REGRAS DE LIMITES

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PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS LIMITES: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒌 = 𝒌 ou 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒌 . 𝒂 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑘 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. (Diferente da derivação, nos LIMITES uma constante isolada 
não sofre alterações pois os valores estimados para X, Y, Z ... somente afetam estas variáveis). 
Ex1.: lim
𝑥→10
3 = 3 → não há X para substituir, portanto o valor do limite será a própria constante (k). 
Ex2.: lim
𝑥→10
3𝑥 = 3 . 10 → Mesmo havendo X para substituir, os valores definidos pelo LIMITE, devem ser aplicados 
somente a ele, não havendo alterações na constante (k). 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = [𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)] ± [𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)] ; Ex.: lim
𝑥→2
 𝑥2 + 3𝑥 − 5 = [lim
𝑥→2
𝑥2] + [lim
𝑥→2
𝑥] − [lim
𝑥→2
5] 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[𝒇(𝒙) . 𝒈(𝒙)] = [𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)] . [𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)] ; Ex.: lim
𝑥→𝑎
[𝑥3. 8 ] = [lim
𝑥→𝑎
𝑥3] . [lim
𝑥→𝑎
8] 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
√𝒇(𝒙) = √𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) ; Ex.: lim
𝑥→2
√𝑒𝑥
2
= √lim
𝑥→2
𝑒𝑥2 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
] = 
[𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)]
[𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)]
 ; Ex1.: lim
𝑥→3
[
4−𝑥2
2+𝑥
] = 
lim
𝑥→3
4−𝑥2
lim
𝑥→3
2+𝑥
 ; Ex2.: lim
𝑥→2
[
3𝑥2−6
2𝑥+4
] = lim
𝑥→2
3(𝑥2−6)
2(𝑥+2)
= 
3
2
 .
lim
𝑥→2
𝑥2−6
lim
𝑥→2
𝑥+2
 
(OBS.: DIVISÃO POR ZERO É UMA DIVISÃO INDEFINIDA. TENDE A ±∞) 
INDETERMINAÇÕES MATEMÁTICAS 
Quando há indeterminação matemática (
0
0
 ,
±∞
±∞
 , ∞ − ∞, 1∞, 0∞, ∞0, 0 . ±∞), se faz necessário utilizar técnicas para 
encontrar o valor de um limite. IMPORTANTE: SEMPRE CONFERIR SE HÁ INDETERMINAÇÃO ANTES DE APLICAR AS 
PROPRIEDADES ABAIXO. 
LIMITES LATERAIS: todos os valores definidos pelo limite tendem a um valor + (positivo) ou – (negativo). Portanto, 
para todas as situações comuns que resultam em indeterminação, é possível aplicar os limites laterais. 
Ex.: lim
𝑥→4
𝑥+1
𝑥2−6𝑥+8
= 
5
0
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 → 4− = − ∞; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 → 4+ = +∞ -4 4 +4 
 
LIMITES COM POLINÔMIOS: tendem sempre a ±∞. 
lim
𝑥→±∞
𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑢
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑢
= ±∞ ; lim
𝑥→±∞
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑢
𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑢
= 0 ; lim
𝑥→±∞
𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑢
𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑢
= dividir todos pelo 
termo de maior grau 
 Limites com radicais. Ex.: RACIONALIZAÇÃO lim
𝑥→1
𝑥−1
√𝑥−1
= 
𝒙−𝟏
√𝒙−𝟏
 .
√𝒙+𝟏
√𝒙+𝟏
= 
(𝒙−𝟏) . (√𝒙+𝟏) 
𝒙−𝟏
= √𝒙 + 𝟏 
 DESRACIONALIZAÇÃO lim
𝑥→0
√𝑥+4−2
𝑥
=
√𝒙+𝟒−𝟐
𝒙
 .
√𝒙+𝟒+𝟐
√𝒙+𝟒+𝟐
= 
𝒙 + 𝟒 − 𝟒 
𝒙 . (√𝒙+𝟒+𝟐)
= 
𝟏
√𝒙+𝟒+𝟐
 
 
LIMITES COM L’HÔPITAL: consiste em 
aplicar uma derivação para obter o valor de 
um limite, o qual possuía um resultado 
indeterminado. 
 
LIMITES 
𝒇(𝒂)
𝒈(𝒂)
 
≠𝟎
≠𝟎
 → 
𝒇(𝒂)
𝒈(𝒂)
; EX.: lim
𝑥→2
𝑥2+𝑥−2
𝑥+3
= 
4
5
 ; 
𝒇(𝒂)
𝒈(𝒂)
 
=𝟎
≠𝟎
 → 0; EX.: lim
𝑥→4
𝑥2−3𝑥−4
𝑥+2
= 
0
6
= 0 ; 
𝒇(𝒂)
𝒈(𝒂)
 
≠𝟎
=𝟎
 → ±∞ 
QUANDO
UTILIZAR 
 JOGO DE SINAIS COM ∞ 
lim 𝑓(𝑥) lim 𝑔(𝑥) operação resultado 
±∞ ±∞ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ±∞ 
+∞ +∞ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) indeterminado 
+∞ 𝑘 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) +∞ 
−∞ 𝑘 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) −∞ 
+∞ +∞ 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) +∞ 
+∞ −∞ 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) −∞ 
+∞ 𝑘 > 0 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) +∞ 
+∞ 𝑘 < 0 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) −∞ 
±∞ 0 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) indeterminado 
𝑘 ±∞ 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) 0 
±∞ ±∞ 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) indeterminado 
𝑘 > 0 0+ 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) +∞ 
+∞ 0+ 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) +∞ 
𝑘 > 0 0− 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) −∞ 
+∞ 0− 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) −∞ 
0 0 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) indeterminado