Atividades e Exercícios

Prévia do material em texto

Atividade 6
1) Enuncie o critério de Routh e determine se o sistema descrito pela função de transferência abaixo é estável.
H(s) = 4s2 − 2s + 4H(s) = 4s2 - 2s + 4
	
Gabarito comentado:
O critério de Routh afirma que um SLIT é estável se, e somente se, todos os elementos na primeira coluna do arranjo de Routh forem positivos. O número de polos no SPD representa o número de trocas de sinal dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh.
Construindo o arranjo de Routh:
Como há um elemento da primeira coluna negativo, é possível afirmar que o sistema é instável. Além disso, como existem duas trocas de sinal nos elementos da primeira coluna, existem 2 polos no SPD. Esse resultado concorda com esta mesma atividade proposta na aula anterior.
2) Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema cuja função de transferência em malha fechada dada abaixo é estável:
H(s) = K(s + 1)s4 + (K − 2)s3 + 5s2 + K + 1H(s) = K(s + 1)s4 + (K - 2)s3 + 5s2 + K + 1 
	
Gabarito comentado:
A primeira observação a ser feita é que o coeficiente do fator 𝑠 do polinômio do denominador é zero. Feita esta observação, pode-se passar à construção do arranjo de Routh:
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo:
K-2>0 e -((K-2)(K+1))/5>0 e K+1>0     (P6.1)
A solução da primeira inequação é:
K>2     (P6.2)
A solução da segunda inequação é:
-1<K<2     (P6.3)
A solução da terceira inequação é:
K>-1     (P6.4)
Como não há interseção entre os três conjuntos solução das três inequações, a solução é vazio, ou seja, não existe valor real de K que torne o sistema estável. Portanto, haverá ao menos uma troca de sinal na primeira coluna do arranjo de Routh.
3) Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema de malha fechada abaixo é estável.
Gabarito comentado:
A função de transferência de malha fechada é:
H(s) = Y(s)R(s) = K(s + 1)s(s − 1)(s + 6) + K(s + 1) = K(s + 1)s3 + 5s2 + (K − 6)s + KH(s) = Y(s)R(s) = K(s + 1)s(s - 1)(s + 6) + K(s + 1) = K(s + 1)s3 + 5s2 + (K - 6)s + K 
Construindo o arranjo de Routh:
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo:
(p6.6)
4k − 305 > 0 e K > 04k - 305 > 0 e K > 0 
A interseção da solução das duas inequações é:
(p6.7)
K > 7,5K > 7,5 
4) Quais são os casos especiais do critério de Routh?
Gabarito sugerido:
O critério de Routh possui dois casos especiais:
O primeiro caso especial é quando ocorre um zero na primeira coluna do arranjo de Routh. Neste caso, o elemento que deu zero deve ser substituído por uma constante pequena e positiva ε>0. O procedimento de cálculo para determinar os outros valores do arranjo de Routh deve ser efetuado com a constante ε. Quando todos os elementos do arranjo tiverem sido determinados, deve-se tomar o limite quando ε→0 dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh que possuem 𝜀 como parâmetro. Em seguida, deve ser estudado o sinal da primeira coluna para verificar se houve ou não mudança de sinal.
O segundo caso especial é quando uma linha inteira de zeros aparece no arranjo de Routh. Neste caso, a linha com os zeros deve ser substituída por uma nova linha. Esta nova linha é composta pelos coeficientes da derivada do polinômio auxiliar da linha anterior.
5) Determine se o sistema descrito pela função de transferência abaixo é estável, instável ou marginalmente estável.
H(s) = 10s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s +4H(s) = 10s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s +4 
	
Gabarito comentado:
Construindo o arranjo de Routh:
Como existe um elemento negativo na primeira coluna do Arranjo Routh, o sistema é instável.
6) Determine se alguma das raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo está no SPD.
H(s) = 12s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 +2s +1H(s) = 12s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 +2s +1 
	
Gabarito comentado:
Construindo o arranjo de Routh:
Aplicando os limites quando 𝜀→0 nos elementos da primeira coluna:
limε→03ε − 4ε → −∞ e limε→0 03ε2 + 12ε − 169ε − 12 = 43limε→03ε - 4ε → -∞ e limε→0 03ε2 + 12ε - 169ε - 12 = 43 
Portanto, existem 2 polos no SPD, já que houve 2 trocas de sinal na primeira coluna do Arranjo de Routh (uma troca de sinal de ε>0 para −∞ e outra troca de sinal de −∞ para 4343).
		1.
		Determine quantas raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo estão no semiplano da direita (SPD).
	
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	1
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o menor valor inteiro do ganho K para que o sistema resultante abaixo em malha fechada seja estável, sabendo-se que na malha de realimentação, não há dinâmica ou ganho, portanto H (s) = 1
G (s) = k(s+2)s3+3s2−6s−8
		
	
	
	
	9
	
	
	7
	
	
	13
	
	
	11
	
	
	15
	
Explicação: 
Fazemos Gs=G1+GH
	 
E na tabela de Routh, teremos (k - 10) / 3 e 2k - 8, que ambos devem ser maiores que zero, logo k > 10
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dado D(s)=s6+2s5-9s4-12s3+43s2+50s-75 que possui coeficientes positivos e negativos, podemos afirmar que
	
	
	
	Como possui 3 coeficientes negativos, o sistema é estável
	
	
	Como existem mais coeficientes negativos do que positivos é um polinômio não estável
	
	
	Como possui mais de 2 coeficientes positivos, o sistema é estável
	
	
	Como possui mais de 2 coeficientes positivos, o sistema é instável
	
	
	Como existem coeficientes negativos e positivos é um polinômio não estável
	
Explicação: 
Um polinômio que possui coeficientes negativos e positivos é não estável
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine quantas raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo estão no semiplano da direita (SPD).
	
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	2
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dada a função de transferência em malha fechada H(s), determine a faixa de K para garantir a estabilidade.
H(s)=s3−4s−11s5+s4+4s3+2s2+3s+k−1
		 
	
	
	
	1 < k < 2
	
	
	K > -2
	
	
	0 < k < 2
	
	
	K > -1
	
	
	K > 0
	
Explicação: 
Aplicação direta da tabela de Routh
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o que pode ser afirmado sobre a estabilidade do sistema descrito pela função de transferência abaixo:
	
	
	
	O sistema possui um polo no semiplano da direita.
	
	
	Não é possível saber se o sistema é estável ou instável.
	
	
	O sistema é estável.
	
	
	O sistema é marginalmente estável.
	
	
	O sistema é instável.
	
Explicação: 
Tabela 3 – Resumo contendo o tipo do sistema e o erro estacionário para cada uma das três entradas de teste [1]
 Fonte: Tabela adaptada de DISTEFANO III; STUBBERUD; WILLIAMS, 2014, p.218. 
Atividade 7
1) Defina erro estacionário. Cite quais são as três entradas de teste comumente utilizadas para avaliar o erro estacionário. Indique quais são as transformadas de Laplace das três entradas de teste.
Gabarito sugerido
O erro em regime permanente ou erro estacionário é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste prescrita quando o tempo tende a infinito. As entradas de teste mais usadas para avaliar o erro estacionário são: o degrau unitário, a rampa e a parábola. As transformadas de Laplace do degrau unitário (r(t)=1), da rampa unitária (r(t)=t) e da parábola(r(t)=t2/2) são, respectivamente, R(s) = 1/s, R(s)=1/s2.
2) Dado o sistema de controle em malha fechada abaixo, determine o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário, uma entrada em rampa unitária e uma entrada em parábola.
Gabarito sugerido
Como o sistema de malha fechada ilustrado no diagrama em blocos acima possui realimentação unitária, (7.6), (7.8) e (7.10) são válidas, bastando substituir a expressão de 𝐺(𝑠):
edegrau(∞) = 11 + lims→0  Ks(s+12) = 0                                                   (P7.1)edegrau(∞) = 11 + lims→0  Ks(s+12) = 0                                                   (P7.1)
erampa(∞) = 1lims→0  Kss(s+12) = 12K                                                   (P7.2)erampa(∞) = 1lims→0  Kss(s+12) = 12K(P7.2)
eparábola(∞) = 1lims→0  Ks2s(s+12) = ∞                                                 (P7.3)eparábola(∞) = 1lims→0  Ks2s(s+12) = ∞                                                 (P7.3)
3) Dado o sistema de controle abaixo formado por duas possíveis funções de transferência Gc(s), deseja-se obter erro estacionário nulo com 𝐾≠0 para uma entrada em degrau unitário. Verifique as condições de estabilidade do sistema e determine qual função de transferência Gc(s) deve ser utilizada.
Gabarito sugerido
Suponha primeiramente a utilização da 1ª função de transferência. Neste caso, a função de transferência em malha fechada do sistema vale:
Y(S)R(S) = KS2+S+K                                                            (P7.4)Y(S)R(S) = KS2+S+K                                                            (P7.4)
Para estudar a estabilidade da 1ª função de transferência, aplica-se o critério de Routh. Para tanto, o arranjo de Routh é:
Como o critério de Routh assegura que, para que um sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna do arranjo de Routh devem ser positivos, o sistema será estável se 𝐾>0.
Com relação ao cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6), uma vez que o sistema de malha fechada possui realimentação unitária:
edegrau(∞) =11 + limS→0  KS(S +1) = 0                                                           (P7.5)edegrau(∞) =11 + limS→0  KS(S + 1) = 0                                                           (P7.5)
Portanto, a 1ª função de transferência pode ser utilizada, desde que 𝐾>0. Considere agora o caso da 2ª função de transferência. 
Neste caso, a função de transferência em malha fechada do sistema vale:
Y(S)R(S) = K(S + 2)S3 + S2 + KS + 2K                                                           (P7.6)Y(S)R(S) = K(S + 2)S3 + S2 + KS + 2K                                                           (P7.6)
Para estudar a estabilidade, aplica-se o critério de Routh, montando o seguinte arranjo:
Uma vez que, na primeira coluna do arranjo de Routh, existe um elemento –𝐾 e outro elemento 2𝐾, independentemente do valor de 𝐾, pelo menos uma troca de sinal ocorrerá na primeira coluna do arranjo. Portanto, o sistema é instável para qualquer valor 𝐾. Logo, a 2ª função de transferência não deve ser utilizada, pois é instável. 
Por questões didáticas apenas, o erro estacionário no caso da 2ª função de transferência é:
edegrau(∞) = 11+ lims→0 (K + K0,5S) 1S(S + 1) = 0                                                          (P7.7)edegrau(∞) = 11+ lims→0 (K + K0,5S) 1S(S + 1) = 0                                                          (P7.7)
Você verá na aula 10 que a 1ª função de transferência GC(S) = kGC(S) = k é a de um Controlador Proporcional, enquanto a 2ª função de transferência GC(S) = k + K0,5SGC(S) = k + K0,5S é a de um Controlador Proporcional Integral. 
4) Para o sistema de controle mostrado abaixo, onde 𝐾, 𝐴 e 𝜏 são constantes, determine o tipo do sistema e o erro estacionário para uma entrada em degrau unitário.
Gabarito sugerido
O sistema possui realimentação unitária, logo o tipo do sistema é determinado pelo número de polos na origem de GC(S) = KA𝜏s + 1GC(S) = KA𝜏s + 1.
Como não existem polos na origem, o sistema é do Tipo 0.
Para o cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6):
edegrau(∞) = 11+ lims→0  KA𝜏s + 1 = 11 + KA                                           (P7.8)edegrau(∞) = 11+ lims→0  KA𝜏s + 1 = 11 + KA                                           (P7.8)
5) Para o sistema de controle mostrado abaixo, determine as constantes de erro estático, o tipo do sistema e o erro estacionário para uma entrada em degrau unitário, em rampa unitária e em parábola.
Gabarito sugerido
O sistema não possui realimentação unitária (H(S) = 1S + 5)(H(S) = 1S + 5). Logo, a primeira ação a ser realizada é convertê-lo em um sistema com realimentação unitária. A maneira de realizar tal conversão é aplicar (7.18):
G1(S) = G(S)1 + G(S)H(S) − G(S) = 100S(S + 10)1 + 100S(S + 10)(S + 5) − 100S(S + 10)                                 (P7.9)G1(S) = G(S)1 + G(S)H(S) - G(S) = 100S(S + 10)1 + 100S(S + 10)(S + 5) - 100S(S + 10)                                 (P7.9)
Simplificando a expressão anterior:
G1(S) = 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100 (s + 5) + 100                               (P7.10)G1(S) = 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100 (s + 5) + 100                               (P7.10)
Aplicando as definições descritas na Tabela 2, tem-se:
Kp = lims→0  100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = −1,25                    (P7.11)Kp = lims→0  100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = -1,25                    (P7.11)
Kv = lims→0  100s(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.12)Kv = lims→0  100s(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.12)
Ka = lims→0  100s2(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.13)Ka = lims→0  100s2(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0                    (P7.13)
Aplicando (7.11), (7.12) e (7.13):
edegrau(∞) = −4                                                              (P7.14)edegrau(∞) = -4                                                              (P7.14)
erampa(∞) = ∞                                                                 (P7.15)erampa(∞) = ∞                                                                 (P7.15)
eparábola(∞) = ∞                                                                 (P7.16)eparábola(∞) = ∞                                                                 (P7.16)
Para verificar o tipo do sistema, basta verificar o número de polos localizados na origem de G1(s). Para encontrar a localização dos polos, é necessário determinar as raízes da equação:
s(s + 5)(s + 10)−100(s + 5) + 100 = 0                   (P7.17)
Simplificando a equação anterior:
s3 + 15s2 − 50s − 400 = 0                  (P7.18) 
É fácil verificar que a equação anterior não possui polos localizados na origem, consequentemente, o tipo do sistema é 0.
		1.
		Dado um sistema do tipo 1, onde G(s)H(s) = 3s+6s(s+1)(s+6)
		, determine a constante de erro de velocidade
	
	
	
	0
	
	
	1/2
	
	
	∞
	
	
	
	2
	
	
	1
	
Explicação: 
kv=lims→0sG(s)H(s)
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dado um sistema do tipo 1, onde G(s)H(s) = 3s+6s(s+1)(s+6)
		, determine a constante de erro de posição
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	1/2
	
	
	3
	
	
	∞
	
	
Explicação: 
Ka=lims→0s2G(s)H(s)
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre o erro estacionário para a entrada r(t)=2t2u(t).
	
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	infinito
	
	
	0
	
	
	5
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Encontre o erro estacionário para a entrada r(t)=2t2u(t).
	
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	2
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para o sistema descrito pelo diagrama em blocos abaixo, determine o tipo do sistema.
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	2
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dado um sistema do tipo 1, onde G(s)H(s) = 3s+6s(s+1)(s+6)
		  , determine a constante de erro de posição
	
	
	
	18
	
	
	∞
	
	
	
	0
	
	
	6
	
	
	3
	
Explicação: 
kp=lims→0G(s)H(s)
Bode
1. Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a seguir:
G(s) = 100(s+1)(s+100)G(s) = 100(s+1)(s+100)
Gabarito comentado
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 100. O módulo da função de transferência com 𝑠=𝑗𝜔, fornece:
∣∣∣G(jω)∣∣∣=1000ω2+1√ ω2+1002√|G(jω)|=1000ω2+1 ω2+1002
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se:
	ω
	0<ω<1
	1<ω<10
	ω>100
	ω2+1‾‾‾‾‾‾‾√ω2+1
	1
	ω
	ω
	ω2+1002‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ω2+1002
	100
	100
	ω
	∣∣G(jω)∣∣|G(jω)|
	10
	10ω10ω
	1000ω21000ω2
	GdBGdB
	20
	20-20logω
	60-40logω
Tomando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme ilustrado na figura abaixo relativa ao ganho. As assíntotas da fase são diretamenteobtidas das assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do ganho por π2π2.
2. Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a seguir:
G(s)=1000(s+1)s(s+10)G(s)=1000(s+1)s(s+10)
Gabarito
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 10. O módulo da função de transferência com S=jω, fornece:
∣∣∣G(jω)∣∣∣=1000ω2+1√ωω2+102√|G(jω)|=1000ω2+1ωω2+102
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se:
	ω
	0<ω<1
	1<ω<10
	ω>100
	ω2+1‾‾‾‾‾‾‾√ω2+1
	1
	ω
	ω
	ω
	ω
	ω
	ω
	ω2+102‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ω2+102
	10
	10
	ω
	∣∣G(jω)∣∣|G(jω)|
	100ω100ω
	100
	1000ω1000ω
	GdBGdB
	40-20logω
	40
	60-20logω
Tomando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme ilustrado na figura abaixo relativa ao ganho. As assíntotas da fase são diretamente obtidas das assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do ganho por π2π2.
2. Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com realimentação unitária, com:
G(s)=100(1+s10)3G(s)=100(1+s10)3 
	
Proponha um compensador para que a margem de fase (M𝔣)(Mf) do sistema em malha fechada seja igual a 45° e que o erro estacionário seja de 5% para uma entrada em degrau.
Gabarito comentado
Vamos verificar se um compensador de atraso fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar encontrar o ganho KK que satisfaz a margem de fase requerida. Como:
G(jω)=K(1+jω10)3G(jω)=K1+jω103
É possível provar que [2]:
M𝔣=π+φ(ω𝔠0)Mf=π+φ(ωc0)
, onde M𝔣Mf é a margem de fase e φ(ω𝔠0)φ(ωc0) é a defasagem na frequência de corte de 0 dB.
Neste caso:
M𝔣=π−3tan−1ω𝔠010=π4Mf=π-3tan-1ωc010=π4
Resolvendo a equação:
ω𝔠0=10rad/sωc0=10rad/s
Logo:
∣∣∣∣∣∣G⎛⎝⎜⎜⎜jω𝔠0⎞⎠⎟⎟⎟∣∣∣∣∣∣=k(1+ω𝔠02100√)3=1|G(jωc0)|=k1+ωc021003=1
Resolvendo a equação:
K=2,8K=2,8
Verificando o erro estacionário:
edegrau(∞)=lims→0[1−KK+(1+s10)3]=1K+1=0,26edegrau(∞)=lims→01-KK+1+s103=1K+1=0,26
Logo, o erro estacionário não atende à especificação de 5%. É necessário, então, alterar o valor do ganho estático KK para K𝔠Kc:
edegrau(∞)=1K𝔠+1=0,05edegrau(∞)=1Kc+1=0,05
Resolvendo a equação:
K𝔠=19Kc=19
A função de transferência de malha aberta após a inserção do compensador é:
A𝔠(s)=α(1+Ts)1+αTs2,8(1+s10)3Ac(s)=α(1+Ts)1+αTs2,81+s103
O ganho estático é:
K𝔠=2,8α=19Kc=2,8α=19
Logo:
α=6,8α=6,8
Para definir TT, basta escolher um valor TT tal que 1T1T seja muito menor que a frequência de corte de 0 dB (ω𝔠0)(ωc0). Portanto, é possível escolher T=10sT=10s. 
Resultando em:
C(s)=6,8(1+10s)1+68s
3. Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com realimentação unitária, com:
G(s)=100(s+1)2G(s)=100(s+1)2 
	
O objetivo é corrigir este sistema para que sua margem de fase (M𝔣)(Mf) seja igual a 45°.
Gabarito comentado
Vamos verificar se um compensador de avanço fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar encontrar a margem de fase do sistema:
∣∣∣G(jω𝔠0)∣∣∣=1001+ω2𝔠0=1|G(jωc0)|=1001+ωc02=1
Resolvendo a equação:
ω𝔠0=9,95rad/sωc0=9,95rad/s
Neste caso:
M𝔣=π−2tan−1ω𝔠0=0,2rad=11°Mf=π-2tan-1ωc0=0,2rad=11°
Logo, devemos aumentar a margem de fase de 34°. Usando (10.23):
∠C(jωmax)=sin−1α−1α+1=34°∠C(jωmax)=sin-1α-1α+1=34°
Resolvendo a equação:
α=3,54α=3,54
Como:
ωmax=1Tα√=9,95ωmax=1Tα=9,95
Resolvendo a equação:
T=0,053sT=0,053s
Retornando para função de transferência:
C(s)=1+0,19s1+0,053s
		1.
		
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meio de um compensador H(s). Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s)=K com K>0, então a planta:
	
	
	
	poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganho K positivo, tendo em vista que a função de transferência de malha aberta possui grau relativo 1 e apresenta um zero no semieixo real negativo do plano s.
	
	
	poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir de certo valor de ganho K positivo, os polos de malha fechada seguirão duas assíntotas no semiplano esquerdo.
	
	
	não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-se o ganho K do compensador, ainda restarão polos de malha fechada no semiplano direito.
	
	
	poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganho K positivo.
	
	
	não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a função de transferência da planta apresenta um par de polos no semiplano direito.
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
A figura ilustra uma planta industrial controlada por um compensador H(s). Considere
G(s)=3(s+5)s2+4s+3
 e  H(s)=2(s+4)s
		Com relação à capacidade de saida y(t) de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplicados em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo 
	
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear a entrada em u(t).
	
	
	parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro constante a entrada em u(t).
	
	
	rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
Explicação: 
E(s)=U(s)1+G(s)H(s)
 
e(∞)=lims→0sE(s)
e(∞)=lims→0sU(s)1+G(s)H(s)
edegrau(∞)=lims→011+G(s)H(s)=0
erampa(∞)=lims→01s+G(s)H(s)
eparábola(∞)=lims→01s2+G(s)H(s)
	 
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		
	
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale aproximadamente  - 0,14
	
	
	Pertence ao LGR, pois K pode assumir dois valores simétricos, + 0,14 e - 0,14
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale aproximadamente  - 0,14
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale aproximadamente  0,14
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale aproximadamente 0,14
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro constante a entrada em u(t).
	
	
	rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo a entrada em u(t).
	
	
	degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear a entrada em u(t).
	
Explicação: 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dado um sistema controlado por um controlador proporcional, cuja equação característica é dada por s3 + 3s2 + 3s + 1 + Kc/8, substituindo s = wi concluimos que valor do ganho no limite de estabilidade vale
	
	
	
	64
	
	
	256
	
	
	16
	
	
	32
	
	
	128
	
Explicação: 
Substituindo s = wi, temos
	
	
	
	 
		
	
		6.
		
 
Uma planta com função de transferência 1/(s-2) está sujeita à malha de realimentação unitária indicada na figura acima, em que C(s) = (s+3)/(s+1) é um compensador e k é ganho real positivo. Determine se o ponto s = 1 pertence ao LGR.
	
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale 0,5
 
	
	
	Pertence ao LGR, pois K é real
	
	
	Não pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale 0,5
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é positivo e vale 0,5
	
	
	Pertence ao LGR, pois o valor de K é negativo e vale -0,5
	
Explicação: 
Substituindo o ponto na equação característica, ele pertencerá ao LGR se o k encontrado for real e positivo
FTMF=k(s+3)(s+1)(s−2)+k(s+3)
	 
A equação característica é (s+1)(s-2)+k(s+3) = 0
Substituindo s = 1
2.(-1)+4k = 0
k = 0,5
Como k é real positivo s = 1 pertence ao LGR