Binômio de Newton - Análise Combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
AULA 7- BINÔMIO DE NEWTON
BINÔMIO DE NEWTON– AULA 7
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Conteúdo Programático desta aula
. O Binômio de Newton:
- Fórmula
- Observações
- Exercícios
BINÔMIO DE NEWTON– AULA 7
ANÁLISE COMBINATÓRIA
BINÔMIO DE NEWTON
Sendo e demonstra-se que:RaRx  , ,Nn
0210 ....².
2
.
1
.
0
)( xa
n
n
xa
n
xa
n
xa
n
ax nnnnn 





++





+





+





=+ −−
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
OBSERVAÇÕES:
1. o desenvolvimento de possui n+1 termos;
2. as potências de x decrescem de n até zero;
3. as potências de a crescem de zero até n;
4. Os coeficientes binomiais dos
termos do desenvolvimento representam uma linha do
Triângulo de Pascal;
5. a soma dos expoentes de x e a é sempre n.
( )nax +
























n
nnnn
,...,
2
,
1
,
0
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
No caso de termos , teremos:
Note que, nesse caso os sinais são alternados, ou seja, os
termos de ordem par são negativos e os de
ordem ímpar são positivos.
Note ainda que basta fazermos como
e aplicarmos a fórmula.
( )nax −
( ) 0210 .1...².
2
.
1
.
0
)( xa
n
n
xa
n
xa
n
xa
n
ax n
nnnnn






−++





+





−





=− −−
,...6,4,2 000
,...5,3,1 000
( )nax − ( ) nax −+
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As fórmulas anteriores podem ser escritas do seguinte modo:
( ) pnp
n
op
n
xa
p
n
ax −
=
 





=+
( ) ( ) pnp
n
op
pn
xa
p
n
ax −
=
 





−=− 1
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TRIÂNGULO DE PASCAL
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EXERCÍCIOS
1. Desenvolva o binômio: ( )61+x
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2. Desenvolva o binômio: ( )522 xx+
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3. Desenvolva o binômio: ( )34−x
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4.(FGV-SP) A soma dos coeficientes dos termos do
desenvolvimento de (2x +3y)6 é:
a) 15.625 b) 7.776 c) 6.225 d) 4.225 e) 2.048
SOLUÇÃO:
Note que para achar a soma dos coeficientes dos termos
basta fazer x=y=1.
Logo:
( ) 625.1551.31.2 66 ==+
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5.(Mack-SP) No desenvolvimento de a
soma dos coeficientes numéricos vale:
a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) 243
( ) ( )55 2.2 yxyx +−
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6. Calcule o valor numérico do polinômio
para e
SOLUÇÃO
Temos que:
434 ³4²²64 yxyyxyxx +−+−
4 5
61+
=x
4 5
16 −
=y
( )
5
16
5
2
5
16
5
61
4
4
4
44
4
=





=







 −
−
+
=− yx
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7. (Mackenzie-SP)
Se
então calcule
SOLUÇÃO:
Observando o 1º membro da equação e introduzindo as
potências de 1, chegamos ao desenvolvimento de um
binômio.
( ) ( ) ( ) ( )5345 137
5
5
...2
2
5
2
1
5
2
0
5
−=





++−





+−





+−





xxxx
( ) .2 6−x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )  ( )555041
32231405
1121.2
5
5
1.2
4
5
1.2
3
5
1.2
2
5
1.2
1
5
1.2
0
5
−=+−=−





+−





+
+−





+−





+−





+−





xxxx
xxxx
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Temos então que:
Logo:
( ) ( ) 213711371 55 =−=−−=− xxxxx
( ) ( ) 00222 666 ==−=−x
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Na aula de hoje estudamos:
- O Binômio de Newton:
- fórmula
- observações
- exercícios