33_Fisica_I

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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
Física i
SUMÁRIO
FÍSICA I
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Física i
FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017SUMÁRIO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul 
do Estado do Espírito Santo, com unidades em 
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova 
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, des-
tacando-se pela oferta de cursos de gradua-
ção, técnico, pós-graduação e extensão, com 
qualidade nas quatro áreas do conhecimen-
to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem-
pre primando pela qualidade de seu ensino 
e pela formação de profissionais com cons-
ciência cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto 
grupo de Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui-
ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram 
notas 4 e 5, que são consideradas conceitos 
de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam 
todas as unidades da Multivix entre as 
melhores do Estado do Espírito Santo e 
entre as 50 melhores do país.
 
MissÃO
Formar profissionais com consciência cida-
dã para o mercado de trabalho, com ele-
vado padrão de qualidade, sempre mantendo a 
credibilidade, segurança e modernidade, visando 
à satisfação dos clientes e colaboradores.
 
VisÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
GRUPO
MULTIVIX
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Física i
SUMÁRIO
BiBLiOTEca MULTiViX (Dados de publicação na fonte)
As imagens e ilustrações utilizadas nesta apostila foram obtidas no site: http://br.freepik.com
Marcos Anderson Benfica dos Santos.
Física I / Dos Santos, Marcos Anderson Benfica. – Serra: Multivix, 2019.
FacULDaDE caPiXaBa Da sERRa • MULTiViX
Catalogação: Biblioteca Central Anisio Teixeira – Multivix Serra
2019 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei.
Diretor Executivo 
Tadeu Antônio de Oliveira Penina
Diretora acadêmica
Eliene Maria Gava Ferrão Penina
Diretor administrativo Financeiro
Fernando Bom Costalonga
Diretor Geral
Helber Barcellos da Costa
Diretor da Educação a Distância
Flávio Janones
coordenadora acadêmica da EaD
Carina Sabadim Veloso
conselho Editorial 
Eliene Maria Gava Ferrão Penina (presidente 
do Conselho Editorial)
Kessya Penitente Fabiano Costalonga
Carina Sabadim Veloso
Patrícia de Oliveira Penina
Roberta Caldas Simões
Revisão de Língua Portuguesa
Leandro Siqueira Lima 
Revisão Técnica
Alexandra Oliveira
Alessandro Ventorin
Graziela Vieira Carneiro
Design Editorial e controle de Produção de conteúdo
Carina Sabadim Veloso
Maico Pagani Roncatto
Ednilson José Roncatto
Aline Ximenes Fragoso
Genivaldo Félix Soares
Multivix Educação a Distância
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Pedagógico
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Semipresencial
Gestão de Materiais Pedagógicos e Metodologia
Direção EaD
Coordenação Acadêmica EaD
EDiTORiaL
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Aluno (a) Multivix,
Estamos muito felizes por você agora fazer parte 
do maior grupo educacional de Ensino Superior do 
Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a 
Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional.
A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoei-
ro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, 
São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999, 
no mercado capixaba, destaca-se pela oferta de 
cursos de graduação, pós-graduação e extensão 
de qualidade nas quatro áreas do conhecimento: 
Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, tanto na mo-
dalidade presencial quanto a distância.
Além da qualidade de ensino já comprova-
da pelo MEC, que coloca todas as unidades do 
Grupo Multivix como parte do seleto grupo das 
Instituições de Ensino Superior de excelência no 
Brasil, contando com sete unidades do Grupo en-
tre as 100 melhores do País, a Multivix preocupa-
-se bastante com o contexto da realidade local e 
com o desenvolvimento do país. E para isso, pro-
cura fazer a sua parte, investindo em projetos so-
ciais, ambientais e na promoção de oportunida-
des para os que sonham em fazer uma faculdade 
de qualidade mas que precisam superar alguns 
obstáculos. 
Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é: 
“Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.”
Entendemos que a educação de qualidade sempre 
foi a melhor resposta para um país crescer. Para a 
Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o 
mundo à sua volta.
Seja bem-vindo!
APRESENTAÇÃO 
DA DIREÇÃO 
EXECUTIVA
Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina 
Diretor Executivo do Grupo Multivix
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SUMÁRIO
LisTa DE FiGURas
 > FIGURA 1 - Deslocamento entre dois pontos 19
 > FIGURA 2 - Distância percorrida x deslocamento 21
 > FIGURA 3 - Algumas grandezas derivadas do SI 23
 > FIGURA 4 - Conversão entre km/h e m/s 25
 > FIGURA 5 - Posição em função do tempo para um móvel 28
 > FIGURA 6 - Sonda Voyager 30
 > FIGURA 7 - Comportamento gráfico do MRU 32
 > FIGURA 8 - Exemplo de MRU com velocidade positiva 33
 > FIGURA 9 - Velocidade em função do tempo para o MRUV 38
 > FIGURA 10 - Posição em função do tempo para o MRUV 38
 > FIGURA 11 - Análise da velocidade no gráfico de posição do MRUV 39
 > FIGURA 12 - Corpo em queda livre 45
 > FIGURA 13 - Distâncias percorridas por um corpo em queda livre, 
a partir do repouso 45
 > FIGURA 14 - Adição vetorial no plano 54
 > FIGURA 15 - Vetor posição em: (a) duas dimensões; (b) três dimensões 55
 > FIGURA 16 - Vetor deslocamento em duas dimensões 56
 > FIGURA 17 - Deslocamento de uma partícula em duas dimensões 57
 > FIGURA 18 - Teorema de Pitágoras 58
 > FIGURA 19 - Velocidade instantânea e média de uma partícula 60
 > FIGURA 20 - Determinação da velocidade vetorial média de uma partícula 
61
 > FIGURA 21 - Determinação do vetor variação de velocidade (∆v) 62
 > FIGURA 22 - Veículo em uma curva, com o módulo da velocidade constan-
te 64
 > FIGURA 23 - Lançamento oblíquo de um projétil 70
 > FIGURA 24 - Lançamento oblíquo de um projétil 71
 > FIGURA 25 - Decomposição do vetor v0 em suas componentes vetoriais 72
 > FIGURA 26 - Velocidade do projétil ao longo de sua trajetória 74
 > FIGURA 27 - O alcance horizontal de um projétil 76
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 > FIGURA 28 - A travessia de um rio com correnteza é um exemplo 
de movimento relativo 80
 > FIGURA 29 - Barco se deslocando contra a correnteza do rio 81
 > FIGURA 30 - Barco se deslocando a favor da correnteza do rio 82
 > FIGURA 31 - Barco se deslocando perpendicularmente ao rio 82
 > FIGURA 32 - Movimento circular 84
 > FIGURA 33 - Setor circular de raio R 85
 > FIGURA 34 - Aceleração centrípeta no MCU 86
 > FIGURA 35 - Movimento do pião, um brinquedo antigo 87
 > FIGURA 36 - Aceleração tangencial e total no movimento circular 89
 > FIGURA 37 - Esquema coroa-catraca de uma bicicleta simples 91
 > FIGURA 38 - Discos girando com eixo comum (coaxiais) 92
 > FIGURA 39 - Isaac Newton, o maior físico de todos os tempos. 98
 > FIGURA 40 - Princípio da inércia aplicada à moeda 99
 > FIGURA 41 - Movimento de um bloco 105
 > FIGURA 42 - Um astronauta, na Lua, tem 1/6 de seu peso na Terra 107> FIGURA 43 - Lançamento de um foguete: aplicação da 
terceira lei de Newton 108
 > FIGURA 44 - Um foguete caseiro pode demonstrar a validade da 
terceira lei de Newton 109
 > FIGURA 45 - Força normal 110
 > FIGURA 46 - Dois blocos sob a ação de uma força. 111
 > FIGURA 47 - Blocos separados 112
 > FIGURA 48 - Máquina de Atwood 113
 > FIGURA 49 - Blocos separados na Máquina de Atwood 114
 > FIGURA 50 - Plano inclinado 115
 > FIGURA 51 - O atrito pode ser usado para fazer fogo 116
 > FIGURA 52 - Força de atrito estático e dinâmico 118
LisTa DE FiGURas
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Física i
SUMÁRIO
LisTa DE FiGURas
 > FIGURA 53 - O curling: um esporte que joga com o atrito 119
 > FIGURA 54 - A deformação de molas e elásticos obedece à lei 
de Hooke 122
 > FIGURA 55 - As molas sofrem deformações segundo a lei de 
Hooke 123
 > FIGURA 56 - Deslocamento de um bloco sob a aplicação de 
uma força 127
 > FIGURA 57 - Uma força constante aplicada sobre uma partícula 
em deslocamento 128
 > FIGURA 58 - Decomposição do vetor F 128
 > FIGURA 59 - Trabalho potente e trabalho resistente 129
 > FIGURA 60 - Trabalho da força peso 132
 > FIGURA 61 - Força elástica 134
 > FIGURA 62 - Gráfico do trabalho de uma força 135
 > FIGURA 63 - Cálculo do trabalho de uma força utilizando a 
integração 135
 > FIGURA 64 - Trabalho de uma força variável 136
 > FIGURA 65 - Energia potencial gravitacional 143
 > FIGURA 66 - Energia mecânica 144
 > FIGURA 67 - Momento linear de uma partícula 148
 > FIGURA 68 - Momento linear resultante 150
 > FIGURA 69 - O momento linear é uma grandeza vetorial 151
 > FIGURA 70 - O jogo de sinuca envolve conceitos de colisão 156
 > FIGURA 71 - Colisão de dois corpos 156
 > FIGURA 72 - Pêndulo de Newton 160
 > FIGURA 72 - Partícula girando em torno de um eixo 166
 > FIGURA 73 - Momento de inércia para diversos corpos rígidos 168
 > FIGURA 74 - Eixo passando pelo centro de massa (1) e eixo 
paralelo (2) 172
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LisTa DE FiGURas
 > FIGURA 75 - Momento angular de uma partícula em rotação 174
 > FIGURA 76 - Regra da mão direita aplicada ao momento angular. 175
 > FIGURA 77 - Conservação do momento angular 176
 > FIGURA 78 - Aplicação da força 178
 > FIGURA 79 - Vetor torque 179
 > FIGURA 80 - Relação torque, aceleração e inércia 180
 > FIGURA 81 - Aplicação prática 183
 > FIGURA 82 - O equilíbrio em alavanca 184
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Física i
SUMÁRIO
LisTa DE TaBELas
 > TABELA 1 - Diferentes posições do móvel em função do tempo. 21
 > TABELA 2 - Grandezas de base do SI 24
 > TABELA 3 - Quadro-resumo das principais equações envolvidas 
no lançamento de projéteis 79
 > TABELA 4 - Valores de coeficiente de atrito estático (�e) e dinâmico 
(�d) 119
 > TABELA 5 - Tipos de colisão 159
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sUMÁRiO
UNIDADE 1
UNIDADE 2
1 MOViMENTOs EM UMa DiMENsÃO 18
1.1 POSIÇÃO E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA 19
1.1.1 VELOCIDADE INSTANTÂNEA 27
1.2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME 31
1.3 ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA 35
1.4 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 38
1.5 MOVIMENTOS EM QUEDA LIVRE 43
cONcLUsÃO 50
2 MOViMENTO EM DUas E TRÊs DiMENsÕEs 53
iNTRODUÇÃO 53
2.1 VETOR POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 54
2.2 VETOR VELOCIDADE 60
2.3 VETOR ACELERAÇÃO 63
2.4 MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 66
2.5 MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL 69
2.5.1 ALCANCE, ALTURA E TEMPO DE VOO 76
2.6 MOVIMENTO RELATIVO 81
2.7 MOVIMENTO CIRCULAR 85
2.7.1 TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO CIRCULAR 91
cONcLUsÃO 95
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SUMÁRIO
sUMÁRiO
UNIDADE 3
UNIDADE 4
3 as LEis Da DiNÂMica 97
iNTRODUÇÃO Da UNiDaDE 97
3.1 PRIMEIRA LEI DE NEWTON 98
3.2 SEGUNDA LEI DE NEWTON 103
3.2.1 FORÇA PESO 107
3.3 TERCEIRA LEI DE NEWTON 108
3.4 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 112
cONcLUsÃO 125
4 ENERGia DOs sisTEMas 127
iNTRODUÇÃO 127
4.1 TRABALHO DE UMA FORÇA 128
4.2 POTÊNCIA MECÂNICA 138
4.3 ENERGIA 140
cONcLUsÃO 146
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sUMÁRiO
UNIDADE 5
UNIDADE 6
5 MOMENTO LiNEaR E cOLisÕEs 148
iNTRODUÇÃO 148
5.1 MOMENTO LINEAR E IMPULSO 149
5.1.1 O MOMENTO LINEAR 149
5.1.2 O IMPULSO 153
5.1.3 A CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR 155
5.2 COLISÕES 156
cONcLUsÃO 162
6 ROTaÇÃO, MOMENTO aNGULaR E EQUiLíBRiO EsTÁTicO 164
iNTRODUÇÃO 164
6.1 MOMENTO DE INÉRCIA 165
6.1.1 ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO 170
6.1.2 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 173
6.2 MOMENTO ANGULAR E SUA CONSERVAÇÃO 174
6.3 MOMENTO DE UMA FORÇA (TORQUE) 178
6.4 EQUILÍBRIO DE ROTAÇÃO DOS CORPOS RÍGIDOS 183
cONcLUsÃO 186
REFERÊNcias 187
icONOGRaFia
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SUMÁRIO
icONOGRaFia
ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
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BIODATA DO AUTOR 
Marcos anderson Benfica dos santos
Bacharel e licenciado em Química pela Universidade de São Paulo (USP), pós-gra-
duado em Matemática pela Universidade Federal de São João Del-Rei (UFSJ) e em 
Gestão Ambiental pelo Centro Universitário Claretiano, e mestre em Química pela 
Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). Professor há 20 anos, lecionando disci-
plinas da área de Exatas nos Ensinos Básico e Superior. Professor universitário das 
disciplinas Física I, II e III há 8 anos. Autor de materiais didáticos por diversas editoras 
brasileiras.
JUSTIFICATIVA 
Um bom engenheiro é, antes de tudo, uma pessoa capaz de pensar analiticamente 
sobre um problema, utilizar um bom leque de recursos para resolvê-lo e ter sempre 
uma “carta na manga”, se algo der errado. A Física, nesse sentido, é o “coração” da 
Engenharia, sendo responsável por conceder as ferramentas necessárias para o traba-
lho do engenheiro, ou seja, a fundamentação teórica necessária para que o trabalho 
possa acontecer. Assim, todo o desenvolvimento de um motor a combustão encontra 
respaldo na Termodinâmica, que fornece as ferramentas teóricas para o seu funcio-
namento e análise. Os mais avançados smartphones do mercado começaram com 
trabalhos de Física básica. Nesta disciplina, daremos nossos primeiros e importantes 
passos para compreender essa importante área do conhecimento.
ENGAJAMENTO 
É sabido que a Física é uma disciplina que desperta curiosidade e fascínio, pois lida 
com questões profundas acerca da origem do universo e de nossa própria existên-
cia. No entanto, muitas questões podem ser aparentemente simples, mas guardam 
profundas reflexões. 
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Física i
SUMÁRIO
• Você já se perguntou sobre o impacto dos sistemas de GPS nos transportes e 
na vida das pessoas? 
• Como a noção de “posição” interfere nesse sistema? 
• E quanto ao monitoramento dos veículos que utilizamos no nosso cotidiano? 
• Como as medidas de velocidade e aceleração interferem nos hábitos e na 
dinâmica dos centros urbanos? 
Essas e mais algumas perguntas serão respondidas à medida em que você se apro-
fundar nos estudos!
APRESENTAÇÃO DA 
DISCIPLINA
Olá, prezado aluno, seja bem-vindo à disciplina Física I! 
Essaserá a sua introdução universitária ao fabuloso mundo da Física, a ciência que 
busca explicações para fenômenos desde os mais simples, como o movimento de 
uma bola, até os mais complexos, como a estrutura de um átomo. Nesta disciplina, 
estudaremos as bases do movimento em uma e duas dimensões, conhecendo os 
conceitos envolvidos na Cinemática. São esses conceitos que constituirão a base para 
o entendimento dos processos responsáveis pela movimentação das máquinas e dos 
mecanismos em geral, como o sistema de transmissão automotivo ou a otimização 
de uma esteira no chão de fábrica.
Aprenderemos sobre a dinâmica newtoniana, através das três leis de Newton, e 
fundamentaremos os conceitos de energia, equilíbrio, rotação e colisões, discutindo 
temas fundamentais da Física, como a conservação da energia, do momento linear 
e do momento angular. A partir dos nossos estudos, termos como “força”, “torque”, 
“potência”, entre outros, utilizados na descrição de máquinas e processos, passarão a 
ter uma definição formal e poderão ser corretamente dimensionados.
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Você perceberá que, ao longo de nossa jornada, os conceitos aprendidos serão inte-
grados com a Matemática, dando-lhes previsibilidade. A Química é outra ciência que 
apresenta grande intersecção com a Física, que lhe dá subsídios para o entendimen-
to de conceitos como calor, temperatura e diversos outros. Procure, a todo momento, 
integrar seus conhecimentos: você irá perceber que as ciências exatas possuem gran-
des conexões. Com isso, sua visão da natureza será ampliada! É muito importante que 
você interaja com seus colegas, através dos fóruns, e tire sempre suas dúvidas com 
seu tutor. Não se esqueça também de ler os materiais complementares e resolver as 
atividades propostas. Bons estudos!
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Ao final desta disciplina, esperamos que você seja capaz de: 
• Analisar os movimentos em uma dimensão, determinando posição, velocida-
de e aceleração.
• Interpretar as funções horárias da Cinemática, associando-as aos movimentos 
conhecidos.
• Empregar a natureza vetorial das grandezas Cinemáticas na resolução de 
situações-problema.
• Descrever as leis da dinâmica.
• Integrar as leis da dinâmica à Cinemática vetorial.
• Distinguir trabalho, potência e energia.
• Formular a lei da conservação da energia.
• Estimar o comportamento dos sistemas durante colisões mono e bidimen-
sionais.
• Interpretar o momento linear e sua conservação.
• Analisar a rotação dos corpos.
• Descrever o momento de inércia.
• Descrever o torque.
• Formular a conservação do momento angular.
• Analisar as condições de equilíbrio de um corpo.
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Localizar as posições inicial e final de um 
corpo ou partícula.
> Calcular as variações de posição e de 
tempo de um corpo ou partícula.
> Manipular o conceito de velocidades 
instantânea e média na resolução de 
problemas.
> Definir as acelerações instantânea e média 
de um corpo ou partícula.
> Diferenciar os movimentos com velocidade 
constante e com aceleração constante.
> Empregar a resolução de problemas 
envolvendo funções horárias cinemáticas.
UNIDADE 1
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1 MOVIMENTOS EM UMA 
DIMENSÃO
A Física é uma área do conhecimento muito ampla! Seu nome deriva do grego anti-
go, e significa “natureza”. Para facilitar o seu estudo, assim como fazemos na Biolo-
gia, na Química e em outras ciências, nós a subdividimos em áreas de estudo. Assim, 
temos a seguinte classificação, aqui exposta de maneira simplificada:
• Mecânica: estuda os movimentos.
• Ondulatória: características e propriedades das ondas.
• Ótica: estuda os fenômenos luminosos.
• Termologia: estudo da temperatura, do calor e dos fenômenos térmicos.
• Eletromagnetismo: estudo dos fenômenos elétricos e magnéticos.
Dentro da Mecânica, ainda podemos fazer outras divisões: a primeira delas é a 
Cinemática, cujos objetos de estudo são os movimentos de corpos e partículas, 
mas sem referências a forças ou às massas envolvidas (esses conceitos aparecerão 
posteriormente).
Nesta unidade, vamos discutir os fundamentos da Cinemática em uma dimensão, 
conceituando posição, trajetória, velocidade e aceleração para que seja possível, a 
partir daí, construir uma análise detalhada dos mais variados tipos de movimento 
encontrados na natureza e que formam a base de estudo da Física e de todas as áreas 
que dela dependem. 
A aplicação das ferramentas do cálculo diferencial nos permitirá trabalhar com 
funções horárias de posição, velocidade e aceleração, transitando de uma para outra 
com ferramentas de derivação ou de integração. Ao mesmo tempo, construiremos 
modelos matemáticos para alguns movimentos bem simples, como o movimento 
retilíneo uniforme (MRU) e o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). 
No final desta unidade, iremos reconhecer um movimento cuja importância história 
é muito grande para a Física: a queda livre, estudada por Galileu Galilei, e que se cons-
titui em um MRUV vertical. 
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Física i
SUMÁRIO
A Cinemática é o ramo da Mecânica que se ocupa da análise das trajetórias, veloci-
dades e acelerações. Nesta unidade, vamos estudar a Cinemática em uma dimensão, 
para que depois possamos ampliar esse estudo para duas e três dimensões
Nosso ponto de partida será interpretar a posição e a variação da partícula em termos 
escalares, ou seja, desconsiderando a natureza vetorial das grandezas cinemáticas. 
Com isso em mãos, poderemos definir a velocidade instantânea e a velocidade 
média, associando-as graficamente e buscando relações no cálculo diferencial para 
justificar os conceitos aprendidos. A partir desse momento, iremos definir um movi-
mento bastante simples, no qual a velocidade permanece constante durante todo o 
tempo: o MRU.
A aceleração, dada pela variação da velocidade com o tempo, será caracterizada em 
seguida, possibilitando-nos a identificação de movimentos nos quais a velocidade 
aumenta ou diminui a uma taxa constante (o MRUV), como a queda livre. Durante 
toda essa análise, utilizaremos as funções horárias para representar o deslocamento, 
a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
Toda a tecnologia que nos cerca, atualmente, seria impensável sem que a Física desse 
o suporte teórico necessário ao trabalho da Engenharia, possibilitando o desenvol-
vimento de veículos cada vez mais rápidos e econômicos e computadores cada vez 
mais potentes, entre outras tantas maravilhas modernas. Nesse contexto, conhecer a 
Cinemática Unidimensional lhe permitirá dialogar melhor com a ciência moderna.
Bons estudos!
1.1 POSIÇÃO E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Não faz muitos anos, era bem complicado viajarmos para um local desconhecido, 
seja dentro ou fora de nossa própria cidade. Sem os nossos smartphones de hoje em 
dia, que podem acessar aplicativos com GPS (sigla para Global Positioning System, 
ou Sistema de Posicionamento Global), precisávamos pedir informações ou carregar 
volumosos mapas de papel, nem sempre atualizados. Mas hoje, quanta diferença! 
Basta colocar onde queremos chegar (nossa posição final), e o software traça a nossa 
rota tendo como base nossa posição inicial. O conjunto dos pontos por onde passa-
remos, no caminho, é a nossa trajetória.
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Portanto, vamos definir:
Trajetória:é o conjunto dos pontos por onde uma partícula ou corpo passa, ao longo 
de um certo tempo.
Posição inicial: é o ponto onde consideramos que se iniciou seu movimento.
Posição final: é o ponto onde consideramos que terminou seu movimento.
Assim, uma partícula pode ter uma trajetória simples ou complicada mas, indepen-
dentemente disso, sua posição inicial e final são simples de serem definidas.
Inicialmente, será analisado como se dá a variação da posição do nosso objeto em 
uma única dimensão, a qual atribuiremos a coordenada x. Pense nessa coordenada 
como sendo, por exemplo, a marcação de distância em uma rodovia ou as indicações 
em uma régua. Veja a exemplificação com a figura, a seguir:
FIGURA 1 - DESLOCAMENTO ENTRE DOIS PONTOS
A B
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
X (m)
Ocorreu um deslocamento entre as posições A e B.
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Legenda: O móvel desloca-se entre as posições A e B.
Observe que o corpo parte da posição x = 10 m; e, depois de um certo tempo, passa 
pela posição x = 40 m. Na tabela abaixo, vamos associar as posições do corpo a valores 
de tempo:
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SUMÁRIO
TABELA 1 - DIFERENTES POSIÇÕES DO MÓVEL EM FUNÇÃO DO TEMPO.
POSIÇÃO T (S) X (M)
A 0 10
B 5 40
C 8 30
D 12 0
E 20 –20
Fonte: Elaborada pelo autor.
Que informações conseguimos retirar da tabela e da figura? Repare, inicialmente, 
que nosso móvel saiu da posição x = 10 m, movendo-se progressivamente (ou seja, 
rumo a valores crescentes de x) até passar por x = 40 m, o ponto B. Depois, começou 
a retornar, empreendendo um movimento retrógrado e passando por x = 30 m em 
t = 8 s e por x = 0 em t = 12 s. A seguir, o móvel continua por valores negativos de nossa 
trajetória, em direção a – x.
Há dois pontos que precisamos conhecer em detalhes: o ponto de onde nosso móvel 
sai, ou seja, onde ele inicia seu movimento, que é chamado de posição inicial, sendo 
representado simbolicamente por x0. 
Na Física, o índice “zero” sempre é usado quando queremos dizer que algo 
está começando, e você irá encontrar essa notação diversas vezes em seus 
estudos. 
Outro ponto que nos chama a atenção é aquele onde nosso móvel passa pela origem 
dos espaços, o ponto x = 0. Cuidado para não se confundir! A posição inicial, x0, 
pode assumir qualquer valor, ou seja, nosso móvel pode partir de qualquer posição. 
No entanto, a origem dos espaços é um ponto único e específico: x = 0.
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A diferença entre as posições final (x) e inicial (x0) do nosso móvel é indicada por 
∆x, e chamamos essa grandeza de variação de espaço ou deslocamento. Veja que 
usamos a letra grega maiúscula “delta” para representar a variação, algo também 
muito frequente na Física. Assim, podemos definir a equação da variação do espaço 
ou deslocamento como:
∆x = x – x0 Equação 1
É importante que olhemos com muita atenção para o significado da variação de 
espaço. Não se trata, simplesmente, da distância percorrida pelo corpo. Veja no exem-
plo a seguir:
FIGURA 2 - DISTÂNCIA PERCORRIDA X DESLOCAMENTO
Distância percorrida
Deslocamento
A B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Legenda: A distância percorrida considera todos os espaços ocupados pelo móvel ao 
longo do percurso – ao passo que o deslocamento, apenas as posições final e inicial.
Você deve ter percebido que o deslocamento é uma grandeza vetorial, sendo esse 
vetor definido com sua origem na posição inicial e sua extremidade na posição final, 
representando a menor distância entre esses dois pontos. Neste momento, no entan-
to, entenderemos a variação de espaço como uma grandeza puramente escalar, defi-
nindo seu sinal algébrico em função do referencial estabelecido. Isso significa que 
não nos preocuparemos, nesse momento, com a direção e o sentido do vetor, mas 
apenas com a sua intensidade.
De forma equivalente à variação de espaço, podemos definir a variação de tempo 
como a diferença entre o tempo marcado na posição final, x, e o tempo marcado na 
posição inicial, x0. Assim:
∆t = t – t0 Equação 2
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SUMÁRIO
Reunindo as equações 1 e 2, podemos definir a velocidade escalar média a partir da 
variação de espaço e da variação de tempo, como feito a seguir:
Velocidade escalar média: é a razão entre o deslocamento escalar (variação de 
espaço) e a variação de tempo.
v
x
t
Equação
m
=
∆
∆
3
No Sistema Internacional, a unidade do ∆x é o metro, ao passo que a unidade do 
∆t é o segundo. Assim, a unidade da velocidade escalar média é o m/s (metro por 
segundo).
O uso das unidades de medida adequadas é essencial em todos os campos 
do conhecimento. A maior parte do mundo utiliza o Sistema Internacional 
de Unidades (SI), conjunto de padrões instituído em 1960 na 11ª Conferên-
cia Geral de Pesos e Medidas. As grandezas de base servem como referência 
para as demais, chamadas de grandezas derivadas. Portanto, as grandezas 
de base são independentes das demais: não precisamos de nenhuma outra 
grandeza para definir o quilograma (kg). No entanto, as grandezas deriva-
das precisam de uma combinação de grandezas de base. A velocidade, por 
exemplo, é definida em metros por segundo (m/s), dependendo de duas 
grandezas de base para a sua definição (o metro e o segundo).
Acompanhe, na tabela a seguir, uma relação das mais importantes grandezas de 
base e grandezas derivadas.
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TABELA 2 - GRANDEZAS DE BASE DO SI
GRANDEZA DE BASE UNIDADE DE MEDIDA
Tempo segundo (s)
Massa quilograma (kg)
Comprimento metro (m)
Temperatura kelvin (K)
Quantidade de matéria mol (mol)
Corrente elétrica ampère (A)
Intensidade luminosa candela (cd)
Fonte: Adaptada de IPEM-SP, s.d.
FIGURA 3 - ALGUMAS GRANDEZAS DERIVADAS DO SI
GRANDEZAS DERIVADAS UNIDADE DE MEDIDA
Velocidade metro por segundo (m/s)
Aceleração metro por segundo ao quadrado (m/s2)
Força newton (N)
Fonte: Adaptada de IPEM-SP, s.d.
Para quem não é atleta, pode parecer difícil de conseguir; no entanto, velocis-
tas de alto nível conseguem, sem muito esforço, completar a prova dos 100 
m rasos, a mais nobre do atletismo, em menos de 10 s. O recordista atual, 
Usain Bolt, conseguiu inacreditáveis 9,58 s em 2009, recorde que perdura até 
o momento.
Suponha que um atleta consiga realizar a prova em exatos 10 s. Qual será a sua velo-
cidade escalar média em m/s e em km/h?
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Antes de mais nada, vamos definir nossas grandezas:
∆x = 100 m
∆t = 10 s
v
x
t
v m s
m m
= → = =
∆
∆
100
10
10 /
Até aí é um problema bastante simples, concorda? Agora, precisamos converter a 
unidade obtida, m/s para km/h. Vamos utilizar as seguintes relações:
1 km = 1.000 m
1 h = 60 min e 1 min = 60 s → 1 h = 60 . 60 = 3.600 s
Sendo assim, a equação será:
10 10
1
1
1 000
3 600
1
36m
s
m
s
km
m
s
h
km
h
= =.
.
. .
Esse método de transformação de unidades é conhecido como conversão em cadeia 
ou equação dimensional, e consiste em analisar as unidades presentes, convertendo-
-as nas unidades que desejamos obter
Quando dominamos essa técnica, o processo de converter unidades, extremamente 
importante nas ciências exatas, torna-se rápido e bastante lógico.
A conversão entre as unidades “m/s” e “km/h”, no entanto, é tão utilizada que lança-
mos mão do fator de conversão direto, mais rápido e prático. Assim:
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FIGURA 4 - CONVERSÃO ENTRE KM/H E M/S
Dividir por 3,6
multiplicar por 3,6
m/skm/h
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Legenda: Conversão entre km/h e m/s.
Os radares fixos, conhecidos popularmente como “pardais”, estão presen-
tes nas grandes cidades como forma de controle de velocidade, ajudando 
a reduzir os acidentes e educando para um trânsito mais responsável. Seu 
funcionamento é uma bela aplicação dos conceitos que estamos estudando. 
Além da câmera, fixada de maneira a fotografar as placas dos possíveis infra-
tores, o sistema conta com três sensores magnéticos fixados no solo. Como 
os veículos contêm muitas partes ferromagnéticas, ao passar pelo primeiro 
sensor o mecanismo é acionado. Assim, se o veículo passar pelo segundo 
sensor num tempo muito curto, estará em uma velocidade acima da permi-
tida e será multado, acionando a câmera fotográfica. O terceiro sensor faz a 
confirmação da primeira medida, calculando o tempo de passagem entre o 
segundo sensor e ele.
Considerando o exemplo, digamos que a distância entre o primeiro e o 
segundo sensor, em um certo radar fixo, é de 2,4 m. O centro de massa de 
um veículo gastou 0,12 s para percorrer essa distância. Se a velocidade máxi-
ma permitida nessa via é de 90 km/h, ele foi multado ou não?
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Veja, a seguir, o cálculo da velocidade do veículo cruzando um radar fixo:
∆x = 2,4 m
∆t = 0,12 s
v
x
tm
∆
∆
=
2 4
0 12
,
,
vm = 20m/s x 3,6 = 72km/h
Dessa maneira, determinamos que o veículo estava abaixo do limite de velo-
cidade e, portanto, não foi multado pelo radar.
Vimos que a velocidade escalar média nos dá informações sobre o movimento entre 
dois pontos: o início e o final da nossa trajetória. No entanto, quando estamos em 
um veículo ou quando analisamos o movimento de uma máquina, estamos mais 
interessados em sua velocidade no instante da medida, e não em uma média entre 
dois pontos. Para isso, precisamos definir a velocidade instantânea, como veremos 
a seguir.
1.1.1 VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Embora a velocidade escalar média nos dê uma informação bastante útil sobre os 
movimentos, ela pode nos levar a interpretações completamente equivocadas, se 
não nos atentarmos para suas limitações, como veremos no exemplo abaixo.
Suponha que, num certo movimento, nosso objeto partiu de uma posição x0 e, após 
percorrer o eixo x por 10 s com velocidade constante de 20 m/s, tenha ficado em 
repouso por 40 s. Considerando essa situação vamos entender qual é a sua velocida-
de escalar média.
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Se analisarmos o problema, veremos que, em 10 s, a 20 m/s, ele terá se deslocado um 
total de 20 vezes 10, sendo igual à 200 m. No entanto, o tempo que ele ficou parado, 
em repouso, continua contando para a sua velocidade escalar média. Assim, embora 
durante todo o seu movimento ele tenha tido uma velocidade constante de 20 m/s, 
na média sua velocidade será de apenas 5 m/s.
Veja o cálculo a seguir:
v
x
t
v m s
m m
= → =
+
=
∆
∆
200
40 10
5 /
Você percebeu, nesse exemplo, que a velocidade escalar média não é um bom parâ-
metro para analisar esse movimento, já que o tempo no qual o corpo permaneceu 
parado entra no cálculo, interferindo no resultado final. Da mesma forma, quando 
olhamos para o velocímetro de um veículo, estamos interessados em saber a veloci-
dade naquele exato instante, e não uma média entre dois pontos quaisquer. 
Assim, definimos o que se chama de velocidade instantânea como aquela calculada 
num intervalo de tempo tão curto quanto possível:
Velocidade escalar instantânea: é o limite da velocidade escalar média quando 
o tempo estiver tendendo a zero, ou seja, quando aproximamos infinitamente os 
pontos inicial e final do movimento.
Se lançarmos mão das ferramentas do cálculo diferencial integral, podemos dizer 
que, para essa determinação, fazemos ∆t tender a zero, utilizando a noção matemá-
tica de limite.
Dessa forma, podemos definir a velocidade instantânea como:
v
x
t
Equação
t
=
→∞
lim
∆
∆
∆
4
Esse limite, no entanto, é a taxa de variação instantânea da posição do nosso móvel 
em função do tempo. Assim, podemos escrever:
v
dx
dt
Equação= 5
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Embora as bases do cálculo diferencial e integral remontem aos trabalhos 
de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, no século XVIII, sua maturida-
de matemática foi alcançada no século XIX, sendo colocado sob fundamen-
tos sólidos com os trabalhos de Augustin Cauchy (1789-1857). É desse mate-
mático a definição formal de limite (HUGHES-HALLETT, 2011).
Considere f uma função definida em um intervalo em torno de c, exceto possivel-
mente no ponto x = c. Definimos o limite da função f(x) quando x se aproxima de c, 
escrito como lim ( )
x c
f x
→
, como sendo um número L (se existir) tal que f(x) está tão próxi-
mo de L quanto quisermos sempre que x estiver suficientemente próximo de c (mas 
x ≠ c). Se L existir, escrevemos:
lim ( )
x c
f x L
→
=
Quando analisamos o gráfico ilustrativo dos movimentos, fica bastante nítida a dife-
rença entre a velocidade escalar média e a instantânea. Observe:
FIGURA 5 - POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO PARA UM MÓVEL
x
t
A
B
(b)
(a)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Legenda: Gráfico da posição em função do tempo para um móvel.
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Observe que na determinação da velocidade escalar média (a), determinamos dois 
pontos, A e B, e o valor da velocidade média corresponderá à inclinação da reta 
secante ao gráfico das posições em função do tempo. No entanto, ao determinar-
mos a velocidade instantânea em A, temos que ela é igual à inclinação da reta 
tangente àquele ponto, assemelhando-se à própria definição de derivada, como 
visto anteriormente.
A descrição do movimento de uma partícula pode ser expressa em função do tempo, 
na forma x = f(t) (MARQUES, 2016).
Como exemplo, podemos ter:
x(t) = 3t + 5
x(t) = t2 – 2
x(t) = sen(t)
v
dx
dt
d t
dt
m
s
velocidade cons te= =
+
=
( )
( tan )
3 5 3
v
dx
dt
d t
dt
t
m
s
= =
−
=






( )
2 2 2
Como já sabemos que a velocidade pode ser encontrada como a derivada da posição 
em função do tempo, podemos utilizar nossos conhecimentos de cálculo para deter-
minar o comportamento da velocidade em função do tempo nas funções apresenta-
das. Entenda mais considerando o SI:
v
dx
dt
d t
dt
m
s
velocidade cons te= =
+
=
( )
( tan )
3 5 3
v
dx
dt
d t
dt
t
m
s
= =
−
=






( )
2 2 2
v
dx
dt
d t
dt
sen t
m
s
= = =
[cos( )
( )( )
Agora que já aprendemos como medir a velocidade, podemos caracterizar o nosso 
primeiro movimento, ainda com características bem simples: o movimento retilíneo 
uniforme (MRU).
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1.2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
As sondas Voyager 1 e 2, lançadas pelos Estados Unidos ainda na década de 1970, 
realizaram grandes feitos astronômicos, mapeando os planetas externos e forne-
cendo imagens fantásticas de Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e de seus satélites. 
Atualmente, as sondas já se encontram fora dos limites do sistema solar, viajando 
com velocidade constante e praticamente sem atrito.
FIGURA 6 - SONDA VOYAGER
Fonte: SHUTTESTOCK.COM, 2019
Legenda: Sonda Voyager.
As sondas Voyager 1 e 2 carregam, em seu interior, um disco parecido com 
os antigos LP de vinil, mas feitos de ouro e cobre, chamados de “Voyager 
Golden Record”. Gravadosnesses discos, encontram-se 115 fotos da Terra, 
símbolos e uma variedade de sons, destinados a um possível encontro com 
uma civilização alienígena.
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Esse tipo de movimento, no qual a velocidade é mantida constante e a trajetória 
estabelecida é uma linha reta, é denominado movimento retilíneo uniforme, ou 
simplesmente MRU. De forma geral:
MRU: movimento retilíneo uniforme, no qual a trajetória é uma linha reta e a veloci-
dade escalar é constante ao longo de todo o percurso.
Alguns veículos mais modernos contam com um dispositivo chamado “piloto auto-
mático”, que permite manter a velocidade constante sem a necessidade de o moto-
rista pressionar o pedal do acelerador. Se o veículo estiver movendo-se em uma reta 
com esse dispositivo, estará em MRU. 
Sua dedução matemática é bastante simples. Se a velocidade escalar é constante, 
podemos dizer que a média será a própria velocidade medida. Assim:
v v
x
m
= =
∆
∆
Como já vimos, porém, ∆x = x – x0 e ∆t = t – t0. Se consideramos que, em x0, t0 = 0 
(MARQUES, 2016):
v
x x
t
x x vt=
−
→ − =0 0
E, rearranjando os termos, chegamos à expressão matemática do movimento retilí-
neo uniforme sendo:
x(t) = x0 + vt Equação 6 
A expressão do MRU equivale, portanto, a de uma função do 1º grau, cujo gráfico 
representativo é uma reta. O coeficiente angular dessa reta é a velocidade do nosso 
móvel, ao passo que o coeficiente linear é a posição inicial do nosso móvel, o seu x0.
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As funções do 1º grau, também conhecidas como funções afins, são repre-
sentadas pela lei de associação f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular, 
associado à inclinação da reta, e b é o coeficiente linear, associado ao ponto 
no qual a reta intercepta o eixo das ordenadas. A função é dita crescente se 
a > 0, e decrescente se a < 0.
Observe os gráficos a seguir:
FIGURA 7 - COMPORTAMENTO GRÁFICO DO MRU
x
x0
(a)
t
v > 0
x0
x
(b)
t
v < 0
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Legenda: Gráficos do MRU.
No gráfico (a), temos um MRU com velocidade positiva, indicada pelo comportamen-
to crescente do gráfico. Em (b), a velocidade é negativa, o que é visível pelo comporta-
mento decrescente do gráfico. Como já visto, é possível classificar esses movimentos 
como progressivo e retrógrado, respectivamente.
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Observe o gráfico a seguir. Qual a função x = f(t) que determina esse MRU? 
Qual a sua velocidade escalar?
FIGURA 8 - EXEMPLO DE MRU COM VELOCIDADE POSITIVA
x(m)
5
-10
t(s)
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Já é sabido que o ponto no qual a reta intercepta o eixo das ordenadas é o 
nosso espaço inicial, graficamente equivalente ao coeficiente linear da reta 
em questão. Assim, x0 = –10 m. 
Para determinar a velocidade escalar e, consequentemente, poder escrever 
a função x(t) desse movimento, vamos analisar a variação de espaço e de 
tempo entre dois pontos fornecidos:
t = 0 → x = -10 m
t = 5 s → x = 0
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Assim:
∆x = 0 – (–10) = 10 m
∆t = 5 – 0 = 5 s
v
x
t
v v m s= → = → =
∆
∆
10
5
2 /
Dessa forma, a função que descreve o movimento será dada por:
x(t) = x0 + vt → x(t) = –10 + 2t (SI)
A grande maioria dos movimentos que encontramos no nosso cotidiano não apre-
senta velocidade constante. Quando embarcamos em um veículo em repouso, sua 
velocidade aumenta e diminui conforme nos deslocamos no tráfego. O mesmo ocor-
re com o funcionamento das máquinas, que estão sujeitas a variações em suas velo-
cidades. Veremos, a seguir, como podemos considerar esses efeitos no estudo dos 
movimentos.
1.3 ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA
De acordo com os especialistas do mundo automotivo, o carro superesportivo Bugatti 
Veyron é capaz de atingir impressionantes 431 km/h, possíveis graças ao seu motor 
de 1.200 cavalos-vapor.
Outra informação que impressiona muito acerca do carro é o tempo que ele demo-
ra para sair do repouso e chegar a 100 km/h: apenas 2,5 s. Apenas para efeito de 
comparação, um carro popular passa frequentemente dos 10,0 s para conseguir essa 
mesma variação.
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O que acabamos de fazer foi comparar os veículos pela rapidez com que conseguem 
variar as suas velocidades. Na Física, damos a essa grandeza o nome de aceleração. 
Como ainda não estamos explorando o caráter vetorial dessas grandezas, trabalhare-
mos com a aceleração escalar média, resultado da razão entre a variação da veloci-
dade e a variação de tempo.
a
v
t
Equação
m
=
∆
∆
7
No Sistema Internacional, a unidade da aceleração é o m/s2, já que estamos medin-
do em “quantos metros por segundo” a velocidade variou “a cada segundo”.
Não se esqueça de observar se as unidades estão compatíveis. Assim, ao 
utilizar a velocidade em m/s, utilize o tempo em s. A aceleração sairá, então, 
em m/s2.
Considerando que t2 > t1, podemos assumir que a aceleração é positiva quando v 
cresce, em módulo, de t1 para t2, e negativa quando decresce (NUSSENZVEIG, 2013).
Do mesmo jeito que definimos a velocidade instantânea em termos da taxa de varia-
ção do espaço com o tempo, lançando mão da derivada para essa finalidade, também 
podemos fazê-lo com a aceleração. Nesse caso, porém, para definir a aceleração instan-
tânea precisamos determinar a variação da velocidade com o tempo, escrevendo:
a
v
t
Equação
t
=
→
lim
∆
∆
∆0
8
Na forma de derivada, podemos representar a aceleração como a derivada da velocida-
de em função do tempo ou, de forma equivalente, a derivada segunda da posição em 
função do tempo, ou seja, devemos derivar duas vezes a função horária das posições.
a
dv
dt
d x
dt
Equação= =
2
2
9
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Veja os exemplos a seguir que ilustram como é o cálculo da aceleração:
a) Um avião, inicialmente em repouso, precisará atingir 360 km/h para deco-
lar de uma pista. Sabendo que ele atinge essa velocidade em 10 s, qual a sua 
aceleração escalar média?
O avião parte de uma velocidade inicial v0 = 0, atingindo v = 360 km/h. Vamos 
precisar converter essa velocidade (basta dividir o valor por 3,6). Assim:
v0 = 0
v = 360 km/h → 100 m/s; ∆v = 100 – 0 = 100 m/s
∆t = 10 s
a
v
t
m s
m
= = =
∆
∆
100
10
10 2/
b) A função horária das posições de um móvel é dada por x(t) = 2t= – 2t + 1, 
em unidades do SI. Determine sua posição, velocidade e aceleração após 3 s.
Temos a função horária das posições, ou seja, x(t). A primeira derivada nos 
dará a função horária das velocidades:
v(t) = 4t – 2 → v(3) = 4.3 – 2 = 10 m/s
A segunda derivada nos dará a aceleração:
a(t) = 4 → a(3) = 4 m/s2 (note que a aceleração é constante)
Agora que já definimos essa nova grandeza cinemática, a aceleração, poderemos 
analisar um movimento no qual ela permanece constante, produzindo alterações na 
velocidade: o MRUV.
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1.4 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Já analisamos um movimento bastante simples, o MRU, no qual a velocidade se 
mantém constante durante todo o movimento. Outro movimento que nos serve de 
modelo cinemático é o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
Para exemplificar a diferença com o movimento que acabamos de aprender, vamos 
pensar em um veículo parado em um semáforo.Quando ele parte, acelera unifor-
memente (ou seja, a uma taxa constante), de maneira que sua velocidade aumenta 
sempre de um mesmo valor, até que ele atinja uma velocidade constante. Nesse 
momento, ele passa a desenvolver um movimento uniforme, já que não terá acelera-
ção. Ao perceber um novo semáforo, começa a frear uniformemente, e sua velocida-
de irá se reduzir a uma taxa constante, até que ele pare novamente. Nos trechos nos 
quais a velocidade do veículo, que está se movendo em linha reta, variou uniforme-
mente, ocorreu um MRUV.
Como você pode perceber, nesse movimento a velocidade irá variar, mas de maneira 
uniforme, com uma aceleração constante (MARQUES, 2016). Assim, à semelhança do 
que fizemos no MRU, podemos assumir que as acelerações média e instantânea são 
iguais, escrevendo:
a a
v v
t
v at v t v at Equação
m
= =
−
→ = → = +0 0 0 10( )
Você percebeu que a expressão apresentada é bem semelhante à função horária das 
posições do MRU? Na realidade ambas representam o mesmo comportamento gráfi-
co: uma reta. Nesse caso, porém, o coeficiente linear é a velocidade inicial do movi-
mento, ao passo que o coeficiente angular é a aceleração escalar.
Ainda explorando as propriedades da função v(t), um gráfico crescente nos indicará 
aceleração positiva; um gráfico decrescente, aceleração negativa. Observe, na figura 
a seguir:
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SUMÁRIO
FIGURA 9 - VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO PARA O MRUV
a > 0
a < 0
v
t
Fonte: Elaborada pelo autor.
Legenda: Gráficos de v(t) no MRUV.
Perceba que há uma importante propriedade no gráfico de v(t). A área sob o gráfico 
corresponde ao ∆x do movimento em questão. 
Se integrarmos a função v(t), chegaremos na função x(t) para o MRUV. Nesse caso, a 
função obtida será do 2º grau (uma parábola).
x t x v t at Equação( )= + +0 0
21
2
11
A concavidade da parábola será definida pelo sinal algébrico da aceleração. Assim, se 
a > 0, nossa parábola terá concavidade para cima; se a < 0, nossa parábola terá conca-
vidade para baixo. Observe, na figura a seguir:
FIGURA 10 - POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO PARA O MRUV
x
a < 0
t
x
a < 0
t
Fonte: Elaborada pelo autor.
Legenda: Gráficos de x(t) no MRUV.
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Nos gráficos x(t) do MRUV nota-se também outra característica bastante útil. O ponto 
de inflexão da parábola nos mostra o momento no qual ocorre a inversão do sentido 
do movimento, e, da mesma forma, a velocidade do móvel se torna nula. Se utilizar-
mos o conceito de derivada como inclinação da reta tangente a um ponto, veremos 
que, na inflexão, a inclinação é nula, indicando velocidade zero.
FIGURA 11 - ANÁLISE DA VELOCIDADE NO GRÁFICO DE POSIÇÃO DO MRUV
x
Inversão de sentido
v > 0
v < 0
v = 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Legenda: Análise da reta tangente em x(t) no MRUV.
Combinando a função horária das velocidades e função horária das posições, pode-
mos deduzir uma expressão de grande utilidade prática, conhecida como equação 
de Torricelli. 
Inicialmente, vamos isolar a coordenada tempo na função horária das velocidades:
v v at t
v v
a
= + → =
−
0
0
Agora, vamos substituir a variável tempo, que acabamos de isolar, na função horária 
das posições:
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SUMÁRIO
x x v t at x x v
v v
a
a v v
a
= + + → − =
−




 +
−




0 0
2
0 0
0 0
2
2
2
/
∆S
v v v
a
a v vv v
a
=
−
+
− +0 0
2
0 0
2
2
2 2
2
�
∆S
v v
a
=
−2 0
2
2
Evangelista Torricelli nasceu em Faenza, na Itália, no ano de 1608. Discípulo 
de Galileu Galilei, mudou-se para Florença, em 1641, e sucedeu ao mestre 
como matemático oficial do grão-duque da Toscana. Sua famosa equação 
foi obtida por volta de 1644.
Ao contrário das outras expressões que utilizamos, na equação de Torricelli não preci-
samos da variável tempo, possibilitando a resolução de inúmeros problemas, como, 
por exemplo a determinação da distância necessária para conseguir frear comple-
tamente um móvel em MRUV ou a distância percorrida durante uma variação de 
velocidade.
v2 = v0
2 + 2a∆x Equação 12
Embora a velocidade varie no MRUV, ela varia uniformemente, o que nos possibilita 
analisar a velocidade média de um determinado intervalo como a média aritmética 
das velocidades inicial e final desse intervalo em questão (MARQUES, 2016). Assim:
v
v v
Equação
m
=
+0
2
13
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Hewitt (2015) traz um excelente capítulo sobre movimento retilíneo, utilizan-
do, em sua obra, uma abordagem bastante conceitual, rica em exemplos. 
Lá, você encontrará diversas situações cotidianas explicadas sob o ponto de 
vista da Física.
a) Uma partícula, em MRUV, parte da posição 20 m com velocidade 2 m/s e 
aceleração de 2 m/s2. Determine sua posição e velocidade após 5 s.
Vamos, inicialmente, escrever as funções horárias para esse movimento:
x t x v t
at
x t t
t
( ) ( )= + + → = + +0 0
2 2
2
20 2 2
2
x t t t( )= + +20 2 2
v t v at v t t( ) ( )= + → = +0 20 2
Agora, substituindo por t = 5 s:
x(5)=20+2.5+52 → x(5)= 20+10+25=55 m
v(5)= 20+2.5 → v(5)= 30 m/s
A posição, após 5 s, será de 55 m. A velocidade será de 30 m/s.
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SUMÁRIO
Um automóvel, com velocidade constante de 90 km/h, deve frear uniforme-
mente com módulo de 2 m/s2 até atingir o repouso. Qual a distância percor-
rida durante a frenagem?
Esse é um exemplo de aplicação da equação de Torricelli. Repare que não 
temos a coordenada tempo, o que inviabiliza o uso das funções horárias. 
v0 = 90 km/h (:3,6) → 25 m/s
v = 0 (repouso)
a = - 2 m/s2 (o sinal se deve a frenagem)
v2 = v0
2 + 2a∆x
0 = 252 + 2.(–2).∆x
4∆x = 625
∆x = 156,25 m
A distância percorrida durante a frenagem será de 156,25 m.
Acabamos de ver que, no MRUV, a velocidade varia uniformemente devido à exis-
tência de uma aceleração constante. Um ótimo exemplo de MRUV é a queda livre, 
movimento vertical no qual a aceleração, constante, é provocada pela atração gravi-
tacional da Terra.
1.5 MOVIMENTOS EM QUEDA LIVRE
Galileu Galilei é um dos mais conhecidos cientistas de todos os tempos. Nascido 
em Pisa, em 1564, aos 26 anos ele já era professor na universidade de sua cidade, 
conquistando grande reputação e muitas desavenças, já que questionava os precei-
tos dos antigos gregos.
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Em 1632, Galileu publicou o Diálogos sobre os dois Principais sistemas do Mundo, 
obra na qual defendia a visão heliocêntrica de Nicolau Copérnico e que o colocou em 
situação de inimigo da igreja católica.
Em 1638, poucos anos antes de sua morte, ele escreveu sua obra máxima: Discur-
sos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas ciências. É importante que 
você saiba que, naquele tempo, os livros científicos eram escritos em latim e sem 
qualquer preocupação com o público leigo. Galileu, no entanto, publicou essas 
duas obras como conversas nas quais um debatedor Salviati (representando Gali-
leu) refuta as ideias de Simplício (representando Aristóteles) na presença de um 
observador da conversa, Sagredo. Em uma das passagens desse livro, um concei-
to antigo, relacionado à queda dos corpos, é atacado por Galileu, nas palavras de 
Salviati (NUSSENZVEIG, 2013):
Aristóteles diz que “uma bola de ferro de cem libras, caindo de cem cúbitos 
de altura, atinge o solo antes que uma bala de uma libra tenha caído deum 
só cúbito”. Eu digo que chegam ao mesmo tempo. Fazendo a experiência, 
você verifica que a maior precede a menor por dois dedos, ou seja, quando 
a maior chegou ao solo, a outra está a dois dedos de altura; você não pode 
querer esconder nesses dois dedos os noventa e nove cúbitos de Aristóteles 
[...]. (GALILEI, 1998)
cúbito: é uma das unidades de medida mais antigas de que se têm notícia, 
equivalendo a cerca de 0,5 m. Apresenta equivalência com o “côvado”, termo 
bastante frequente em textos antigos, como a Bíblia.
Para os gregos, era natural supor que os corpos de maior massa chegassem mais 
depressa ao solo durante uma queda. Tão natural que dispensava uma ferramenta 
essencial da ciência, pouco desenvolvida por esses pensadores: a experimentação. 
45
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Galilei, no entanto, refutava essa ideia, afirmando que a pequena diferença que seria 
observada daria-se pela resistência do ar. Como seria muito difícil, sem as ferramen-
tas de que dispomos hoje, analisar o fenômeno da queda livre, Galileu utilizou um 
plano inclinado, variando as distâncias percorridas pelo objeto e anotando o tempo 
gasto (NUSSENZVEIG, 2013).
Um corpo em queda livre está sujeito a uma aceleração, devido à influência da gravi-
dade terrestre, que varia de 9,78 m/s2 (nas proximidades do Equador) a 9,83 m/s2 (nas 
proximidades dos polos), em razão do achatamento do nosso planeta e de suas defor-
mações esféricas (MARQUES, 2016). Em geral, atribuímos um valor de 9,81 m/s2 para 
essa aceleração, arredondando para 10 m/s2 em algumas situações nas quais não 
precisamos de tanto rigor matemático. Representamos essa aceleração pela letra g.
Assim, podemos adaptar as equações do MRUV para a condição de queda livre escre-
vendo:
y t y v t
gt
Equação( )= + −0 0
2
2
14
v(t) = v0 – gt Equação 15
O sinal algébrico atribuído à aceleração leva em conta que a gravidade é 
orientada verticalmente para baixo (HALLIDAY; RESNICK; KRANE, 2003).
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FIGURA 12 - CORPO EM QUEDA LIVRE
y
25 t = 0
5m
15m
t = 1s
t = 2s
20
5
0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note, pela análise da figura apresentada, que um corpo em queda livre não percorre 
distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Na realidade, as distâncias a cada 
segundo extra de queda formam uma progressão aritmética cuja razão, 10, é igual 
à própria aceleração da gravidade. Uma outra forma de enxergar esse fato é verificar 
que as distâncias percorridas, a partir de uma queda com velocidade inicial nula, é 
proporcional a números ímpares: d, 3d, 5d e assim por diante.
FIGURA 13 - DISTÂNCIAS PERCORRIDAS POR UM CORPO EM QUEDA LIVRE, 
A PARTIR DO REPOUSO
y
d
3d
5d
Fonte: Elaborada pelo autor.
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A queda livre pode ser observada de forma bem mais clara sem a presença 
do ar. Uma câmara de vácuo, nesse caso, é o ambiente perfeito. Procure e 
assista ao vídeo Experimento de queda livre na maior câmara de vácuo do 
mundo, produzido pela BBC.
a) Uma pedra, de massa equivalente a 2 kg, desprendeu-se de uma encos-
ta a 40 metros de altura. Desconsiderando a resistência do ar e utilizando 
g = 9,81 m/s2, determine: i) o tempo que ela demorou para chegar ao solo; 
ii) a velocidade com que ela chegou ao solo; iii) a influência da massa da 
pedra em sua queda.
A altura (coordenada y0) da pedra é 40 m, e sua velocidade inicial (v0) é nula. 
Assim, teremos:
i y t y v t
gt
) ( )= + −0
2
0
2
0 40 0 9 81
2
2
= + −.
,t t
4,905t2 = 40
t2 = 8,15 → t = 2,86 s
Gastará 2,86 s para chegar ao solo.
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ii) v(t) = v0 – gt
v(2,86) = 0 – 10.(2,86) = –28,6 m/s (vertical e para baixo).
Terá uma velocidade de 28,6 m/s (vertical e para baixo).
Como desconsideramos a resistência do ar, a massa não interfere na queda 
da pedra.
b) Uma bola de tênis foi lançada verticalmente para cima, com velocidade 
inicial de 20 m/s, a partir das mãos de um garoto, posicionadas 1,5 m acima 
do solo. Desconsiderando a resistência do ar e utilizando g = 9,81 m/s2, deter-
mine: i) a altura máxima atingida pela bola; ii) o tempo necessário para que 
ela caia até o chão, a partir do lançamento.
O lançamento vertical para cima pode utilizar as mesmas equações da queda 
livre, apenas observando-se os sinais algébricos correspondentes. Para deter-
minar a altura máxima, devemos perceber que, ao atingir esse ponto, a bola 
irá parar. Assim, podemos utilizar a equação de Torricelli para essa finalidade.
i) v2 = v0
2 + 2a∆x
0 = 202 + 2.(-9,81).∆x
19,62∆x = 400 → ∆x = 20,39 m
h = y0 + ∆x = 1,5 + 20,39
h = 21,89 m
A bola atingirá uma altura máxima de 21,89 m.
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Para determinar o tempo total no ar, precisamos entender que o tempo de 
subida é exatamente igual ao tempo de descida. No entanto, ao descer, a 
bola não volta para as mãos do garoto, descendo mais 1,5 m até o solo. Assim:
ii) v(t) = v0 – gt
0 = 20 – 9,81.t
9,81t = 20
t = 2,04 s (tempo de subida)
y t y v t
gt
( )= + −0 0
2
2
0 21 89 0 9 81
2
2
= + −, .
,t t
4,905t2 = 21,89
t2 = 4,46 → t = 2,11 s (tempo de descida)
ttotal = tsubida + tdescida
ttotal = 2,04 + 2,11 = 4,11 s
O tempo total no ar será de 4,11 s.
Como vimos, a queda livre é um movimento no qual a velocidade dos corpos aumen-
ta uniformemente em função da aceleração da gravidade. Em outros locais do univer-
so (por exemplo, na Lua, ou em Marte), essa aceleração difere do valor encontrado na 
Terra, mas as expressões que utilizamos para calcular a posição e a velocidade dos 
corpos em queda continuam exatamente as mesmas.
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BIBLIOGRAFIA COMENTADA 
Veja, a seguir, algumas indicações de obras que complementarão seu conhecimento 
sobre os assuntos abordados na disciplina.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. Vol. 1. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
Nesse livro, você encontrará um excelente capítulo de Cinemática Unidimensional. 
O capítulo começa com uma oportuna revisão sobre vetores, terminando com o 
movimento de queda livre que acabamos de ver. Não deixe de conferir.
CUTNELL, J. D.; JOHNSON, K. W. Física. Vol. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
Confira nesse livro o capítulo de “cinemática em uma dimensão”. A obra é ricamente 
detalhada e traz exemplos bastante interessantes. Certamente, irá lhe auxiliar muito 
a ter uma compreensão cada vez melhor da Cinemática e das demais áreas da Física 
que estudaremos.
CONCLUSÃO 
Prezado estudante, concluímos esta unidade sobre o movimento unidimensional. 
Espero que você tenha percebido que os temas tratados aqui estão diretamente rela-
cionados com o nosso cotidiano. É pouco provável que você não precise lidar, conti-
nuamente, com temas como distância percorrida e velocidades de percurso, que 
fazem parte dos nossos estudos iniciais na Cinemática.
Neste capítulo inicial, vimos que a distância percorrida e a variação de posição são 
conceitos distintos. A partir dessa definição, calculamos a velocidade, tanto a média 
quanto a instantânea, e utilizamos as ferramentas do cálculo diferencial e as funções 
horárias para acompanhar os parâmetros cinemáticos da partícula (posição, veloci-
dade e aceleração). Esses parâmetros nos permitiram classificar e estudar movimen-
tos particulares, como o MRU (com velocidade constante)e MRUV (com aceleração 
constante), sobre os quais deduzimos as respectivas funções horárias.
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SUMÁRIO
Durante a sua formação profissional, esses conceitos irão servir de base para a cons-
trução de conhecimentos mais avançados. Pense em quanto desenvolvimento e 
pesquisa não foram necessários para enviar o homem à Lua! No entanto, isso ocorreu 
cerca de 70 anos após a invenção do avião. É indispensável, portanto, que esse alicer-
ce esteja bem feito. É essencial que você, caro aluno, utilize sempre as referências 
fornecidas ao longo do texto e exercite seus conhecimentos através da resolução de 
exercícios.
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Definir os conceitos de posição e deslocamento.
> Definir os conceitos de velocidade e aceleração. 
> Definir o movimento de projéteis.
> Identificar a velocidade de um corpo em função 
de outro.
> Descrever os movimentos em duas e três 
dimensões.
> Definir os movimentos circular e relativo.
> Interpretar os fenômenos com base nas 
diferentes grandezas cinemáticas. 
UNIDADE 2
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2 MOVIMENTO EM DUAS E 
TRÊS DIMENSÕES
Nesta unidade, serão exploradas todas as potencialidades da cinemática em duas e 
três dimensões, se valendo das ferramentas vetoriais para esse fim. 
Logo de início, serão redefinidos os conceitos de posição e deslocamento em função 
de vetores para, em seguida, se conseguir trabalhar com a velocidade e a acelera-
ção da mesma forma, utilizando-se módulo (ou intensidade), direção e sentido. Com 
essas ferramentas em mãos, será possível estudar o movimento de projéteis, calcu-
lando o seu alcance, a sua altura máxima e os seus demais pontos notáveis. Na análi-
se dos movimentos relativos, será estudado como medir a velocidade de um corpo 
em função de outro, encerrando a unidade com o estudo dos movimentos circulares, 
muito presentes em máquinas e componentes industriais. Bons estudos!
INTRODUÇÃO 
Já foi visto um caso muito particular de movimento dentro da cinemática: os movi-
mentos em uma dimensão. Você já reparou, no entanto, que os movimentos que 
observa no cotidiano são mais sofisticados do que isso, envolvendo muito mais do 
que um simples “ir e vir” ao longo de uma reta? O simples voo de um pássaro envolve 
uma complexidade muito maior do que isso.
As pessoas lidam, em geral, com movimentos que se desenvolvem em uma dimen-
são ou, mais frequentemente, em três dimensões do espaço. O chute em uma bola 
é um exemplo. Já o lançamento de um satélite é algo ainda mais complexo. Você já 
se perguntou a imensa dificuldade envolvida no cálculo das trajetórias e velocidades 
desses movimentos tridimensionais no início da corrida espacial, quando os compu-
tadores ainda não eram mais do que gigantescas calculadoras? 
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Bem, ao estudar nesta unidade os movimentos em duas e três dimensões, você pode-
rá entender melhor sobre a natureza vetorial dessas grandezas e, com isso, compreen-
der como a cinemática e suas relações são estabelecidas para ser possível interpretar 
os fenômenos com base nas diferentes grandezas cinemáticas. 
Bons estudos!
2.1 VETOR POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 
Os problemas que envolvem o campo da cinemática unidimensional são bastante 
simples, tais como um móvel que se deslocava ao longo de uma reta, somente. No 
entanto, como é possível analisar um movimento no qual o móvel tem liberdade 
para se deslocar em um plano ou mesmo no espaço? Para isso, precisamos começar 
a trabalhar com os vetores.
A palavra vetor tem origem no latim, e significa “carregar”. De forma similar, 
um vetor é um segmento de reta orientado que “transporta” uma quantida-
de (seu módulo), associando-se, na física, às chamadas grandezas vetoriais, 
como velocidade, aceleração e força.
Uma operação fundamental entre dois vetores, tais como u e v, é resultado da soma 
de suas componentes ou, geometricamente, a representação na diagonal de um 
paralelogramo que tem u e v como lados adjacentes (LARSON, 2017). 
Veja os componentes dos dois vetores:
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2)
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SUMÁRIO
Entenda como é a disposição geometricamente dos componentes na figura a seguir.
FIGURA 14 - ADIÇÃO VETORIAL NO PLANO
y
x
(u1 + v1 , u2 + v2)
(v1, v2)
(u1, u2)
u + v
u + v
u
v
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Após o entendimento dos componentes, é preciso, inicialmente, definir um sistema 
de referência que permita acompanhar a posição do corpo. Imagine que você preci-
se acompanhar o movimento de uma mosca voando por uma sala. Para descrever a 
posição do inseto, você precisa indicar, a cada momento, suas coordenadas em rela-
ção a algum ponto da sala. Uma outra maneira, mais prática, é escolher uma origem 
(digamos, um dos cantos da sala) e supor uma “linha” imaginária que ligue esse ponto 
à mosca. Em outras palavras, esse vetor pode ser chamado de r! 
Conforme a mosca vai voando, a extremidade do vetor r vai mudando junto com ela. 
Assim, pode-se medir seu vetor deslocamento, sua velocidade vetorial e sua acelera-
ção vetorial.
Dada a sua simplicidade e aceitação universal, o sistema de coordenadas cartesianas 
é a melhor opção na maioria dos casos. Será analisado, inicialmente, o caso em duas 
dimensões. 
Definidos o observador fixo na origem, o ponto (0,0), a posição que se deseja marcar 
é representada em função de versores (vetores unitários, ou seja, de módulo igual a 1) 
chamados de i e j. Assim, tem-se:
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FIGURA 15 - VETOR POSIÇÃO EM: (A) DUAS DIMENSÕES; (B) TRÊS DIMENSÕES
y
xi
xi
zk
xj
0
(a) (b)
xi
yj
yj
y
x z
x
r
r
P
0
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Para determinar a posição P, usa-se o vetor r como a soma, em duas dimensões, dos 
vetores yj e xi ou, em três dimensões, dos vetores yj, xi e zk. Assim, a soma em r será 
para:
• Duas dimensões: r = xi + yj Equação 1
• Três dimensões: r = xi + yj + zk Equação 2 
Agora que já foi definido o vetor posição, é possível analisar como ele varia em função 
do tempo. À medida que o corpo se desloca, sua posição vai variando. Assim, o vetor 
r é uma função do tempo ou, em outras palavras: r = r(t). 
Considere que uma partícula parta de uma posição P1, no instante t1, para uma 
posição P2, no instante t2. De P1 a P2, a partícula sofreu um deslocamento e se defi-
niu para ela um vetor deslocamento, ∆r, calculado como a diferença entre o vetor 
posição que liga a origem a P1 (r1) e o vetor posição que liga a origem a P2 (r2). 
Assim, tem-se a seguinte equação:
∆r = r2 – r1 = (x2i + y2j) - (x1i + y1j)
∆r = ∆xi + ∆yj Equação 3
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SUMÁRIO
FIGURA 16 - VETOR DESLOCAMENTO EM DUAS DIMENSÕES
r1
r2
∆r
y
x
P1
P2
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Em três dimensões, a determinação do vetor deslocamento é semelhante à:
∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk Equação 4
Considere o deslocamento de uma partícula no plano representado abaixo. 
Determine o vetor deslocamento indicado na figura.
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FIGURA 17 - DESLOCAMENTO DEUMA PARTÍCULA EM DUAS DIMENSÕES
vf
∆v
y
(m)
70
60
50
40
30
20
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x (m)
rf
Fonte: Elaborada pelo autor. 
A partir disso, serão determinados os vetores ri e rf, que representam, respectivamen-
te, a posição inicial e final da partícula.
ri = 10i + 30j
rf = 70i + 50j
O vetor deslocamento, ∆r, será dado por:
∆r = ∆xi + ∆yj = (70 – 10)i + (50 – 30)j
∆r = 60i + 20j
Usando o Teorema de Pitágoras, o módulo de ∆r pode ser obtido por meio da expres-
são:
2 260 20 63 24| | ,r m∆ = + =
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SUMÁRIO
O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática presente nos triângu-
los retângulos (ou seja, aqueles nos quais existe um ângulo de 90º) e que 
foi notabilizada pelo matemático e filósofo grego Pitágoras de Samos (570 
a.C. – 495 a.C.) De acordo com esse teorema, o quadrado do comprimento 
da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º) é igual à soma dos quadrados 
dos catetos, os outros dois lados que formam o triângulo. Existem centenas 
de demonstrações diferentes desse famoso teorema.
FIGURA 18 - TEOREMA DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras
Fonte: ShutterStock, 2019
A inclinação do vetor ∆r com o eixo das abscissas (θ) pode ser determinada da seguin-
te forma:
1 20 18 43
60
, ºtg−  θ = = 
 
60
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Agora que já se conseguiu, com o auxílio de um sistema de referências adequado, 
identificar como é calculada a posição da partícula, pode-se medir a sua variação de 
posição em função do tempo, ou seja, calcular a sua velocidade. 
2.2 VETOR VELOCIDADE 
Define-se a velocidade média, na cinemática unidimensional, como a variação do 
deslocamento escalar em função da variação de tempo. No entanto, como se está 
considerando, agora, um deslocamento em duas ou três dimensões, precisa-se consi-
derar a variação do nosso vetor deslocamento, ∆r, em função do tempo, para calcular 
a velocidade vetorial média (vm). Será obtido, assim, um novo vetor, cuja direção e 
sentido serão os mesmos do vetor deslocamento, e o módulo será dado pela equa-
ção a seguir:
5( )m
rv Equação
t
∆
=
∆
A velocidade instantânea pode ser determinada pela taxa de variação instantânea do 
vetor deslocamento, obtida fazendo o ∆t tender a zero.
Podemos pensar na velocidade instantânea como aquela medida no exato 
instante do movimento, e não a resultante de uma variação, como no caso 
da velocidade média. Quando observamos a velocidade de um veículo em 
um velocímetro, é a velocidade instantânea que estamos medindo.
Em outras palavras, tal como no caso unidimensional, a velocidade instantânea será 
a derivada do vetor deslocamento em relação ao tempo, conforme você pode ver a 
partir da equação e figura a seguir (MARQUES, 2016):
6( )dx dy dzv i j k Equação
dt dt dt
= + +
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SUMÁRIO
FIGURA 19 - VELOCIDADE INSTANTÂNEA E MÉDIA DE UMA PARTÍCULA
x
y
P1
v
P2
∆r
vm
r1
r2
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Uma partícula executa um movimento no plano descrito na figura a seguir. 
Calcule sua velocidade vetorial média entre os pontos 1, em 
t = 0, e 2, por onde a partícula passou em t = 10 s.
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FIGURA 20 - DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA DE UMA PARTÍCULA
P1
P2
x(m)6002000
700
1100
y (m)
∆u
vm
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Inicialmente, serão localizados os pontos P1 e P2:
• r1 = 200i + 1100j
• r2 = 600i + 700j
∆r = r2 – r1 = (600 – 200)i + (700 – 1100)j
∆r = 400i – 400j
m
rv
t
∆
=
∆
400 400 40 40
10
( ) /m m
i jv v i j m s−= → = −
O módulo do vetor velocidade média será dado por:
2 240 40 56 57| | ( ) , /mv m s∆ = + − =
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SUMÁRIO
Da mesma forma realizada na cinemática escalar, será analisada a variação da veloci-
dade com o tempo para obter mais uma variável: a aceleração. Entenda mais a seguir. 
2.3 VETOR ACELERAÇÃO 
Não apenas a posição, mas também a velocidade pode variar em função do tempo. 
Quando tal fato ocorre, diz-se que existe aceleração, mais uma grandeza a ser defini-
da vetorialmente (CHAVES, 2017).
Ao contrário da velocidade, cuja direção do vetor guarda uma relação bastante 
elementar com a trajetória, a aceleração demandará uma análise mais detalhada. 
Por enquanto, será analisada a variação e velocidade entre dois pontos, 1 e 2, definin-
do-a como um vetor ∆v, semelhante ao que já se fez com o vetor ∆r. 
Por analogia, já sabe que a equação da velocidade é:
∆v = v2 – v1 Equação 7
FIGURA 21 - DETERMINAÇÃO DO VETOR VARIAÇÃO DE VELOCIDADE (∆V)
x
y
P1
P2
v2
r1
r2
∆v
v1
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Dessa maneira, pode-se definir a aceleração vetorial média (am) como sendo a razão 
entre a variação de velocidade e a variação de tempo, conforme a equação:
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8( )m
va Equação
t
∆
=
∆
A aceleração vetorial instantânea equivale à derivada da velocidade em função do 
tempo ou, em termos matemáticos, tem-se a seguinte equação:
9( )yvx z
dvd dv
v i j k Equação
dt dt dt
= + +
A descrição do movimento de um corpo ou de uma partícula em termos de uma 
função horária também facilita bastante a determinação das grandezas cinemáticas 
quando se trabalha em duas e três dimensões. As funções horárias são expressões 
matemáticas que representam uma grandeza, como a posição, a velocidade ou a 
aceleração em função do tempo. Assim, podemos ter x(t), v(t) ou a(t).
Veja uma aplicação prática no exemplo a seguir.
Uma partícula tem seu movimento descrito pela função horária a seguir, em 
unidades do SI: r = (2 + 5t)i – (3t2)j + (2 – 5t)k. Determine sua velocidade e sua 
aceleração em função do tempo.
O movimento em questão é tridimensional, já que apresenta componentes nas dire-
ções determinadas pelos vetores unitários i, j e k. Para calcular a velocidade, será feita 
a derivada do vetor r em relação a t. Para encontrar a aceleração, se derivará o vetor 
velocidade em relação a t. Assim:
22 5 3 2 5 5 6 5[( ) ] [( ) [( ) ] ( )dr d t i d t j d t kv i t j k
dt dt
+ + + −
= = = + −
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Assim, a partícula terá:
vx = 5 m/s
vy = (6t) m/s
vz = - 5 m/s
5 6 5 6( ) ( ) ( )dv d i d t j d ka j
dt dt
+ + −
= = =
A partícula terá aceleração constante de 6 m/s2, apenas na direção y.
Veja mais um exemplo:
Um veículo entra em um retorno com velocidade de 20 m/s. Sem variar o 
módulo de sua velocidade, ele completa o retorno em 10 s e passa a se 
mover no sentido contrário da pista, conforme a figura a seguir apresenta. 
Calcule o módulo de sua aceleração vetorial média.
FIGURA 22 - VEÍCULO EM UMA CURVA, COM O MÓDULO DA VELOCIDADE CONSTANTE
Fonte: Elaborada pelo autor. 
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O módulo da velocidade do veículo permanece constante durante toda a curva. 
Assim, caso se tratasse de cinemática escalar, se poderia assumir que sua aceleração 
é nula. No entanto, perceba que há inversão de sentido do vetor velocidade quando 
se compara a entrada e a saída da curva. Assim, tem-se:
vi = (- 20 m/s)i (repare que o sinal negativo indica que o vetor aponta para a esquer-
da)
vf = (+20 m/s)i
220 20 40
10
[ ( )] /m
r ia m s i
t
∆ − −
= = =
∆
Conclui-se,