EXERCÍCIO RESOLVIDO - MATRIZ IDEMPOTENTE (MATRIZES) - ÁLGEBRA LINEAR

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GABRIELA MOREIRA LOPES @GABRIELAMOREIRAL 
 
Exercícios 2.41 CAPÍTULO 2: MATRIZES, página 28 (APOSTILA) 
9. Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A² = A. 
a) Verifique se a matriz [
2 −2
−1 3
4
4
1 −2 3
] é idempotente ou não. 
 
Em Álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si 
mesma, resulta em si mesma. Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e 
somente se. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser 
uma matriz quadrada. 
𝐴2 = 𝐴1 × 𝐴1 
 
[
2 −2
−1 3
4
4
1 −2 3
] [
2 −2
−1 3
4
4
1 −2 3
]= [
10 −18
−1 3
12
20
7 −14 5
] 
 
2 ∗ 2 + (−2) ∗ (−1) + 4 ∗ 1 = 4 + 2 + 4 = 10 
(−1) ∗ 2 + (−1) ∗ 3 + 4 ∗ 1 = (−2) − 3 + 4 = −1 
1 ∗ 2 + (−2) ∗ (−1) + 3 ∗ 1 = 2 + 2 + 3 = 7 
2 ∗ (−2) + (−2) ∗ 3 + 4 ∗ (−2) = −4 − 2 − 8 = −18 
1 ∗ (−2) + 3 ∗ 3 + 4 ∗ (−2) = 2 + 9 − 8 = 3 
1 ∗ (−2) + (−2) ∗ 3 + 3 ∗ (−2) = (−2) − 6 + 6 = −14 
2 ∗ 4 + (−2) ∗ 4 + 4 ∗ 3 = 8 − 8 + 12 = 12 
(−1) ∗ 4 + 3 ∗ 4 + 4 ∗ 3 = (−4) + 12 + 12 = 20 
1 ∗ 4 + (−2) ∗ 4 + 3 ∗ 3 = 4 − 8 + 9 = 5 
 
[
10 −18
−1 3
12
20
7 −14 5
]≠[
2 −2
−1 3
4
4
1 −2 3
], A MATRIZ NÃO É IDEMPOTENTE.