Aula_Semana 12 (17-21_5) 4T

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
CURSO: ENGENHARIA AGRONÔMICA 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
PROF.: Dr. JOAQUIM J. CARVALHO 
 
 
Aula – Semana 12 (17-21/5) 
 
Tema 2: A reta tangente 
 
 Para chegar a uma definição adequada de reta tangente ao gráfico de uma função num 
ponto dele, seguimos considerando como definir a inclinação da reta tangente num ponto. 
Então a reta tangente é determinada pela sua inclinação e o ponto de tangência. 
 Considere a função f contínua em x1. Queremos definir a inclinação da reta tangente 
ao gráfico de f em P(x1, f(x1)). Seja I um intervalo aberto que contém x1 e no qual f está 
definida. Seja Q(x2, f(x2)) um outro ponto do gráfico de f tal que x2 também esteja em I. Trace 
uma reta através de P e Q. Qualquer reta que passe por dois pontos de uma curva é chamada 
uma reta secante; assim a reta que passa por P e Q é uma secante. A figura a seguir mostra 
um tipo particular de reta secante. Nesta figura Q está à direita de P. Contudo, Q pode estar 
tanto à direita quanto à esquerda de P. 
 
 Seja Δx a diferença entre as abscissas de Q e P, de modo que 
 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 
 Δx pode ser positivo ou negativo. A inclinação da reta secante PQ é, então, dada por 
 𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 desde que a reta PQ não seja vertical. Como 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥, a equação acima pode ser 
escrita como 
 𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 Agora considere o ponto P como fixo e movimente o ponto Q ao longo da curva para 
P; isto é, Q aproxima-se de P. Isto é equivalente a afirmar que Δx se aproxima de zero. 
Quando isso ocorre, a reta secante gira em torno do ponto P. Se essa reta secante tem uma 
posição limite, é tal posição que desejamos para a reta tangente ao gráfico em P. Assim, 
desejamos que a inclinação da reta tangente ao gráfico em P seja o limite de mPQ quando Δx 
se aproxima de zero, se o limite existe. Caso lim
∆𝑥→0
𝑚𝑃𝑄 = +∞ ou -∞, então enquanto Δx se 
aproxima de zero, a reta PQ aproxima-se da reta por P paralela ao eixo y. Neste caso, 
queríamos que a reta tangente ao gráfico em P fosse a reta 𝑥 = 𝑥1. A discussão precedente 
leva-nos à seguinte definição. 
Definição de uma reta tangente ao gráfico de uma função num ponto 
 Se nem (i) nem (ii) da definição acima estão satisfeitas, então não há reta tangente ao 
gráfico de f no ponto P(x1, f(x1)). 
 
Exemplos: 
1o) Seja dada a parábola 𝑦 = 𝑥². Pede-se: 
a) a inclinação da reta secante à parábola nos pontos P1(2, 4) e P2(3, 9); 
Sol.: 
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 → 𝑚 =
9−4
3−2
 → 𝑚 = 5 
 
b) a inclinação da reta tangente à parábola no ponto (2, 4); 
Sol.: 
𝑚(2) = lim
∆𝑥→0
𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2)
∆𝑥
 → 𝑚(2) = lim
∆𝑥→0
(2+∆𝑥)²−4
∆𝑥
 → 𝑚(2) = lim
∆𝑥→0
4+4𝛥𝑥+(𝛥𝑥)²−4
∆𝑥
 
𝑚(2) = lim
∆𝑥→0
4𝛥𝑥+(𝛥𝑥)²
∆𝑥
 → 𝑚(2) = lim
∆𝑥→0
(4 + 𝛥𝑥) → 𝑚(2) = 4 
 
c) a equação da reta tangente à parábola no ponto (2, 4); 
Sol.: 
𝑦 − 𝑦𝑝 = 𝑚(𝑥 − 𝑥𝑝) → 𝑦 − 4 = 4(𝑥 − 2) → 𝑦 = 4𝑥 − 8 + 4 → 𝑦 = 4𝑥 − 4 
 
d) um esboço do gráfico da parábola e uma parte da reta tangente em (2, 4). 
Sol.: 
 Suponha que a função f seja contínua em x1. A reta tangente ao gráfico de f no 
ponto P(x1, f(x1)) é: 
 (i) a reta que passa por P tendo inclinação m(x1), dada por 
 𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
se o limite existe; 
 (ii) a reta 𝑥 = 𝑥1 se 
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
= +∞ 𝑜𝑢 − ∞ 
 
 
2o) Um produtor de queijo pode produzir determinado tipo de queijo a um custo de R$ 15,00 
por peça. Estima-se que se o preço do queijo for x cada, então o número de peças 
vendidas por semana será 125 - x. Pede-se: 
a) a expressão matemática do lucro semanal do produtor; 
Sol.: 
Vamos representar o lucro semanal por P(x), então 
Lucro = (quantidade vendida)·((preço de venda)-(custo unitário)) 
𝑃(𝑥) = (125 − 𝑥)(𝑥 − 15) → 𝑃(𝑥) = −𝑥2 + 140𝑥 − 1875 
b) o lucro máximo semanal do produtor; 
Sol.: 
O valor máximo de P(x) ocorre no ponto do gráfico de P onde a reta tangente é 
horizontal, isto é, onde a inclinação da reta tangente é zero. 
Inicialmente, obtém-se a inclinação da reta tangente: 
𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
𝑃(𝑥1+∆𝑥)−𝑃(𝑥1)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
[−(𝑥1+∆𝑥)
2+140(𝑥1+∆𝑥)−1875]−(−𝑥1
2+140𝑥1−1875)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
−𝑥1
2−2𝑥1∆𝑥−(∆𝑥)
2+140𝑥1+140∆𝑥−1875+𝑥1
2−140𝑥1+1875
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
−2𝑥1∆𝑥−(∆𝑥)
2+140∆𝑥
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
(−2𝑥1 − ∆𝑥 + 140) 
 = -2𝑥1 + 140 
Para determinar o valor de x1 para o qual a inclinação da reta tangente é zero, 
equacionamos 𝑚(𝑥1) = 0. Temos 
−2𝑥1 + 140 = 0 → −2𝑥1 = −140 → 𝑥1 = 70 
Concluímos, então, que se há um lucro semanal máximo, este ocorrerá quando o preço 
de venda da peça de queijo for R$ 70,00. Além disso, como 𝑃(70) = 3.025, o lucro semanal 
máximo será de R$ 3.025,00. 
 
c) um esboço do gráfico de P e uma parte da reta tangente em (70, 3.025). 
Sol.: 
 
 
Tema 3: A Derivada 
 
 A derivada de uma função f é aquela função, denotada por 𝑓′, tal que seu valor em 
todo número x do domínio de f seja dado por 
 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 (1) 
 se este limite existe. 
 Outro símbolo usado ao invés de 𝑓′(𝑥) é 𝐷𝑥𝑓(𝑥), que se lê “derivada de f de x em 
relação a x”. 
Se 𝑥1 for um número particular no domínio de f, então 
 𝑓′(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 (2) 
 
Exemplos: 
1o) Dada 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12, encontre a derivada de f. 
Sol.: 
Se x é algum número no domínio de f, então (1). 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 → 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
[3(𝑥+∆𝑥)2+12]−(3𝑥2+12)
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
3𝑥2+6𝑥𝛥𝑥+3(𝛥𝑥)2+12−3𝑥2−12
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
6𝑥𝛥𝑥+3(𝛥𝑥)2
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
(6𝑥 + 3𝛥𝑥) 
=6x 
Assim a derivada de f é a função 𝑓′ definida por 𝑓′(𝑥) = 6𝑥. O domínio de 𝑓′ é o 
conjunto de todos os números reais, que é também o domínio de f. 
 
2o) Para a função do exemplo 1, determine a derivada de f em 2 de duas maneiras: (a) 
Aplicando a fórmula (2); (b) substituindo x por 2 na expressão de 𝑓′(𝑥) encontrada no 
exemplo 1. 
Sol.: 
(a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12. 
𝑓′(2) = lim
∆𝑥→0
𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2)
∆𝑥
 → 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
[3(2+∆𝑥)2+12]−(3(2)²+12)
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
12+12𝛥𝑥+3(𝛥𝑥)2+12−12−12
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
12𝛥𝑥+3(𝛥𝑥)2
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
(12 + 3𝛥𝑥) 
=12 
(b) Do exemplo 1, 𝑓′(𝑥) = 6𝑥, então 𝑓′(2) = 12. 
 
3o) Dada 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3, encontre 𝐷𝑥𝑓(𝑥). 
Sol.: 
𝐷𝑥𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 → 𝐷𝑥𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
√(𝑥+∆𝑥)−3−√𝑥−3
∆𝑥
 
Para obter um fator comum de Δx no numerador e denominador, racionalizamos o 
numerador, multiplicando numerador e denominador por (√𝑥 + ∆𝑥 − 3 + √𝑥 − 3). 
Temos 
𝐷𝑥𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(√(𝑥+∆𝑥)−3−√𝑥−3)(√𝑥+∆𝑥−3+√𝑥−3)
∆𝑥(√𝑥+∆𝑥−3+√𝑥−3)
 
= lim
∆𝑥→0
𝑥+∆𝑥−3−(𝑥−3)
∆𝑥(√𝑥+∆𝑥−3+√𝑥−3)
 
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥(√𝑥+∆𝑥−3+√𝑥−3)
 
= lim
∆𝑥→0
1
(√𝑥+∆𝑥−3+√𝑥−3)
 
=
1
√𝑥−3+√𝑥−3
 
=
1
2√𝑥−3
 
Se a função f é dada pela equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), podemos estabelecer que 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
e escrever 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em lugar de 𝑓′(𝑥), de tal modo que da fórmula (1) tenhamos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
 
Lembre-se de que ao usar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 como notação para uma derivada, dy e dx isolados ainda 
não têm significado algum. 
 
Curiosidade: Foi o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) o 
primeiro a usar a notação 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 para a derivada de y com relação a x. O 
conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase 
simultaneamente por Leibniz e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando 
separadamente. 
 
4o) Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥1 3⁄ . (a) Determine 𝑓′(𝑥). (b) Mostre que 𝑓′(0) não existe, mesmo sendo 
f contínua em 0. (c) Faça um esboço do gráfico de f. 
Sol.: 
(a) 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 → 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(𝑥+∆𝑥)1 3⁄ −𝑥1 3⁄
∆𝑥
 
Racionalizamos o numerador a fim de obter um fator comum de Δx no numerador e 
denominador;resulta então 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
[(𝑥+∆𝑥)1 3⁄ −𝑥1 3⁄ ][(𝑥+∆𝑥)2 3⁄ +(𝑥+∆𝑥)1 3⁄ 𝑥1 3⁄ +𝑥2 3⁄ ]
∆𝑥[(𝑥+∆𝑥)2 3⁄ +(𝑥+∆𝑥)1 3⁄ 𝑥1 3⁄ +𝑥2 3⁄ ]
 
= lim
∆𝑥→0
(𝑥+∆𝑥)−𝑥
∆𝑥[(𝑥+∆𝑥)2 3⁄ +(𝑥+∆𝑥)1 3⁄ 𝑥1 3⁄ +𝑥2 3⁄ ]
 
= lim
∆𝑥→0
1
(𝑥+∆𝑥)2 3⁄ +(𝑥+∆𝑥)1 3⁄ 𝑥1 3⁄ +𝑥2 3⁄
 
=
1
𝑥2 3⁄ +𝑥1 3⁄ 𝑥1 3⁄ +𝑥2 3⁄
 
=
1
3𝑥2 3⁄
 
 
b) 𝑓′(0) não existe, pois 
1
3𝑥2 3⁄
 não está definida para x = 0. Contudo, a função f é contínua 
em x = 0, pelo Teorema: Se 𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑛
, onde n é um inteiro positivo qualquer, então f 
é contínua em a se (ii) a for um número negativo ou zero, e n for ímpar. 
 
c) 
 
 
 
 Para a função f do exemplo 4, considere 
 lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 em 𝑥1 = 0 
 Temos 
 lim
∆𝑥→0
𝑓(0+∆𝑥)−𝑓(0)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(∆𝑥)1 3⁄ −0
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
1
(∆𝑥)2 3⁄
 
 = +∞ 
 Da parte (ii) da definição de reta tangente dada na aula anterior, segue que a reta 
x = 0 (o eixo y) é a reta tangente ao gráfico de f na origem. 
 Portanto, do exemplo anterior podemos concluir que 𝑓′(𝑥) pode existir para alguns 
valores de x no domínio de f, mas pode inexistir para outros valores de x no domínio de f. 
Temos a seguinte definição: 
 
Definição de função diferencial em um número 
 
No exemplo 1, 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12, e o domínio de f é o conjunto de todos os números reais. 
Como 𝑓′(𝑥) = 6𝑥, e 6x existe para todo número real, segue que f é diferencial em toda parte. 
 
Outro exemplo: 
Seja f a função valor absoluto. Assim 
 𝑓(𝑥) = |𝑥| 
Esboço do gráfico desta função 
 
 𝑓′(0) = lim
∆𝑥→0
𝑓(0+∆𝑥)−𝑓(0)
∆𝑥
 
se este limite existe. Como 𝑓(0 + ∆𝑥) = |∆𝑥| e 𝑓(0) = 0, 
 lim
∆𝑥→0
𝑓(0+∆𝑥)−𝑓(0)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
|∆𝑥|
∆𝑥
 
 Como |∆𝑥| = ∆𝑥 se ∆𝑥 > 0 e |∆𝑥| = −∆𝑥 se ∆𝑥 < 0, os limites unilaterais devem 
ser considerados em 0. 
 lim
∆𝑥→0+
|∆𝑥|
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0+
∆𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0+
1 = 1 
e 
 lim
∆𝑥→0−
|∆𝑥|
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0−
−∆𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0−
(−1) = −1 
Diz-se que a função f é diferencial em 𝑥1 se 𝑓
′(𝑥1) existe. 
Uma vez que lim
∆𝑥→0+
|∆𝑥|
∆𝑥
≠ lim
∆𝑥→0−
|∆𝑥|
∆𝑥
 segue que o limite bilateral lim
∆𝑥→0
|∆𝑥|
∆𝑥
 não existe. Logo 
𝑓′(0) não existe e f não é diferenciável em 0. 
 Dado que 𝑓′(0) não existe e não é nem +∞ nem −∞, não há reta tangente na origem 
para o gráfico da função valor absoluto. 
 Contudo, a diferenciabilidade implica a continuidade, como descrito no teorema a 
seguir 
 
 
 
 
 
 
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Teorema: Se uma função f é diferenciável em 𝑥1, então f é contínua em 𝑥1.