apostila_lim_e_cont_calc_ii

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Resumo com exercícios resolvidos do assunto: 
(I) Funções de duas ou mais variáveis; 
(II) Limites; 
(III) Continuidade. 
 
(I) Funções de duas ou mais variáveis. 
 No Cálculo I estudamos funções de uma variável,do tipo y=f(x) em que o 
domínio era uma reta, apenas. Agora, no Cálculo II , estudaremos funções do tipo 
z=f(x,y),w= f(x,y,z), etc. 
Função de 2 variáveis: Neste caso, temos que o domínio da função passa a ser uma 
área, e o gráfico de z=f(x,y) passa a ser uma superfície, onde a imagem vai do valor 
mínimo até o valor máximo que z assume. 
Exemplo: 
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥² − 𝑦² 
Como uma raiz quadrada não pode ser negativa (nos reais), temos que: 
9 − 𝑥² − 𝑦² ≥ 0 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥² + 𝑦² ≤ 9 
Vemos, portanto que o domínio é dado pela área contida dentro de um disco de raio 3. 
 
Gráfico: 
𝑧 = 9 − 𝑥² − 𝑦² → 𝑧² + 𝑦² + 𝑥² = 9 
Essa é a equação de uma esfera de raio 3, no entanto, z deve ser positivo para estar contido no 
domínio,logo o gráfico será apenas a parte positiva da equação da esfera (semiesfera de raio 
3). 
 
Semiesfera de raio 3 
Imagem: Ao observar o gráfico, vemos que z varia de 0 até 3, logo a imagem será: 
𝐷𝑜𝑚(𝑧) = [0,3] 
Obs: Funções de 3 variáveis: 
Neste caso, o domínio da função w=f(x,y,z) seria uma superfície, e o gráfico seria algo na 4ª 
dimensão, não sendo possível de desenhar. Mesmo assim, ainda é possível descobrir a sua 
imagem algebricamente. 
Obs 2: Para funções com mais de 3 variáveis não é possível esboçar o domínio nem o gráfico 
da função, por isso, essas são mais difíceis de serem estudadas. 
Exemplo (3 variáveis): 
𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = log⁡(25 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2) 
Domínio: (ℝ³) 
0 ≤ 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² < 25 
Logo, percebemos que o domínio será uma esfera maciça, de raio menor do que 5 (sendo a 
casca esférica que sobrepõe a esfera fora do domínio). 
Imagem: Vemos que o gráfico (eixo w) teria uma variação de ln(0) = - ∞ até ln25 = 2ln5, 
portanto temos: 
𝐼𝑚 𝑊 = [−∞, 2𝑙𝑛5] 
O gráfico dessa função não é possível esboçar. 
 
Curvas de Nível 
As curvas de nível de uma função F de duas variáveis,são funções do tipo f(x,y)=K, onde K é 
uma constante. Em outras palavras, é como “cortar” o gráfico da função em diferentes alturas 
e depois planificar as imagens encontradas. 
Exemplo: 
Esboce as curvas de nível da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥² − 𝑦² para K=0,1,2 e 3. 
K=0 ,temos z=0 9 − 𝑥² − 𝑦² = 0 → 9 = 𝑥² + 𝑦² 
Circunferência de raio 3 
K=1, temos z=1 9 − 𝑥2 − 𝑦² = 1 → 𝑥² + 𝑦² = 8 
Circunferência de raio 2 2 
K=2, temos z=2 9 − 𝑥2 − 𝑦² = 4 → 𝑥² + 𝑦² = 5 
Circunferência de raio 5 
K=3, temos z=3 9 − 𝑥² − 𝑦² = 9 → 𝑥² + 𝑦² = 0 
Ponto (x,y)=(0,0) 
 
Curvas de nível da função f(x,y). 
Exercícios Recomendados: 
1)(Stewart)Determine e esboce o domínio da função f(x,y)=ln(9-x²-9y²). 
2) (Stewart)Determine o domínio da função f(x,y)=
 𝑦−𝑥²
1−𝑥²
. 
3)(Stewart)Esboce o gráfico da função f(x,y)=10-4x-5y. 
Gabarito : 
1-{(x,y)|
1
9
𝑥² + 𝑦² < 1},(-∞, 𝑙𝑛9) 2-{(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥2 ,𝑥 ≠ ±1 
 3- 
(II) Limites 
Em uma função de duas variáveis, para o limite lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0) 𝐹(𝑥, 𝑦) existir, os sublimites 
(limites calculados em todas as direções possíveis) devem existir e devem ser todos iguais. 
Exemplo: 
Mostre que não existe o limite: lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦
𝑥²+𝑦²
. 
 
Para mostrar que não existe limite basta encontrar dois sublimites diferentes. 
Temos: 
𝐷𝑜𝑚 
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 = ℝ² − {(0,0)} 
Fazendo o sublimite na direção do eixo y, (x=0), temos: 
lim
𝑥→0
𝑥𝑦
𝑥² + 𝑦²
=
0
𝑦2
= 0 
Fazendo o sublimite na direção da reta y=x, temos: 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦
𝑥² + 𝑦²
=
𝑥²
2𝑥²
=
1
2
 
Portanto, como encontramos dois sublimites diferentes, podemos concluir que o limite 
não existe. 
Outra maneira de provar que o limite não existe é usando noção de “grau”. 
lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦
𝑥²+𝑦²
 
Como os graus do numerador e do denominador são iguais, já devemos suspeitar que o 
limite não existe. Para confirmar, fazemos a substituição y=mx . 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦
𝑥² + 𝑦²
=
𝑚𝑥2
 1 + 𝑚2 𝑥²
=
𝑚
1 + 𝑚2
 
Como m pode variar, vemos que existem infinitos sublimites , que dependem da inclinação 
da reta y=mx. Logo, podemos concluir que o limite não existe. 
Existem outras aplicações para utilizar o conceito de grau, um deles é substituir o valor de 
uma variável em relação a outra para igualar o grau e provar que o limite não existe. 
Exemplo: 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑦9600𝑥4
𝑦10000 + 𝑥100
 
 
Notamos que, para igualar o grau, podemos fazer a substituição 𝑥 = 𝑚𝑦100 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑦9600𝑥4
𝑦10000 + 𝑥100
= lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑦9600𝑚4𝑦400
𝑦10000 + 𝑚100𝑦10000
=
𝑚4
1 + 𝑚100
 
Como m é uma variável, vemos que existem infinitos sublimites, logo, o limite em questão 
não existe. 
Podemos perceber então, que é muito mais difícil a existência do limite de uma função de 
duas variáveis do que quando trabalhávamos com funções de uma variável. No entanto, 
utilizando separações de funções e Teorema do Confronte é possível provar a existência 
do limite em algumas funções. 
Exemplo 1: 
lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥2𝑦
𝑥2+𝑦²
 
 
Como o grau do numerador é maior que do denominador, a intuição nos diz que a parte 
de cima da equação tende a zero mais rápido, logo o limite seria 0. Mas como provar isso? 
Vamos separar a função em y. 
𝑥²
𝑥²+𝑦²
. Podemos perceber que 
𝑥²
𝑥²+𝑦²
 será sempre maior ou 
igual a zero e menor ou igual a 1. (Função limitada). 
0 ≤
𝑥²
𝑥² + 𝑦²
≤ 1 
Grau 2 
Grau 3 
Grau 2 
Logo, lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑦.
𝑥2
𝑥2+𝑦²
= 0 
0 entre 0 e 1 
Obs: Sempre que a função for separável, dessa forma o limite existe. 
Exemplo 2: 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥2 + |𝑦|
 
Vamos separar a função em: x . cos(x) . 
𝑦
𝑥2+|𝑦|
 
Mas, −1 ≤ cos x ≤ 1 e 0 ≤
𝑦
𝑥2+|𝑦|
≤ 1 
Logo, essas duas funções são limitadas, e: 
lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0) 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 .
𝑦
𝑥2+|𝑦|
=0 
 Tende a 0 limitado limitado 
(III) Continuidade 
Dizemos que uma função f(x,y) é contínua num ponto (a,b) ∈ Domínio se 
lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑎 ,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) existe e 
 
 
Teorema: As funções principais conhecidas (Polinômios, senos e cossenos, 
exponenciais , logaritmos...) são contínuas em todos os pontos do seu domínio, 
assim como a composição dessas funções. 
Ex.:F(x,y)= sen(x²+y²) é continua em ℝ² pois é formada pela composição seno e 
polinômio. 
Exemplo: 
Calcule os pontos de continuidade da função: 
 
𝑥²𝑦
𝑥4+𝑦²
 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ≠ (0,0) 
 F(x,y)= 0 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = (0,0) 
Domínio da Função = ℝ² 
Podemos perceber que a função é contínua em todos os pontos diferentes de 
(0,0),pois essa função é formada pela composição de dois polinômios. Agora 
devemos descobrir se a função também e contínua no ponto (0,0). 
Para isso ocorrer, devemos ter que : 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥²𝑦
𝑥4 + 𝑦²
= 𝐹 0,0 = 0 
Mas, usando a substituição y=mx² temos que: 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥²𝑦
𝑥4 + 𝑦²
= lim
 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑚𝑥4
 1 + 𝑚2 𝑥4
=
𝑚
1 + 𝑚²
 
lim
 𝑥 ,𝑦 →(𝑎 ,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) 
Como temos infinitos sublimites, não existe limite, e portanto a função não é 
contínua no ponto (0,0). 
Logo, os pontos de continuidade são: ℝ²-(0,0).Exercícios Recomendados: 
1) Diga o valor de a, se possível, de modo que a seguinte função seja contínua na 
origem: 
 F(x,y) = 
3𝑥𝑦 ²
𝑥²+𝑦²
, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ≠ (0,0) 
 𝑎, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = (0,0) 
2) Calcule lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥 .𝑠𝑒𝑛 (𝑦)
𝑥²+|𝑦|
 
3) Calcule os seguintes limites (se existirem): 
a) lim 𝑥 ,𝑦 →(1,0) log⁡(
1+𝑥2
𝑥2+𝑥𝑦
) 
b) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦4
𝑥2+𝑦8
 
c) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑦²+𝑥2
 𝑥²+𝑦²+1−1
 
d) lim 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 →(0,0,0)
𝑥𝑧+𝑦𝑧
𝑥²+𝑦²+𝑧²
 
4) (UFRJ-2014.1-Modificada) 
Diga se existem os seguintes limites abaixo: 
 
5) (UFRJ-2013.2) 
 
6) (UFRJ-2012.2) 
 
Gabarito: 
1- 0 | 2- 0 |3- a) 0 b) ∄ c)2 d) ∄ | 4- Existe.Não existe | 5- a | 6- a) Não b) Não 
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