UNIDADE V - A RETA

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Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
A Reta 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. João Dimas Saraiva dos Santos
Revisão Técnica:
Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Profa. Esp.Vera Lídia de Sá Cicarone
5
• Equação Vetorial da Reta
• Equações Paramétricas da Reta
• Reta Definida por Dois Pontos
A partir de agora, estudaremos a reta com foco nas equações paramétricas de retas nos 
espaços bi e tridimensionais. No espaço tridimensional, as equações paramétricas de retas 
são especialmente importantes, pois fornecem, quase sempre, a forma mais conveniente de 
representação algébrica de retas. 
As retas representadas em um plano cartesiano podem ser equacionadas nas formas geral, 
reduzida ou paramétrica. Equações paramétricas são equações que representam uma mesma 
reta por meio de uma incógnita em comum, chamada de parâmetro. O parâmetro, que aqui 
designaremos pela letra “t”, faz uma ligação entre duas ou mais equações. 
Cabe enfatizar que a Geometria Analítica estuda as formas geométricas do ponto de vista 
da Álgebra Linear. 
Nosso objeto de estudo “vetores” foi, ao longo das unidades, ampliando-se e os temas inter-
relacionando-se de tal modo que se torna impossível prosseguir os estudos sem ter tido uma 
boa assimilação de conceitos anteriores. Afinal, a construção do conhecimento realiza-se 
também por “avanços e retrocessos”. 
Neste momento, estudaremos a reta, tema que agregará 
informações importantes à complementação do estudo da 
Álgebra Vetorial que, aliada à Álgebra Linear, dará mais 
consistência ao que se estudou até este ponto.
A unidade tem por objetivo não apenas conceituar a 
Equação vetorial da reta, mas também estudar as aplicações 
de conceitos correlatos.
A Reta 
• Retas Paralelas aos Eixos coordenados
• Ângulo de Duas Retas
• Retas Ortogonais
6
Unidade: A Reta
Contextualização
Nesta unidade, vamos aprofundar nosso trabalho com vetores tendo como foco o estudo da reta.
A Geometria Analítica surgiu com o intuito de algebrizar a geometria, adotando métodos que 
visam à resolução de vários problemas. Na Geometria Analítica, as figuras geométricas têm suas 
propriedades analisadas e estudadas com base em cálculos algébricos. 
Vamos obter, por meio de conceitos algébricos e geométricos, a equação geral da reta, uma 
vez que o nosso objeto de estudo nesse momento é a reta.
Observe a figura a seguir que ilustra uma reta r que passa pelos pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e 
P(x, y). Sabemos que uma reta é constituída por pontos colineares, ou seja, pontos alinhados. 
Nosso objetivo é criar uma equação, utilizando a Geometria Analítica, que generalize uma 
reta no espaço. Isso pode ser feito utilizando-se o princípio do alinhamento de pontos por meio 
do determinante de uma matriz. 
Sabemos que os pontos estarão alinhados se, e somente se, o determinante for zero. 
Dessa forma, vamos montar a matriz representativa das coordenadas dos pontos com base 
no gráfico dessa reta.
( ) ( ) 
1
1 1
1 1 
1 1
1
 ) 1 0
A A A A
A A
B B B B
B B
A B A B A B B A
x y
y x x y
x y x y
y x x y
x y
y y y x x x y x y
= − +
− − − + − =x y y y x x x y x yA B A B A B B A−( ) − −( ) + −( ) =1 0
Que pode ser escrito:
xyA - xyB - xAy + xBy + xAyB - xByA = 0 
Acompanhe uma aplicação imediata do que se discutiu acima:
Vamos verificar que os pontos A(1, -2), B(3, -1) e P(7, 1) estão alinhados.
 » As coordenadas do ponto A são: xA = 1 e yA = -2
 » As coordenadas do ponto B são: xB = 3 e yB = -1
 » As coordenadas do ponto P são: x = 7 e y = 1.
7
Substituindo esses valores em xyA - xyB - xAy + xBy + xAyB - xByA = 0, temos:
7(-2) – 7(-1) – 1(1) + 3(1) + 1(-1) – 3(-2) = -14 + 7 – 1 + 3 - 1 + 6 = 0. Como o 
determinante desses pontos deu zero, isso significa que eles estão alinhados. 
O exposto acima torna claro o entrosamento entre a Geometria Analítica e a Álgebra Linear. É 
isso que ocorre quando estudamos a Geometria Analítica, que é a fusão da Geometria e da Álgebra. 
A Geometria Analítica tem, entre suas características, a realização de conexões entre a 
Geometria e a Álgebra, pois, por exemplo, permite compreender as soluções de um sistema 
linear de duas incógnitas por meio de retas em um plano, ou seja, permite representar, por meio 
de uma equação, uma figura bi ou tridimensional. 
Os detalhes e esclarecimentos sobre o tema estão expostos no decorrer da unidade. 
Esteja atento(a)!
8
Unidade: A Reta
Equação Vetorial da Reta
Seja um ponto A(x1, y1, z1) e um vetor não-nulo ( )a, b, cv =

. Existe apenas uma reta r que 
passa por A tem direção de ( )a, b, cv = . Um ponto B(x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor AB

 
for paralelo a ( )a, b, cv = , conforme Figura 5.1, abaixo. 
Isso significa dizer que AB

 = a ( )a, b, cv = para algum número real a. Disso decorre que B – A = a ( )a, b, cv = 
ou B = t ( )a, b, cv = + A. Descrevendo em coordenadas, teremos 
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + a(a, b, c).
Qualquer uma dessas equações AB

 = t ( )a, b, cv = , B – A = t ( )a, b, cv = ou B = t ( )a, b, cv = + A é denominada 
equação vetorial de r.
 O vetor ( )a, b, cv = é chamado vetor diretor da reta r, e t é denominado parâmetro. 
Atividade
A reta r que passa por A(2, -1, 3) e tem a direção de ( )a, b, cv = = (4, 1, 2) tem equação vetorial (x, 
y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c).
Resolução:
r: (x, y, z) = (2, -1, 3) + t(4, 1, 2) em que (x, y, z) representa um ponto qualquer de r. Se 
quisermos obter pontos de r, devemos atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, tem-
se (x, y, z) = (2, -1, 3) + 1(4, 1, 2) = (2, -1, 3) + (4, 1, 2) = (6, 0, 5) e, então, B1= (6, 0, 5) 
pertencente a r.
Para a = 2, teremos (x, y, z) = (2, -1, 3) + 2(4, 1, 2) = (2, -1, 3) + (8, 2, 4) = (10, 1, 7) e, 
portanto, B2=(10,1,7) pertencente a r. 
Para a = 0, teremos o próprio ponto A(2, -1, 3).
Para a = -1, teremos (x, y, z) = (2, -1, 3) + (-1)(4, 1, 2) = (2, -1, 3) + (-4, -1, -2) = (-2, -2, 
1); então B_3 = (-2, -2, 1). Se a assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos 
pontos da reta. 
Na Figura 5.2 abaixo, temos a representação dos pontos obtidos com seus respectivos parâmetros. 
9
De acordo com B = t ( )a, b, cv = + A, temos:
B1 = (1) ( )a, b, cv =

 + A; B2 = (2) ( )a, b, cv =

 + A; B3 = (-1) ( )a, b, cv =

 + A; A = (0) ( )a, b, cv = + A
Equações Paramétricas da Reta
Da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) ou, ainda, (x, y, z) = (x1+at, 
y1+bt, z1+ ct), aplicando a condição de igualdade, temos
1
1
1
 
 
 
x x at
y y bt
z z ct
= +
 = +
 = +
Essas três equações são denominadas equações paramétricas da reta.
Atividade:
Dados o ponto A(1, -2, 4) e o vetor ( )a, b, cv = = (-3, -2, 1), pede-se:
a. Escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de ( )a, b, cv = .
b. Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t= 2 e t= 3, respectivamente.
c. Determinar o ponto de r cuja abscissa é 11.
d. Verificar se os pontos D(-6, -8, 6) e E(-11, -10, 8) pertencem a r.
e. Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 4, n) pertence a r.
f. Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r.
10
Unidade: A Reta
g. Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(3, 2, -5) e é paralela a r. 
h. Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y. 
Resolução
a. De acordo com as equações paramétricas da reta, temos,
 por consequência, 
1 3
2 2 
 4 
x t
y t
z t
= −
 = − −
 = +
b. Das três equações acima, temos
para t = 2, 
( )
( )
( )
1 3 2
2 2 2 
 4 2
x
y
z
= − = − −
 = +
, logo B(-5, -6, 6) pertence a r;
para t = 3, 
( )
( )
( )
1 3 3
2 2 3 
 4 3
x
y
z
= −
 = − −
 = +
, logo C(-8, -8, 7) pertence a r
c. Como o ponto tem abscissa 3 (x = -11), temos
x = 1 – 3t ⇒ -11 = 1 – 3t ⇒ 3t = 12 ⇒ t = 4
Para t = 4, 
1 3
2 2 
 4 
x t
y t
z t
= −
 = − −
 = +
 ~ 
( ) ( )
( )
( )
1 3 4 11 
2 2 4 10
 4 4 8
x comprovação
y
z
= − =−
 = − − =−
 = + =
 
O ponto procurado é D(-11, -10, 8)
d. Um ponto pertence à reta r se existir um real t que satisfaz as equações de r.
Para D(-6, -8, 6), 
76 1 3 3 7 1 3 3
2 2 8 2 2 3
 4 6 4 2
t t tx t
y t t t
z t t t
− = − ⇒ = ⇒ == −
 = − − ⇒ − = − − ⇒ =
 = + = + ⇒ =
O resultado de t deveria ser o mesmo nas três equações, logo D ∉ r.
11
Para E(-11, -10, 8), 
11 1 3 4
10 2 2 4
8 4 4
t t
t t
t t
− = − ⇒ =
− = − − ⇒ =
 = + ⇒ =
 
t assume o mesmo valor nas três equações, logo E ∈ r.
e. Como F ∈ r, as equações 
1 3 1 3
2 2 ~ 4 2 2 
 4 4 
x t m t
y t t
z t n t
= − = − 
 = − − = − − 
 = + = + 
 verificam-se para algum real t. 
De 4 = -2 - 2t ⇒ 2t = -2 - 4 ⇒ t = -3 e, portanto,
m = 1 – 3 (-3) = 10 
n = 4 + (-3) = 1
f. Vamos considerar o ponto B(-5, -6, 6) do item c) e o vetor diretor - ( )a, b, cv = = - (-3, -2, 1) = (3, 2, -1)
1
1
1
 
 
 
x x at
y y bt
z z ct
= +
 = +
 = +
 , então r: 
 5 3
 6 2 
 6
x t
y t
z t
=− +
 = − +
 = −
Para o ponto C(-8, -8, 7) e o vetor diretor 2 = 2(-3, -2, 1) = (-6, -4, 2)
1
1
1
 
 
 
x x at
y y bt
z z ct
= +
 = +
 = +
, então r: 
 8 6
 8 4 
 7 2
x t
y t
z t
=− −
 = − −
 = +
g. Como s // r, os vetores diretores de s são os mesmos de r. Para ( )a, b, cv = = (-3, -2, 1),
tem-se s: 
 3 3
 2 2 
 5 
x t
y t
z t
= −
 = −
 =− +
h. Como a reta t é paralela ao eixo dos y, um de seus vetores diretores é 
( )0,1 , 0j =

. Logo, t: 
( )
( )
( )
 3 0 3
 2 1 2
 5 0 5
x t
y t t
z t
= + =
 = + = +
 =− + =−
12
Unidade: A Reta
Reta Defi nida por Dois Pontos
Uma reta definida pelos pontos A e B é uma reta que passa por A ou por B e tem a direção 
do vetor ( )a, b, cv = = AB

. 
Atividade:
Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, -3, 1) e B(2, 1, 4).
Resolução:
Primeiro temos que obter o vetor ( )a, b, cv = , escolhendo o ponto A e o vetor ( )a, b, cv = = AB

 = B – A = (2, 
1, 4) – (3, -3, 1) = (-1, 4, 3)
1
1
1
 3
: ~ : 3 4 
 1 3
x x at x t
r y y bt r y t
z z ct z t
= + = − 
 = + = − + 
 = + = + 
Equações Paramétricas de um Segmento de Reta
Vamos considerar a reta r da atividade anterior e, nela, o segmento AB (com origem em A e 
extremidade em B), conforme a Figura 5.3.
As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r, porém, com 0 ≤ t 
≤ 1, isto é, 
[ ]
 3
: 3 4 
1 3 , 0,1 
x t
r y t
z t t
 = −
 = − +
 = + ∈
Observamos que, para t = 0, temos o ponto A e, para t = 1, temos o ponto B e, para t entre 
0 e 1, temos os pontos entre A e B. 
Se considerarmos o segmento BA, a fim de manter o mesmo intervalo de variação de t, para 
ponto vamos tomar o B e para vetor diretor BA

= A – B = 
13
(1, -4, -3). Logo, 
[ ]
 2
1 4 
 4 3 , 0,1 
x t
y t
z t t
 = +
 = −
 = − ∈
Observe que as equações vetoriais dos segmentos AB e BA com 0 ≤ t ≤ 1, são P = A + t(B 
– A) e P = B + t(A – B), respectivamente, em que 
P(x, y, z) representa um ponto qualquer do segmento. 
Observação: A equação P = A + t(B – A) também pode ser expressa de modo equivalente 
por P = tB + (1 – t)A
Equações Simétricas da Reta
Das equações paramétricas x = x1+ at, y = y1+bt e z = z1+ ct, supondo abc ≠ 0, isolando 
t em cada uma das três equações, vem 
1x xt
a
−
= , 1
y yt
b
−
= e 1
z zt
c
−
=
Como, para cada ponto da reta, corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades 
( 1 1 1 x x y y z za b c
− − −
= = ). Essas equações são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo 
ponto A(x1, y1, z1) e tem direção ( )a, b, cv =

=(a,b,c).
Atividade
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(2, 0, -4) e tem a direção 
do vetor ( )a, b, cv ==(4,4,-2).
Resolução:
Para a resolução devemos observar que do vetor ( )a, b, cv = (4, 4, –2) temos a = 4, b= 4 e c = –2, e 
de A (2, 0, –4) temos respectivamente A (x, y, z) então substituindo:
1 1 1 2 4 
4 4 2
x x y y z z x y z
a b c
− − − − +
= = ⇒ = =
−
Para obtermos outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. 
Por exemplo, para x = 4, teremos 
4 2 1 4 
4 2 4 2
y z− +
= = =
− . Resolvendo as equações 
1 4 
2 4 4 2
y y ze += =
−
, 
obtemos y = 2 e z = –5. Portanto, o ponto (4, 2, -5), a partir da escolha de x – 4, pertence à reta.
14
Unidade: A Reta
Equações Reduzidas da Reta
Em benefício da praticidade, vamos tomar um caso particular, em vez de generalizar. 
Seja a reta r definida pelo ponto A(1, -3, -4) e pelo vetor diretor ( )a, b, cv = = (1, -2, 3) e expressa 
pelas equações simétricas r: 1 3 4 
1 2 3
x y z− + +
= =
−
.
A partir dessas equações, podem-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando, 
em primeiro lugar, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtemos
 ( ) ( )1 3 1 3 2 – 1 3 2 2 2 1 
1 2
x y y x y x y x− += ⇒ + = − ⇒ + = − + = − −
−
( ) ( )1 4 1 4 3 – 1 4 3 – 3 3 – 7
1 3
x z z x z x z x− += ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =
As equações y = -2x - 1 e z = 3x – 7 são equações reduzidas da reta, na variável x. 
Observações
a) É fácil verificar que todo ponto P ∈ r é do tipo P(x, -2x – 1, 3x – 7), em que x pode assumir 
um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3, tem-se o ponto P1 = (3, -7, 2) ∈ r.
b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma 
y mx n
z px q
= +
 = +
.
c) Com procedimento idêntico, a partir das equações 
1 3 
1 2
x y− +
=
−
 e 
1 3 
1 2
x y− +
=
−
, podemos 
obter as equações reduzidas na variável y. Assim:
1 3 2 2 3 2 1
1 2
x y x y x y x− += ⇒ − + = + ⇒ − = + ⇒
−
3 4 2 17 3 9 2 8 3 2 17 
2 3 3 3
y z y z y z y z+ += ⇒ + =− − ⇒ =− − ⇒ =− −
−
ou também podemos obter as equações reduzidas na variável z:
1 4 1 7 3 3 4 3 7 
1 3 3 3
x z x z x z x z− += ⇒ − = + ⇒ = + ⇒ = +
 
3 4 2 17 3 9 2 8 3 2 17 
2 3 3 3
y z y z y z y z+ += ⇒ + =− − ⇒ =− − ⇒ =− −
−
 
15
d) A reta r: 
1 3 4 
1 2 3
x y z− + +
= =
−
 = t, pode ser representada pelas equações paramétricas 
(x-1)/1=t 1 3 4 1 ; 3 2 4 3
1 2 3
x y zt x t t y t t z t− + += ⇒ = + = ⇒ =− − = ⇒ =− +
−
1
 3 2
 4 3
x t
y t
z t
= +
 =− −
 =− +
Da primeira equação x=1+ t, temos t = x – 1, que, substituindo nas outras duas, as transforma 
em y = -3 – 2(x – 1) = -2x - 1e z = -4 + 3(x – 1) = 3x – 7, que são as equações reduzidas de 
r: 1 3 4 
1 2 3
x y z− + +
= =
−
.
e) Para encontrar um vetor diretor da reta r:
 2 1
3 7
y x
z x
=− −
 = −
, uma das formas é determinar dois 
pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o vetor AB

= B - A. Por exemplo, 
para x = 0, obtemos o ponto A(0, -1, -7) e, 
para x = 1, obtemos o ponto B(1, -3, -4).
Então, AB

 = B - A = (1, -3, -4) - (0, -1, -7) = (1, -2, 3) é um vetor diretor de r. 
Outra maneira seria isolar a variável x nas duas equações, obtendo-se, desse modo, equações 
simétricas de r:
Isolar x em 
1 2 1 2 1 
2
yy x x y x +=− − ⇒ − − = ⇒ =
−
Isolar x em 7 3 73 7 
3
zz x x z x += − ⇒ = + ⇒ = . Isso nos leva a 
1 7 
1 2 3
x y z− − +
= = em que a leitura do vetor diretor (1, - 2, 3) é imediata. 
Retas Paralelas aos Planos Coordenados
Uma reta é paralela a um plano xOy, xOz ou yOz se seus vetores diretores forem paralelos ao 
correspondente plano. Nesse caso, um dos componentes do vetor é nulo. 
A Figura 5.4 mostra a reta r (r//xOy), que passa pelo ponto A(-1, 2, 4) e tem vetor diretor 
( )a, b, cv ==(2,3,0) (o terceiro componente é nulo porque ( )a, b, cv = // xOy).
16
Unidade: A Reta
Um sistema de equações paramétricas de r é:
 1 2
 2 3
4
x t
y t
z
=− +
 = +
 =
Observação:
Como todos os pontos de r são do tipo (x, y, 4), isto é, são pontos de cota 4, todos eles 
distam 4 unidades do plano xOy e, por isso, r//xOy. Por outro lado, sendo P1 (x1, y1, 4) e P2 
(x2, y2, 4) pontos distintos de r, o vetor diretor 1 2 PP

 = (x2- x1, y2- y1, 0) sempre terá o terceiro 
componente nulo. 
Comentário análogo é feito para os casos em que uma reta é paralela aos outros dois eixos. 
A Figura 5.5, abaixo, mostra a reta r que passa por A(1, 5, 3) e é paralela ao vetor ( )a, b, cv ==(-1,0,2) 
e, portanto, 
r: 
1 
 5
3 2
x t
y
z t
= −
 =
 = +
17
Retas Paralelas aos Eixos coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a i

=(1,0,0) ou j

=(0,1,0) ou a k

=(0,0,1). Desse modo, dois dos componentes do vetor são nulos. 
Atividade
Considere a reta r que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor ( )a, b, cv ==(0,0 3). Determine 
as equações representantes da reta r e faça o esboço gráfico da reta r, paralela ao eixo das 
cotas (Oz). 
Resolução:
2
 3
4 3
x
y
z t
=
 =
 = +
 
Para o caso particular de a reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se fazer uma 
simplificação, expressando as equações só pelas constantes. Para o caso particular acima, 
dizemos que as equações r são 3 
2
x
y
=
 =
subentendendo-se z variável livre que assume todos os valores reais. Na verdade, todos os 
pontos de r são do tipo (3, 2, z) e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta. 
As figuras 5.7 e 5.8 apresentam retas que passam por A (x1, y1, z1) e são paralelas aos 
eixos Oy e Ox, respectivamente. Logo, suas equações, já na forma simplificada, são 1
1
 
 
x x
z z
=
 =
 
e 1
1
 y
 
y
z z
=
 =
, respectivamente.
 
18
Unidade: A Reta
Observação
Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. Todos passam pela origem O(0, 0, 0) e têm a 
direção de i

, j

 ou k

, respectivamente. Logo suas equações são:
0
0,
y
z
=
 =
 
0
0,
x
z
=
 =
 e 
0
0,
x
y
=
 =
 nessa ordem.
Ângulo de Duas Retas
Sejam as retas r1 e r2 com as direções de ( )a, b, cv =

1 e ( )a, b, cv =

2, respectivamente (Figura 5.9).
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r_1e de um 
vetor diretor de r2. Logo, sendo θ esse ângulo, temos 
cosθ =
v v
v v
 
 
1 2
1 2
•
, com 0 ≤ θ ≤ 
2
π
 
Atividade
Calcule o ângulo entre as retas
1
3
:
 1 2
x t
r y t
z t
= +
 =
 =− −
 e 2
2 3: 
2 1 1
x y zr + −= =
−
Resolução:
Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são, respectivamente, 
19
( )a, b, cv = 1=(1, 1, -2) e ( )a, b, cv =

2=(-2, 1, 1). Aplicando a fórmula cosθ =
v v
v v
 
 
1 2
1 2
•
, teremos:
cos
, , , ,
θ =
−( ) • −( )
+ + −( ) −( ) + +
=
− + +
+ + +
1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1 1
2 1 2
1 1 4 42 2 2 2 2 2 11 1
3
6 6
3
6
1
2+
=
−
= =
Então, 
1 cos 60 
2 3
oarc radπθ  = = = 
 
Retas Ortogonais
Sejam as retas r1 e r2 com direções de ( )a, b, cv =

1 e ( )a, b, cv =

2, respectivamente. Então r1 ⊥ r2 ⇔ ( )a, b, cv =

1 ⦁ ( )a, b, cv =

2 =0 
Observação
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. As retas r1 e r2 são ortogonais a r. 
Porém r2 e r são concorrentes. Nesse caso, dizemos que são perpendiculares. 
Atividade
Verifique se as retas r1: 
 2 1
4 
y x
z x
=− +
 =
 e r2: 
3 2
4
x t
y t
z t
= −
 = +
 =
 são ortogonais.
Resolução:
Primeiro, devemos obter a partir de r1 e r2, ( )a, b, cv =

1 e ( )a, b, cv =

2. 
( )a, b, cv = 1= (1 -2, 4) e v ( )a, b, cv =

2=(-2, 1, 1) vetores diretores de r1 e r2.
( )a, b, cv = 1 ⦁ ( )a, b, cv =

2 = (1, -2 ,4) ⦁ (-2, 1, 1) = -2 -2 + 4 = 0. Portanto, as retas r1 e r2 são ortogonais.
20
Unidade: A Reta
Reta Ortogonal a Duas retas
Sejam as retas r1 e r2 não-paralelas, com direções de ( )a, b, cv =

1 e ( )a, b, cv =

2, respectivamente. Toda reta de r 
ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor ( )a, b, cv =

 tal que 
 
 
v v
v v
1 2
2
0
0
• =
• =



Em vez de tomarmos um vetor ( )a, b, cv = ≠0 como uma solução particular do sistema 
 
 
v v
v v
1 2
2
0
0
• =
• =



, 
poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é, ( )a, b, cv == ( )a, b, cv = 1 x ( )a, b, cv =

2.
Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos. 
Atividade
Determine equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto (2, 3, -2) e é ortogonal às 
retas r1: (x, y, z) = (0, 0 1)+ t(2, 3, -4) e r2: 
4
1
x
y t
z t
=
 =
 = −
Resolução:
As direções de são definidas pelos vetores ( )a, b, cv = 1=(2, 3 -4) e ( )a, b, cv =

2= (0, 1. -1). 
Então a reta r tem a direção do vetor ( )1 2
3 4 2 4 2 3
 2 3 4 1, 2, 2
1 1 0 1 0 1
0 1 1
i j k
v xv i j
− −
= − = − + =
− −
−
 
  
Logo, temos r: 
2
3 2
 2 2
x t
y t
z t
= +
 = +
 =− +
Intersecção de Duas Retas
Verifique se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determine o ponto de intersecção:
a) r1: 
6 2 
2 4
4 2
x h
y h
z h
= +
 = +
 = −
 e r2: 
10 6
6 4
8 2
x t
y t
z t
= +
 = − −
 = +
b) r1:
2 3
 
y x
z x
= −
 =−
 e r2: 4
2 2
x t
y t
z t
= −
 = −
 = +
c) r1:
3 2
 2 5 
y x
z x
= − +
 = −
 e r2: 
2 1 
2 6 4
x y z+ −
= =
−
 
Resolução:
Se existe um ponto I(x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas verificam todas as 
equações de r1 e r2, isto é, o ponto I é solução única do sistema formado pelas equações 
das duas retas. 
21
a) Vamos igualar as expressões em x, y e z nas equações de r1 e r2.
6 2 10 6 
2 4 6 4
4 2 8 2
h t
h t
h t
+ = +
 + =− −
 − = +
 ou 
( )
( )
( )
2 6 4 
 4 4 8 
2 2 4 
h t I
h t II
h t III
− =
 + =−
− − =
 
Vamos resolver o sistema de equações: primeiro, utilizaremos as equações (I) e (III). Somando 
as duas equações, temos:
( )
( )
2 6 4 
2 2 4 
h t I
h t III
− =
− − =
 ⇒ 2h + (-2h) – 6t + (-2t) = 4 + 4 ⇒ -8t = 8 ⇒ t=-1. 
Substituindo t=-1 em (I), vem: 2h - 6t = 4 ⇒ 2h -6 (-1) = 4 ⇒ h= -1.
Logo, h=t=-1 e, substituindo h=-1 nas equações de r, temos: 
r1: 
( )
( )
( )
6 2 6 2 1 4
 2 4 2 4 1 2
4 2 4 2 1 6
x h x
y h y
z h z
= + ⇒ = + − =
 = + ⇒ = + − =−
 = − ⇒ = − − =
Logo, o ponto de intersecção é I(4, -2, 6)
b) Substituindo x, y e z das equações de r2 nas equações de r1, obtemos o sistema 
4 2 3 7
 ~ 
2 2 2 2 
t t t
t t t
− = − − = − 
 + = =− 
Para que o sistema admitisse solução, o valor de t deveria ser o mesmonas duas equações. 
Logo, r1 e r2 não são concorrentes. 
c) Note que ( )a, b, cv = 1 = (1, -3, 2) e ( )a, b, cv =

2= (2, -6, 4) são vetores diretores de r1 e r2, respectivamente, 
e que ( )a, b, cv = 2=2 ( )a, b, cv =

1. Concluímos que as retas são paralelas e não coincidentes. Acompanhe a 
resolução do sistema: 
( )a, b, cv = 1 x ( )a, b, cv =

2 = 
3 2 1 2 1 3
 1 3 2 0
6 4 2 4 2 6
2 6 4
i j k
i j k
− −
− = − + =
− −
−
 
 
22
Unidade: A Reta
Observações:
1) Se duas retas, como na atividade (a), se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão 
situadas no mesmo plano (Figura 5.11). Também são coplanares as retas paralelas da 
atividade (c) (Figura 5.12).
 
2) Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. É o caso da atividade (b) 
(Figura 5.13), pois as retas, além de não concorrentes, são não paralelas e, portanto, 
não coplanares. 
Atividades
1) Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(4, -6, 8) e B(2, -2, 4) 
e verificar se os pontos C(5; -8; 10) e D(-2, 6, 8) pertencem a r.
2) Dada a reta r:(x, y, z) = (-2, 1, 3) + t(2, 1, 0), escreva equações paramétricas de r.
Resoluções:
1) Vamos utilizar a representação geral da equação vetorial de r, que é 
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), então (x, y, z) = (4, -6, 8) + t(a, b, c).
(a, b, c) = AB

 = B – A = (2, -2, 4) – (4, -6, 8) = (-2, 4, -4)
Portanto, (x, y, z) = (4,-6,8) + t(-2, 4, -4). Vamos obter as equações paramétricas da reta r, 
que são r: 
4 2
6 4
 8 4
x t
y t
z t
= −
 = − +
 = −
Vamos substituir as coordenadas do ponto C(5; -8; 10) em r: 
4 2
 6 4
 8 4
x t
y t
z t
= −
 = − +
 = −
 e, se o valor de t for 
o mesmo para a três equações, então o ponto C pertencerá a r. 
23
x = 4 – 2t ⇒ 5 = 4 – 2t ⇒ 2t = 4 - 5 ⇒ t = 
1
2
−
y = -6 + 4t ⇒ -8 = -6 + 4t ⇒ -2 = 4t ⇒ t = 
1
2
−
z = 8 – 4t ⇒ 10 = 8 – 4t ⇒ 4t = -2 ⇒ t = 
1
2
−
portanto o ponto C(5, -8, 10) pertence à reta r. 
Raciocínio análogo utilizamos para verificar se o ponto D(-2, 6, 8) pertence a r. 
x = 4 – 2t ⇒ -2 = 4 – 2t ⇒ 2t = 4 + 2 ⇒ t = 3
y = -6 + 4t ⇒ 6 = -6 + 4t ⇒ 12 = 4t ⇒ t = 3
z = 8 – 4t ⇒ 8 = 8 – 4t ⇒ 4t = 0 ⇒ t = 0
Portanto o ponto D(-2, 6, 8) não pertence a r.
2) Basta aplicar a equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) ou ainda (x, y, z) 
= (x1 + at, y1 + bt, z1+ ct). Aplicando a condição de igualdade, temos 
1
1
1
 
 
 
x x at
y y bt
z z ct
= +
 = +
 = +
Aplicando esse conceito à atividade proposta, teremos: 
 2 2
1 
 3
x t
y t
z
=− +
 = +
 =
24
Unidade: A Reta
Material Complementar
CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3.ed. São Paulo. Pearson 
Prentice Hall, 2005.
JULIANELLI, José Roberto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 2000.
ANTON, H. Álgebra Linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
25
Referências
BOULOS , Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: i, tratamento vetorial – São 
Paulo: Mc Graw-Hill 2005, 3 edição
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Espaço – Rio de Janeiro: Coleção do professor de 
Matemática, 1993.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill 1987.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica – volume 2. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1994, 2 edição
VENTURI, Jaci J. álgebra Vetorial e Geometria Analítica – Curitiba: Scientia et Labor – 
Editora da UFPR, 1990, 3 edição
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books Ltda, 2000
26
Unidade: A Reta
Anotações
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000
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