ) , o campo vetorial de forças representa uma 
fonte , um poço ou um solenoide . 
F 2x i 6 y j 4z k  
Resp. : O campo de forças, em qualquer ponto do espaço, é solenoidal .
Mostrar que o campo vetorial é conservativo .
x y zv e i e j e k  
Conclusão : rot v 0 v 
O campo de forças desloca uma partícula ao longo da trajetória triangular 
fechada, tal como mostra a figura . Utilizando o teorema de Green , calcular o trabalho realizado .
   2F 2x y i 3y 4x j   
X
Y
0  2, 0
14
Resp.: W 4,66
3
    
x: 0 2
1
y : 0 x
2

 

 2, 1
R
3C
2C
1C
região R :
Sendo calcular a área A da elipse 9x² + 16y² - 144 = 0 .
C
1
A x dy y dx ,
2
 
X0 
Y 
 4, 0  4, 0

r
A
Resp.: A 12 37 ,68 u.a. 
10ª. Questão . 
11ª. Questão . 
12ª. Questão . 
14ª. Questão . Mediante o Teorema de Green , verificar se o campo vetorial 
constitui um campo conservativo ao longo da astroide de equações paramétricas 
 
2
2
y
F x, y , 2y arctg x
1 x
  

3
3
x cos t
, 0 t 2 .
y sen t

 
 

0
Portanto, o campo vetorial é conservativo .
 N Mx yC D
0
Verificação: F . d r .dA 0 .
 
 

   
F
13ª. Questão . Mostrar que o trabalho realizado pela força ao longo dessa elipse, é nulo .   2 2F x, y y , x ,  
15ª. Questão . Calcular o trabalho realizado pelo campo de forças ao 
deslocar um corpo ao longo do contorno fechado da região D, partindo do ponto . 
 2 3 2F x i x 3xy j  
 3, 0 .2y 9 x 
X
Y
0 3, 0  3, 0
D
- Resolver por parametrização e também pelo Teorema de Green .
243
Resp.: W 190,85 .
4
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
1ª. Questão . 
- As questões devem ser desenvolvidas pelos métodos algébricos convencionais .
- As resoluções por meio de sistemas computacionais devem ser feitas em casa .
2ª. Questão . 
Dada a função vetorial calcular .
2 2v x z i x y j x y z k ,    rot v
Resolução . Queremos calcular a divergência do rotacional do campo vetorial dado :
2 2
2 2
i j k
rot v x z, x 2xyz , y
x y z
x z x y x y z
  
     
  

  2 2rot v , , x z , x 2xyz , y
x y z
2xz 2xz 0
0
  
       
  
  

Determinar o parâmetro p de modo que o campo de velocidades
seja conservativo ( vale dizer, irrotacional ) .
     3 2 2v x, y, z p x y z , p 2 x , 1 p x z   
Basta apelar para o operador diferencial rotacional :
   
   
   
3 2 2
2 2
2
i j k
rot v v 0
x y z
pxy z p 2 x 1 p x z
3z j 2x p 2 k px k z 1 p j 0
0, p 4 z , p 4 x 0, 0, 0 p 4 0 p 4 .
  
    
  
  
      
       
Determinar o valor de p tal que seja um campo solenoidal .
Resolução . 
v px i 3py j 4z k  
     px 3 py 4z
v
x y z
p 3 p 4
v 2 p 4 0 p 2 .
   
   
  
  
      
Resolução .
3ª. Questão . 
Verificar se o campo vetorial é conservativo .2 2 3 3 2F 3x y z i 2x y z j x y k  
A questão consiste em consultar o operador diferencial rotacional :
     
2 2 3 3 2
2 2 3 3 2
3 3 2 2 2 2 2 2
rot F F , , 3x y z , 2x y z , x y
x y z
i j k
x y z
3x y z 2x y z x y
2x y 2x y i 3x y 3x y j 6 x y z 6 x y z k
0 . rot F 0 F
  
    
  
  

  
     
   é um campo vetorial conservativo .
2 2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3x y z dx x y z
2x y z dy x y z
x y dz x y z
 








2ª. resolução :
Então, existe a função potencial escalar
  3 2f x, y, z x y z , tal que f F ,  
sendo este um campo conservativo .
4. Questão . 
Resolução . 
Resolução das questões
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
2º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 21 de maio de 2013 )
- Objetivo da tarefa : Ensaio da 2ª. prova parcial a ser realizada em 22/05/2013 .
5ª. Questão . 
Resolução .
Sendo verificar se o campo representa uma fonte , um 
poço ou um solenoide . 
  2 2v x, y, z x z, x y , x y z ,  rot v
Basta calcular a divergência do rotacional de 
     
2 2
2 2
2
i j k
rot v v x z, x 2xyz, y
x y z
x z x y x y z
x z x 2xyz y
rot v
x y z
2 x z 2 x z 0
0 rot v
  
     
  

    
   
  
  
  é um campo solenoidal .
6ª. Questão . Aplicando o teorema de Green, determinar o trabalho realizado pelo campo de forças 
para deslocar uma partícula ao longo da trajetória circular 
no sentido anti-horário . - Sistema MKS -
   3 3 3 3F x y i x y j    2 2x y 4 , 
   
2
3 3
3 3 3 3
3 3
C C 2
M
3y
M x y yW F d r x y dx x y dy :
NN x y
3x
x

              

 
O trabalho será calculado pela integral de linha 
Aplicando o teorema de Green, teremos :
 
 
2
2
2 4 x
2 2
2 4 x
D
2 2
2
0 0
2
42
0
0
N M
W dA 3 x y dy dx
x y
3 r . r dr d
r
3 d
4
12 2 0 W 24 J




 

 
  
    
  


   
  
 

X0 
Y 
2 2x y 4 
 2, 0  2, 0

r
coordenadas polares
2 2x : 2 2 : 0 2D : D : r : 0 2y : 4 x 4 x
   
    
coordenadas cartesianas
ou W 75,39 J
Aplicando o teorema de Green , calcular a integral curvilínea sendo C 
o círculo
 
C
xy dx x y dy , 
X
Y
0

r
M
x
y
N
1
x

 


 
2 2x y 1 . 
 
 
 
 
 
C
R
R
2 1
0 0
2
0
2
0
N M
xy dx x y dy dA
x y
1 x dA
1 cos r dr d
1
1 cos d
2
1
sen .
2



 
 
  
  
    
  
 
 
 
  
 

 

 : 0 2R: r : 0 1 
coordenadas polares
Resolução .
7ª. Questão . 
Resolução .
8ª. Questão . Aplicando o teorema de Green , calcular o trabalho realizado pelo campo de forças
ao deslocar uma partícula ao longo da trajetória mostrada na figura .  
2
2
y
F x, y i 2y arctg x j
1 x
 

X0 
2y x
Y 
y x
D
Como o trabalho W é dado pela integral curvilínea, teremos :
2
2C C
2
2
2
D2
y
W F d r dx 2 y arc tg x dy
1 x
M 2 y
y
N MyM 1 x
W dA 0 .1 x N 2 y x y
N 2 y arc tg x
x 1 x
  


      
               
 

Resolução .
9ª. Questão . Verificar se, no ponto P ( 3, - 2, 1 ) , o campo vetorial de forças representa uma 
fonte , um poço ou um solenoide . 
F 2x i 6 y j 4z k  
Resolução . A questão consiste em consultar o operador diferencial divergente :
     
F , , 2x , 6 y, 4z
x y z
2x 6 y 4z
2 6 4 0 , x, y,z .
x y z
  
  
  
   
        
  
Então, o campo de forças, em qualquer ponto do espaço, é solenoidal .
Mostrar que o campo vetorial é conservativo .
x y zv e i e j e k  
Demonstração . A questão consiste em consultar o operador diferencial rotacional :
x y z
i j k
rot v v 0 . rot v 0 v
x y z
e e e
  
       
  
Então, trata-se de um 
campo vetorial conservativo .
10ª. Questão .
12ª. Questão .
Resolução .
11ª. Questão .
Resolução .
O campo de forças desloca uma partícula ao longo da trajetória triangular
fechada, tal como mostra a figura . Utilizando o teorema de Green , calcular o trabalho realizado .
   2F 2x y i 3y 4x j   
X
Y
0
 
 
2
M
2 y
M x, y 2x y y
NN x, y 3y 4x
4
x

   
      

 2, 0
 
 
C
R
x
2
2
0 0
x
2
2 2
0 0
2
2 32
2
0
0
N M
W F d r dA
x y
4 2y dy dx
y 4 y dx
x x 14
2x dx x W 4,66
4 12 3
  
   
  
  
  
   
                 
   
 
 


x: 0 2
1
y : 0 x
2

 

 2, 1
R
3C
2C
1C
região R :
Sendo calcular a área A da elipse 9x² + 16y² - 144 = 0 .
Como a parametrização da elipse é feita por 
C
1
A x dy y dx ,
2
 
X0 
Y 
 4, 0  4, 0

r
A  
x 4 cos t dx 4 sen t dt
, 0 t 2
y 3 sen t dy 3cos t dt

  
  
 
2 2x y
1
16 9
 
resulta : 
 
2
2 2
C 0
2
0
1 1
A x dy y dx 12 cos t 12 sen t dt
2 2
6 dt A 12 37,68 u.a.



   
   
 

14ª. Questão . Mediante o Teorema de Green , verificar se o campo vetorial 
constitui um campo conservativo ao longo da astroide de equações 
paramétricas 
 
2
2
y
F x, y , 2y arctg x
1 x
  

3
3
x cos t
, 0 t 2 .
y sen t

 
 

0
Portanto, o campo vetorial é conservativo .
 N Mx yC D
0
Verificação: F . d r .dA 0 .
 
 

   
F
13ª. Questão . Mostrar que o trabalho realizado pela força ao longo dessa elipse, é nulo .   2 2F x, y y , x ,  
Demonstração . Basta mostrar que a integral de linha, nesse contorno, é igual a zero . 
15ª. Questão . Calcular o trabalho realizado pelo campo de forças ao 
deslocar um corpo ao longo do contorno fechado da região D, partindo do ponto . 
 2 3 2F x i x 3xy j  
 3, 0 .2y 9 x 
X
Y
0 3, 0  3, 0
D
- Resolver por parametrização e também pelo Teorema de Green .
 
2
2 3 2
3 2
C C 2 2
M
0
M x yW F d r x dx x 3xy dy :
NN x 3xy
3x 3y
x

            

 
A resolução por meio de parametrizações é extremamente cansativa . 
Aplicando o teorema de Green, teremos :
  
23 9 x
2 2
3 0
D
3
2
0 0
0
N M : 0
W dA 3 x y dy dx D:
r : 0 3x y
3 r . r dr d
81
3 d
4
243
W J
4


 





   
       


 
  
 

coordenadas polares
Resolução .
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
3º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 04 de junho de 2013 )
- Objetivo da tarefa : Ensaio da 3ª. prova parcial a ser realizada em 05/06/2013 .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
1ª. Questão . 
- As questões devem ser desenvolvidas pelos métodos algébricos convencionais .
- As resoluções por meio de sistemas computacionais devem ser feitas em casa .
2ª. Questão . 
Resp.: 54
Resp.:
Calcular a integral de superfície sendo a superfície S o hemisfério superior da esfera 2
S
x dS ,
2 2 2x y z 9 :  
X
Y
Z
 r
a ) projeção no plano XOZ
b ) projeção no plano YOZ
Se as pás mecânicas de um exaustor estiverem submetidas ao campo de velocidade 
podemos afirmar que : 
     z zv x, y,z y i x e j 1 y e k ,    
a) não haverá movimento giratório das pás mecânicas
b) haverá movimento rotacional positivo
c) haverá movimento rotacional negativo
Não haverá movimento giratório das pás mecânicas .
n
Pás mecânicas
Eixo de
rotação
3ª. Questão . 
Resp.: 16
Calcular a integral de superfície , sendo e a superfície S é 
o hemisfério superior da esfera 2 2 2x y z 4 :   a ) projeção no plano XOZ
b ) projeção no plano YOZ
 
S
F n ds F x i y j z k  
4ª. Questão . Calcular o fluxo de através da superfície do plano
2x + 3y + z – 6 = 0 , no 1º. octante :
F x i y j z k  
a ) projeção no plano XOY
b ) projeção no plano XOZ
Resp.: F 18 
X ZS Y ZS
X
Y
Z
0
X YS
n
F
X ZS
X
Y
Z
 r
X ZS
Y Z
S
n
F
5ª. Questão . Calcular o fluxo de através da superfície S 
do cilindro parabólico x² - y = 0 , situado no 1º. octante e limitado 
pelos planos z = 0 , z = 3 , x = 0 e y = 1 :
F i y j x z k  
a ) projeção no plano XOY
b ) projeção no plano XOZ
Resp.: F 4 
6ª. Questão . Valendo-se do teorema de Gauss (da divergência), calcular o 
fluxo do campo vetorial 
através da superfície cilíndrica de revolução S : y² + z² = 1 , 
limitada pelos planos x = 0 e x = 2 .
S
F F n dS  
     F z 5x i y z j x y k     
Resp. : F 8 25,12    
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


coordenadas cilíndricas
O campo vetorial configura um poço de
fluxo : sorvedouro ou sumidouro
7ª. Questão . Apoiado no Teorema de Stokes , verificar se o campo magnético
ao longo da interseção das superfícies 4x² + z² = y² e y = 4 , produz uma 
circulação positiva, negativa ou nula . 
 2 2 2 2F 2 x y z i 2 x y z j x y 2 z k ,   
0 
Y 
Z 
( 0, 4, 0 )
X 4x² + z² =y² :
superfície cônica elíptica
C
Resp.: rot F 0 .
F é irrotacional ( circulação nula ) .
8ª. Questão . A figura mostra o escoamento de um líquido para fora do condutor cilíndrico, com a velocidade 
Determinar a taxa de variação desse escoamento, sendo a superfície S do condutor limitada por
- Utilizar o sistema MKS e lembrar que a taxa de variação solicitada ( volume do líquido que escoa, 
por unidade de tempo ) significa, numericamente, o fluxo do campo de velocidade através 
da superfície cilíndrica S . 
Y
0
: 0 2
R : r : 0 2
z : 0 5
 


   v x, y, z xy i x y j 2yz k .   
2 2x y 4 e 0 z 5 .   
X
coordenadas cilíndricas
v

r
v
Z
3dvResp.: v 62,83 m / s
dt
  
O campo de velocidades é uma fonte .
X
Y
Z
X ZS 0
X YS
Valendo-se do teorema de Gauss (da divergência), calcular o fluxo 
do campo vetorial através da superfície ci-
líndrica de revolução S : y² + z² = 1 , limitada pelos planos x = 0 e x = 2 .
9ª. Questão . 
10ª. Questão . 
Aplicar o teorema de Stokes para calcular o trabalho 
realizado pelo campo de forças 
sendo a curva C dada pelas equações paramétricas
       2 y 3F x, y, z 3z sen x i x e j y cos z k ,     
C
W F d r 
(1 , 0, 0 )
(0 , 1, 0 ) r
x cos t
y sent , 0 t 2 .
z 1


  

: 0 2
S :
r : 0 1
 


coordenadas cilíndricas
X
Y 
Z 
( 0 , 0 , 1 )
O 
z 1
 Resp.: W 0
Aplicando o teorema da divergência (de Gauss) e as coordenadas esféricas, 
determinar o fluxo de , através da su-
perfície esférica de centro na origem e raio unitário .
 F x, y, z x i y j z k  
coordenadas esféricas
: 0 2
: 0
: 0 1
 
 




X
Y
Z
n
F



 P , ,  
0
Resp.: F 4 
11ª. Questão . 
S
F F n dS  
     F x z i y z j x y k     
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


coordenadas cilíndricas
Resp.: F 0 
12ª. Questão . Utilizar o teorema da divergência (de Gauss) para calcular a integral de superfície 
sendo S a superfície cilíndrica y² + z² = 1 , limitada pelos planos 
x = 0 e x = 2 .
O campo vetorial é      F x z i y z j x y k .     
S
F n dS ,
X
0 Y 
Z 
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


r

coordenadas cilíndricas
(2,0,0)
S
Resp.: F n dS 4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
3º. TRABALHO PRÁTICO PREPARATÓRIO
( 04 de junho de 2013 )
- Objetivo da tarefa : Ensaio da 3ª. prova parcial a ser realizada em 05/06/2013 .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
- As questões devem ser desenvolvidas pelos métodos algébricos convencionais .
- As resoluções por meio de sistemas computacionais devem ser feitas em casa .
Resolução das questões
1ª. Questão . Calcular a integral de superfície sendo a superfície S o hemisfério superior da esfera 
2
S
x dS ,
2 2 2x y z 9 :  
X
Y
Z
 r
a ) projeção no plano XOZ
b ) projeção no plano YOZ
X ZS
   
 
 
 
X Z
2
2
2
2 2
2 2
S S
2 2
9 x3
2
2 2 2 2
3 0
9 x 2 2 2 23
2
2 2
3 0
9 x3
2
2 2
3 0
y y
x dS x 1 dA
x z
x z
x 1 dz dx
9 x z 9 x z
x z 9 x z
x dz dx
9 x z
3
x dz dx
9 x z






    
      
    
   
    
      
      
   
   
 
 
  
 
 
 
 
 
Resolução . Calculemos a integral, projetando a superfície no plano XOZ :
 
 
2
2 2
f x, y, z x
z g x, y 9 x y
 


     
: função dada
: superfície
X Z
2
x: 3 3
S :
z : 0 9 x
  

  
Aplicando o sistema de coordenadas polares :
2 3
2 2
2
0 0
2 3 3
2
2
0 0
3
r cos r dr d
9 r
r
3 cos dr d
9 r


 
 
 



 
 
2
2
r dr r : 0 3
fazendo 9 r u du
u : 3 0
9 r
 
   


X Z
: 0 2
S :
r : 0 3
 


 
2 0
2 2
0 3
02 3
2
0 3
2 2
2
00
3 cos 9 u du d
u
3 cos 9u d
3
sen 2
54 cos d 54 54 .
2 4


 
 
 
 
  
  
 
    
 
 
    
 
 


- Mutatis mutandis , obteremos o mesmo valor da integral anterior, con-
siderando a projeção em YOZ .
X
Y
Z

r
Y ZS
Y Z
2
y : 3 3
S :
z : 0 9 y
  

  
Y Z
: 0 2
e S :
r : 0 3
 


2ª. Questão . Se as pás mecânicas de um exaustor estiverem submetidas ao campo de velocidade 
podemos afirmar que : 
     z zv x, y,z y i x e j 1 y e k ,    
a) não haverá movimento giratório das pás mecânicas
b) haverá movimento rotacional positivo
c) haverá movimento rotacional negativo
n
Pás mecânicas
Eixo de
rotação Resolução . Se calcularmos o rotacional do campo vetorial, teremos a resposta :
z z
i j k
rot v 0, 0 , 0
x y z
y x e 1 y e
  
   
  
 
O vetor nulo indica que não haverá movimento giratório das pás mecânicas .
3ª. Questão . Calcular a integral de superfície , sendo e a superfície S é 
o hemisfério superior da esfera 2 2 2x y z 4 :   a ) projeção no plano XOZ
b ) projeção no plano YOZ
X
Y
Z
 r
 
S
F n ds F x i y j z k  
X ZS
Y Z
S
Resolução . Inteiramente análogas à 1ª. aplicação ilustrativa mostrada 
na página 100 do compêndio .
4ª. Questão . Calcular o fluxo de através da superfície do plano
2x + 3y + z – 6 = 0 , no 1º. octante :
F x i y j z k  
X
Y
Z
0
X YS
n
F
a ) projeção no plano XOY
b ) projeção no plano XOZ
Resolução . Inteiramente análogas à 2ª. aplicação ilustrativa mostrada 
na página 101 do compêndio .
5ª. Questão . Calcular o fluxo de através da superfície S 
do cilindro parabólico x² - y = 0 , situado no 1º. octante e limitado 
pelos planos z = 0 , z = 3 , x = 0 e y = 1 :
F i y j x z k  
a ) projeção no plano XOY
b ) projeção no plano XOZ
X
Y
Z
X ZS 0
Resolução . a ) No plano XOY, a projeção se resume numa
curva , não permitindo o cálculo de uma in-
tegral de superfície .
X ZS
X YS b ) No plano XOZ, seguir o roteiro da 3ª. apli-
cação da página 101 do compêndio .
n
F
6ª. Questão . Valendo-se do teorema de Gauss (da divergência), calcular o 
fluxo do campo vetorial 
através da superfície cilíndrica de revolução S : y² + z² = 1 , 
limitada pelos planos x = 0 e x = 2 .
S
F F n dS  
     F z 5x i y z j x y k     
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


7ª. Questão . Apoiado no Teorema de Stokes , verificar se o campo magnético
ao longo da interseção das superfícies 4x² + z² = y² e y = 4 , produz uma 
circulação positiva, negativa ou nula . 
 2 2 2 2F 2 x y z i 2 x y z j x y 2 z k ,   
0 
Y 
Z 
( 0, 4, 0 )
X 
4x² + z² = y² :
superfície cônica elíptica
C
S R
2 1 2
0 0 0
1
22 1 2 2
0 0 0 0
0
F n dS F dV
4 r dx dr d
r
8 r dr d 8 d 4 d
2
F 8 25,12

  

  

 
 
     
     
 
  
   
Como resulta :     z 5x y z x yF 4 ,
x y z
     
     
  
coordenadas cilíndricas
O campo vetorial configura um poço de
fluxo : sorvedouro ou sumidouro
Resolução .
Resolução . Nas condições estabelecidas, o teorema de Stokes nos dá
 
S S
F n dS rot F n dS  
e, como resulta :
2 2 2 2i j k
rot F 0 ,
x y z
2 x y z 2x y z x y 2 z
  
 
  

 
S S
rot F n dS 0 n dS 0 F    é irrotacional 
( circulação nula ) .
8ª. Questão . A figura mostra o escoamento de um líquido para fora do condutor cilíndrico, com a velocidade 
Determinar a taxa de variação desse escoamento, sendo a superfície S do condutor limitada por
- Utilizar o sistema MKS e lembrar que a taxa de variação solicitada ( volume do líquido que escoa, 
por unidade de tempo ) significa, numericamente, o fluxo do campo de velocidade através 
da superfície cilíndrica S . 
Y
0
: 0 2
R : r : 0 2
z : 0 5
 


   v x, y, z xy i x y j 2yz k .   
2 2x y 4 e 0 z 5 .   
X
coordenadas cilíndricas
v

r
v
Z
O campo de velocidades é uma fonte .
Resolução . Aplicando o teorema de Gauss, teremos 
S R
dv
v v n dS v dV
dt
    
Seguindo o raciocínio mostrado na página 113 e 
aplicando as coordenadas cilíndricas, teremos :
 
2 2 5
0 0 0
3
dv
Fluxo : v
dt
1 3 sent .r .dz .dr .dt
20 v 62,83 m / s


 

 
  
  
Resolução .
 n k F n 2x   
     

2 y 3
2 2
F 3z sen x i x e j y cos z k
x y 1C :
z 1
      

  
 
2
2 y 3
i j k
F 3y i 3 j 2x k
x y z
3z sen x x e y cos z
  
    
  
  
 
2
2
1 1 x
C 1 1 x
S S
2 1 2 21
2
00 0 0 0
W F d r F n dS 2x dx dy 2x dy dx
2 cos t r dr dt r cos t dt cos t dt W 0 .
  

  
    
    
    
   
Então,
interseção do plano z = 1 com a superfície
cilíndrica 
2 2x y 1 . 
O vetor normal unitário da superfície z = 1 é k .
9ª. Questão . Aplicar o teorema de Stokes para calcular o trabalho 
realizado pelo campo de forças 
sendo a curva C dada pelas equações paramétricas
       2 y 3F x, y, z 3z sen x i x e j y cos z k ,     
C
W F d r 
(1 , 0, 0 )
(0 , 1, 0 ) r
x cos t
y sent , 0 t 2 .
z 1


  

: 0 2
S :
r : 0 1
 


coordenadas cilíndricas
X
Y 
Z 
( 0 , 0 , 1 )
O 
z 1

10ª. Questão . Aplicando o teorema da divergência (de Gauss) e as coordenadas esféricas, 
determinar o fluxo de , através da su-
perfície esférica de centro na origem e raio unitário .
 F x, y, z x i y j z k  
coordenadas esféricas
: 0 2
: 0
: 0 1
 
 




X
Y
Z
n
F



 P , ,  
0
: 0 2
F 1 1 1 3 e R: : 0
: 0 1
 
 


     

coordenadas
esféricas
2 1
2
0 0 0
R
2
0 0
2
00
2
0
F dV 3 sen d d d
sen d d
cos d
2 d
4
 
 
 

    
  
 


 

 


   
 


Resolução .
Valendo-se do teorema de Gauss (da divergência), calcular o fluxo 
do campo vetorial através da superfície ci-
líndrica de revolução S : y² + z² = 1 , limitada pelos planos x = 0 e x = 2 .
11ª. Questão . 
S
F F n dS  
     F x z i y z j x y k     
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


coordenadas
cilíndricas Resp.: F 0 
2 1 2
0 0 0
S R
F n dS F dV 0 dV F 0

        
Como resulta :     x z y z x yF 0 ,
x y z
     
    
  
O campo vetorial configura um solenoide .
Resolução .
Resolução .
S R
2 1 2
0 0 0
2 1
0 0
2
0
F n dS F dV
2 r dx dr d
4 r dr d
2 d
4 .







 




 
  
 

Como resulta :
     x z y z x y
F 2 ,
x y z
     
    
  
> restart : with(linalg) : with(plots) :
vf:= [ (x+z), (y+z), (x+y) ] ;
vF:= (x,y,z) -> [ (x+z), (y+z), (x+y) ] ;
F:= fieldplot3d (vf, x=0..2, y=-2..2, z=-2..2) :
G:= plot3d ({-sqrt(1-y^2), sqrt(1-y^2)}, x=0..2, y=-2..2.8) :
display3d ({F,G}) ; 
 := vf [ ], ,x z y z x y
 := vF ( ), ,x y z [ ], ,x z y z x y
> Int (Int (Int (2*r, x=0..2), r=0..1), theta=0..2*Pi) = 
int (int (int (2*r, x=0..2), r=0..1), theta=0..2*Pi) ;
d



0
2 
d



0
1
d



0
2
2 r x r  4 
12ª. Questão . Utilizar o teorema da divergência (de Gauss) para calcular a integral de superfície 
sendo S a superfície cilíndrica y² + z² = 1 , limitada pelos planos 
x = 0 e x = 2 .
O campo vetorial é      F x z i y z j x y k .     
S
F n dS ,
X
0 Y 
Z 
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


r

coordenadas cilíndricas
(2,0,0)
b ) A equação polar representa um círculo de raio 3
e centro 
 
1ª. Prova de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : Arnaldo Stochiero Nota :
12 / março / 2014 
Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- As questões 2ª. e 3ª. devem ser desenvolvidas nesta página . As demais, na folha de rascunho anexa .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
 
 
 
1ª. Questão .
( 8 pontos )
2ª. Questão .
( 5 pontos )
Resolução . 
D
y 
Inverter a ordem de integração e resolver a integral dupla
0 x
sen y
dy dx .
y
 
 
Resolução .
3ª. Questão .
( 5 pontos )
Utilizando a integração dupla em coordenadas polares, calcular o volume do sólido limitado pelas super-
fícies x² + y² = 9 , z = x² + y² e z = 0 .
No espaço entre parênteses, anotar se a sentença é verdadeira (V) ou falsa (F) :
2 πr +16 - 8 r cos θ - = 9
4
 
 
 πC 4,
4
 
 
 
a ) A interseção da reta com o eixo polar é dada pelo ponto
π
r cos - 4
3

 
 
 
 P 4, 0 
X
Y 
Z 
0 

r  0, 3 0, 3
 3, 0
Zi
x 2
y 8
c ) Considerando o domínio D ao lado , podemos escrever :
   
3
3
8 2 2 x
0 0 0y
f x, y dx dy f x, y dy dx .    D
d ) A igualdade é verdadeira .
3
2
4
1
r .dr .d
4



   
4ª. Questão .
5ª. Questão .
6ª. Questão .
7ª. Questão .
a
b 
c
d
4 5 6 7 
As 4 (quatro) questões seguintes são objetivas, valendo 3 (três) pontos cada uma . 
- Utilizando a folha anexa para os cálculos, assinalar as soluções no quadro abaixo :
 
 
a racional positivo b múltiplo de 3
c fracionário negativo d irracional positivo
Sendo F = x² , G = cos x e R a região plana limitada pelas curvas 
o valor da integral 
será
2y x 1 e x y 3,   
R
F G
. dA
x y
  
 
  

Em coordenadas polares, o volume do tronco do cilindro 
exterior ao paraboloide é calculado pela integral dupla
2 2y x y , 
2 2x y 2x , 
 
 
cos cos
2 22 2
0 0
2 2
2 cos 2 cos
3 322
0 0 0
2
a r .dr .d b 2 r .dr .d
c 2 r .dr .d d r .dr .d
 
 
 

 

 
 
 

   
   
A densidade de carga distribuída na chapa triangular ao lado é dada por 
medida em C/m² . A carga total , em coulombs, será dada, 
numericamente, por
 x, y x y , 
 
 
a 0,17 b 0,20
c 0,25 d 0,51
R
Em coordenadas cartesianas, o volume do sólido descrito na figura ao lado 
é calculado pela integral dupla
    
     
2 2
2
2 2
2
2 4 x 2 4 x
2 4 x 0 0
2 4 y 2 4 y
2 4 y 0 0
a 4 y .dy .dx b 4 y .dy .dx
c y 4 .dy .dx d y 4 .dy .dx
 
  
 
  
 
 
   
   
b ) A equação polar representa um círculo de raio 3
e centro 
F
 
1ª. Prova de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : Arnaldo Stochiero Nota :
12 / março / 2014 
Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- A segunda questão deve ser desenvolvida nesta página . As demais, na folha de rascunho anexa .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução da prova
V
F
 
 V 
 
1ª. Questão .
( 8 pontos )
2ª. Questão .
( 5 pontos )
Resolução .  x: 0 y: 0D : D :y: x x: 0 y   
 
y
0 x 0 0
y
0 00 0
0 x
sen y sen y
dy dx dx .dy
y y
sen y sen y
x dy y dy cos y
y y
sen y
dy dx 2 .
y
  
  
 
 
       
 
   
 
 
D
y 
Inverter a ordem de integração e resolver a integral dupla
0 x
sen y
dy dx .
y
 
 
Resolução .
3ª. Questão .
( 5 pontos )
Utilizando a integração dupla em coordenadas polares, calcular o volume do sólido limitado pelas super-
fícies x² + y² = 9 , z = x² + y² e z = 0 .
2 2x: 3 3 : 0 2D : D : r : 0 3y: 9 x 9 x
   
    
coordenadas cartesianas coordenadas polares
 
2
2
9 x3 2 3 2 3
2 2 2 3
3 0 0 0 09 x
32 4
00
V x y .dy .dx r .r .dr .d r .dr .d
r 81
.d 2
4 4
81
V 127,23 .u.v
2
 

 
 


  
   
  
  
     

No espaço entre parênteses, anotar se a sentença é verdadeira (V) ou falsa (F) :
2 πr +16 - 8 r cos θ - = 9
4
 
 
  2 2 2 2 2 2r a 2 r a cos R r 4 2 r.4 cos 3
4

  
 
         
 
π
C 4,
4
 
 
 
a ) A interseção da reta com o eixo polar é dada pelo ponto
π
r cos - 4
3

 
 
 
 P 4, 0 
 
1
0 r cos r 4 r 8 P 8, 0
3 2


 
         
 
X
Y 
Z 
0 

r  0, 3 0, 3
 3, 0
Zi
x 2
y 8
c ) Considerando o domínio D ao lado , podemos escrever :
   
3
3
8 2 2 x
0 0 0y
f x, y dx dy f x, y dy dx .   
D
d ) A igualdade é verdadeira .
3
2
4
1
r .dr .d
4



    23 3 2 32
4 4 4
1
1
r 3 3 3
r .dr .d .d
2 2 2 4 8
  
 
 
  
 
       
 
  
d




3 
4
d



1
2
r r t 
3 
8
4ª. Questão .
5ª. Questão .
6ª. Questão .
7ª. Questão .
a
b 
c
d
4 5 6 7 
As 4 (quatro) questões seguintes são objetivas, valendo 3 (três) pontos cada uma . 
- Utilizando a folha anexa para os cálculos, assinalar as soluções no quadro abaixo :
2 FF x 2x
x
G
G cos x 0
y

   
 
   

 
 
2
2
1 3 x
2 x 1
R
1 3 x
x 12
1
3 2
2
1
4 3
2
2
F G
. dA 2x 0 .dy .dx
x y
2xy .dx
2x 2x 4x .dx
x 2x 9
2x
2 3 2

 




  
   
  

   
     
  



2 2 2
2x y r r 2r cos ou r 2cos
2x 2r cos
 

    

 2 2
D
2cos
32
0
2
D: V x y .dA2 2
0 r 2cos
r .dr .d
3
2



 





      
 

  

 
 
1 1
0 1 x
D
Q x, y .dA x y .dy .dx
5
0,20
24


 
 
  
R
 
2
2
2 2
2 4 x
2 4 x
2 x 2
D:
4 x y 4 x
V 4 y .dy .dx 16

  
  

    
     
1ª. Prova de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : Arnaldo Stochiero Nota :
11/setembro/2013 
Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- As questões devem ser desenvolvidas nestas duas folhas, acomodadas nos respectivos espaços .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução da prova
2ª. Questão .
( 5 pontos )
Resolução . 
Sendo F = x² , G = cos x e R a região plana limitada pelas curvas calcular 
a integral 
2y x 1 e x y 3,   
2
x: 2 1
R:
y: x 1 3 x
  

   
R
F G
. dA .
x y
  
 
  

R
2 FF x 2x
x
G
G cos x 0
y

   
 
   

 
 
2
2
1 3 x
2 x 1
R
1 3 x
x 12
1
3 2
2
1
4 3
2
2
F G
. dA 2x 0 .dy .dx
x y
2xy .dx
2x 2x 4x .dx
x 2x
2x
2 3
9
2

 




  
   
  

   
   
 
  


1ª. Questão .
( 5 pontos )
Determinar as interseções da reta com a reta 2r . cos r . sen 4 0   
2

  
A interseção com a reta apresenta a seguinte solução:
2
2r .cos r .sen 4 r 4 e o ponto será P 4, .
2 2 2


  

 
     
 
Resolução . 
Inverter a ordem de integração e resolver a integral dupla
0 x
sen y
dy dx
y
 
 
 x: 0 y: 0D : D :y: x x: 0 y   
 
y
0 x 0 0
y
00
0
0
sen y sen y
dy dx dx .dy
y y
sen y
x dy
y
sen y
y dy
y
cos x
2 .
  



 
  
  
 

   


Resolução .
D
y 
x 
3ª. Questão .
( 5 pontos )
Resolução .
4ª. Questão .
( 5 pontos )
Utilizando a integração dupla em coordenadas polares, calcular o volume do sólido limitado pelas super-
fícies x² + y² = 9 , z = x² + y² e z = 0 .
X
Y 
Z 
0 

 0, 3 0, 3
 3, 0
Zi
2 2x: 3 3 : 0 2D : D : r : 0 3y: 9 x 9 x
   
    
coordenadas cartesianas coordenadas polares
 
2
2
9 x3 2 3
2 2 2
3 0 09 x
2 3
3
0 0
32 4
00
V x y .dy .dx r .r .dr .d
r .dr .d
r
.d
4
81 81
2 V 127,23 u
2
..v
4









  
  


    
   
 

5ª. Questão .
( 5 pontos )
Resolução .
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas, no primeiro octante,
e resolvê-la . 
2 2 2
2 2
1 1 x x y
0 0 x y
y . dz dy dx
 
  
6ª. Questão .
( 5 pontos )
Utilizando coordenadas esféricas, calcular o volume da cunha esférica de raio r = 3m , limitada por dois 
planos diametrais formando entre si um ângulo de rad .
3

Resolução .
X
Y
Z
0
3

2
cart cil
2 2 2 2
2
: 0x: 0 1
2
D : y: 0 1 x D : r : 0 1
z : x y x y
z : r r



  
 
    
     
 
 
22
1 r 1 r
2 22 2
r0 0 r 0 0
1
3 42
0 0
1
4 5
2
0
0
2
0
r . sen .dz .dr .d r .sen .z .dr .d
r r .sen .dr .d
r r
4 5
1
cos
20
1
20
 



   
 


 
 
  
 
 

    
 

: 0
3
D : : 0 3
: 0



 





 
coordenadas esféricas
 
 
2
D
1
3
23
0 0 0
3
3
3
0 0
0
3
00
3
0
V f , , sen d d d
sen d d d
sen . d d
3
9 sen . d
3 cos V 6 18,85 m .






       
    

  
  
  





    

  
 

a ) Num ponto qualquer de , o campo vetorial elétrico 
representa um solenoide .
V
 
c ) Dada a expressão podemos afirmar que a área da região plana 
limitada pela elipse vale , aproximadamente , 18,84 u. a.
b ) O campo vetorial de forças não constitui um
campo conservativo . 
2ª. Prova de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : ArnaldoStochiero Nota :
30/outubro/2013 
Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- A segunda questão deve ser desenvolvida nesta página . As demais, na folha de rascunho anexa .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução da prova
No espaço entre parênteses, anotar se a sentença é verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) :
F
F
 
 V 
 
1ª. Questão .
( 4 pontos )
2ª. Questão .
( 6 pontos )
> restart : with (linalg) : with(plots) :
curva(1):= [ x, 0, x = 0..2 ] ;
curva(2):= [ x, 2-t, x = 0..0 ] ;
curva(3):= [ x, x/2, x = 2..0 ] ;
vf:= [ x^2+2*y, 4*x-3*y ] ; # Campo vetorial 
F:= fieldplot ( vf, x=0..2.5, y=0..1.5 ) : 
# Gráfico do campo vetorial
G1:= plot (curva(1)) :
G2:= plot (curva(2)) :
G3:= plot (curva(3)) :
display ( { F,G1,G2,G3 } ) ; 
# Gráficos simultâneos
Int ( Int ( 2, y = 0..x/2 ), x = 0..2 ) ;
evalf (%, 2) ;
Resolução . 
   2
2
i j k
F x 2y i 4x 3y j rot F F 2 k
x y z
x 2y 4x 3y 0
  
        
  
 
O campo de forças desloca uma partícula ao longo da trajetória trian-
gular fechada, tal como mostra a figura . Utilizando a expressão vetorial do teorema de Green , calcular o 
trabalho realizado, em joules .
   2F x 2y i 4x 3y j   
X
Y
0  2, 0
x: 0 2
1
y: 0 x
2

 

 2, 1
R
1C
2C
3C
região R :
Então,
C
D
x
2
2
0 0
D
2
0
2
2
0
W F d r rot F k dA
2 .dA 2 .dy .dx
x
2 dx
2
x
W 2 J
2
 
 
 
  
 
  

2.
 2 3 2E xy i x y j 2 y z k   
2 2 3 3 2F 3x y z i 2x y z j x y k  
3
C
1
A x dy y dx ,
2
 
2 24x 9 y 36 0  
d ) Sendo a função então  2 3f x, y,z x y z ,  f 0 .  
3ª. Questão .
 
 
a 2,17 b 1,54
c 3,83 d 4,38
 
a
b 
c
d
4ª. Questão .
5ª. Questão . Num campo elétrico a taxa de variação das linhas de força , no 
ponto P ( 2, 1, - 1 ) , é dada por um número
6ª. Questão .
 
 
a par positivo b ímpar positivo
c par negativo d ímpar negativo




a 2x y 2z 2 0
b x 2y z 1 0
c 2x y 2z 2 0
d x y 2z 1 0
   
   
   
   
As 5 (cinco) questões seguintes são objetivas, valendo 4 (quatro) pontos cada uma . 
- Utilizando a folha anexa para os cálculos, assinalar as soluções no quadro abaixo :
O campo de velocidade será irrotacional
quando o valor do parâmetro p pertencer ao intervalo
     3 2 2v x, y,z z p x y , 2 p x , p 1 x z     
     
     
a 2, 2 b 1, 3
c 2, 5 d 1, 3
 
Dado o campo vetorial o valor aproximado da integral de linha 
ao longo da reta r de equações paramétricas da origem O até o ponto ( 1, 2, 4 ) , é
 F x, y, z x, y, xz y ,   
x t
r : y 2t ,
z 4t



C
ds ,
A equação cartesiana do plano tangente à superfície f (x, y, z) = x² + y² + z² - 6x – 6y + 2z + 10 = 0 , no
ponto P ( 1, 2, 1) , é
 P 1, 2, 1
  2E x, y, z 3x , 5y z, 2x z ,   
7ª. Questão . Um cabo de arame metálico tem a forma da hélice cilíndrica espiralada de equações paramétricas 
Se a sua função densidade é sua massa em kg será ,
aproximadamente ,
x cos t
y sent , 0 t 2 .
z t


  

 x, y y .sen z kg / m , 
 
 
a 1,40 b 2,12
c 3,38 d 4,44
 P x, y, z
c ) Dada a expressão podemos afirmar que a área da região plana 
limitada pela elipse vale , aproximadamente , 18,84 u. a.
a ) Num ponto qualquer de , o campo vetorial elétrico 
representa um solenoide .
b ) O campo vetorial de forças não constitui um
campo conservativo . 
2ª. Prova de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : Arnaldo Stochiero Nota :
30/outubro/2013 
Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- A segunda questão deve ser desenvolvida nesta página . As demais, na folha de rascunho anexa .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução da prova
No espaço entre parênteses, anotar se a sentença é verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) :
V
F
F
 
 
 V 
 
1ª. Questão .
( 4 pontos )
2ª. Questão .
( 6 pontos )
Resolução . 
   2
2
i j k
F x 2y i 4x 3y j rot F F 2 k
x y z
x 2y 4x 3y 0
  
        
  
 
O campo de forças desloca uma partícula ao longo da trajetória trian-
gular fechada, tal como mostra a figura . Utilizando a expressão vetorial do teorema de Green , calcular o 
trabalho realizado, em joules .
   2F x 2y i 4x 3y j   
X
Y
0  2, 0
x: 0 2
1
y: 0 x
2

 

 2, 1
R
1C
2C
3C
região R :
Então,
C
D
x
2
2
0 0
D
2
0
2
2
0
W F d r rot F k dA
2 .dA 2 .dy .dx
x
2 dx
2
x
W 2 J
2
 
 
 
  
 
  

 2 3 2E xy i x y j 2 y z k   
2 2 3 3 2F 3x y z i 2x y z j x y k  
2 2 3 3 2
i j k
rot F F 0
x y z
3x y z 2x y z x y
  
    
  
     
2 3 2
2 3 2
2 2 2
E , , xy , x y , 2y z
x y z
xy x y 2y z
x y z
y 3y 2y 0 .
  
  
  
   
  
  
   
3
C
1
A x dy y dx ,
2
 
 
C
2
2 2
0
1
A x dy y dx
2
1
3cos t 2 sen t dt 6 18,84
2


 
   


2 24x 9 y 36 0  
 x 3cos t dx 3 sent .dt ,y 2 sent dy 2cos t .dt
t ,0 2
  

 
 
d ) Sendo a função então  2 3f x, y,z x y z ,  f 0 .  
   f 0 produto escalar é escalar  
a
b 
c
d
3ª. Questão .
 
 
a 2,17 b 1,54
c 3,83 d 4,38
 
Dado o campo vetorial o valor aproximado da integral de linha 
ao longo da reta r de equações paramétricas da origem O até o ponto ( 1, 2, 4 ) , é
 F x, y, z x, y, xz y ,   
x t
r : y 2t ,
z 4t



  
 
C C
1
2
0
F d r x dx y dy xz y dz
t .dt 4t .dt 4t 2t .4dt
23
3,83
6
   
    
 
 
 


x t
x: 0 1
r : y 2t
t : 0 1
z 4t
dx dt
dy 2dt
dz 4dt
 
 




C
ds ,
4ª. Questão .
5ª. Questão . Num campo elétrico a taxa de variação das linhas de força , no 
ponto P ( 2, 1, - 1 ) , é dada por um número
6ª. Questão .
 
 
a par positivo b ímpar positivo
c par negativo d ímpar negativo




a x 2y z 1 0
b x 2y z 1 0
c 2x y 2z 2 0
d 2x y 2z 2 0
   
   
   
   
O campo de velocidade será irrotacional
quando o valor do parâmetro p pertencer ao intervalo
     3 2 2v x, y,z z p x y , 2 p x , p 1 x z     
     
     
a 2, 2 b 1, 3
c 2, 5 d 1, 3
 
A equação cartesiana do plano tangente à superfície f (x, y, z) = x²+ y² + z² - 6x – 6y + 2z + 10 = 0 , no
ponto P ( 1, 2, 1) , é
     2 x 1 1 y 2 2 z 1 0
ou
2x y 2z 2 0
     
   
 P 1, 2, 1
       
  n
f x, y, z 2x 6 i 2y 6 j 2z 2 k
f 1, 2, 1 4 i 2 j 4 k v 2, 1, 2
      
         
  2E x, y, z 3x , 5y z, 2x z ,   
   
   
   
3 2 2
2 2
2
i j k
rot v v 0
x y z
z pxy 2 p x p 1 x z
3z j 2x 2 p k px k z p 1 j 0
0, 4 p z , 4 p x 0, 0, 0 4 .p 0 p 4
  
    
  
  
     
       
 
 
2
2
E x, y, z 3x , 5yz, 2xyz
E , , 3x , 5yz , 2xyz
x y z
6 x 5z 2xy
E 2, 1, 1 12 5 4 21
   
  
      
  
  
     
7ª. Questão . Um cabo de arame metálico tem a forma da hélice cilíndrica espiralada de equações paramétricas 
Se a sua função densidade é sua massa em kg será ,
aproximadamente ,
x cos t
y sent , 0 t 2 .
z t


  

 x, y y .sen z kg / m , 
Parametrização:
x cos t dx sent .dt
C : y sent , 0 t 2 , dy cos t .dt
z t dz dt

    
    
   
 
2 2 2
2
C 0
2
2 2 2 2
0
2
2
2
0
0
dx dy dz
x, y .ds sent .sent . .dt
dt dt dt
sen t . sen t cos t 1 .dt
2 sent .cos t
2 sen t .dt t 2 4,44
2 2






     
       
     
  
 
     
 
 


 
 
a 1,40 b 2,12
c 3,38 d 4,44
 P x, y, z
d ) Num ponto qualquer de , o campo vetorial elétrico 
representa um solenoide .
V
 
b ) Dada a expressão podemos afirmar que a área da região plana 
limitada pela elipse vale , aproximadamente , 18,84 u. a.
c ) O campo vetorial de forças não constitui um
campo conservativo . 
2ª. Prova de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : Arnaldo Stochiero Nota :
30/outubro/2013 
Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- A segunda questão deve ser desenvolvida nesta página . As demais, na folha de rascunho anexa .
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução da prova
No espaço entre parênteses, anotar se a sentença é verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) :
F
F
 
 V 
 
1ª. Questão .
( 4 pontos )
2ª. Questão .
( 6 pontos )
> restart : with (linalg) : with(plots) :
curva(1):= [ x, 0, x = 0..2 ] ;
curva(2):= [ x, 2-t, x = 0..0 ] ;
curva(3):= [ x, x/2, x = 2..0 ] ;
vf:= [ x^2+2*y, 4*x-3*y ] ; # Campo vetorial 
F:= fieldplot ( vf, x=0..2.5, y=0..1.5 ) : 
# Gráfico do campo vetorial
G1:= plot (curva(1)) :
G2:= plot (curva(2)) :
G3:= plot (curva(3)) :
display ( { F,G1,G2,G3 } ) ; 
# Gráficos simultâneos
Int ( Int ( 2, y = 0..x/2 ), x = 0..2 ) ;
evalf (%, 2) ;
Resolução . 
   2
2
i j k
F x 2y i 4x 3y j rot F F 2 k
x y z
x 2y 4x 3y 0
  
        
  
 
O campo de forças desloca uma partícula ao longo da trajetória trian-
gular fechada, tal como mostra a figura . Utilizando a expressão vetorial do teorema de Green , calcular o 
trabalho realizado, em joules .
   2F x 2y i 4x 3y j   
X
Y
0  2, 0
x: 0 2
1
y: 0 x
2

 

 2, 1
R
1C
2C
3C
região R :
Então,
C
D
x
2
2
0 0
D
2
0
2
2
0
W F d r rot F k dA
2 .dA 2 .dy .dx
x
2 dx
2
x
W 2 J
2
 
 
 
  
 
  

2.
 2 3 2E xy i x y j 2 y z k   
2 2 3 3 2F 3x y z i 2x y z j x y k  
3
C
1
A x dy y dx ,
2
 
2 24x 9 y 36 0  
a ) Sendo a função então  2 3f x, y,z x y z ,  f 0 .  
.
3ª. Questão .
 
 
a 2,7 b 1,54
c 2,28 d 3,83
 
a
b 
c
d
4ª. Questão .
5ª. Questão . Num campo elétrico a taxa de variação das linhas de força , no 
ponto P ( 2, 1, - 1 ) , é dada por um número
6ª. Questão .
 
 
a ímpar positivo b par positivo
c par negativo d ímpar negativo




a x 2y z 1 0
b 2x y 2z 2 0
c 2x y 2z 2 0
d x y 2z 1 0
   
   
   
   
As 5 (cinco) questões seguintes são objetivas, valendo 4 (quatro) pontos cada uma . 
- Utilizando a folha anexa para os cálculos, assinalar as soluções no quadro abaixo :
O campo de velocidade será irrotacional
quando o valor do parâmetro p pertencer ao intervalo
     3 2 2v x, y,z z p x y , 2 p x , p 1 x z     
     
     
a 2, 2 b 2, 5
c 1, 3 d 1, 3


Dado o campo vetorial o valor aproximado da integral de linha 
ao longo da reta r de equações paramétricas da origem O até o ponto ( 1, 2, 4 ) , é
 F x, y, z x, y, xz y ,   
x t
r : y 2t ,
z 4t



C
ds ,
A equação cartesiana do plano tangente à superfície f (x, y, z) = x² + y² + z² - 6x – 6y + 2z + 10 = 0 , no
ponto P ( 1, 2, 1) , é
 P 1, 2, 1
  2E x, y, z 3x , 5y z, 2x z ,   
7ª. Questão . Um cabo de arame metálico tem a forma da hélice cilíndrica espiralada de equações paramétricas 
Se a sua função densidade é sua massa em kg será ,
aproximadamente ,
x cos t
y sent , 0 t 2 .
z t


  

 x, y y .sen z kg / m , 
 
 
a 1,40 b 2,82
c 4,44 d 5,18
 P x, y, z
3ª. Prova de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : Arnaldo Stochiero Nota :
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução da prova
1ª. Questão .
( 6 pontos )
Resolução . 
2ª. Questão .
( 6 pontos )
Utilizando o Teorema de Gauss (da divergência), calcular o fluxo do campo vetorial 
através da superfície cilíndrica de revolução S : y² + z² = 1 , 
limitada pelos planos x = 0 e x = 2 .
S
F F n dS  
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


coordenadas cilíndricas
O campo vetorial configura uma fonte .
     F x z i y z j x y k     
S R
2 1 2
0 0 0
2 1
0 0
2
0
F n dS F dV
2 r dx dr d
4 r dr d
2 d
4







 




 
  
 

Como resulta :
     x z y z x y
F 2
x y z
,
     
    
  
ou F 12,56 
Valendo-se do mesmo teorema da questão anterior, calcular a carga eletrostática contida na região fechada S 
limitada pelo cilindro x² + y² = 9 e pelos planos z = 0 e z = 8 , no primeiro octante . Sabe-se que o campo 
elétrico é e a carga é expressa por (Lei de Gauss) . 
Resolução :
 E 6 z i 2x y j x k     0
S
Q E n dS 
X
0 
Y 
Z 

r
( 3, 0, 0 )
( 0, 3, 0 )
( 0, 0, 8 )
 0 0
S R
Q E n dS E dV    
Teorema da divergência
: 0
2
R : r : 0 3
z : 0 8







 
Como resulta :
     6 z 2x y x
E 1
x y
,
z
    
    
  
3 8
2
0 0
0 0 0
Q r dz d .r d Q 18

       
0 : coeficiente de permissividade do espaço livre
E : campo elétrico



Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- As questões devem ser desenvolvidas nestas duas folhas, acomodadas nos respectivos espaços .
27/novembro/2013 
4ª. Questão .
( 6 pontos )
Resolução . 
2 2
2 yf 2x i j 2x
n n i
4 y 1f 4x 1 4x 1
 
    
  
X
Y
Z
 1, 0, 0
 0, 1, 0
 0, 0, 1
y zS
0
 
2
2 2
F y i y j k
S : y x ou f x, y, z x y
   

  
2
i j k
F 2y k
x y z
y y 1
  
   
  

 
C
S
2 2
S
S
W F d r F n dS
2x 1
0, 0, 2y , , 0 dS
4x 1 4x 1
0 dS
W 0 .
  

 
 

 
 


Então,
Utilizar o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de 
forças sendo C o bordo da superfície y = x² , limitada pelos 
planos z = 0 , z = 1 e y = 1 , no primeiro octante . - Projetar a superfície no plano YOZ .
  2F x, y, z y i y j k ,  
C
W F d r 
3ª. Questão .
( 6 pontos )
O funil cônico da figura apresenta densidade Mediante uma integral de 
superfície, com projeção ortogonal , e as coordenadas polares, determinar seu momento de inércia
em torno do eixo OZ . - Sabe-se que tal momento de inércia é dado por 
  2x, y, z 2 kg / m . 
O funil tem densidade constante, sua massa é uniformemente distribuída :
X YS
X
Y
Z
0
superfície cônica de revolução
( 2, 0, 0 )

r
2 2z x y , 0 z 2   
( 0, 2, 0 )
( 0, 0, 2 )  
  2 2
x, y, z 2
z g x, y x y
 


   
Projetando a superfície cônica no plano XOY e aplicando o sistema polar :

2
2 2
r
: 0 2
z x y r
r : 0 2
 


   

   
XY XY
22
2 2 2
OZ
S S
2
2 2
2
0 0
2
O Z
z z
I x y x, y, z dS r 2 1 dA
x y
2 r r dr d
16
I 50,26 kg .m .





   
      
    


 
 
 
Resolução .
   
X Y
2 2
OZ
S
I x y x, y, z dS . 
5ª. Questão .
( 6 pontos )
Resolução .
A figura mostra o escoamento de um líquido para fora do condutor cilíndrico, com a velocidade 
Determinar a taxa de variação desse escoamento, sendo a superfície S do condutor limitada por
- Utilizar o sistema MKS e lembrar que a taxa de variação solicitada ( volume do líquido que escoa, por 
unidade de tempo ) significa, numericamente, o fluxo do campo de velocidade através da superfície 
cilíndrica S . 
Aplicando o teorema de Gauss, teremos 
Y
0
: 0 2
R : r : 0 2
z : 0 5
 


   v x, y, z x y i x y j 2y z k .   
2 2x y 4 e 0 z 5 .   
X
coordenadas cilíndricas
v

r
(0, 2, 0)
(2, 0, 0)
(0, 0, 5) v
Z
S R
dv
v v n dS v dV
dt
    
   
     
v x, y, z x y i x y j 2y z k
x y x y 2y z
v
x y z
y 1 2y
1 3y 1 3.2sen
Aplicando as coordenadas cilíndricas:

   
   
   
  
  
   
 
 
 
 
 
2 2 5
0 0 0
2 2
0 0
2
0
2
0
3
dv
v 1 6 sen .r .dz .dr .d
dt
5 1 6 sen .r .dr .d
10 1 6 sen .d
10 6 cos
dv
10 2 6 6 20 62,83m / s
dt




  
 
 
 
 
  
 
 
 
     
  
 

O campo de velocidades é uma fonte .
Prova Substitutiva de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
Aluno(a) : Data : Turma : 1
Professor : Arnaldo Stochiero Nota :
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
- CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO -
4°. Período - Turno da Manhã
Resolução da prova
1ª. Questão .
( 6 pontos )
Resolução . 
2ª. Questão .
( 6 pontos )
Utilizando o Teorema de Gauss (da divergência), calcular o fluxo do campo vetorial 
através da superfície cilíndrica de revolução S : y² + z² = 1 , 
limitada pelos planos x = 0 e x = 2 .
S
F F n dS  
: 0 2
R : r : 0 1
x : 0 2
 


coordenadas cilíndricas
O campo vetorial configura uma fonte .
     F x z i y z j x y k     
S R
2 1 2
0 0 0
2 1
0 0
2
0
F n dS F dV
2 r dx dr d
4 r dr d
2 d
4







 




 
  
 

Como resulta :
     x z y z x y
F 2
x y z
,
     
    
  
ou F 12,56 
Valendo-se do mesmo teorema da questão anterior, calcular a carga eletrostática contida na região fechada S 
limitada pelo cilindro x² + y² = 4 e pelos planos z = 0 e z = 6 , no primeiro octante . Sabe-se que o campo 
elétrico é e a carga é expressa por (Lei de Gauss) . 
Resolução :
 E 3z i 2x y j y k     0
S
Q E n dS 
X
0 
Y 
Z 

r
( 2, 0, 0 )
( 0, 2, 0 )
( 0, 0, 6 )
 0 0
S R
Q E n dS E dV    
Teorema da divergência
: 0
2
R : r : 0 2
z : 0 6







 
Como resulta :
     3z 2x y y
E 0 1 0 ,1
x y z
    
       
  
2 6 2 6
2 2
0 0
0 0 0 0 0 0
0
Q r dz dr d r
.
dz dr d
Q 6
 
   
 
 
 
     
0 : coeficiente de permissividade do espaço livre
E : campo elétrico




Importante : Esta prova vale 30 ( trinta ) pontos , sendo permitido consultar o material escolar pessoal , 
observando-se , rigorosamente , os padrões de incomunicabilidade entre os colegas . 
- As questões devem ser desenvolvidas nestas duas folhas, acomodadas nos respectivos espaços .
03/dezembro/2013 
4ª. Questão .
( 6 pontos )
Resolução . 
2 2
2 yf 2x i j 2x
n n i
4 y 1f 4x 1 4x 1
 
    
  
X
Y
Z
 1, 0, 0
 0, 1, 0
 0, 0, 1
y zS
0
 
2
2 2
F y i y j k
S : y x ou f x, y, z x y
   

  
2
i j k
F 2y k
x y z
y y 1
  
   
  

 
C
S
2 2
S
S
W F d r F n dS
2x 1
0, 0, 2y , , 0 dS
4x 1 4x 1
0 dS
W 0 .
  

 
 

 
 


Então,
Utilizar o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de 
forças sendo C o bordo da superfície y = x² , limitada pelos 
planos z = 0 , z = 1 e y = 1 , no primeiro octante . - Projetar a superfície no plano YOZ .
  2F x, y, z y i y j k ,  
C
W F d r 
3ª. Questão .
( 6 pontos )
O funil cônico da figura apresenta densidade Mediante uma integral de 
superfície, com projeção ortogonal , e as coordenadas polares, determinar seu momento de inércia
em torno do eixo OZ . - Sabe-se que tal momento de inércia é dado por 
  2x, y, z 2 kg / m . 
O funil tem densidade constante, sua massa é uniformemente distribuída :
X YS
X
Y
Z
0
superfície cônica de revolução
( 3, 0, 0 )

r
2 2z x y , 0 z 3   
( 0, 3, 0 )
( 0, 0, 3 )  
  2 2
x, y, z 2
z g x, y x y
 


   
Projetando a superfície cônica no plano XOY e aplicando o sistema polar :

2
2 2
r
: 0 2
z x y r
r : 0 3
 


   

   
XY XY
22
2 2 2
OZ
S S
2
2 3
2
0 0
2
O Z
z z
I x y x, y, z dS r 2 1 dA
x y
2 r r dr d
81
I 254,47 kg .m .





   
      
    


 
 
 
Resolução .
   
X Y
2 2
OZ
S
I x y x, y, z dS . 
5ª. Questão .
( 6 pontos )
Resolução .
A figura mostra o escoamento de um líquido para fora do condutor cilíndrico, com a velocidade 
Determinar a taxa de variação desse escoamento, sendo a superfície S do condutor limitada por
- Utilizar o sistema MKS e lembrar