8 - Recalque

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GEOTECNIA II
Prof.º Ms. Fillipe Brito
2018.
Cálculo de Recalques
2Recalques
❖ INTRODUÇÃO
Assim como os demais materiais utilizados em engenharia, o solo está sujeito a sofrer
deformações quando submetido a variação das tensões iniciais.
As deformações ocorridas no solo devido ao efeito das sobrecargas aplicadas (peso das
construções, aterros, etc.) são chamadas de recalques e a sua previsão consiste em
um dos problemas mais importantes em mecânica dos solos.
3Recalques
❖ INTRODUÇÃO
Seja uma fundação de base retangular que transmite ao solo uma pressão pn produzida
pelo efeito uma carga normal N.
Como determinar o recalque R na quina da fundação?
L: Lado maior
Rocha
B: Lado menor 
H
N
Ponto onde será calculado o 
recalque
pn: Pressão liquida atuante na base 
da fundação
Fundação
Base teórica do calculo de Recalque: Esquema de analise 
Prima de solo abaixo do 
ponto onde será calculado o 
recalque 
4Recalques
❖ BASE TEÓRICA PARA CÁLCULO DE RECALQUES
O método apresentado a seguir para cálculo de recalques é baseado na equação para
determinação de deslocamentos dada pela teoria da elasticidade.
Seja o prisma de solo imediatamente abaixo do canto da fundação:
Z
Z = H
Z = 0
Ponto onde será calculado 
o recalque
Prisma de Solo 
abaixo do ponto 
onde será calculado 
o recalque
Elemento diferencial de 
solo de altura dz
Z
dz
dR diferencial de recalque 
devido a uma acréscimo de 
tensões ΔσZ
R
A deformação específica vertical εz do
elemento de solo dz é:
𝜀𝑧 =
𝑑𝑅
𝑑𝑧
Isso implica:
𝑑𝑅 = 𝜀𝑧 . 𝑑𝑧
Integrando ambos os lados da
expressão ao longo da profundidade
z:
𝑅 = න
𝑧=0
𝑧=𝐻
𝜀𝑧. 𝑑𝑧
5Recalques
❖ BASE TEÓRICA PARA CÁLCULO DE RECALQUES
A deformação específica vertical εz pode ser obtida pela aplicação da Lei de Hooke
generalizada:
𝜀𝑧 =
𝜎𝑧
𝐸
−
ν
𝐸
. (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)
onde:
𝜎𝑧 é o acréscimo da tensão vertical na profundidade z;
𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 os acréscimos das tensões laterais na profundidade z;
𝐸 é o módulo de deformabilidade do solo;
ν o coeficiente de Poisson do solo.
A expressão anterior também pode ser expressa como:
𝜀𝑧 =
1 + ν
𝐸
. 𝜎𝑧 −
ν
𝐸
. 𝜃
onde 𝜃 é o primeiro invariante de tensões obtido por meio de tensões:
𝜃 = (𝜎𝑥+𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)
6Recalques
❖ BASE TEÓRICA PARA CÁLCULO DE RECALQUES
Quando não considerada a restrição de deslocamento horizontal do solo a Lei de
Hooke pode simplificada como:
𝜀𝑧 =
𝜎𝑧
𝐸
Z
Z = H
Z = 0
Ponto onde será calculado 
o recalque
Prisma de Solo 
abaixo do ponto 
onde será calculado 
o recalque
Z
dz
R
εZ = f (σZ)= f(Z)
εZ
Z
𝜀𝑧 é função de 𝜎𝑧 e como 𝜎𝑧 é uma
função da profundidade (z), 𝜀𝑧
também é fundação de z.
𝜀𝑧 = 𝑓 𝜎𝑧 = 𝑓 𝑧
Portanto, o valor do recalque R é
igual a área do gráfico que
representa a variação de 𝜀𝑧 ao
longo da profundidade z.
𝑅 = න
𝑧=0
𝑧=𝐻
𝜀𝑧 . 𝑑𝑧 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
7Recalques
❖ MÉTODO NUMÉRICO PARA CÁLCULO DO RECALQUE
Como visto nas aulas anteriores, a função que descreve a variação da tensão 𝜎𝑧 ao
longo da profundidade z não é trivial o que torna a complexa a resolução da integral
anterior.
Por conta disso convém se adotar uma solução numérica aproxima para o calculo da
área do gráfico 𝜀𝑧 x z. Tal solução consiste em dividir o gráfico em diversas subáreas e
aproximá-las pelo formato de um trapézio.
Z
Z = H
Z = 0
Z
dz
R
εZ = f (σZ)= f(Z)
εZ
Z
εZ
Z
1
i
n
Hi
An
Ai
A1
iHi
Trapézio i
Ai
Trapézio i
𝑅 = න
𝑧=0
𝑧=𝐻
𝜀𝑧. 𝑑𝑧 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖
8Recalques
❖ MÉTODO NUMÉRICO PARA CÁLCULO DO RECALQUE
Quanto menor a altura Hi adotada para os trapézio melhor será a precisão do
resultado, porém mais trabalhoso se torna o cálculo.
Na prática de engenharia, os valores de Hi usados estão entre 1,0 e 3,0 m.
Para determinar a área do trapézio i (Ai) é necessário determinar a deformação
específica vertical no centro do trapézio i (εzicentro)
εZ
Z
εZ = f (σZ)= f(Z)
Hi
Trapézio i
Zi :Centro do 
trapézio i
εZi centro no centro do trapézio i 𝜀𝑧 =
1 + ν
𝐸
. 𝜎𝑧 −
ν
𝐸
. 𝜃
A área do trapézio pode ser então obtida
por:
𝐴𝑖 = 𝐻𝑖. 𝜀𝑧𝑖 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
9Recalques
❖ MÉTODO NUMÉRICO PARA CÁLCULO DO RECALQUE
O acréscimo de tensão vertical 𝜎𝑧 pode ser obtido, conforme estudado anteriormente,
por meio do coeficiente Jz extraído da tabela abaixo:
Z / B
L/ B
1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0 
0.00 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250
0,25 0,247 0,248 0,248 0,248 0,248 0,249 0,249
0,50 0,233 0,238 0,239 0,240 0,240 0,240 0,245
0,75 0,206 0,218 0,222 0,225 0,224 0,224 0,235
1,00 0,1752 0,1936 0,1999 0,203 0,204 0,205 0,224
1,50 0,1210 0,1451 0,1561 0,1638 0,1665 0,1670 0,205
2,00 0,0840 0,1071 0,1202 0,1316 0,1363 0,1374 0,1670
3,00 0,0447 0,0612 0,0732 0,0860 0,0959 0,0987 0,1344
4,00 0,0270 0,0383 0,0475 0,064 0,0712 0,0758 0,0990
6,00 0,0127 0,0185 0,0238 0,0323 0,0431 0,0506 0,0764
8,00 0,0073 0,0107 0,0140 0,0195 0,0283 0,0367 0,0521
10,00 0,0048 0,0700 0,0092 0,0129 0,0198 0,0279 0,0394
ΔσZi centro = JZi ×pL
L
B p
ΔσZ
Z
10Recalques
De forma análoga, o primeiro invariante de tensões (θ), pode ser obtido por meio do
coeficiente Jθ extraído da tabela abaixo.
❖ MÉTODO NUMÉRICO PARA CÁLCULO DO RECALQUE
Z/B
L/B
θ = (1+ν) × Jθ  p𝜃 = (𝜎𝑥+𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) onde ν é o coeficiente Poisson do solo.
11Recalques
Calcular o recalque no canto da fundação representada abaixo. Assuma ν = 0,3.
Desconsidere os efeitos de confinamento lateral ((𝜎𝑥= 𝜎𝑦 = 0).
❖ EXEMPLO 1
2,0m
Rocha
1,0m 
3,0m
N= 20 tf
Ponto onde será calculado 
o recalque
Pn=?
Fundação
Modulo de deformação do solo E =1000 tf/m2
12Recalques
Rocha
1,0m 
3,0m
N= 20 tonf
Ponto onde será calculado o 
recalque
pn????
Fundação
E =1000 tonf/m
2,0m
Z
1,0 m
A2
A3
A1
1,0 m
1,0 m
εZ
Prisma de solo
0,5 m
1,5 m
2,5 m
ν: 0,3 
O prisma de solo abaixo do canto da fundação pode ser dividido em três camadas com
espessura de 1,0 m cada.
❖ EXEMPLO 1
13Recalques
Os tipos de deslocamentos das fundações que podem afetar as edificações são os
seguintes:
❖ CRITÉRIOS DE DEFORMAÇÃO: RECALQUE
Recalque Absoluto: (R) Recalque Diferencial: (ΔR) Distorção: (ΔR/L)
L
RA
RB
ΔR
Desses deslocamentos, o que pode trazer efeitos mais desfavoráveis às edificações é a
distorção (ΔR/L)
14Recalques
❖ LIMITE DE VALORES DE DISTORÇÃO (ΔR/L)
15Recalques
❖ RECALQUES
16Recalques
A profundidade ativa (Ha) é aquela até onde as tensões devido ao efeito da fundação
podem desenvolver valores de recalque apreciáveis desde o ponto de vista prático (ou
seja, a profundidade da camada de solo que deve ser considera para o cálculo do
recalque).
❖ PROFUNDIDADE ATIVA
• Para fundação retangular (1< L/B < 10): 𝐻𝑎 = 2,5 +
𝐿
𝐵
− 1 .
3,5
9
• Para fundação corrida (L/B ≥ 10): 𝐻𝑎 = 6,0. 𝐵
• Para fundação quadrada (L/B = 1): 𝐻𝑎 = 2,5. 𝐵
onde L e B são o maior e o menor lado da fundação, respectivamente.
R
Z
Nível da base da fundação
Nível do terreno
Ha
Profundidade Ativa
0
Ha
Z
 z
Área = R 
Função  z
17Recalques
Para solos arenosos podem ser utilizados de forma orientativa as seguintes relações:
❖ PROPRIEDADES DOS SOLOS ARENOSOS A PARTIR DO SPT
( ) MPaNE SPT ....33 −=Segundo Mello (1971):
Areias(Godoy 1972)
N Compacidade γ (Kn/m3)
Seca Úmida Saturada
< 5 Fofa 16 18 19
5-8 Pouco Compacta 16 18 19
9-18 Medianamente
Compacta
17 19 20
19-40 Compacta 18 20 21
>40 Muito Compacta 18 20 21
Coeficiente Poisson ( ν) Lopes
(1993):
ν = 0,30 para NSPT≤ 10
ν = 0,35 para 10 < NSPT ≤ 20
ν = 0,4 para NSPT > 20
Nota: O módulo de deformabilidade pode ser determinado a partir de provas de carga
direta conforme descrito na NBR 6489/84.