teorema de pitagora- comprovação por Euclides

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O Teorema de Pitágoras, comprovação por Euclides. 
Marlon Wilson Batista Andrade – UEPA 
marlon199409@gmail.com 
 
 
RESUMO 
 
O presente trabalho é uma pesquisa bibliográfica que se fundamenta em coletas de dados de 
diversas literaturas tais como livros, artigos, principalmente e tem o objetivo de levantar dados 
sobre a trajetória de um dos maiores cientistas que já tivemos, Pitágoras, enfatizando a 
comprovação do teorema que leva seu nome através do método de Euclides. Faremos um breve 
histórico de sua vida. 
 
Palavras-chave: Matemática; Pitágoras; Comprovação por Euclides. 
 
INTRODUCAO 
 
Os trabalhos que deixou para a civilização mundial são incontestáveis, entretanto aquele 
que mais deixou marcas foi a formulação do teorema que leva o seu nome, sendo que mesmo 
essa relação mencionada anteriormente tenha indícios de ser conhecida muito antes por 
inúmeros povos da antiguidade foi esse matemático que conseguiu comprovar por meios mais 
acessíveis as relações. Segundo Nascimento e Oliveira (2020), as informações sobre Pitágoras 
de Samos não são de fácil acesso, pois como ele não deixou nada catalogado os pesquisadores 
foram levados a buscarem informações em reconstruções históricas de sua vida e trabalhos. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Supõe-se que Pitágoras tenha nascido em torno do século VI a.c na cidade de 
Samos, no litoral da Grécia. É muito comum ter dificuldades de encontrar dados 
verídicos sobre esse matemático, pois como sua vida é cheia de mistérios os 
pesquisadores, historiadores acabam tendo inúmeras dificuldades em saber o que é fato 
ou anedota. Sabe-se que ele era filho de Mnsarco, que era um comerciante, e Pártenis, 
sua mãe. Acredita-se que ao nascer, Pítia de Delfos, uma sacerdotisa do templo de 
Apolo profetizou que o filho desse casal seria uma dadiva a humanidade de cunho 
transcendental. Ao longo de sua vida o filho desse casal foi inúmeras vezes alvo de 
profecias que deixavam bem claro que ele seria um homem como poucos, assim 
afirmam Nascimento e Oliveira (2020, p.3), “Ó mulher da Jônia, o teu filho será grande 
pela sabedoria, mas lembra-te de que, se os gregos ainda possuem a ciência dos deuses, a 
ciência de Deus só se encontra no Egito”. Pitágoras viajou por inúmeros países do mundo 
antigo, pois sempre estava atrás de mais conhecimento. Foi perseguido por se opor ao 
tirano Polícrate. 
mailto:marlon199409@gmail.com
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
O enunciado do teorema de Pitágoras sofreu várias adequações ao período que 
ele era repassado, sendo assim tivemos algumas mudanças para facilitar o entendimento 
dos alunos, mas segue o enunciado; 
“Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma 
das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos” 
 Entretanto nos livros analisados, Matemática, contexto e aplicações (2013), 
“Em um triângulo retângulo, o maior lado é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). Os 
outros dois lados, perpendiculares entre si, são catetos. Os ângulos agudos são 
complementares (a + b = 90°)”. 
Matemática, ciência e aplicações (2016), tem o seguinte enunciado; 
“Todo triângulo retângulo, além do ângulo reto, possui dois ângulos (agudos) complementares. 
O maior dos três lados do triângulo é o oposto ao ângulo reto e chama-se hipotenusa; os 
outros dois lados são os catetos”. 
E o livro Conexões com a matemática (2010), tem o seguinte enunciado; 
“Se um triângulo retângulo tem os catetos de medidas b e c a hipotenusa de medida a , então: 
a² = b² + c²”. 
Conseguimos perceber que nos três livros existe um resumo gigantesco do enunciado de 
Pitágoras, podem facilitar o entendimento dos alunos ou não. 
A demonstração do teorema que foi feita nos dois primeiros livros supracitados é a mais 
comum nos dias atuais, a feita pela semelhança de triângulos, da a imagem; 
 
Separando esse triangulo em três triângulos congruentes, tais sejam eles; 
ABC ~ ABH ~ HAC 
Teremos que para ABC e ABH 
AB/BC = HB/BA 
c/a = m/c => c² = a.m 
E do triângulo ABC e HAC, teremos; 
AC/BC = HC/AC 
b/a = n/b => b² = a.n 
Pegaremos essas duas relações e as somaremos 
c² = a.m 
b² = a.n 
 
 
 
Em contra partida o terceiro livro que abordamos anteriormente comprova o teorema de 
Pitágoras pelo método do presidente Garfild. 
Que é dada pela soma dos três triângulos que formam um trapézio, como mostra a 
figura. 
c² + b² = (a.m) + (a.n) 
c² + b² = a. (m + n ), como m+n é igua a 
c² + b² = a.a, logo; 
a² = b² + c² 
 
Em que temos a soma das áreas dos triângulos; 
b.c/2 + b.c/2 + a²/2 = b.c +a²/2 
Sabendo que o calculo da área do trapézio é dada pela formula; 
At = B+b/2 . h, temos; 
At = b +c/2 . (b + c) 
bc + a²/2 = b + c/2 . (b + c), usaremos a distributiva para simplificar o calculo; 
bc + a²/2 = b² + 2bc + c²/2 
bc + a²/2 = b²/2 + bc + c²/2 
a²/2 = b²/2 + c²/2, multiplicando todos por 2, teremos; 
a² = b² + c² 
Entre outras palavras, resumidamente, sobre os três livros supracitados, vemos que são 
comprovações que fazem o aluno vê o teorema por outros métodos, sendo que isso 
deixa o conhecimento mais amplo e diversifica, além de fazer com que o aluno decida 
qual definição utilizar para efetuar as resoluções dos problemas que são propostos pelos 
livros. Nas literaturas indicadas é feita uma abordagem extremamente voltada para 
resoluções de exercícios que levam em conta o teorema e as relações métricas do 
triangulo retângulo. É importante ressaltar que em nenhum dos exemplares é abordado 
o conceito de triangulo pitagórico. Ou seja; 
Um triângulo é dito pitagórico quando seus lados são numero inteiros. 
 
 
 
Sendo assim, os números correspondentes ao triangulo menor é dito pitagórico por 
apresenta números inteiros e satisfazem a condição a² = b² + c² e os demais triângulos 
também são ditos pitagóricos, pois o valos de x corresponde a 6 no segundo triangulo e 
16 no terceiro. Sendo que todos respeitam a relação a² = b² + c². 
 
 PROVA DO TEOREMA 
Para demonstrarmos esse teorema traves do método utilizado por Euclides vamos ter 
que usar alguns conceitos, tais como; 
AB para os segmentos de extremidade A e B. 
 para a medida do segmento AB. 
ΔABC para a área do triangulo e ΔABCD para a área do quadrilátero ABCD. 
Usaremos ≡ para indicar a congruência de dois segmentos. 
 
Preposição 1.1 ( preposição I -35 de Os Elementos): Dois paralelogramos com a mesma 
base e situados entre duas retas paralelas entre si, tem a mesma área. 
 
Para demonstrar que os paralelogramos ABCD e ABEF tem a mesma área analisaremos 
três casos que são possíveis. 
 
1° caso: os segmentos DC e EF têm mais de um ponto em comum. 
 
 
ΔABCD = ΔADF + ΔABCF e ΔABEF = ΔABCF + ΔBCE 
Temos que os segmentos AD ≡ CB, AF ≡ BE e DÂF ≡ CBE. E pelo caso de 
congruência L.L.A, podemos afirmar que os triângulos ΔADF e ΔBCE são congruentes. 
Ou seja, o trapézio ABCF é comum aos dois paralelogramos fazendo com que ΔABCD 
≡ ΔABEF. 
 
2° caso: os segmentos DC e EF tem um único ponto em comum, sendo assim, C e F 
coincidentes. 
 
Como os segmentos AD ≡ BC,AC ≡ BE e DÂF ≡ CBE, temos igualitariamente, como 
no primeiro caso a congruência dos triângulos ΔADC e ΔBCE pelo caso L.L.A. logo 
AB 
^ 
^ 
podemos concluir que ΔABCD ≡ ΔABEF, pois ΔABCD = ΔABC + ΔACD e ΔABEF = 
ΔABC + ΔBCE. 
 
3° caso: os segmentos DC e EF não tiverem pontos em comum. 
 
Analisando a figura podemos perceber que os segmentos AD ≡ BC, AF ≡ BE e DF ≡ 
CE, logo os triângulos ΔADF ≡ ΔBCE pelo caso de congruência L.L.L. Lembrando que 
o segmento DF = AC + CF e CE = CF + EF dai a congruência dos segmentos DF ≡ CE. 
Sendo o ponto G a intersecção dos segmentos AF e BC, sendo assim ΔAGCD ≡ 
ΔBGFE. Como os triângulos ΔADF ≡ ΔBCE são congruentes temos que; 
ΔAGCD + ΔCGF ≡ ΔBGCD + ΔCGF, fazendo com que ΔAGCD ≡ ΔBGCD e como 
ΔABCD = ΔABG + ΔAGCD e ΔABEF = ΔABG + ΔBGFE, temos que ΔABCD ≡ 
ΔABEF. 
 
Preposição 1.2: (preposição I-37 de “Os Elemento”): triângulos de mesma base que 
estão entre retas paralelas tem a mesma área. 
para comprovar que as áreas do triangulo ΔABC ≡ ΔBCD vamos precisar pontuar na 
reta s um novo ponto, C’, de tal forma que AC//BC’. Formando um paralelogramo que 
corresponde aos pontos ABC’C temos que o triangulo ΔABC é congruente, pois 
apresenta AC ≡ BC’, AB ≡ CC’ e BÂC ≡ BC´C, pelo caso de congruência L.L.A. 
Sendo assim temos que o triângulo ΔABC tem a metade do paralelogramo ABC’C. 
 
Seguindo o mesmo raciocino, pontuaremos outro ponto de forma que tenhamos um 
paralelogramo que corresponda aos pontos ABDD’, logo podemos perceber que pelas 
mesmas razões do triângulo ΔABC ser congruente ao paralelogramo ABC’C o triângulo 
^ 
ΔABD é congruente ao paralelogramo ABDD’ e tem a metade de sua área. Por isso, 
podemos concluir que os triângulos ΔABC e ΔABD possuem a mesma área. 
 
Preposição 1.3: ( preposição I-41 de “Os Elemento”): se um paralelogramo e um 
triangulo retângulo tem a mesma base e estão entre duas retas paralelas, então o 
paralelogramo tem duas vezes a área do triangulo. 
 
Para comprovarmos essa preposição nos valeremos da preposição 1.2. Sendo assim, 
vamos pontuar na reta s um ponto E’ em que formaremos um paralelogramo ABE’E e 
pela preposição 1.2. Podemos afirmar que a área do paralelogramo ABCD ≡ ABE’E. 
Sendo assim, sabemos que o triangulo ΔABE tem a metade do paralelogramo ABCD. 
 
Preposição 1.4: ( preposição I-47 de “Os Elemento”): nos triângulos retângulos, o 
quadrado sobre o lado que se estende sobe o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os 
lados que contém o ângulo reto. 
Para demonstrarmos vamos partir da seguinte situação, sejam um triangulo ΔABC, 
retângulo em C. Sobre os três lados desse triângulo faremos a construção de quadrados 
ABCD, ACFG e BCKJ, sendo que consideraremos os segmentos BG e CE, através 
dessa consideração podemos perceber que o segmento AC ≡ AG, GÂB ≡ CÂE e AB ≡ 
AE. Como é mostrado na figura a seguir; 
 
Seja o ponto H do segmento DE tal que CH seja paralelo ao lado AE e que o ponto I é 
intersecção entre o segmento CH e o AB. Analisando a figura percebemos que o 
triângulo ΔACE compartilha a mesma base do quadrilátero AEHI, além de estarem 
entre duas retas paralelas e pela preposição 2.3 podemos escrever que a área do 
triângulo ΔACE = ½ . ΔAEHI. É importante ressaltar que o triângulo ΔABG 
compartilha a mesma base com o quadrilátero ACFG, ou seja, a área do triangulo 
ΔABG = ½ . ΔACFG. Como os triângulos ΔACE ≡ ΔABG, teremos que as áreas dos 
quadriláteros AEHI ≡ ACFG, como mostra a figura. 
 
Fazendo da mesma forma para os quadriláteros restantes, traçaremos um segmento AJ e 
CD. Mostrando da mesma forma anterior que BCKJ ≡ BDHI. Som isso, podemos 
escrever que ABDE = AEHI + BDHI, ou seja, ABDE = ACFG + BCKJ. 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
É mais do que comprovado que o teorema de Pitágoras facilitou o ensino da 
relação que acontece entre os quadrados dos lados de um triangulo retângulo, pois para 
um aluno compreender os processos de comprovação de demais matemáticos, filósofos 
se tornaria uma tarefa extremamente difícil, entretanto, devemos propagar que essa 
relação já era muito utilizada por povos que viveram antes de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
BAROSSO, Juliane Matsubara. Conexões com a matemática. Moderna. — 1. 
ed. — São Paulo : Moderna, 2010. 
COSTA, Eliel de Araujo e Silva. TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS, TERNOS 
PITAGÓRICOS E SUAS PROPRIEDADES. UFPA – PA, Abaetetuba, 2018. 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. Dante. – 2. ed. – 
São Paulo : Ática, 2013. 
GELSON, Lezzi. . . [et. al.]. Matemática: ciência e aplicações : ensino 
médio, volume 1. 9. ed. – São Paulo : Saraiva, 2016. 
NASCIMENTO, Edinaldo da Silva. OLIVEIRA, Ana Maria Libório. 
 A trajetória de vida de Pitágoras e suas principais contribuições à 
Matemática. Intinerarius Reflectionis, 2020. 
SILVA, João Evangelista Brito. Teorema de Pitágoras: algumas 
extensões/generalizações e atividades com o Software GeoGebra. 
UNESP–SP, São José do rio preto, 2014.