Matriz Inversa e Cálculo de Posto

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ALGEBRA LINEAR 
AULA 2- INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ 
 
 
INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 
ÁLGEBRA LINEAR 
Conteúdo Programático desta aula 
 
. Matriz Inversa: 
 Definição. Exemplos. 
. Matriz Adjunta de uma matriz quadrada A 
. Propriedades da Matriz Inversa 
. Operações Elementares com as linhas de uma Matriz 
. Matrizes Linhas Equivalentes 
. Formas Escalonadas de uma Matriz 
. Posto de uma Matriz 
. Exercícios 
 
 
INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
MATRIZ INVERSA 
DEFINIÇÃO 
 Considere uma matriz quadrada A de ordem n. A matriz 
B, da mesma ordem que A, denominamos inversa de A se o 
produto delas for a matriz identidade. 
Assim: 
 AB = BA = In 
 
 A matriz B que é a inversa de A é indicada por A-1. 
Logo: 
 A.A-1 = A-1 . A = In 
Obs.: 
 1. A matriz inversa A-1 será também de ordem n. 
 2. Se não existir a inversa, dizemos que a matriz A não é 
inversivel ou uma matriz singular. 
 
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EXEMPLO. 
 Determine a inversa da matriz A = 2 5 
 1 3 
SOLUÇÃO: 
 Fazendo A-1 = a b , temos: 
 c d 
 
A.A-1=I2 => 2 5 . a b = 1 0 => 
 1 3 c d 0 1 
 
 2a+5c 2b+5d = 1 0 => 
 a+3c b+3d 0 1 
 
 
31
03
152






eac
ca
ca
52
13
052






ebd
db
db
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Logo: A-1= 3 -5 
 -1 2 
 
 Então temos que: A. A-1 = A-1 . A = I2 
 
 Observe ainda que considerando A 
 = a b e sua 
 c d 
inversa como B = x y obtemos: 
 z w 
 
A.B = I2 =>A.A
-1 = I2 => ax+bz ay+bw = 1 0 
 cx+dz cy+dw 0 1 
 
 
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Daí obtemos: 
 
 e 
 
 
 e 
 
 
Note que: det A = ad – bc. 
 
 Desse modo podemos escrever: 
 
 d -b 
 -c a 
 
 
 
A
d
x
det

A
c
z
det


A
b
y
det


A
a
w
det

A
A
det
11


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 Assim podemos calcular a matriz inversa da matriz 
 
 A = 2 5 
 1 3 será: d -b 
 -c a . 
 
Logo: det A = 2.3 – 1.5 = 6 – 5 = 1 
 
DaÍ: A-1 = 1/1 3 -5 => A-1 = 3 -5 
 -1 2 -1 2 
Note que desse modo faz-se menos cálculos. 
 De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é 
inversivel se, e somente se, o seu determinante for 
diferente de zero. 
 
 
A
A
det
11


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MATRIZ ADJUNTA DE UMA MATRIZ QUADRADA A 
 
A MATRIZ ADJUNTA DE A indicada por A=Adj(A) é a transposta 
da matriz dos cofatores de A, isto é: 
 Adj(A)= (A)t 
 
EXEMPLO: 
 Calcular a matriz inversa da matriz A = 2 5 
 1 3 
SOLUÇÃO: 
Os cofatores da matriz A são: 
 A11=(-1)
1+1.3=3 
 A12=(-1)
1+2.1=-1 
 A21=(-1)
2+1.5=-5 
 A22=(-1)
2+2.2=2 
 
 
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A matriz dos cofatores de A é: 
 A’ = 3 -1 
 -5 2 
 
 A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores 
de A: 
 A = 3 -5 
 -1 2 
 
Logo, a matriz inversa de A é: 
 A-1= . A = . 3 -5 => A-1 = 3 -5 
 -1 2 -1 2 
 
Adet
1
1
1
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PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA 
 Sejam A e B matrizes quadradas inversiveis de ordem n. 
1. A matriz inversa da matriz identidade é a matriz 
identidade. 
2. (A-1) -1 = A 
3. (k.A) -1 = . A-1 
 
4. (At) -1 = (A-1)t 
 
5. (A.B) -1 = B—1 . A-1 
 
6. (det A-1) = 
k
1
Adet
1
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OPERAÇÕES ELEMENTARES COM AS LINHAS DE UMA MATRIZ. 
 
 As possíveis operações elementares com as linhas de 
uma matriz são: 
 
1. Troca de Linhas. 
 
2. Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo. 
 
3. Substituição de uma linha por ela própria adicionada a 
uma outra linha multiplicada por um escalar. 
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MATRIZES LINHAS EQUIVALENTES 
 A matriz B é linha equivalente a uma matriz A se B for 
obtida de A por um número finito de operações elementares. 
EXEMPLO: 
 
 
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FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ 
 Uma matriz retangular está escalonada se satisfaz as 
três seguintes propriedades: 
1. Todas as linhas não nulas estão acima de qualquer linha só 
de zeros. 
 
2. Cada coluna que apresentar o primeiro elemento não nulo 
de uma linha deve ter todos os outros elementos iguais a 
zero. 
 
3. O número de zeros que precede o primeiro elemento 
nãonulo de cada linha deve crescer linha após linha. 
 
4. Toda linha nula deve vir abaixo de todas as linhas 
nãonulas. 
 
 
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EXEMPLOS: 
 
 
 
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POSTO DE UMA MATRIZ 
 Considere uma matriz B que represente a matriz 
escalonada de uma matriz A. Denomina-se posto de A , denotado 
por pos(A), ao número de linhas não nulas da matriz B. 
EXEMPLOS: 
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Na aula de hoje estudamos: 
 
. Matriz Inversa: Definição. 
. Matriz Adjunta de uma matriz quadrada A 
. Propriedades da Matriz Inversa 
. Operações Elementares com as linhas de uma Matriz 
. Matrizes Linhas Equivalentes 
. Formas Escalonadas de uma Matriz 
. Posto de uma Matriz 
. Exercícios