Resolução lista 17 - Derivada da função inversa

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Análise Real I
Resolução lista 17 - Derivada da função inversa.
1. Seja f : I → R uma função crescente (ou decrescente) definida em um intervalo
aberto I. Suponha que f seja derivável em I e f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I. Prove
que f−1 : f(I)→ R é também derivável no intervalo f(I) e para todo y ∈ f(I) vale
f−1(y) =
1
f ′(f−1(y))
.
Demonstração: Que f(I é um intervalo aberto, decorre da quetão 6 da lista 14. Seja
d = f(c) ∈ f(I), para qualquer y = f(x) em f(I), com y 6= d, temos a seguinte
identidade
f−1(y)− f−1(d)
y − d
=
x− c
f(x)− f(c)
(2).
O segundo membro de (2) é precisamente 1
q(x)
onde q(x) é uma razão incremental
de f relativamente ao ponto c. Como f é derivável e sua derivada nunca se anula,
e segue-se que a razão incremental de f−1, escrita no primeiro membro de (2), tem
limite no ponto d. Portanto, pelos estudos sobres limites de funções,
lim
y→d
f−1(y)− f−1(d)
y − d
=
1
lim
x→c
f(x)− f(c)
x− c
,
o que prova o teorema.
2. (Regra da cadeia) Sejam f : I → R e ϕ : J → R duas funções reais definidas em
intervalos I e J , respectivamente, tais que f(I) ⊂ J e f(c) é ponto interior de J .
Suponhamos que f seja derivável em f(c). Prove que a função ϕ ◦ f : I → R é
derivável em c e vale
(ϕ ◦ f)(c) = ϕ′(f(c)) · f ′(c).
Demonstração em um caso particular: Consideremos o caso particular em que a
função f tem a propriedade a seguir.
(*) Existe � > 0 tal que f(x) 6= f(c) para todo x no conjunto
A = {x ∈ I : 0 < |x− c| < �}.
Para x ∈ A, temos a seguinte identidade:
(ϕ ◦ f)(x)− (ϕ ◦ f)(c)
x− c
=
ϕ(f(x))− ϕ(f(c))
f(x)− f(c)
· f(x)− f(c)
x− c
(2).
Agora, o limite da primeira razão incremental do segundo membro de (2) pode ser
determinado do seguinte modo: seja (xn) ⊂ A e tal que xn → c; pela continuidade
de f , temos f(xn)→ f(c). E então, pela continuidade de ϕ, temos que
ϕ(f(xn))− ϕ(f(c))
f(xn)− f(c)
→ ϕ′(f(c)).
Como isso vale para todas as sucessões (xn) nessas condições, temos que
lim
x→
ϕ(f(xn))− ϕ(f(c))
f(xn)− f(c)
→ ϕ′(f(c)).
Na identidade (2), usando propriedades dos limites de funções, essa última igualdade
é a derivabilidade de f , obtemos o que queŕıamos.
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3. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I, e seja c um ponto do interior
de I. Prove que f é derivável em c se, e somente se, existir um número real r e uma
função cont́ınua α : I → R no ponto c, tal que
(4) f(x) = f(c) + r(x− c) + α(x)(x− c), x ∈ I
e
(5) lim
x→c
α(x) = 0.
Demonstração: Primeiramente, suponhamos que f seja derivável em c. Definamos
α : I → R como
(6)
{
α(x) = q(x)− f ′(c), para x 6= c
α(c) = 0.
De(6) segue-se que
f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + α(x)(x− c).
Da derivabilidade de f e de (6), temos que lim
x→c
α(x) = 0. Logo, (4) e (5) se verificam
com r = f ′(c).
Reciprocamente, a relação (4) implica
(7)
f(x)− f(c)
x− c
= r + α(x) x 6= c.
De (7) e (5) segue-se que a razão incremental de f no ponto x = c tem limite, que
é r. Logo, f é derivável em x = c e f ′(c) = r.
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