Gabarito das Atividades Tópico 4

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Introdução ao Cálculo 
Unidade 1 – Revisão de Matemática Básica 
Tópico 4 – Monômios e Polinômios 
 
Questão 1: Escreva os polinômios na forma fatorada: 
Resolução: Devemos identificar itens em comum e colocar em evidência. 
𝑎) 4𝑥2 − 5𝑥3 + 6𝑥2 = (4𝑥2 + 6𝑥2) − 5𝑥3 = 10𝑥2 − 5𝑥3 = 5𝑥2(2 − 𝑥) 
𝑏) 8𝑎3𝑏2 − 4𝑎𝑏 + 12𝑎3𝑏3 = 4𝑎𝑏(2𝑎2𝑏 − 1 + 3𝑎2𝑏2) 
𝑐) 15𝑎3𝑏2𝑥 + 3𝑎3𝑏2𝑥4 = 3𝑎3𝑏2𝑥(5 + 𝑥3) 
𝑑) 5𝑏 + 5𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 5(𝑏 + 𝑐) + 𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐)(5 + 𝑎) 
𝑒) 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑐𝑚 + 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑚 + 𝑛) 
𝑓) 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)2 
𝑔) 𝑎2 + 6𝑎 + 9 = (𝑎 + 3)2 
ℎ) 𝑚2 + 12𝑚 + 36 = (𝑚 + 6)2 
𝑖) 4𝑥2 − 16𝑦2 = (2𝑥 − 4𝑦)(2𝑥 + 4𝑦) 
𝑗) 𝑚2𝑛2 − 1 = (𝑚𝑛 − 1)(𝑚𝑛 + 1) 
 
Questão 2: Calcule: 
Resolução: Utilizar as operações estudadas para resolver os cálculos e juntar os 
termos semelhantes. 
a) 5𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 4) 
= (5𝑥2 − 15𝑥)(𝑥 + 4) 
= 5𝑥3 + 20𝑥2 − 15𝑥2 − 60𝑥 
= 5𝑥3 + 5𝑥2 − 60𝑥. 
b) 3𝑎𝑏(2𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
= (6𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2)(𝑎 − 𝑏) 
= 6𝑎3𝑏 − 6𝑎2𝑏2 + 3𝑎2𝑏2 − 3𝑎𝑏3 
= 6𝑎3𝑏 − 3𝑎2𝑏2 − 3𝑎𝑏3. 
c) (𝑎 − 1)(𝑎2 − 1)(𝑎 + 1) 
= (𝑎3 − 𝑎 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1) 
= 𝑎4 + 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 − 𝑎3 − 𝑎2 + 𝑎 + 1 
= 𝑎4 − 2𝑎2 + 1. 
d) 
(35𝑎4 − 21𝑎2)
(7𝑎2)
 
=
35𝑎4
7𝑎2
−
21𝑎2
7𝑎2
 
= 5𝑎2 − 3𝑎0 
= 5𝑎2 − 3. 
𝑒) 
(𝑥3𝑦 − 𝑥𝑦3)
(−𝑥𝑦)
 
=
𝑥3𝑦
−𝑥𝑦
−
𝑥𝑦3
−𝑥𝑦
 
= −𝑥2𝑦0 + 𝑥0𝑦2 
= −𝑥2 + 𝑦2. 
𝑓) 
(42𝑦7 − 24𝑦5 − 72𝑦3)
(−6𝑦2)
 
=
42𝑦7
−6𝑦2
−
24𝑦5
−6𝑦2
−
72𝑦3
−6𝑦2
 
= −7𝑦5 + 4𝑦3 + 12𝑦. 
 
Questão 3: Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida: 
Resolução: Utilizar as operações estudadas e a propriedade distributiva e após, juntar 
os termos semelhantes. 
𝑎) (𝑥2 + 𝑎)(𝑎 − 𝑥2) − 2𝑎𝑥2 
 = 𝑎𝑥2 − 𝑥4 + 𝑎2 − 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥2 
= −2𝑎𝑥2 + 𝑎2 − 𝑥4. 
𝑏) (𝑥 − 𝑦 + 𝑎)(𝑥 − 2𝑦) − 𝑎(𝑥 + 𝑦) 
= 𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 
= 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 − 3𝑎𝑦. 
𝑐) − 3𝑥(2𝑥2 − 3𝑥 − 1) 
= −6𝑥3 + 9𝑥2 + 3𝑥. 
𝑑) (𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 𝑦2)3𝑥𝑦 
 
= 3𝑥3𝑦 + 15𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦3. 
𝑒) 
2
5
𝑥 (
1
4
𝑥 −
1
2
) 
=
2
20
𝑥2 −
2
10
𝑥 
=
2 ÷ 2
20 ÷ 2
𝑥2 −
2 ÷ 2
10 ÷ 2
𝑥 
=
1
10
𝑥2 −
1
5
𝑥 
=
𝑥2
10
−
𝑥
5
 . 
𝑓) 4𝑎 (
3𝑎
4
+
3
2
) 
=
12𝑎2
4
+
12𝑎
2
 
= 3𝑎2 + 6𝑎. 
 
Questão 4: Desenvolva os produtos notáveis: 
Resolução: Reconhecer os produtos notáveis estudados e aplicar em cada item o seu 
desenvolvimento. 
𝑎) (𝑎 + 𝑏)2 
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
𝑏) (2𝑎 + 3)2 
= (2𝑎 + 3)(2𝑎 + 3) 
= 4𝑎2 + 6𝑎 + 6𝑎 + 9 
= 4𝑎2 + 12𝑎 + 9. 
𝑐) (3𝑥 + 4𝑦)2 
= (3𝑥 + 4𝑦)(3𝑥 + 4𝑦) 
= 9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 12𝑥𝑦 + 16𝑦2 
= 9𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 16𝑦 2 . 
𝑑) (𝑎 − 𝑏)2 
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
= 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 
= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
𝑒) (2𝑎 − 3)2 
= (2𝑎 − 3)(2𝑎 − 3) 
= 4𝑎2 − 6𝑎 − 6𝑎 + 9 
= 4𝑎2 − 12𝑎 + 9. 
𝑓) (3𝑥 − 4𝑦)2 
= (3𝑥 − 4𝑦)(3𝑥 − 4𝑦) 
= 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 − 12𝑥𝑦 + 16𝑦2 
= 9𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 16𝑦2. 
𝑔) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
= 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2 
= 𝑎2 − 𝑏2. 
ℎ) (2𝑎 + 3)(2𝑎 − 3) 
= 4𝑎2 − 6𝑎 + 6𝑎 − 9 
= 4𝑎2 − 9. 
𝑖) (4𝑥 + 3𝑦)(4𝑥 − 3𝑦) 
= 16𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 12𝑥𝑦 − 9𝑦2 
= 16𝑥2 − 9𝑦2. 
𝑗) (𝑦 −
1
2
)
2
= (𝑦 −
1
2
) (𝑦 −
1
2
) 
= 𝑦2 −
𝑦
2
−
𝑦
2
+
1
4
 
= 𝑦2 +
(−2𝑦 − 2𝑦)
4
+
1
4
 
= 𝑦2 − 𝑦 +
1
4
. 
 
Questão 5: Simplifique as expressões: 
Resolução: Utilizar as operações e propriedades estudadas para simplificar as 
expressões. 
𝑎)
(𝑎 + 𝑏)2
𝑎 + 𝑏
=
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
𝑎 + 𝑏
= 𝑎 + 𝑏 
𝑏) 
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥
=
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
= 1 
𝑐)
(3𝑎 + 3𝑏)
5𝑎 + 5𝑏
=
3(𝑎 + 𝑏)
5(𝑎 + 𝑏)
=
3
5
 
𝑑)
5𝑎𝑏 + 5𝑎
15𝑏 + 15
=
5𝑎(𝑏 + 1)
15(𝑏 + 1)
=
5𝑎
15
=
𝑎
3
 
𝑒) 
𝑎 + 𝑏
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
=
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
=
1
𝑎 + 𝑏
 
𝑓)
𝑎 − 1
𝑎2 − 1
=
𝑎 − 1
(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)
=
1
𝑎 + 1
 
𝑔)
𝑥2 − 9
𝑥2 + 6𝑥 + 9
=
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 + 3)
=
𝑥 − 3
𝑥 + 3
 
ℎ)
9𝑎2 − 3𝑎𝑏
6𝑎𝑏 − 2𝑏2
=
3𝑎(3𝑎 − 𝑏)
2𝑏(3𝑎 − 𝑏)
=
3𝑎
2𝑏
 
 
Questão 6: Calcule: 
Resolução: Utilize as propriedades estudadas para encontrar a solução das 
expressões. 
𝑎) 
𝑥 − 3
𝑥 + 𝑦
−
𝑥 − 2
𝑥 + 𝑦
+
𝑥 + 1
𝑥 + 𝑦
 
=
(𝑥 − 3) − (𝑥 − 2) + (𝑥 + 1)
(𝑥 + 𝑦)
 
=
𝑥 − 3 − 𝑥 + 2 + 𝑥 + 1
𝑥 + 𝑦
 
=
𝑥
𝑥 + 𝑦
. 
𝑏) 
𝑎
3𝑥
+
2𝑎
2𝑥
−
3𝑎
4𝑥
 
=
2𝑎𝑥 + 6𝑎𝑥
6𝑥2
−
3𝑎
4𝑥
 
=
8𝑎𝑥
6𝑥2
−
3𝑎
4𝑥
 
=
32𝑎𝑥2 − 18𝑎𝑥2
24𝑥3
 
=
𝑥2(14𝑎)
𝑥2(24𝑥)
=
7𝑎
12𝑥
. 
𝑐) 
3
𝑎
+
𝑎 + 2
𝑎 − 2
 
 =
(3𝑎 − 6) + (𝑎2 + 2𝑎)
𝑎2 − 2𝑎
 
=
𝑎2 + 5𝑎 − 6
𝑎2 − 2𝑎
 
=
𝑎2 + 5𝑎 − 6
𝑎(𝑎 − 2)
. 
𝑑) 
1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑎 − 𝑏
 
=
(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
 
=
2𝑎
(𝑎 − 𝑏)2
 
=
2𝑎
𝑎2 − 𝑏2
. 
𝑒) 
𝑎 + 𝑏
𝑏
−
𝑎 + 𝑏
𝑎
+
𝑎2 + 𝑏2
𝑎𝑏
 
=
(𝑎2 + 𝑎𝑏) − (𝑎𝑏 + 𝑏2)
𝑎𝑏
+
𝑎2 + 𝑏2
𝑎𝑏
 
=
𝑎2 − 𝑏2
𝑎𝑏
+
𝑎2 + 𝑏2
𝑎𝑏
 
=
2𝑎2
𝑎𝑏
=
2𝑎
𝑏
. 
𝑓) 
2𝑥
3
⋅
5
𝑦
=
10𝑥
3𝑦
. 
𝑔) 
3𝑎
𝑎 + 3
⋅
2𝑎
𝑎 + 2
 
=
6𝑎2
𝑎2 + 2𝑎 + 3𝑎 + 6
 
=
6𝑎2
𝑎2 + 5𝑎 + 6
. 
ℎ) 
3𝑥2
8𝑎
⋅
2𝑎
𝑦
⋅
2𝑦3
𝑥
 
=
12𝑎𝑥2𝑦3
8𝑎𝑥𝑦
 
=
3𝑎𝑥2𝑦3
2𝑎𝑥𝑦
 
=
3𝑥𝑦2
2
. 
𝑖) 
𝑎
3
÷
𝑎2
𝑥
=
𝑎
3
⋅
𝑥
𝑎2
=
𝑎𝑥
3𝑎2
=
𝑥
3𝑎
. 
𝑗) 
𝑎2 − 𝑥2
𝑥𝑦
÷
𝑎 − 𝑥
𝑥
 
=
𝑎2 − 𝑥2
𝑥𝑦
⋅
𝑥
𝑎 − 𝑥
 
=
𝑎2𝑥 − 𝑥3
𝑎𝑥𝑦 − 𝑥2𝑦
 
=
𝑥(𝑎2 − 𝑥2)
𝑥(𝑎𝑦 − 𝑥𝑦)
 
=
(𝑎 + 𝑥)(𝑎 − 𝑥)
𝑦(𝑎 − 𝑥)
 
=
𝑎 + 𝑥
𝑦
.