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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS - UFAL 
Campus de Arapiraca - Curso: Matemática 
Disciplina: Probabilidade e Estatística 
Profa. Ademária Aparecida de Souza 
 
Gabriel Barbosa da Silva 
 
Sétima Lista de Exercícios: Variável Aleatória Contínua e Distribuição 
Normal 
(Resoluções) 
 
1° QUESTÃO 
a) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar mais de 
75.000 km? 
 
Para determinarmos a probabilidade de escolher ao acaso um pneu que dure mais 
de 75.000km, ou seja, 𝑃[𝑥 > 75.000], padronizaremos em z utilizando a fórmula de 
distribuição normal padronizada. Logo; 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
Sabemos que, a média é 60.000 km e o desvio padrão é 10.000 km. 
Logo; 
𝜇 = 60.000 
e 
𝜎 = 10.000 
 
Assim; 
𝑧 =
75.000 − 60.000
10.000
 
 
𝑧 =
15.000
10.000
= 1,5 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, teremos que; 
 
𝑧 = 1,5 ≡ 0,4332 
 
Logo, 𝑝[𝑥 > 75.000] será: 
 
𝑝[𝑧 > 1,5] = 0,5 − 0,4332 = 0,0668 𝑜𝑢 6,68% 
 
b) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar entre 
50.000 e 70.000 km? 
Para determinarmos a probabilidade de escolher ao acaso um pneu que dure 
entre 50.000km e 75.000km, ou seja, 𝑝[50.000 ≤ 𝑥 ≤ 70.000], padronizaremos em z 
utilizando a fórmula de distribuição normal padronizada. Logo; 
 
z =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
Para 𝑥 = 50.000, temos; 
 
𝑧1 =
50.000 − 60.000
10.000
 
 
𝑧1 = −
10.000
10.000
= −1,0 
 
Para 𝑥 = 70.000, temos; 
 
𝑧2 =
70.000 − 60.000
10.000
 
 
𝑧2 = −
10.000
10.000
= 1,0 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, teremos que; 
 
z = ±1,0 ≡ 0,3413 
 
Logo, 𝑝[50.000 ≤ 𝑥 ≤ 70.000] será: 
 
𝑝[−1,0 ≤ 𝑧 ≤ 1,0] = 0,3413 + 0,3413 = 0,6826 𝑜𝑢 68,26% 
 
c) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar entre 
63.000 e 70.000 km? 
Para determinarmos a probabilidade de escolher ao acaso um pneu que dure 
entre 63.000km e 70.000km, ou seja, 𝑝[63.000 ≤ 𝑥 ≤ 70.000], padronizaremos em z 
utilizando a fórmula de distribuição normal padronizada. Logo; 
 
Substituindo esses valores na fórmula de distribuição normal padronizada, temos: 
 
𝑧1 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
Para 𝑥 = 63.000, temos; 
 
𝑧1 =
63.000 − 60.000
10.000
 
 
𝑧1 =
3.000
10.000
= 0,3 
 
Para 𝑥 = 70.000, temos; 
 
𝑧2 =
70.000 − 60.000
10.000
 
 
𝑧2 =
10.000
10.000
= 1,0 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, teremos que; 
 
𝑧 = 0,3 ≡ 0,1179 
 
e 
 
𝑧 = 1,0 ≡ 0,3413 
 
Logo, 𝑝[63.000 ≤ 𝑥 ≤ 70.000] será: 
 
𝑝[0,3 ≤ 𝑧 ≤ 1,0] = 0,1179 − 0,3413 = 0,2234 𝑜𝑢 22,34% 
 
d) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar 
exatamente 70.000 km? 
Para determinarmos a probabilidade de escolher ao acaso um pneu que dure 
𝑝[𝑥 = 70.000] será igual a 0, pois a função densidade é contínua e pela definição de 
integral, sabemos que a integral em um ponto é 0, desta forma, não existe probabilidade 
de escolher aleatoriamente um pneu que dure exatamente 70.000 km. 
 
e) O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em quilômetros, de tal modo 
que, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu seja trocado. De 
quantos quilômetros deve ser este prazo, para que somente 1% dos pneus 
sejam trocados? 
Para calcularmos a quantidade de quilômetros que devem ser este prazo para que 
somente 1% dos pneus sejam trocados, faremos; 
𝑝[𝑍 > 𝑧] = 0.01 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, teremos que; 𝑧 = −2,33 
Dessa forma; 
𝜇 = 60.000 
e 
𝜎 = 10.000. 
 
Logo, podemos determinar x através da fórmula de distribuição normal 
padronizada usando a regra de três: 
 
−2,33 =
𝑥 − 60.000
10.000
 
 
𝑥 − 60.000 = −23.300 
 
𝑥 = −23.300 + 60.000 
 
𝑥 = 36.700 𝑘𝑚 
 
Logo, para que apenas 1% dos pneus sejam trocados, o prazo de garantia deverá 
ser de 36.700 km. 
 
2° QUESTÃO 
a) entre R$ 1400 e R$ 1600? 
Podemos observar que x assume dois valores 𝑥 = 1400 e 𝑥 = 1600. Sabemos que 
a média será 𝜇 = 1500 e o desvio padrão é 𝜎 = 200, substituímos esses valores na 
fórmula, teremos; 
 
z1 =
1400 − 1500
200
 
 
z1 = −
100
200
= − 0,5 
 
𝑧2 =
1600 − 1500
200
 
 
z2 =
100
200
= 0,5 
 
Logo; 𝑧 = ±0,5 e pela tabela equivale a 0,1915. 
Assim, teremos; 
 
𝑝[−0,5 ≤ 𝑧 ≤ 0,5] = 0,1915 + 0,1915 = 0.3830 𝑜𝑢 38,30% 
 
b) acima de R$ 1500? 
Para determinar a porcentagem dos funcionários que ganham acima de 
R$1500,00. Sabendo que a média é 𝜇 = 1500, então a porcentagem será 50% pois o 
gráfico de distribuição normal é simétrico. 
 
c) acima de R$ 1400? 
Vamos determinar a porcentagem dos funcionários que ganham acima de 
R$1400,00. 
Sabendo que 𝑥 = 1400, a média é 𝜇 = 1500 e o desvio padrão é 𝜎 = 200, 
substituímos esses valores na fórmula: 
 
𝑧 =
1400 − 1500
200
 
 
𝑧 = −
100
200
= − 0,5 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = −0,5 
equivale a 0,1915. Com isso, temos que a probabilidade é: 
 
𝑝[𝑥 ≥ 1400] = 𝑝[𝑧 ≥ −0,5] = 0,5 + 0,1915 = 0.6915 𝑜𝑢 69,15% 
 
d) abaixo de R$ 1400? 
Vamos determinar a porcentagem dos funcionários que ganham abaixo de 
R$1400,00. 
Sabendo que 𝑥 = 1400, a média é 𝜇 = 1500 e o desvio padrão é 𝜎 = 200, 
substituímos esses valores na fórmula: 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
1400 − 1500
200
 
 
𝑧 = −
100
200
= − 0,5 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = −0,5 
equivale a 0,1915. Com isso, temos que a probabilidade é: 
 
𝑝[𝑥 ≤ 1400] = 𝑝[𝑧 ≤ −0,5] = 0,5 − 0,1915 = 0,3085 𝑜𝑢 30,85% 
 
e) acima de R$ 1650? 
Vamos determinar a porcentagem dos funcionários que ganham acima de 
R$1650,00. 
Sabendo que 𝑥 = 1650, a média é 𝜇 = 1500 e o desvio padrão é 𝜎 = 200, 
substituímos esses valores na fórmula: 
 
𝑧 =
1650 − 1500
200
 
 
𝑧 =
150
200
= 0,75 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = 0,75 
equivale a 0,2734. Com isso, temos que a probabilidade é: 
 
𝑝[𝑥 ≥ 1650] = 𝑝[𝑧 ≥ 0,75] = 0,5 − 0,2734 = 0.2266 𝑜𝑢 22,66% 
 
3° QUESTÃO 
a) Qual porcentagem das pessoas que fizeram os exames obtiveram 
pontuação entre 400 e 500? 
Vamos determinar a porcentagem das pessoas que obtiveram pontuação entre 
400 e 500, ou seja, 𝑝[400 ≤ 𝑥 ≤ 500]. 
Sabendo que 𝑥 assume dois valores; 𝑥 = 400 e 𝑥 = 500, e sabemos que a média 
é 450 e que o desvio padrão é 𝜎 = 100, substituímos esses valores na fórmula: 
 
𝑧1 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧1 =
400 − 450
100
 
 
𝑧1 = −
50
100
= − 0,5 
 
e 
 
𝑧2 =
500 − 450
100
 
 
𝑧2 =
50
100
= 0,5 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = ± 0,5 
equivale a 0,1915. Com isso, temos que a probabilidade é: 
 
𝑝[400 ≤ 𝑥 ≤ 500] = 𝑝[−0,5 ≤ 𝑥 ≤ 0,5] = 0,1915 + 0,1915 = 0,3830 𝑜𝑢 38,30% 
 
b) Supondo que alguém receba a pontuação 630. Das pessoas que fizeram os 
exames, qual porcentagem obteve uma pontuação melhor? Qual 
porcentagem obteve uma pontuação pior? 
Vamos determinar a porcentagem das pessoas que obtiveram uma pontuação 
melhor, 𝑝[𝑥 > 630], e a porcentagem das pessoas que obtiverem uma pontuação pior, 
𝑝[𝑥 < 630]. 
Sabendo que 𝑥 = 630, e a média é 450 e o desvio padrão será 100, logo; 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
630 − 450
100
 
 
𝑧 = −
180
100
= 1,8 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 =
1,8 equivale a 0,4641. Com isso temos que a probabilidade de pessoas que obtiveram 
pontuação melhor é; 
 
𝑝[𝑥 > 630] = 𝑝[𝑧 > 1,8] = 0,5 − 0,4641 = 0,0359 𝑜𝑢 3,59% 
 
E a probabilidade das pessoas que obtiveram pontuação pior é: 
 
𝑝[𝑥 < 630] = 𝑝[𝑧 < 1,8] = 0,5 + 0,4641 = 0,9641 𝑜𝑢 96,41% 
 
c) Se uma universidade em particular não admite ninguém com pontuação 
abaixo de 480, qual a porcentagem das pessoas que fizeram os exames 
seriam aceitas nessa universidade? 
Vamos determinar a porcentagem das pessoas que obtiveram uma pontuação 
maior ou igual a 480, 𝑝[𝑥 ≥480]. 
Sabendo que 𝑥 = 480, e a média é 450 e o desvio padrão será 100, logo; 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
480 − 450
100
 
 
𝑧 = −
30
100
= 0,3 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = 0,3 equivale a 
0,1179. Logo; 
𝑝[𝑥 ≥ 480] = 𝑝[𝑧 ≥ 0,4] = 0,5 − 0,1179 = 0,3821 𝑜𝑢 38,21% 
 
4° QUESTÃO 
Vamos determinar os valores de 𝑥𝐴e 𝑥𝐵. Sabendo que a distância entre a média e 
𝑥𝐴 é 20%, ou 0,2, e a distância entre a média e 𝑥𝐵 também é 20%, ou 0,2, e que assim a 
soma será de 40%, dado na questão. Observando a tabela, podemos perceber que para 
0,2 os valores aproximados de 𝑧 serão 0,52 e 0,53. Para determinar os valores de 𝑥𝐴 e 
𝑥𝐵, vamos utilizar a fórmula de distribuição normal padronizada com 𝑧 = ±0,52; 
 
Para 𝑥𝐴: 
 
𝑧 =
𝑥𝐴 − 𝜇
𝜎
 
 
0,52 =
𝑥𝐴 − 7
0,4
 
Logo; 
 
𝑥𝐴 − 7 = 0,52 ⋅ 0,4 ⇒ 𝑥𝐴 = 0,208 + 7 
 
𝑥𝐴 = 7,21 
 
Para 𝑥𝐵: 
𝑥𝐵 − 7 = −0,52 ⋅ 0,4 ⇒ 𝑥𝐵 = −0,208 + 7 
 
𝑥𝐵 = 6,79 
 
5° QUESTÃO 
Questão repetida. 
 
6° QUESTÃO 
a) Qual a probabilidade de uma mulher receber um salário acima de US$ 75 
mil? 
Para calcular a probabilidade de uma mulher receber um salário acima de $75.000, 
𝑝[𝑥 > 75000]. 
Sabendo que 𝑥 = 75000, e a média é 67000 e o desvio padrão será 7000, logo; 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
75000 − 67000
7000
 
 
𝑧 =
8000
7000
= 1,14 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = 1,14 equivale a 
0,3729. Logo; 
𝑝[𝑥 > 7000] = 𝑝[𝑧 > 1,14] = 0,5 − 0,3729 = 0,1271 𝑜𝑢 12,71% 
 
b) Qual a probabilidade de um homem receber um salário acima de US$ 75 
mil? 
Para calcular a probabilidade de um homem receber um salário acima de $75.000, 
𝑝[𝑥 > 75000]. 
Sabendo que 𝑥 = 75000, e a média é 65000 e o desvio padrão será 7000, logo; 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
75000 − 65000
7000
 
 
𝑧 =
10000
7000
= 1,43 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = 1,43 equivale a 
0,4236. Logo; 
𝑝[𝑥 > 7000] = 𝑝[𝑧 > 1,43] = 0,5 − 0,4236 = 0,0764 𝑜𝑢 7,64% 
 
c) Qual a probabilidade de uma mulher receber um salário abaixo de US$ 50 
mil? 
Para calcular a probabilidade de uma mulher receber um salário abaixo de 
$50.000, 𝑝[𝑥 < 50000]. 
Sabendo que 𝑥 = 50000, e a média é 67000 e o desvio padrão será 7000, logo; 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 =
50000 − 67000
7000
 
 
𝑧 = −
17000
7000
= −2,42 
 
Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, temos que 𝑧 = −2,42 equivale 
a 0,4922. Logo; 
𝑝[𝑥 > 7000] = 𝑝[𝑧 > 1,43] = 0,5 − 0,4922 = 0,0078 𝑜𝑢 0,78% 
 
d) Qual o salário de 5% das mulheres mais bem pagas? 
Para calcular a probabilidade das 5%, ou 0,05, das mulheres mais bem pagas; 
Sabendo que a média é 67000, o desvio padrão será 7000, e que os valores 
aproximados de 𝑧 serão 1,64 e 1,65, Pois 𝑝[𝑧 > 𝑍] = 0,5 − 𝑥 = 0,05 e olhando na 
tabela os valores aproximados para x serão 0,4495 e 0,4505, para que satisfaça a 
igualdade. Logo o z valerá entre 1,64 e 1,65. 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
1,64 =
𝑋 − 67000
7000
 
 
11480 = 𝑋 − 67000 = 78480 
 
7° QUESTÃO 
a) Mostre que a área sob a função f(x) e o eixo dos x é igual a 1; 
 
Vamos calcular 𝑝[0 ≤ 𝑥 ≤ 5]: 
 
𝑝[0 ≤ 𝑥 ≤ 5] = ∫
1
5
𝑑𝑥
5
0
=
1
5
 𝑥|0
5 =
1
5
(5 − 0) =
1
5
⋅ 5 = 1 
 
Logo a área sob f com eixo em x será igual a 1. 
 
b) Encontre P ( 2 < x < 3,5); 
 
Vamos calcular 𝑝[2 < 𝑥 < 3,5]: 
 
𝑝[2 < 𝑥 < 3,5] = ∫
1
5
𝑑𝑥
3,5
2
=
1
5
 𝑥|2
3,5 =
1
5
(3,5 − 2) =
1
5
⋅ 1,5 = 0,3 
 
c) Calcule P(x ≤ 2,6); 
 
Vamos calcular 𝑝[𝑥 ≥ 2,6]: 
 
𝑝[𝑥 ≥ 2,6] = ∫
1
5
𝑑𝑥
5
2,6
=
1
5
 𝑥|2,6
5 =
1
5
(5 − 2,6) =
1
5
⋅ 2,4 = 0,48 
 
d) Calcule P(2,1 < x < 4,2); 
 
Vamos calcular 𝑝[2,1 < 𝑥 < 4,2]: 
 
𝑝[2,1 < 𝑥 < 4,2] = ∫
1
5
𝑑𝑥
4,2
2,1
=
1
5
 𝑥|2,1
4,2 =
1
5
(4,2 − 2,1) =
1
5
⋅ 2,1 = 0,42 
 
e) Calcule o tempo médio de vida do componente eletrônico. 
 
 
𝐸[𝑥] = ∫ 𝑥
1
5
𝑑𝑥
5
0
=
1
5
 ⋅
𝑥2
2
|0
5 =
1
10
(52 − 02) = 2,5 
 
8° QUESTÃO 
a) Mostre que f(x) é uma função de densidade; 
 
Para mostrarmos que f(x) é uma função de densidade, faremos; 
 
𝑝[2 ≤ 𝑥 ≤ 5] = ∫
2
27
5
2
(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 
 
=
2
27
(
𝑥2
2
+ 𝑥) |2
5 =
2
27
[(
52
2
+ 5) − (
22
2
+ 2) ] =
2
27
(
21
2
+ 3) =
27
27
= 1 
 
Assim, f(x) é uma função de densidade. 
 
b) Calcule; i) P(x<4), ii) P(x>3), iii)P(3≤x≤4) 
 
Vamos calcular; 
 
i. 𝑝[𝑥 < 4] 
 
∫
2
27
4
2
(𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
2
27
(
𝑥2
2
+ 𝑥) |2
4 =
2
27
[(
42
2
+ 4) − (
22
2
+ 2) ] = 
 
=
2
27
(
12
2
+ 2) =
16
27
= 0,59 
 
ii. 𝑝[𝑥 < 3] 
 
∫
2
27
5
3
(𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
2
27
(
𝑥2
2
+ 𝑥) |3
5 =
2
27
[(
52
2
+ 5) − (
32
2
+ 3) ] = 
=
2
27
(
16
2
+ 2) =
20
27
= 0,74 
 
iii. 𝑝[3 ≤ 𝑥 ≤ 4] 
 
∫
2
27
4
3
(𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
2
27
(
𝑥2
2
+ 𝑥) |3
4 =
2
27
[(
42
2
+ 4) − (
32
2
+ 3) ] = 
 
=
2
27
(
7
2
+ 1) =
9
27
= 0,33 
 
 
c) Encontre a média e a variância de X; 
 
Vamos calcular 𝐸[𝑥]e 𝑉𝐴𝑅[𝑥]: 
 
𝐸[𝑥] = ∫ 𝑥
5
2
2
27
(𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
2
27
(
𝑥3
3
+
𝑥2
2
) |2
5 =
2
27
[(
53
3
+
52
2
) − (
23
3
+
22
2
)] = 
 
 
=
2
27
(
117
3
+
21
2
) = 3,66 
 
 
Sabemos que; 𝑉𝐴𝑅[𝑥]= 𝐸[𝑥2] − (𝐸[𝑥])2 
 
Vamos calcular o 𝐸[𝑥2]: 
 
𝐸[𝑥2] = ∫ 𝑥2
5
2
2
27
(𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
2
27
(
𝑥4
4
+
𝑥3
3
) |2
5 =
2
27
[(
54
4
+
53
3
) − (
24
4
+
23
3
)] = 
 
 
=
2
27
(
609
4
+
117
3
) = 14,16 
 
Logo; 
 
 𝑉𝐴𝑅[𝑥] = 14,16 − 13,39 = 0,77