Exercícios Resolvidos - Álgebra I

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Álgebra I
Abril 2021
1 Caṕıtulo III: Relações, Aplicações, Operações
1- Sejam E = {1, 3, 5, 7, 9} e F = {0, 2, 4, 6}.
a) Enumere os elementos das seguintes relações de E em F :
R1 = {(x, y) | y = x− 1}
Solução: R1 = {(1, 0), (3, 2), (5, 4), (7, 6)}
R2 = {(x, y) | x < y}
Solução: R2 = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 6)}
R3 = {(x, y) | y = 3x}
Solução: R3 = { }
b) Estabeleça o domı́nio e a imagem de cada uma.
Solução:
D(R1) =}(1, 3, 5, 7) e Im(R1) = {(0, 2, 4, 6)}
D(R2) = {(1, 3, 5)} e Im(R2) = {(2, 4, 6)}
D(R3) = { } e Im(R3) = { }
2- Sabe-se que E é um conjunto com 5 elementos e R = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e)}
é uma relação sobre E. Pede-se obter:
a) os elementos de E;
E = {a, b, c, d, e}
b) domı́nio e imagem de R;
D(R) = {a, b, c, d} e Im(R) = {b, c, d, e}
1
c) os elemetos, domı́nio e imagem de R−1;
R−1 = {(b, a), (c, b), (d, c), (e, d)}
D(R−1) = {(b, c, d, e)} e Im(R−1) = {(a, b, c, d)}
d) esquema de flechas de R.
E = {a, b, c, d, e} R = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e)}
3- Sendo R = {(x, y) | 4x2 + y2 = 4} uma relação sobre R, pede-se:
a) o gráfico cartesiano de R.
Equação Geral da Elipse:
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
com o centro em (h, k) e a, b são os semieixos maior e menor
4x2 + y2 = 4
Dividir pelo coeficiente de termos quadrados
x2 +
1
4
y2 = 1
Reescrever na forma geral
(x− 0)2
12
+
(y − 0)2
22
= 1
Portanto as propriedades da elipse são:
(h, k) = (0, 0), a = 1, b = 2
2
b > a portanto b é o semieixo maior e a é o semieixo menor.
b) o domı́nio de R.
D(R) = {x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 1}
c) a imagem de R.
Im(R) = {y ∈ R | − 2 ≤ y ≤ 2}
d) descrever R−1.
R−1 = {(y, x) ∈ R | 4x2 + y2 = 4} = {(x, y) ∈ R | x2 + 4y2 = 4}
4- Seja R a relação sobre o conjunto N∗ definida pela sentença x+3y = 10. Pede-se
determinar:
y =
1
3
x +
10
3
x y
1 3
4 2
7 1
a) os elementos de R.
R = {(1, 3), (4, 2), (7, 1)}
b) o domı́nio de R.
D(R) = {(1, 4, 7)}
c) a imagem de R.
Im(R) = {(1, 2, 3)}
d) os elementos de R−1.
3
R−1 = {(3, 1), (2, 4), (1, 7)
5- Sejam E e F dois conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente.
a) Qual é o número de elementos de E × F?
E × F é um conjunto finito com m · n elementos.
b) Qual é o número de relações de E em F?
Como n(E) = m e o n(F ) = n, então o número de relações de E × F é 2mn.
6 - Seja R uma relação binária sobre o conjunto E e R′ a negação de R, isto é,
R′ = {(x, y) | x��Ry}. O que se pode concluir sobre R ∪R′ e R ∩R′ ?
R ∪R′ = e R ∩R′ = E × F
7 - Sejam R1 e R2 duas relações binárias em E. Que significado tem R1 ∪ R2 e
R1 ∩R2? O que significa a inclusão R1 ⊂ R2?
R1 ∪R2 = {(x, y) | xR1y ou xR2y}
R1 ∩R2 = {(x, y) | xR1y ou xR2y}
R1 ⊂ R2 = (x, y) ∈ R1 ⇒ (x, y) ∈ R2
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