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Questão 1/10 - Análise Matemática “Escrevemos limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se SnSn se torna arbitrariamente grande à medida que nn cresce. Neste caso, dizemos que (Sn)(Sn) diverge para +∞+∞. Mais precisamente, limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se, e somente se, para qualquer número cc, não importa o quão grande seja, existe um inteiro positivo n0n0 tal que quando n≥n0n≥n0, temos Sn>cSn>c”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: AYRES, Frank, MENDENSON ELLIOTT. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Bookman, 2013. p. 353. Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Sequências, assinale a alternativa que só contém sequências que divergem para +∞+∞: Nota: 10.0 A (1n), (√n), (2n)(1n), (n), (2n) B (lnn), (n), (√n)(lnn), (n), (n) Você acertou! Dado um número c, temos que: (livro-base, p. 60)lnn>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)√n>c,∀n>c2 (n0=c2)lnn>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)n>c,∀n>c2 (n0=c2) C (2n+1), (ln2), (n)(2n+1), (ln2), (n) D (cos(n)), (n2), (lnn)(cos(n)), (n2), (lnn) E (n√n), (sin(n)), (n)(nn), (sin(n)), (n) Questão 2/10 - Análise Matemática Observe a seguir o gráfico da função f:X→Rf:X→R, dada por f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1, onde X=R−{−1,1}X=R−{−1,1}: Observando o gráfico da função f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1 e considerando os conteúdos do livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. I. Para todo ε>0ε>0, é possível encontrar δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|x−2|<δ0<|x−2|<δ impliquem |f(x)|<ε|f(x)|<ε. II. limx→∞f(x)=+∞limx→∞f(x)=+∞ III. Podemos dizer que quando xx se aproxima de 11 pela esquerda a função f(x)f(x) tende a +∞+∞. IV. limx→−1+f(x)=+∞limx→−1+f(x)=+∞ V. Podemos dizer que não existe o limite de f(x)f(x) quando xx se aproxima de 1 porque 1 não é ponto de acumulação do conjunto XX. São corretas apenas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, II e V B II, III e IV C III e IV D I, III e IV Você acertou! As afirmativas I, III e IV são corretas. A afirmativa I é correta porque a função é contínua em x=2x=2 e f(2)=0f(2)=0. A afirmativa II é incorreta porque limx→+∞f(x)=0limx→+∞f(x)=0. A afirmativa III é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|1−x|<δ0<|1−x|<δ implicam f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa IV é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal que 0<x−(−1)<δ0<x−(−1)<δ implica que f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa V está incorreta porque 1 é ponto de acumulação de XX. (livro-base, Capítulo 3). E I, IV e V Questão 3/10 - Análise Matemática O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R) Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. Nota: 10.0 A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ Você acertou! A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185). C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯ Questão 4/10 - Análise Matemática Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real: Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. I. ( ) XX é um conjunto aberto. II. ( ) XX é um conjunto limitado. III. ( ) XX é um conjunto compacto. IV. ( ) XX é um conjunto fechado. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta. Nota: 10.0 A V-V-F-F Você acertou! A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91). B V-V-V-F C F-F-V-V D F-V-F-F E V-F-V-F Questão 5/10 - Análise Matemática Leia o fragmento de texto a seguir: “Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos aa e bb.” Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162. Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2]. II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação. III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. Assinale a alternativa que contém a sequência correta: Nota: 10.0 A V-V-F-V B F-F-V-V C V-F-F-V D V-F-V-F E F-V-V-V Você acertou! A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3). Questão 6/10 - Análise Matemática Atente para a seguinte citação: “Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos xx e yy”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/limite-uma-funcao.htm>. Acesso em: 21 jun. 2017. Dada a função f:R→Rf:R→R tal que f(x)=xlnxf(x)=xlnx Levando em consideração as informações do dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, responda: Qual é o limite da função dada quando x tende a 1 (um)? Nota: 10.0 A −1−1 B −∞−∞ C ∞∞ D 1 E 0 Você acertou! Temos que limx→1x=1limx→1x=1 e limx→1lnx=ln1=0limx→1lnx=ln1=0. Assim limx→1x⋅lnx=1⋅0=0limx→1x⋅lnx=1⋅0=0 (livro-base, p. 93) Questão 7/10 - Análise Matemática Considere a seguinte informação: Seja uma função definida por partes da seguinte forma: f(x)=⎧⎨⎩x2−3x+2x−2,x≠2kx=2f(x)={x2−3x+2x−2,x≠2kx=2 Fonte: texto elaboradopelo autor da questão. Considerando a função dada no texto e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, assinale qual valor deve ser dado para que a função dada seja contínua em x = 2: Nota: 10.0 A k=2k=2 B k=0k=0 C k=1k=1 Você acertou! Para que a função seja contínua em x=2x=2 devemos ter: limx→2f(x)=f(2)limx→2f(x)=f(2). Temos que limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1. Portanto, devemos definir f(2)=1f(2)=1. (livro-base, p. 99). D k=−1k=−1 E k=−2k=−2 Questão 8/10 - Análise Matemática Atente para a seguinte citação: “Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o ‘Problema da Tangente’”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>. Acesso em: 20 jun. 2017. De acordo com as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, sendo f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0, assinale a alternativa que contém o limite que devemos calcular para encontrar a derivada da função f(x)=x2−1f(x)=x2−1 no ponto x=2x=2: Nota: 10.0 A limx→2(x2−1)±5x−2limx→2(x2−1)±5x−2 B limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2 Você acertou! Como f(2)=3f(2)=3 e f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2 quando esse limite existir, então, limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2(livro-base p.113-115) C limx→0(x2−1)−2x−2limx→0(x2−1)−2x−2 D limx→2(x2−1)x−2limx→2(x2−1)x−2 E limx→0(x2−1)xlimx→0(x2−1)x Questão 9/10 - Análise Matemática “Informalmente: limx→af(x)=Llimx→af(x)=L quer dizer que se pode tornar f(x)f(x) tão próximo de LL quanto se queira desde que se tome x∈Xx∈X suficientemente próximo, porém diferente, de aa.” Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 61.} De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta. Nota: 10.0 A Seja f:R−{2}→Rf:R−{2}→R, f(x)=x+3f(x)=x+3, então o valor de limx→2(x+3)limx→2(x+3) é 11. B Seja f:X→Rf:X→R e x0∈X′x0∈X′. Assim, se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0f(x)=L2limx→x0f(x)=L2, então L1≠L2L1≠L2. C Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L1limx→x0g(x)=L1, então limx→x0f(x)g(x)=L1+L2limx→x0f(x)g(x)=L1+L2. D Seja a função f(x):X→Rf(x):X→R então limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)klimx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k. E Sejam ff e g:R−{2}→Rg:R−{2}→R definidas por f(x)=3x+1f(x)=3x+1 e g(x):x+1g(x):x+1 e os limites limx→2f(x)=7limx→2f(x)=7 e limx→2g(x)=3limx→2g(x)=3 então limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73. Você acertou! Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L2limx→x0g(x)=L2 com L2≠0L2≠0, então limx→x0f(x)g(x)=L1L2limx→x0f(x)g(x)=L1L2. (Livro-base p. 93 a 95) Questão 10/10 - Análise Matemática Observe o gráfico da função f(x)=x2f(x)=x2 e da sua reta tangente no ponto x=1x=1. Fonte: Imagem produzida pelo autor da questão. Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)f(x) no ponto x=1x=1: Nota: 10.0 A y=−2x+1y=−2x+1 B y=3x–32y=3x–32 C y=2x–1y=2x–1 Você acertou! A alternativa correta é letra c. Temos que f′(x)=2xf′(x)=2x, logo, f′(1)=2f′(1)=2 é a inclinação da reta tangente. No ponto x=1x=1 temos y=f(1)=1y=f(1)=1. Assim a equação da reta tangente é: (y−1)=2(x−1)(y−1)=2(x−1), isto é: y=2x−1y=2x−1. (livro-base, p. 111-113). D y=−x+3y=−x+3 E y=−x+4y=−x+4