Unidade 2

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CALCULO III
Cristiane da Silva
Equações diferenciais 
de 1ª ordem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer a forma de uma equação diferencial de 1ª ordem.
 � Resolver equações diferenciais de 1ª ordem e problemas de valor inicial.
 � Aplicar equações diferenciais em situações-problema.
Introdução
Equações diferenciais são uma parte da matemática com aplicações 
em diversos ramos da ciência. Encontramos problemas associados em 
física, química, biologia, economia, etc. Com o intuito de contribuir com 
o entendimento dos conceitos estudados na disciplina de Cálculo III, 
além de apresentar alguns teoremas e definições, você será direcionado 
a diversos problemas relacionados ao conteúdo.
Neste texto, você vai aprender os conceitos iniciais de equações dife-
renciais. É importante que você entenda a classificação dessas equações 
quanto a tipo, ordem e linearidade, para reconhecer uma equação dife-
rencial de 1ª ordem a partir da sua definição. Além disso, você aprenderá 
a resolver essas equações e problemas de valor inicial. A proposta é que 
você possa, além de aprender as definições, aplicar equações diferenciais 
em situações-problema.
Equações diferenciais
Antes de abordarmos as equações diferenciais de 1ª ordem, vamos compre-
ender alguns conceitos iniciais a respeito de equações diferenciais e das suas 
aplicações. 
Boyce e DiPrima (2015) afirmam que muitos princípios e leis que regem 
o comportamento do mundo físico são proposições ou relações que envolvem 
uma taxa segundo a qual as coisas ocorrem. Matematicamente falando, essas 
relações são equações e as taxas são as derivadas. Nesse contexto, equações 
envolvendo derivadas são equações diferenciais. 
No que diz respeito à aplicação desse tipo de equação, cabe destacar que são 
utilizadas para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento 
de fluídos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em 
objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, o aumento ou 
diminuição de populações, etc.
Zill (2013, p. 2) define equação diferencial da seguinte forma: “Uma equação que contém 
as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a 
uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). Elas 
podem ser classificadas por tipo, ordem e linearidade”.
Classificação por tipo
As equações diferenciais podem ser classificadas em ordinária ou parcial. 
Quando a equação contém apenas derivadas ordinárias de uma ou mais 
variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, é 
chamada de equação diferencial ordinária (EDO) (ZILL, 2013). Vejamos 
exemplos:
Note que no terceiro exemplo a equação diferencial contém mais de uma 
variável dependente.
Quando uma equação envolve as derivadas parciais de uma ou mais va-
riáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de 
equação diferencial parcial (EDP). (ZILL, 2013). Vejamos exemplos:
Equações diferenciais de 1ª ordem2
Note que existem notações diferentes para expressar as derivadas ordinárias. 
Podemos utilizar a notação de Leibniz ou com a notação 
linha . Em geral, a n-ésima derivada é escrita como y(n). 
Derivadas parciais também são denotadas por uma notação em subscrito 
indicando as variáveis independentes. Por exemplo: uxx = utt – 2ut.
Classificação por ordem
Zill (2013) explica que a ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é 
a ordem da maior derivada na equação. Veja:
Esse é um exemplo de EDO de 2ª ordem. 
Classificação por linearidade
Uma EDO de ordem n é linear se F for linear em . Isso 
significa que uma EDO de n-ésima ordem é linear quando:
Vejamos a equação diferencial linear de 1ª e 2ª ordens a seguir:
Observamos duas propriedades:
 � A variável dependente y e todas as duas derivadas são de 
1º grau, ou seja, o expoente de cada termo envolvendo y é um.
3Equações diferenciais de 1ª ordem
 � Os coeficientes a0, a1, ..., an de dependem quando muito da 
variável independente x.
As equações (y − x)dx + 4xdy = 0, e 
são, respectivamente, equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª, 2ª e 3ª 
ordem.
Uma EDO não linear é simplesmente uma que não é linear. Por exemplo:
Esses são exemplos de equações diferenciais ordinárias não lineares de 2ª 
e 4ª ordem, respectivamente.
Equações diferenciais de 1ª ordem
Boyce e DiPrima (2015) afirmam que, se uma função, como 
, depender linearmente da variável y, a equação será dita uma equação li-
near de 1ª ordem. A equação linear de primeira ordem tem a seguinte forma 
, em que p e g são funções dadas da variável independente 
t. Também podemos escrever a equação na forma
em que P, Q e G são dadas.
De acordo com os autores, em alguns casos, é possível resolver uma equa-
ção linear de 1ª ordem imediatamente por integração. Vejamos um exemplo.
Equações diferenciais de 1ª ordem4
Resolva a equação diferencial . A expressão à esquerda do sinal 
de igualdade é uma combinação linear de e y, uma combinação que também 
aparece em cálculo na regra para a derivada de um produto. De fato,
A equação pode ser escrita como: 
Assim, embora y seja desconhecida, poderíamos integrar a equação em relação a t 
obtendo:
Em que c é uma constante de integração arbitrária. Resolvendo para y, encontramos que:
Essa é a solução geral.
Fonte: Boyce e DiPrima (2015, p. 26).
EDO de 1ª ordem e problemas de valor inicial
Nagle, Saff e Snider (2012) explica que uma classe simples de equações di-
ferenciais de 1ª ordem que pode ser resolvida utilizando a integração é a de 
equações separáveis. São equações que podem ser reescritas 
de maneira a isolar as variáveis x e y em lados opostos da equação, como em 
.
Informalmente, equações separáveis são resolvidas por meio da separação 
e, depois, da integração de cada lado (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012).
5Equações diferenciais de 1ª ordem
Método para solução de equações separáveis.
Para resolver a equação multiplique por dx e por h(y) para obter h(y)
dy = g(x)dx. Depois integre os dois lados:
em que mesclamos as duas constantes de integração em um único símbolo C. A 
última equação dá uma solução implícita para a equação diferencial.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012).
Vejamos agora um exemplo de resolução de uma equação separável.
Resolva a equação não linear .
Resolução
Seguindo a técnica simplificada, separamos as variáveis e reescrevemos a equação 
na forma:
Então, integrando, temos:
E, solucionando para y, temos:
Como C é uma constante de integração que pode ser qualquer número real, 3C 
também pode ser qualquer número real. Portanto, substituiremos 3C por K:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 29-30).
Equações diferenciais de 1ª ordem6
Equações lineares
Nagle, Saff e Snider (2012) explica que uma equação linear de 1ª ordem é uma 
equação que pode ser escrita da seguinte forma:
em que a1(x), a0(x) e b(x) dependem apenas da variável independente x, 
não de y.
Nagle, Saff e Snider (2012) explica duas maneiras de resolver uma equação 
diferencial linear. A primeira é quando o coeficiente a0(x) for identicamente 
zero, então teremos , que é equivalente a 
desde que a1(x) ≠ 0. E a segunda maneira é esta: se a0(x) for igual à derivada de 
a1(x), então os dois termos no lado esquerdo da equação 
compreendem a derivada do produto a1(x)y:
que resulta em . E a solução se torna:
A forma pode ser alcançada a partir da multiplicação da 
equação original, , por uma função escolhida µ(x). A 
função µ(x) é chamada de fator integrante. Vamos dividir a equação original 
por a1(x) e colocá-la na forma padrão (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012):
em que e . Agora, para determinar µ(x):
7Equações diferenciais de 1ª ordem
Isso exige que µ satisfaça . Para encontrar essa função, ve-
rificamos que ela é uma equação diferencial separável, e podemos escre-
ver como . Integrando os dois lados, . Assim, 
, que tem a solução . 
Vejamos um exemplo.
Encontre a solução geral da equaçãodiferencial .
Resolução
A equação é da forma com a = −2; logo, o fator 
integrante é . Multiplicando a equação diferencial por 
µ(t), obtemos:
ou
Então, integrando a última equação, temos
Em que usamos integração por partes no último termo da equação
Fonte: Boyce e DiPrima (2015, p. 29).
Vejamos um exemplo de resolução de uma equação não linear.
Equações diferenciais de 1ª ordem8
Considere a equação não linear . Para resolver a equação de 
Bernoulli, fazemos uma mudança de variáveis, ou seja, y1−n = z. Agora, ao fazermos a 
mudança de variáveis, temos uma EDO linear de primeira ordem.
Resolução
Fazendo a mudança de variáveis:
Solução para y = 0: 
Temos uma EDO linear de 1ª ordem:
9Equações diferenciais de 1ª ordem
Equações homogêneas e não homogêneas
Se o lado direito da equação puder ser expresso como uma 
função da razão y/x somente, então dizemos que a equação é homogênea. 
Caso contrário, ela não é homogênea (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012).
A solução geral é:
Fonte: Toda a Matemática (2017).
Equações diferenciais de 1ª ordem10
A equação (x – y) dx + x dy = 0 pode ser escrita da forma . Como ex-
pressamos como uma função da razão , ou seja, , onde , 
então a equação (x – y) dx + x dy = 0 é homogênea.
Já a equação (x – 2y + 1)dx + (x – y)dy = 0 pode ser escrita como 
. Aqui, o lado direito não pode ser expresso como uma 
função de apenas, por causa do termo no numerador. Logo, a equação (x – 2y + 
1)dx + (x – y)dy = 0 não é homogênea.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 53-54).
Vejamos um exemplo de resolução de um problema de valor inicial.
Resolva o problema de valor inicial 
Resolução.
Separamos as variáveis e integramos:
Nesse ponto, podemos tanto solucionar para y explicitamente (retendo a constante C) 
quanto usar a condição inicial para determinar C e depois resolver explicitamente para y.
Aplicando a função exponencial na equação, temos:
onde . Agora, dependendo dos valores de y, temos ; e, 
de modo semelhante, . Assim,
 ou 
11Equações diferenciais de 1ª ordem
Da aplicação de equações diferenciais
Agora que conhecemos a definição de equações diferenciais e a sua classi-
ficação, e vimos exemplos a partir da resolução de exercícios envolvendo 
equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem e problemas de valor inicial, 
vamos mostrar a aplicação desses conteúdos em situações-problema nas di-
ferentes áreas da ciência.
Crescimento de bactérias
Uma cultura tem inicialmente bactérias. Em t = 1h, o número medido 
de bactérias é de . Se a taxa de crescimento for proporcional ao número 
de bactérias P(t) presente no instante t, determine o tempo necessário para 
triplicar o número de bactérias.
Resolução: em primeiro lugar, resolvemos a equação diferencial substituindo 
o símbolo x por P. Tomando , a condição inicial é . Usamos, 
então, a observação empírica de que para determinar a constante de 
proporcionalidade k. Note que a equação diferencial é ao mesmo tempo 
separável e linear. Colocando-a na forma padrão de uma ED linear de primeira 
ordem, temos:
onde a escolha de sinal depende dos valores de x e y. Como é uma constante 
positiva, podemos substituir por K, onde K agora representa uma constante 
arbitrária diferente de zero. Temos, portanto:
Por fim, determinamos K de modo que a condição inicial y (–1) = 0 seja satisfeita. 
Colocando x = –1 e y = 0 na equação, temos: 
E, portanto, . Assim, a solução para o problema de valor inicial é:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 30-31).
Equações diferenciais de 1ª ordem12
Podemos ver, por inspeção, que o fator integrante é . Multiplicando 
ambos os lados da equação por esse termo e integrando, obtemos:
 e 
Portanto . Em t = 0, segue que , então . Em 
t = 1 temos . Da última equação, obtemos 
e, portanto . Para encontrar o instante no qual o número de 
bactérias triplicou, resolvemos: para t. Segue que 
ou .
Veja a Figura 1, que ilustra essa situação.
Figura 1. Tempo em que uma população triplica.
Fonte: Zill (2013, p. 86).
13Equações diferenciais de 1ª ordem
A meia-vida do plutônio
Um reator regenerador converte urânio 238 relativamente estável no isótopo 
plutônico 239. Depois de 15 anos, determinou-se que 0,043% da quantidade 
inicial de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo, se a 
taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente.
Resolução: seja A(t) a quantidade de plutônio remanescente no instante t. A so-
lução do problema de valor inicial é . Se 0,043% 
dos átomos de tiverem se desintegrado, restarão 99,957% de substância. 
Para encontrar a constante de decaimento k, usamos , isto é, 
. Resolvendo para k, temos . 
Logo, . Agora, a meia-vida corresponde ao valor do 
tempo no qual . Resolvendo para t, obtemos 
ou . A última equação fornece:
. 
Fonte: Zill (2013, p. 87).
Idade de um fóssil
Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade 
original de C-14. Estime a idade do fóssil.
Resolução: o ponto de partida é . Para determinar o valor da cons-
tante de decaimento k, usamos o fato de que ou . 
De , obtemos . Logo, 
. De , temos ; logo, 
. Assim, a idade do fóssil é aproximadamente:
.
Fonte: Zill (2013, p. 88).
Lançamento de objeto
Um objeto com massa de 3 kg é lançado do repouso 500 m acima do solo 
e depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força 
gravitacional seja constante, com g= 9,81 m/s², e a força devido à resistência do 
Equações diferenciais de 1ª ordem14
ar seja proporcional à velocidade do objeto com constante de proporcionalidade 
b = 3 N – s/m. Determine quando o objeto atingirá o solo.
Resolução: usamos o modelo com . A equação 
do movimento neste caso é:
Como o objeto é lançado 500 m acima do solo, podemos determinar quando 
ele atinge o solo pondo x (t) = 500 e resolvendo para t. Assim, colocamos:
ou
onde arredondamos os cálculos para duas casas decimais. Essa equação 
não pode ser resolvida de modo explícito para t. Poderíamos tentar aproximar 
t usando o método de aproximação de Newton, mas aqui não é necessário. 
Como será muito pequeno para t próximo de , basta 
ignorar o termo , e obtemos como nossa aproximação t = 51,97 s.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 84-85).
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
NAGLE, R.K; SAFF, E.B.; SNIDER, A.D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2012.
TODA A MATEMÁTICA. Equação de Bernoulli. YouTube, 2017. Disponível em: <https://
www.youtube.com/watch?v=IiKuXsFFHag>. Acesso em: 22 nov. 2017.
ZILL, D.G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 2. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2013.
Leitura recomendada
FIGUEIREDO, D.G.; NEVES, A.F. Equações diferenciais aplicadas. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2002.
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