Regra da Cadeia

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Regra da Cadeia: 
 
Utilizada quando trabalhamos com funções compostas, como por exemplo 10069 )1xx()x(v  . Para 
determinar a derivada de uma função composta de forma mais simples, usamos o teorema da regra 
da Cadeia. 
 
Teorema: Seja    n)x(uxv  , funções diferenciáveis, então: 
 
    )x('u)x(unx'v 1n   ou   'uun'v 1n   
 
 
Exemplos 
Calcular a derivada de: 
a)  1003 2xy  
 
b) 1xx2y 2  
 
c) 3
2x
3x2
y

 
 
d)  3 22 2x2xy  
 
 
e) 23)1²(  xxy 
 
 
f) 
35 )1(
4


xx
y 
 
 
Lista 12 
 
Derivar as funções abaixo usando a regra da cadeia: 
a) )³7x2(y  
b) 4)4x9(3y  
c) 3
2
)2t9(y  
d) 3 x4³x3y  
e) 2
1
²)x25(y

 
f) )²1x5)³(3x(y  
g) 2
1
)4x4²x(5y  
h) 1x3²xy  
i) 1²x²xy  
j) 5
1
3
2
)1²x(xy  
k) 
4
4x3
1x2
y 







 
l) 4
1³x2
1²x
y


 m) 
)³1x2(
)1x(
y
4


 
 
 
Respostas 
a) )²72(6 x 
b) )³49(108 x 
c) 
3
1
)29(
6
t
 
d) 
3 )²4³3(3
4²9
xx
x


 
e) 
2
3
²)25( x
x

 
f) )33x25)(1x5)²(3x(  
g) 
44²
)2(5


xx
x
 
h) 
13²2
32


xx
x
 
i) 
1²
2³3


x
xx
 
j) 
5 4
3
3
5
)1²(5
²2
3
)1²(2




x
xx
x
x
 
k) 
5)43(
)³12(20


x
x
 
l) 
















)²1³2(
²3
1³2
1²
2
1 44
3
x
xxx
x
x
 
m) 
4)1x2(
)³1x)(5x(2


 
Derivadas das Funções Elementares 
 
Função exeponencial: Se   xaxu  então   aaxu x ln'  
 
Em particular se   xexu  então   xexu ' 
 
 
Exemplos 
Calcular a derivada das seguintes funções: 
 
a) x22y  
b) x2ey  
c) xey  
d) 
x
1
2
1
y 





 
e) 
2xe32y  
f) 
xe
2
y  
g) e2e2e2y xx
2
 
 
 
Função Logarítmica: Seja 1a0quetalRa  e 
y = loga u(x) então 
aln).x(u
)x('u
'y  
Para o caso de 
y = ln u(x) temos: 
)x(u
)x('u
'y  
 
Exemplos 
Calcular a derivada das funções abaixo: 
a)  1xlogy 2  
b) 2xlogy
3
 
c)  2xlny  
d)  x2lny  
e)  x2lnx5y  
f)  x2lnx5y  
Funções trigonométricas: 
Sejam u = u(x) e v = v(x) funções diferenciáveis, então: 
 
 u seny  então,  u cos'uy  
 u cosy  então,  u sen-u'y  
 u tgy  então,  u sec'uy
2 
 u cotgy  então,  u cossec'uy
2 
 u secy  então,    u tgu sec'uy  
 u cossecy  então,    u cotgu cossec'uy  
 
Exemplos 
Calcular a derivada das funções abaixo: 
a) )x(seny 2 
b) )x(seny 2 
c)  x2cos3y  
d)   x3tgy 
e)    x2secx2gcoty  
f)  xeccosy  
g) 
)cos(1
)(
x
xsen
y

 
 
 
 
Lista 13 
1) Derivar as funções trigonométricas abaixo: 
a) )x2(seny  
b) )x3cos(y  
c) )x2cos(x2y  
d) )x3(seny  
e) )x2cos(y  
f) )x(sen³.xy  
g) )x(sen).5²x(y  
h) 
x
)x(sen
y  
i) ³)x1(seny  
j) )x(seny 5 
k) )x53(sen².xy  
l) )x(seny 5 
m) ³)x4(sen7y 6 
n) )2²x(seny 3  
o) 
)xcos(21
)x(sen
y

 
p) 
)xcos(2
)x(sen2
y


 
q) )1x3cos(y  
r) )x4(tg9²)x3(sen6y  
s) )1x(tg5y 6  
 
2) Derivar as funções exponenciais e logarítmicas abaixo: 
a) xey  
b) ²)xln(y  
c) )x3ln(y  
d) )1x4ln(y  
e) )x6²x(logy 10  
f) xe.xy  
g) x3y  
h) )x3(sen2y  
i) ²x2ey  
j) 2x62y  
k) )x3²(seney  
l) ²x2e.2y  
 
 
Respostas 
1) 
a) )2cos(2 x 
b) )3(3 xsen 
c) )2(22 xsen 
d) )3cos(3 x 
e) )2(2  xsen 
f) )cos(³.)(².3 xxxsenx  
g) )cos().5²()(.2 xxxsenx  
h) 
²
)()cos(.
x
xsenxx 
 
i) ³)1cos(².3 xx  
j) )cos().(5 4 xxsen 
k) )53cos(².5)53(.2 xxxsenx  
l) )cos(.5 54 xx 
m) ³)4cos(³).4(².504 5 xxsenx 
n) 
3
3
)²2²(3
))2²(cos(.2


x
xx
 
o) 
))²cos(21(
2)cos(
x
x


 
p) 
))²cos(2(
1))cos()((2
x
xxsen


 
q) )13(3  xsen 
r) )4²(sec36²)3cos(.36 xxx  
s) )1²(sec).1(30 5  xxtg 
 
2) 
a) xe 
b) 
x
2
 
c) 
x
1
 
d) 
14
4
x
 
e) 
)10ln().6²(
62
xx
x


 
f) xx exe . 
g) )3ln(.3x 
h) )2ln(.2).3cos(3 )3( xsenx 
i) ²2.4 xex 
j) )2ln(.2.6 26 x 
k) )3²().3cos().3(6 xsenexxsen 
l) ²2.8 xex 