Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 3 - Teste de Conhecimento 01

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Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
É importante ressaltar que a equação vetorial da reta no R³ não é única. A equação vetorial no R³ da reta que passa pelo ponto
P(xp, yp, zp) e tem a direção do vetor v é dada por (x, y, z) = (xp, yp, zp) + t. (xv, yv, zv). Com base nessas informações,
determine a equação vetorial da reta no R³ que passe pelo ponto P (1, 2, 3) e tenha a direção do vetor v = (1, 2, 4).
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7).
Aluno: ALEXANDRE AUGUSTO FERREIRA PINHEIRO Matrícula: 201809026229
Disc.: GEOM.ANALÍT.ÁLG.LIN 2019.1 - F (G) / EX
 
Prezado (a) Aluno(a),
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
1.
x= -2+t ; y = t ; z = -1+t
x= -2+t ; y = -t ; z = 1+t
x= -2-t ; y = t ; z = 1+t
x= 2+t ; y = t ; z = 1+t
x= -2+t ; y = t ; z = 1+t
 
 
 
Explicação:
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1)
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-2+t , y=t , z=1+t.
 
 
 
 
2.
(x, y, z) = (0, 2, 3) + t.(1, 2, -4)
(x, y, z) = (1, 0, 3) + t.(1, 2, 0)
(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(2, 2, 4)
(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(1, -2, 4)
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4)
 
 
 
Explicação:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4)
 
 
 
 
3.
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3
x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3
x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7
 
 
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Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os pontos A e B?
Qual o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u = (-3,-3,-3), v = (0,4,9) e t = (-1,2,7)?
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da
reta que passa pelos pontos.
 
Explicação:
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" =
y-y' /y" = z-z' / z".
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas.
 
 
 
 
4.
3V5
V5
8V5
2V5
4V5
 
 
 
Explicação:
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2)
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6)
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5
 
 
 
 
5.
30
15
10
20
5
 
 
 
Explicação:
O volume do paralelepípedo é definido por:
V = |u,v,t|
-3 -3 -3
0 4 9
-1 2 7
O módulo do determinante da matriz será equivalente ao volume. Logo: V = 15
 
 
 
 
6.
3x + 2y + 2= 0
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Um pesquisador não conhece as coordenadas de P(m, 1, n) mas sabe que P pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B
(4,-3,-1). Podemos definir que P é:
x - 7 y + 3 = 0
9x - 4y + 41 = 0
x + 55 y + 2 = 0
7 x + 3y + 1 = 0
 
 
 
Explicação:
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da
reta que passa pelos pontos.
y - y0 = m (x - x0)
m =(8-(-1) )/ (-1 -(-5)) = 9/4
y - (-1) = 9/4 (x - (-5))
y + 1 = 9/4 (x+5)
y + 1 = 9/4 x + (9/4) 5
4y + 4 = 9 x + 45
-4y + 9x - 4 + 45 = 0
9x - 4y + 41 = 0
 
 
 
 
 
 
7.
P (4,2,1)
P (3,3,1)
P(0,1,3)
P (3,4,5)
P (2,1,9)
 
 
 
Explicação:
O ponto P(m, 1,n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1) , Determine P
Temos o vetor AB = B - A = (4,-3,-1) - (3,-1,4)= (1,-2,-5)
Com o vetor AB escrevemos a reta: t . AB
Como P pertence a reta entao AP = P - A = ( m -3,1 - (-1), n - 4) = (m - 3, 2, n - 4)
Como AP é paralelo a AB entao AP = t AB
Entao temos o sistema:
m -3 = 1 t
1+1 = - 2 t
n- 4 = -5 t
Portanto -2 t = 2 entao t = -1
m - 3 = 1 (-1) entao m = 2
n - 4 = - 5 (-1) entao n = 9
P ( 2,1,9)
 
 
 
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O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual a:
 
8.
56,31o
90,05o
65,66o
22,56o
12,77o
 
 
 
Explicação:
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula:
cos x = (v . u) / (v . u)
Onde: v e u são os módulos dos vetores
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12
v = 
u = 6
 
 
 
 
 
√13
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