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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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5) Considere a função dada 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6. 
Determine, se existirem, , 
 
6) Classifique as funções em contínuas ou 
descontínuas. 
 
7) Utilize as propriedades para justificar a 
continuidade das funções seguintes: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
31 
 
 
 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO 
Em alguns casos, quando calculamos o 
limite de uma função, estes não resultam em um 
número, pois a função em jogo cresce ou 
decresce indefinidamente. Em outras palavras, 
se quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 (𝑥 → 𝑎) tiver 𝑓(𝑥) 
crescendo ou decrescendo indefinidamente, 
diremos que ou, 
 respectivamente. 
Tomemos dois exemplos. 
Exemplo 1: Considere a função dada por 
 e determine 
 . 
Se 𝑥 tende a 3 pela direita, então 𝑥 − 3 se 
aproxima de zero por valores positivos. 
Logo, o quociente cresce indefinidamente. 
Dizemos, então, que . 
Se 𝑥 tende a 3 pela esquerda, então 𝑥 − 3 se 
aproxima de zero por valores negativos. 
Logo, decresce indefinidamente. Dizemos, 
então, que . 
Em termos informais, se o numerador é um 
número positivo e o denominador se aproxima de 
zero, o resultado será um número cada vez maior 
(em módulo), ou seja, um número muito grande, 
positivo ou negativo. Então, 1 dividido por um 
número positivo muito pequeno resulta em um 
número positivo muito grande, ao passo que 1 
dividido por um número negativo muito pequeno 
resulta em um número negativo muito grande. 
Note que o fato de o numerador ser 1 não difere, 
neste caso, dele ser qualquer outro número real, 
já que quando o denominador tende a zero, o 
resultado da divisão tende a infinito. 
Exemplo 2: Considere a função dada por 
 e determine 
. 
Se 𝑥 tende a 0 pela direita, então 𝑥² se aproxima 
de zero por valores positivos. 
Logo, o quociente cresce indefinidamente. 
Dizemos, então, que . 
Se 𝑥 tende a 0 pela esquerda, então 𝑥2 se 
aproxima de zero também por valores negativos. 
Logo, o quociente cresce indefinidamente. 
Dizemos, então, que 
+∞. 
No Exemplo 1, temos que 
 . Neste caso, dizemos 
que não existe Já no exemplo 2, 
temos Portanto, 
dizemos que 
• Limites no infinito: 
Existem limites de determinadas funções 
que ao serem resolvidos, obtém-se como 
resultado uma das expressões a seguir, 
 
Costuma-se dizer que estas expressões 
são indeterminadas, ou seja, correspondem a 
símbolos de indeterminação. Para a resolução de 
limites que apresentam como solução os 
símbolos acima, é necessário que se faça uso de 
artifícios algébricos, o que veremos agora. 
Consideremos que a temperatura de um 
objeto em função do tempo seja dada por 𝑓(𝑡). Se 
estivermos interessados em estudar o 
comportamento da temperatura do objeto quando 
esperamos um tempo suficientemente longo 
traduzimos isto matematicamente como: 
 
Também podemos imaginar que uma 
função 𝑔 represente a concentração de um 
medicamento introduzido por via endovenosa no 
sangue de um paciente. Suponha que estejamos 
interessados em estudar esta concentração após 
um tempo muito grande. Matematicamente 
estamos interessados no limite 
 
Exemplo 3: Seja , vamos 
calcular . Observemos que, para 
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valores de 𝑥 cada vez maiores (tendendo ao 
infinito), a expressão assume valores cada vez 
menores (tendendo a zero). 
 
O gráfico de evidencia o 
resultado encontrado. 
 
Conforme 𝑥 aumenta indefinidamente, o gráfico 
de 𝑓 se aproxima da reta 𝑦 = 3 sem nunca a 
intersectar. O comportamento numérico da 
função, mostrado na tabela a seguir, também nos 
indica que . 
 
Observemos que, à medida que 𝑥 tende ao 
infinito (assume valores cada vez maiores), o 
limite de 𝑓(𝑥) vai ficando arbitrariamente próximo 
de 3 (mas com valores estritamente maiores que 
três). 
A reta 𝑦 = 3 é denominada assíntota horizontal. 
Exemplo 4: Calcular . 
Substituindo o valor de 𝑥 por 4, obtém-se a 
indeterminação assim, para que o limite 
acima possa ser resolvido, é necessário dividir o 
numerador e o denominador por 𝑥 − 4, ou seja, 
efetua-se a divisão de polinômios. 
 
 
Exemplo 5: . 
Substituindo 𝑥 por zero, obtém-se a 
indeterminação Para eliminar esta 
indeterminação, vamos racionalizar o numerador 
multiplicando-o por seu conjugado, ou seja, 
 
Exemplo 6: Determinar 
Substituindo 𝑥 por ∞, obtém-se a indeterminação 
 Neste caso, como temos polinômios, 
podemos “colocar em evidência” a maior das 
potências, no caso 𝑥², tanto no numerador quanto 
no denominador. 
Assim 
. 
Chegamos, então, a uma fração onde o 
numerador tende a 4 (pois tende a zero) e 
denominador tendendo a zero. Portanto, 
 
Também poderíamos usar um procedimento 
prático, considerando apenas a maior potência 
do numerador, no caso 𝑥² e a maior do 
denominador, no caso 𝑥, desprezando os demais 
termos. Assim, ficaríamos com 
 . 
Exercícios Propostos: 
1) Considerando os gráficos abaixo estime os 
valores de para 
cada dado. 
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2) Seja e determine 
 . 
3) Seja e determine 
 
4) Seja e determine 
 
5) Seja e determine 
 . 
6) Seja e determine 
 . 
7) Calcular . 
8) Calcular . 
9) Calcule 
10) Calcule 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA 
AULA 09 ATÉ 12 
Exercícios da Aula 09: 
 
1) (2𝑥³ + 12𝑥 − 7): (𝑥 + 1) 
2) 
 
 
 
4) 
Exercícios da Aula 10: 
 
 
 
 
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5) Seja a função 𝑓 definida por 
 determine, se existir, 
 
 
Portanto, não existe 
6) Seja a função 𝑔 definida por 
 
determine, se existir, 
 
Portanto, . 
Exercícios da Aula 11: 
1) Calcule, se existir, , sendo 
 
Portanto, 
não existe . 
2) Calcule, se existir, , sendo 
 
 
Portanto, . 
3) Calcule, se existir, e , 
sendo 
Portanto, 
 
Portanto, . 
4) Dada a função , com 
𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2, determinar, se possível, 
 
 
5) Considere a função dada 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6. 
 Determine, se existirem, 
 e 
 
 
6) Classifique as funções em contínuas ou 
descontínuas. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 
Função contínua. 
b) 𝑦 = −𝑥² + 7𝑥 
Função contínua. 
c) 
.Portanto 𝑓 é descontínua em 𝑥 = 6. 
d) 
 
Portanto 𝑓 é contínua. 
7) Justificar a continuidade das funções 
seguintes: 
a) É 
contínua pois é polinomial. 
b) 
As funções seno e cosseno são 
contínuas, bem como a função exponencial. E o 
produto de funções contínuas é contínua. 
Exercícios da Aula 12: 
1) Considerando os gráficos abaixo estime os 
valores de para cada 
dado. 
a) 
b) 
 
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2) Seja e determine 
 
pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores negativos. 
3) Seja e determine 
e 
 pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores positivos. 
 pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores negativos. 
4) Seja e determine 
 
 pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. 
pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. 
5) Seja e determine 
 . 
 pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. 
pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores negativos. 
6) Seja e determine 
 . 
pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores positivos. 
pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores positivos. 
7) Calcular 
 
8) Calcular 
 
9) Calcule 
 
 
10) Calcule 
 
 
 
UM LIMITE FUNDAMENTAL 
Nesta aula trataremos do limite do 
quociente quando 𝑥 tende a zero. 
Faremos

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