Trigonometria e Números Complexos

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TrigonomeTria e números 
Complexos
2012
Prof.ª Grazielle Jenske
Copyright © UNIASSELVI 2012
Elaboração:
Prof.ª Grazielle Jenske
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
 516.24
S237tJenske, Grazielle.
 Trigonometria e números complexos / GrazielleJenske. Centro 
 Universitário Leonardo da Vinci – Indaial : Grupo 
 UNIASSELVI, 2012.x ; 
 242 p.: il
 Inclui bibliografia.
 ISBN 978-85-7830- 332-7
 1. Trigonometria 2. Matemática 3. Números complexos 
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci
 II. Núcleo de Ensino a Distância III. Título
 
Impresso por:
III
apresenTação
Ao(à) acadêmico(a):
É com muito carinho que o(a) convido a entrar na nave trigonométrica, 
que nos levará até o complexo mundo matemático.
Nesta viagem conheceremos as belezas da trigonometria, com seus 
triângulos, suas razões (seno, cosseno e tangente), bem como toda a magia do 
círculo trigonométrico. Posteriormente iremos até o conjunto dos números 
complexos, onde descobriremos os segredos de um novo conjunto numérico, 
muito diferente daqueles que você já conhece.
Espero que ao término deste Caderno de Estudos do curso de 
Licenciatura em Matemática você esteja dominando os diversos conceitos 
deste importante direcionamento da matemática, bem como possua criticidade 
sobre os temas e tenha desenvolvido o olhar pedagógico necessário para o 
ensino da Matemática.
Seja muito bem-vindo(a) à disciplina de Trigonometria e Números 
Complexos e tenha um ótimo estudo.
Prof.a Grazielle Jenske
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfi m, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
Bons estudos!
UNI
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda 
mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza 
materiais que possuem o código QR Code, que 
é um código que permite que você acesse um 
conteúdo interativo relacionado ao tema que 
você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, 
acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor 
de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa 
facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
VII
UNIDADE 1 – TRIGONOMETRIA: PARTE I ................................................................................... 1
TÓPICO 1 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .................................. 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS ................................................................... 4
3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................................... 7
4 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS .......................................... 13
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 18
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 19
TÓPICO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ................... 21
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 21
2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................... 21
2.1 SENO ................................................................................................................................................ 24
2.2 COSSENO ........................................................................................................................................ 28
2.3 TANGENTE ..................................................................................................................................... 31
3 ÂNGULOS NOTÁVEIS ..................................................................................................................... 35
4 TABELA TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................................... 40
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 44
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 45
TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER ..................................... 47
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 47
2 LEI DOS SENOS .................................................................................................................................. 47
3 LEI DOS COSSENOS ......................................................................................................................... 52
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 56
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 57
TÓPICO 4 – TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................... 59
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 59
2 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA ....................................................................... 59
2.1 ARCOS E ÂNGULOS ..................................................................................................................... 59
2.1.1 Arcos ........................................................................................................................................ 59
2.1.2 Ângulo central ........................................................................................................................ 61
2.2 GRAU E RADIANO .......................................................................................................................61
2.2.1 Grau ......................................................................................................................................... 61
2.2.2 Radiano ................................................................................................................................... 62
2.2.3 Notas históricas sobre o grau e o radiano .......................................................................... 65
3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ................................................................................... 66
3.1 ARCOS CONGRUENTES .............................................................................................................. 68
3.2 DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO ........................................................................ 70
3.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ............. 71
sumário
VIII
3.3.1 Seno .......................................................................................................................................... 71
3.3.2 Cosseno ................................................................................................................................... 75
3.3.3 Tangente .................................................................................................................................. 79
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 83
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 86
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 88
UNIDADE 2 – TRIGONOMETRIA: PARTE II ................................................................................. 91
TÓPICO 1 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS ........................................ 93
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 93
2 ESTUDO DA FUNÇÃO SENO ......................................................................................................... 93
3 ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO ................................................................................................. 97
4 ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE .............................................................................................. 101
5 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 105
5.1 ESTUDO DAS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE ........................................................... 106
5.2 ESTUDO DA FUNÇÃO COTANGENTE .................................................................................... 109
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 113
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 114
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 117
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 117
2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................... 117
2.1 PRIMEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: sen x = sen a, com a є [0, 2π] ............................. 118
2.2 SEGUNDA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: cos x = cos a, com a є [0, 2π] ............................ 120
2.3 TERCEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: tg x = tg a, com a є [0, 2π] ................................ 121
3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................................... 123
3.1 INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS .............................................................................................. 123
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 135
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 136
TÓPICO 3 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................ 137
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 137
2 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................................................................ 137
3 RELAÇÕES DERIVADAS .................................................................................................................. 138
4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 144
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 148
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 149
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................... 151
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 151
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS ............................................................................................ 151
3 ARCO DUPLO E ARCO METADE ................................................................................................... 157
4 FÓRMULA DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO ............................................................... 163
5 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE TRIGONOMETRIA ............................................. 166
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 172
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 173
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 175
UNIDADE 3 – NÚMEROS COMPLEXOS ......................................................................................... 177
TÓPICO 1: CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................ 179
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 179
IX
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................................. 180
2.1 A UNIDADE IMAGINÁRIA ......................................................................................................... 182
3 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................. 182
4 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................................ 185
5 OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO ..................................................................................... 186
6 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO ........................................................................... 186
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 187
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................188
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA 
 ALGÉBRICA ..................................................................................................................... 191
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 191
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................... 191
3 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................... 193
4 DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO .................................................................................... 196
5 INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................................... 198
6 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO COM EXPOENTES INTEIROS ............. 199
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 203
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 204
TÓPICO 3 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO ................ 207
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 207
2 PLANO DE ARGAND-GAUSS ........................................................................................................ 208
3 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................................... 209
4 ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO .......................................................................... 211
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 216
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 217
TÓPICO 4 – FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO ......................... 219
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 219
2 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS ....................... 219
3 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA 
 FORMA TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................................... 221
4 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA 
 TRIGONOMÉTRICA .......................................................................................................................... 224
5 RADICIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ......... 227
6 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS .................................. 231
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 234
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 237
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 238
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................... 241
X
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS NESTE CADERNO DE ESTUDOS
SÍMBOLO SIGNIFICADO
> Maior
< Menor
≥ Maior ou igual
≤ Menor ou igual
≠ Diferente de
≅ Aproximadamente igual a
⇔ Se, e somente se
⇒ Se... então...
∀ Para todo e qualquer
∞ Infinito
π Número pi
є Pertence
∉ Não pertence
∃ Existe
 Não existe
| Tal que
∆ Triângulo
AB Segmento de A até B
A
∧ Ângulo formado no ponto A
A D
∧ ∧
≡ O ângulo A é congruente ao ângulo D
∆ABC ~ ∆DEF O triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF
: x yf → Função de X para Y
N Conjunto dos números naturais
Z Conjunto dos números inteiros
Q Conjunto dos números racionais
R Conjunto dos números reais
C Conjunto dos números complexos
1
UNIDADE 1
TRIGONOMETRIA: PARTE I
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• identificar, calcular e aplicar razões trigonométricas em um triângulo re-
tângulo e em um triângulo qualquer;
• identificar as medidas de arcos, a relação entre as unidades de medidas 
(graus e radianos) e o comprimento do arco;
• reconhecer a ampliação dos conceitos da trigonometria aplicada no triân-
gulo retângulo para trigonometria aplicada no círculo.
Nesta unidade de ensino, a abordagem da trigonometria está dividida 
em quatro tópicos, nos quais se apresentam a trigonometria no triângulo 
retângulo, sua extensão para um triângulo qualquer e a ampliação desses 
conceitos à circunferência. Cada tópico oferecerá subsídios que o(a) auxiliarão 
na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoavaliações solicitadas.
TÓPICO 1 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
TÓPICO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
 RETÂNGULO 
TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
 
TÓPICO 4 – TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
1 INTRODUÇÃO
A trigonometria se originou antes da era cristã, quando os astrônomos 
queriam calcular distâncias que não se podiam medir, como, por exemplo, a 
medida do raio da Terra, a distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol.
 
Inicialmente usou-se valer das propriedades de triângulos semelhantes 
para o cálculo dessas distâncias. Por isso, a trigonometria foi considerada uma 
extensão natural da geometria. Daí vem o seu significado: medida dos triângulos, 
sendo trigonometria uma palavra de origem grega formada por três radicais: tri = 
três, gonos = ângulos e metron = medir.
 Apesar de os egípcios e de os babilônios terem já utilizado, de forma 
rudimentar, as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para 
resolver problemas relacionados com agrimensura, navegação e astronomia, 
muitos historiadores presumem que o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.–125 
a.C.) tenha sido o iniciador da trigonometria, por ter empregado pela primeira 
vez relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e por ter 
construído a primeira Tabela Trigonométrica. Por seus feitos, ele é considerado 
o “Pai da Trigonometria”. 
Durante muito tempo, Ptolomeu (125 a.C.) influenciou o desenvolvimento 
da trigonometria. Sua mais importante contribuição foi o documento Almagesto, 
baseado nos trabalhos de Hiparco e que contém uma tabela de cordas 
correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade 
do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de 
proposições da atual disciplina.
 
Posteriormente, com o acesso ao manuscrito de Ptolomeu e aos trabalhos 
dos hindus, que eram um povo bastante familiarizado com esse ramo da 
Matemática, os árabes fizeram notáveis avanços e disseminaram os conhecimentos 
da trigonometria pela Europa.
Atualmente, a Matemática Moderna ampliou o uso da trigonometria e a 
tornou indispensável em outras áreas do conhecimento, como na eletricidade, 
mecânica, acústica, música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, 
navegação marítima e aérea, cartografia, entre outros campos.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
4
Neste tópico vamos iniciar o estudo da trigonometria lembrando o 
essencial sobre as relações no triângulo retângulo para, nos tópicos seguintes, 
explanarmos sobre as razões trigonométricas, bem como a ampliação destes 
conceitos para a circunferência.
2 TRIÂNGULORETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo 
retângulo. Por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus 
elementos e as suas relações.
O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana, composta por três 
lados e três ângulos internos (é formado por dois lados do triângulo). É assim 
definido por possuir um ângulo interno de 90° (ângulo reto).
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: o lado 
que for oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa, e os demais lados, que 
formam o ângulo reto, serão chamados de catetos.
Hipotenusa é uma palavra de origem grega que significa “se estende debaixo” (dos 
ângulos agudos) e designa o lado mais longo de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo 
reto. A palavra cateto, também de origem grega, indica perpendicularidade ou ângulo reto, ou 
seja, designa os dois lados menores de um triângulo retângulo.
NOTA
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
5
Se analisarmos os catetos em relação ao ângulo, eles recebem um 
complemento em sua denominação. Por exemplo, na figura a seguir.
O cateto que forma o ângulo de 30°, juntamente com a hipotenusa, é 
denominado cateto adjacente, e o outro, que é o segmento oposto ao ângulo, é 
chamado de cateto oposto. 
No triângulo retângulo destacamos:
• BC é a hipotenusa e a, a sua medida;
• AB e AC são catetos e c e b, respectivamente, suas medidas.
Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h), conforme a 
figura a seguir, que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado BC no 
ponto H, teremos a altura AH do triângulo retângulo, que divide o lado BC em 
dois segmentos, HB e HC, medindo, respectivamente, m e n.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
6
• AH é a altura relativa à hipotenusa e h, a sua medida;
• HB é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida;
• HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida;
• ^A, ^B e ^C são os ângulos internos e med(B ^AC), med(A ^BC) e med(A ^CB), 
respectivamente, suas medidas.
Recordando tópicos da geometria.
Vértice é um ponto comum a dois lados de um ângulo. No caso acima, o vértice A é o ponto 
onde os segmentos AB e AC se encontram.
Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando um ângulo de 90°.
• Segundo o Microdicionário de Matemática Imenes & Lellis, num triângulo retângulo os 
segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa são chamados de projeções (sob ângulo 
de 90°) dos catetos sobre a hipotenusa.
IMPORTANT
E
Exemplo: 
Examinando o triângulo ABC, determine qual é a medida:
a) de cada cateto; 
Resposta: No triângulo retângulo ABC podemos perceber que o ângulo reto 
é o ângulo ^C. Portanto, os catetos são AC e BC e medem, respectivamente, 5 cm e 
5,8 cm. 
b) da hipotenusa;
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
7
Resposta: A hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto ^C, e, 
portanto, mede 9 cm (4 cm + 5 cm).
 
c) da altura relativa à hipotenusa; 
Resposta: A altura desse triângulo é dada pelo segmento HC que mede 3 cm.
d) da projeção do cateto maior sobre a hipotenusa;
Resposta: O cateto maior é o lado BC, portanto sua projeção é HB que 
mede 5 cm.
e) da projeção do cateto menor sobre a hipotenusa; 
Resposta: O cateto menor é o lado AC, portanto sua projeção é HA que 
mede 4 cm.
Uma leitura interessante é a do livro “A Geometria na sua vida”, com consultoria 
de Nílson José Machado. Não perca o capítulo “A medição da doçura”, que discorre sobre 
Hipotenusa, filha do rei de Euclideia, Metrônio. Obcecado pela geometria, o soberano só aceita 
entregar a mão da filha a alguém mais inteligente do que ela.
DICAS
3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A partir dos elementos de um triângulo retângulo, podemos estabelecer 
relações entre essas medidas e demonstrá-las a partir da semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos:
Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros 
triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si.
UNI
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
8
∆ABH ~ ∆ABC 
(lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em 
A, B e C).
∆ACH ~ ∆ABC 
(lê-se: o triângulo com vértices em A, C e H é semelhante ao triângulo com vértices em 
A, B e C).
∆ABH ~ ∆ACH
(lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em 
A, C e H).
Vamos explorar algumas relações juntos:
1ª Relação: Considere os triângulos ABH e ABC.
^A^H ≡ , pois ambos são ângulos retos.
≡
^B ^B, pois são os mesmos ângulos.
Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ABC.
Daí, c m
a c
= . Dessa proporção podemos escrever:
c • c = a • m → c² = a • m
O mesmo ocorre com os triângulos ACH e ABC:
m
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
9
Exemplo:
Neste triângulo retângulo, vamos calcular a medida da hipotenusa. As 
medidas estão indicadas em centímetros.
^A^H ≡ , pois ambos são ângulos retos.
^C ≡ ^C, pois são os mesmos ângulos.
Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ACH ~ ∆ABC.
Daí, b n
a b=
. Dessa proporção podemos escrever: 
b • b = a • n → b² = a • n
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado sobre 
a hipotenusa, ou seja, b² = a • n ou c² = a • m.
FONTE: A autora
QUADRO 1- RELAÇÃO MÉTRICA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Cn
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
10
Portanto, a hipotenusa desse triângulo mede 25 cm. 
2ª Relação: Considere os triângulos ABH e ACH.
Resolução:
Sabemos que:
^H^H ≡ , pois ambos são ângulos retos e o mesmo ângulo.
^C
^
A₁ ≡
Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ACH.
Daí, h n
m h=
. Dessa proporção podemos escrever:
h • h = m • n → h² = mn
Exemplo 1:
Vamos calcular o valor de x nessa figura.
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa 
é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 
ou seja, h² = mn.
nm
 c2 = am
152 = a . 9
225 = 9a
 9a = 225
 a = 25
225a
9
=
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
11
Resolução:
Em qualquer triângulo retângulo, tem-se: h² = mn.
Neste caso, h = 12, n = 8 e m = x. Portanto:
Assim, a medida de x é 18.
Exemplo 2:
Vamos determinar as medidas a, c, h e m indicadas na figura a seguir.
Resoluções:
CB
c
12² = 8 . x
144 = 8x
 8x = 144
 
 x = 18
144x
8
=
b2 = an m + n = a h2 = mn c2 = am
62 = a . 4 m + 4 = 9 h2 = 5 . 4 c2 = 9 . 5
36 = 4a m = 9 - 4 h2 = 20 c2 = 45
 m = 5 h = √20 c = √45
 h = 2√5 c = 3√5
a = 9
36a
4
=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
12
3ª Relação: Partindo das relações, onde b² = an e c² = am. Vamos multiplicar membro 
a membro as igualdades e obteremos:
b² • c² = an • am
b² • c² = a • a • n • m
b² • c² = a² • nm
E usando a relação h² = mn, temos:
b² • c² = a² • h2
(bc)² = (ah)²
Ou, extraindo a raiz quadrada de ambos os membros (já que as medidas 
são sempre números positivos), temos:
bc = ah
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto 
da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa, ou seja, bc = ah.
QUADRO 2 – O PRODUTO DAS MEDIDAS DOS CATETOS
FONTE: A autora
Exemplo:
Vamos determinar a altura do triângulo a seguir.
Resolução:
bc = ah
4 . 3 = 5 . h
5h = 12 A altura h é de unidade de medida.
 
12
512h
5
=
TÓPICO 1 |RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
13
A quarta propriedade das relações métricas é um dos mais importantes 
teoremas da matemática, conhecido como Teorema de Pitágoras, no qual daremos maior 
enfoque a seguir.
NOTA
4 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS
O Egito recebeu a dádiva de ter todo o seu território cortado pelo segundo 
maior rio do mundo em extensão, o rio Nilo (o primeiro é o rio Amazonas). 
Aproveitando com sabedoria o rico húmus que as águas formavam ao longo das 
margens, os egípcios desenvolveram toda a sua agricultura. Porém, a dificuldade 
era que as cheias anuais destruíam toda a demarcação das propriedades agrícolas. 
O apagamento das demarcações do Nilo tornou necessária a existência dos 
mensuradores, conhecidos pelos egípcios por “esticadores de cordas”.
 
Para obter ângulos retos, os “esticadores de cordas” usavam uma corda 
com 12 nós, a igual distância um do outro, e com ela construíam um triângulo com 
vértices em três desses nós. O triângulo assim obtido possui lados que medem três, 
quatro e cinco unidades de comprimento e é um triângulo retângulo.
 
Esse método é baseado na relação enunciada por:
FONTE: A autora
QUADRO 3 - O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS
Apesar de terem sido os egípcios os primeiros a utilizarem essa relação 
para resolver problemas de medições de terras, foi Pitágoras de Samos (por volta 
de 570 a.C.), filósofo e matemático grego, quem provou que ela é válida para todo 
triângulo retângulo.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
2 2 2a b c= +
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
14
Demonstração do Teorema de Pitágoras
Na história da matemática muitas foram as demonstrações do Teorema 
de Pitágoras. Vejamos uma delas a partir de duas relações métricas do triângulo 
retângulo, demonstradas anteriormente.
b² = a • n 
c² = a • m 
Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:
b² + c² = am + an 
b² + c² = a(m + n) 
Observando que m + n = a, temos:
b² + c² = a • a 
E assim
b2 + c2 = a2
Vejamos outra maneira de exemplificar a validade do Teorema de Pitágoras, 
através da geometria:
= 1 unidade de 
comprimento
= 1 unidade de 
área
3x3=32
4x4=42
5x5=52
5
43
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
15
Considerando que cada quadradinho corresponde a uma unidade de área, 
verificamos que nos três quadrados existem 25, 16 e 9 unidades de área; notando 
que 25 = 16 + 9 ou 5² = 4² + 3², confirma-se a relação: a área do quadrado construído 
sobre o maior lado do triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados 
construídos sobre os dois menores lados.
Exemplo 1:
Vamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo a seguir,.
Resolução:
Considerando a = x, b = 4 e c = 7, temos:
b² + c² = a² 
4² + 7² = x² 
49 + 16 = x² 
65 = x² 
x = √65 
x ≅ 8,06
Assim, a hipotenusa mede, aproximadamente, 8,06 unidades de comprimento.
Sempre que conhecemos dois dos seis valores a, b, c, h, m, e n indicados na figura, 
podemos descobrir os outros quatro empregando as relações métricas do triângulo retângulo. 
NOTA
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
16
Exemplo 2:
Vamos encontrar as medidas desconhecidas da figura seguinte.
nm
Resolução:
Observe que os valores desconhecidos desta figura ocupam lugares 
diferentes da demonstração. Portanto, é necessário substituí-los.
Comparando com a figura utilizada na demonstração, temos:
c = 13
b = b
m = m
n = n
a = a
altura (h) = 12.
Do triângulo menor, temos:
m² + 12² = 13² (4ª propriedade)
 m² = 169 – 144
m² = 25 
m = √25 
m = 5
Pela 1ª propriedade:
c2 = am
13² = a • 5
169 = 5a
169a
5
=
a = 33,8 
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
17
Pela 2ª propriedade, temos:
h² = mn
12² = 5 • n
144= 5n 
144n
5
=
n = 28,8
Pela 3ª propriedade, podemos escrever:
bc = ah
b • 13 = 33,8 • 12
13b = 405,6
405,6b
13
=
b = 31,2
18
Neste tópico você fez o estudo do triângulo retângulo, partindo dos seus 
elementos até as suas relações. 
RESUMO DO TÓPICO 1
● O quadrado da medida de cada cateto (b e c) é igual ao produto 
da medida de sua projeção (n e m, respectivamente) sobre a 
hipotenusa pela medida da hipotenusa (a).
● O quadrado da medida da altura (h) relativa à hipotenusa é 
igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a 
hipotenusa (m e n). 
● O produto das medidas dos catetos (b e c) é igual ao produto 
da medida da hipotenusa (a) pela medida da altura relativa à 
hipotenusa (h).
● A medida da hipotenusa (a) é igual à soma das medidas das 
projeções dos catetos (m e n) sobre ela.
● O quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos (b e c). 
}
}
}
}
}
b2 = an
c2 = am
h2 = mn
bc = ah
a = m + n
a2 = b2 + c2
19
AUTOATIVIDADE
2 Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (possui 
dois lados de mesma medida), com catetos de 1 cm.
3 A área de um terreno quadrangular é igual a 128 m². Quanto mede a diagonal 
desse terreno? (Lembre que a área de uma região quadrangular é dada por: 
Área do Quadrado = (medida do lado)²).
4 As raízes da equação x² - 10x + 24 = 0 expressam, em cm, as medidas dos 
catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa desse 
triângulo. 
5 Um triângulo STU, retângulo em 
^S , tem catetos com medidas iguais a 5 cm 
e 12 cm. Calcule: 
a) a medida da hipotenusa;
b) a medida da altura relativa à hipotenusa;
c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
6 Determine num triângulo retângulo ABC, de catetos com medidas iguais a 3 
e 4, a medida da hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa.
7 Calcule, em cada figura, a medida de y.
Lembra do seu manual, “Não basta saber, é preciso saber fazer”? Agora chegou 
a sua vez de colocar em prática as relações métricas do triângulo retângulo que 
você acabou de estudar.
1 Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo 
abaixo. 
20
a) b)
c) d)
8 Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam em 
direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a 
distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais 
rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio.
 
9 No triângulo retângulo da figura a seguir temos que m = x + 5,6, n = x e a = 20. 
Sabendo que as medidas são dadas em centímetros, determine as medidas b, 
c e h indicadas.
10 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e a área é de 54 cm². 
Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa.
21
TÓPICO 2
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No estudo anterior estabelecemos as bases necessárias para a compreensão 
da Trigonometria, visto que esta é considerada uma extensão da Geometria.
 
Neste tópico daremos início ao estudo da Trigonometria, focando as 
relações trigonométricas no triângulo retângulo, que relaciona as medidas dos 
lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos e é de grande utilidade na 
medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como, por exemplo, a altura de 
torres e árvores, de montanhas ou a largura de rios e lagos.
2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considere estes dois triângulos retângulos:
Sabemos que se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes 
congruentes, então os triângulos são semelhantes. Logo, podemos escrever:
a b 
x y =
Dessa proporção deduzimos outra:
b y 
a x=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
22
Ou seja, nos dois triângulos, a razão entre o cateto oposto ao ângulo de 30° 
e a hipotenusa é o mesmo número.
Vamos fazer o cálculo para descobrirque valor é esse.
 
● No triângulo menor:
cateto oposto a 30°
 hipotenusa
= 
x 2,3
y 4,6= = 
0,5
● No triângulo maior:
cateto oposto a 30°
 hipotenusa
= 
x 3,7
y 7,4= = 
0,5
NOTA
Em qualquer triângulo retângulo com ângulo de 30°, a razão 
tem o mesmo valor, pois todos os triângulos nessas condições são semelhantes. 
cateto oposto a 30°
 hipotenusa
Vejamos outros exemplos:
1)
• No triângulo menor:
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
= 
x 1
y √2
= 
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
23
Como o denominador desta fração é um número irracional, precisamos 
fazer o processo de racionalização do denominador.
A racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração 
com denominador racional, equivalente a anterior, que possua um ou mais radicais 
em seu denominador.
 
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os 
termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, 
de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
Neste caso, vamos multiplicar o numerador e o denominador desta fração 
por √2. Observe:
Assim,
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
= 
x 1
y √2
= 
● No triângulo maior:
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
= 
x 2√2 √2
y 4 2= = 
Igualmente ao exemplo anterior, podemos observar que em qualquer triângulo 
retângulo com ângulo de 45°, a razão 
cateto oposto a 45°
 hipotenusa
 tem o mesmo valor √2
 2
, pois 
todos os triângulos nessas condições são semelhantes.
1 2 2 2
22 2 2 2
⋅ = =
⋅
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
24
• No triângulo menor:
● No triângulo maior:
Mais uma vez, podemos observar que em qualquer triângulo retângulo 
com ângulo de 60°, a razão 
cateto oposto a 60°
 hipotenusa
 tem o mesmo valor, pois todos os 
triângulos nessas condições são semelhantes.
cateto oposto a 60°
 hipotenusa
= b 3 a = = 2√3
3√3
2√9
= √32 
cateto oposto a 60°
 hipotenusa
= 
b 
a = 
6√3
12
= √32 
Teste você mesmo(a)! Construa outros triângulos retângulos, de mesmo ângulo, 
mas com medidas variadas, veja se a razão 
cateto oposto ao ângulo
 hipotenusa
 é a mesma para todos 
eles. Depois, faça o mesmo com outros ângulos. Experimente estabelecer outras razões.
ATENCAO
Se você realizou a atividade acima, deve ter percebido que a razão entre 
cateto oposto e cateto adjacente e a razão entre cateto adjacente e hipotenusa 
também é a mesma para triângulos retângulos semelhantes.
Veja, a seguir, como isto é possível.
2.1 SENO
Uma das constantes obtidas ao relacionar as medidas dos lados em 
triângulos retângulos é conhecida por seno.
 
Num triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo (menor 
que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa, 
conforme observamos nos exemplos anteriores. 
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
25
Considerando, inicialmente, o ângulo de medida a₁ da figura a seguir, de 
vértice V e lados VA e VB.
No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos 
A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB.
Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,... são todos semelhantes. Logo: 
A₁B₁
 VA₁
A₂B₂
 VA₂
A₃B₃
 VA₃
A₄B₄
 VA₄= = = 
= ... = K₁
Dessas igualdades podemos deduzir que o valor de k1 não depende do 
triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante 
ao ∆AVB.
Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, 
de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... 
retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
26
Novamente, podemos escrever:
C₁D₁
 OC₁
C₂D₂
 OC₂
C₃D₃
 OC₃
C₄D₄
 OC₄= = = 
= ... = K₂
Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e
 k2, encontramos k1 ≠ k2. Isso ocorre, pois a diferença entre as duas figuras está em 
que a1 ≠ a2. Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a 
medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – 
depende da medida do ângulo considerado.
 
A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de 
seno do ângulo a (sen a). Assim:
FONTE: A autora
QUADRO 4 - SENO DO ÂNGULO a (SEN a)
sen a = AC
BC
= 
b
a
ou
sen a = 
medida do cateto oposto a a
 medida da hipotenusa
Exemplo 1:
Na figura dada, calculemos o valor de sen a:
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
27
Resolução:
Inicialmente precisamos calcular a hipotenusa do triângulo.
a² = 8² + 15²
a² = 289
a = √289
a = 17
Então, temos:
Resposta: sen a ≅ 0,47.
 
Exemplo 2:
Vamos calcular o valor de x, sabendo que sen a = 0,8.
Resolução:
Aplicando a razão seno, temos:
sen a = cateto oposto ao ângulo a
 hipotenusa
sen a = 817
sen a ≅ 0,47
sen a = cateto oposto ao ângulo a
 hipotenusa
0,8 = x20
0,8 . 20 = x
x = 16
Resposta: O valor de x é 16 unidades de medida.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
28
A palavra seno é derivada do latim sinus, que significa “baía” ou “dobra”. O termo 
originalmente utilizado foi ardha-jiva (“meia-corda”), que foi abreviado para jiva e então 
transliterada pelos árabes como jiba. Tradutores europeus do século XII confundiram jiba com 
jaib, que significa “baía”, provavelmente porque jiba e jaib são escritas da mesma forma na 
escrita arábica.
UNI
2.2 COSSENO
Com um procedimento semelhante ao apresentado anteriormente, podemos 
definir outras razões entre as medidas de lados de um triângulo retângulo cujos 
valores dependam apenas da medida do ângulo considerado. Portanto, outra 
constante obtida ao relacionar essas medidas é conhecida por cosseno. 
Considere um ângulo de medida a1
 
conforme a figura a seguir, de vértice 
V e lados VA e .
No lado , consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos 
VB₁, VB₂, VB₃, VB₄,... 
Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,.. são todos semelhantes. Logo: 
 VB₁
 VA₁
 VB₂
 VA₂
 VB₃
 VA₃
 VB₄
 VA₄= = = 
= ... = K₁
Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do 
triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante 
ao ∆AVB.
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
29
Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, 
de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ..., 
retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.
Novamente, podemos escrever:
 OD₁
 OC₁
 OD₂
 OC₂
 OD₃
 OC₃
 OD₄
 OC₄= = = 
= ... = K₂
Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de 
k1 e k2, encontramos k1≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. 
Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do 
cateto adjacente e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – depende 
da medida do ângulo considerado.
 
A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de 
cosseno do ângulo a (cos a). Assim:
FONTE: A autora
QUADRO 5 - COSSENO DO ÂNGULO a (COS a)
cos a = AB
BC
= 
c
a
ou
cos a = 
medida do cateto adjacente a a
 medida da hipotenusa
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
30
Exemplo 1: 
Determine cos Ĉ no triângulo retângulo a seguir:
Resolução:
Temos que
Resposta: O cosseno do ângulo C é igual a 0,5.
Exemplo 2:
No triângulo retângulo ABC abaixo,calcule os valores de a e c, sabendo 
que b = 5 cm e cos 60°= 0,5.
cos a = medida do cateto adjacente a a
 medida da hipotenusa
= 510
= 0,5
cos Cˆ
cos Cˆ
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
31
Resolução:
Aplicando o teorema de Pitágoras ao ∆ABC, temos:
a² = b² + c²
10² = 5² + c²
100 = 25 + c²
100 – 25 = c²
c² = 75
c = √75 
c = 5√3 
Resposta: A medida de a é 10 cm e de c é 5√3 cm.
cos a = medida do cateto adjacente a a
 medida da hipotenusa
= 
 b
 acos 60°
= 0,5 5
 a
0,5 ∙ a = 5
a = 50,5
a = 10
2.3 TANGENTE
Num triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo 
(menor do que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida 
do cateto adjacente.
Considere, novamente, um ângulo de medida a1, de vértice V e lados 
VA e VB.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
32
No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos 
A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB.
Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4, ... são todos semelhantes. Logo: 
 A₁B₁
 VB₁
 A₂B₂
 VB₂
 A₃B₃
 VB₃
 A₄B₄
 VB₄= = = 
= ... = K₁
Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do 
triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante 
ao ∆AVB.
Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, 
de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... 
retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.
Novamente, podemos escrever:
Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e 
k2, encontramos k1 ≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. Logo, 
podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto 
oposto e a medida do cateto adjacente de cada triângulo retângulo – depende da 
medida do ângulo considerado.
 
A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de 
tangente do ângulo a (tg a). Assim:
 C₂D₂
 OD₂= = = = ... = K₂
 C₁D₁
 OD₁
 C₃D₃
 OD₃
 C₃D₃
 OD₃
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
33
FONTE: A autora
QUADRO 6 – FÓRMULA TANGENTE DO ÂNGULO a (TG a)
tg a = AC
AB
= 
b
c
ou
tg a = 
 medida do cateto oposto ao ângulo α
medida do cateto adjacente ao ângulo α
Exemplo 1:
No triângulo retângulo ABC, a tangente de Ĉ pode ser calculada da 
seguinte maneira:
tg a = medida do cateto oposto ao ângulo a
medida do cateto adjacente ao ângulo a
= 4 6
= 
tg Cˆ
tg Cˆ 2 3
Logo, a tangente do ângulo C é . 2
 3
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
34
Exemplo 2:
Num triângulo retângulo, as medidas dos lados são expressas por (x - 
5), x e (x + 5). 
Vamos determinar a tangente do ângulo agudo a, oposto ao menor cateto 
do triângulo.
Resolução:
Primeiramente, vamos fazer um esboço da figura.
Agora, utilizando o teorema de Pitágoras, com a = x + 5, b = x e c = x – 5, temos
Substituindo o valor de x, temos que o cateto adjacente ao ângulo a é b = 20 
e o cateto oposto ao ângulo a é c = 20 – 5 = 15. Então, utilizando a razão da tangente:
a² = b² + c²
(x + 5)² = x² + (x - 5)²
x² + 10x + 25 = x² + x² - 10x + 25
-x² + 20x = 0
-x(x - 20) = 0
x' = 0
x" = 20
tg a = medida do cateto oposto ao ângulo a
medida do cateto adjacente ao ângulo a
= 
= 15 20
tg a
tg a 3 4
Assim, a tangente de a é . 3
 4
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
35
É comum confundirmos o nome de um ângulo com a sua medida. Quando estamos 
falando num ângulo a, estamos nos referindo ao próprio ângulo, mas usando sua medida em 
lugar de seu nome. É um “abuso” frequente e aceitável, que busca simplificar a linguagem.
UNI
3 ÂNGULOS NOTÁVEIS
Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência nos cálculos e, por 
isso, são chamados notáveis. Veja como calcular o seno, o cosseno e a tangente 
desses ângulos.
Seno, cosseno e tangente do ângulo de 45°
Para calcular as razões trigonométricas para o ângulo de 45°, vamos 
considerar o quadrado ABCD da figura seguinte.
● Como o ∆ABC é retângulo em 
^B, temos:
Assim,
d² = ℓ² + ℓ²
d² = 2ℓ²
d = √2ℓ²
d = √2 ∙ √ℓ²
d = ℓ√2
sen45°=
d
lsen45°=
2
2sen45°=
2 2
2sen45°=
2
⋅
cos45°=
d
cos45°=
2
2cos45°=
2 2
2cos45°=
2
⋅
tg45°=
tg45°=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
36
Seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°
Consideremos o triângulo equilátero ABC da figura seguinte.
Nesse triângulo observamos que:
• cada ângulo interno mede 60°;
• AH é bissetriz de BÂC;
• AH é mediana relativa ao lado BC; portanto, H é o ponto médio de BC;
• a medida da altura é = ℓ√3
 2
h .
Então, para o ângulo de 30°, podemos escrever:
2tg30°=
h
2
3tg30°
2
2tg30°
2 3
1 3tg30°
3 3
3tg30°
3
=
= ⋅
= ⋅
=
hcos30°=
3
2cos30°
3 1cos30°
2
3cos30°
2
=
= ⋅
=
2sen30°=
1sen30°
2
1sen30°=
2
= ⋅
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
37
E, para o ângulo de 60°, temos:
Colocando os valores calculados no Quadro 7, temos:
FONTE: A autora
Exemplo 1:
Determine a medida x do triângulo a seguir:
QUADRO 7- TABELA TRIGONOMÉTRICA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS
Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis
X 30° 45° 60°
sen x
1
2
2
2
3
2
cos x 3
2
2
2
1
2
tg x 3
3
1 3
hsen60°=
3
2sen60°= 
3 1sen60°
2
3sen60°
2
= ⋅
=
2cos60°=
1cos60°
2
1cos60°
2
= ⋅
=
h
tg60°=
2
3
2
tg60°
2
3 2tg60°
2
tg60°= 3
=
= ⋅
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
38
Assim, a medida x do triângulo é 10√2.
Exemplo 2:
A partir de um ponto, observa-se o topo de uma construção sob o ângulo de 
30°. Caminhando 12 metros em direção a essa construção, atingimos outro ponto, 
de onde se vê o topo da construção sob o ângulo de 60°. Desprezando a altura do 
observador, calcule, em metros, a altura da construção.
Resolução:
Ao observarmos a imagem, temos: 
A medida do cateto adjacente ao ângulo de 45° é 10.
A medida da hipotenusa do ângulo de 45° é x.
Deste modo:
cos a = 
medida do cateto adjacente a 
medida da hipotenusa
a
10cos45
x
2 10
2 x
x 2 10 . 2
20 2x= .
2 2
20 2x
2
x 10 2
° =
=
=
=
=
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
39
Resolução:
Se considerarmos o triângulo retângulo ABC, temos: 
x = medida do cateto adjacente ao ângulo de 60°.
y = medida do cateto oposto do ângulo 60°.
E ao considerarmos o triângulo ABD, temos: 
y = medida do cateto oposto ao ângulo de 30°.
x + 12 = medida do cateto adjacente ao ângulo de 30°.
Comparando as igualdade:
( )
x 3 12 3x 3 
3
3x 3 x 3 12 3
3x 3 x 3 12 3
3x x 3 12 3
2x 3 12 3
12 32x 
2 3
x 6
+
=
= +
- =
- =
=
=
=
medida do cateto oposto ao ângulo tg = 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ytg60
x
y3
x
y x 3
a
a
a
° =
=
=
( )
medida do cateto oposto ao ângulo tg = 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ytg30
x 12
y3
3 x 12
x 12 3
y
3
x 3 12 3y
3
a
a
a
° =
+
=
+
+
=
+
=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
40
Portanto, a altura da construção é de 6 3 , aproximadamente 10,39 metros.
4 TABELA TRIGONOMÉTRICA
Como já descrito no Tópico 1, Hiparco de Niceia ganhou o direito de ser 
chamado “o pai da trigonometria”, pois, no século II a.C., fez um tratado em 12 
livros, onde se ocupa da construção de uma tábua de cordas, que utilizou na 
Astronomia. Mas foi Ptolomeu que construiu a primeira tabela de cordas que 
fornece o seno dos ângulos de 0° a 90°, que se assemelha à tabela trigonométrica 
(no quadro 7) que conhecemos hoje.Visto que para cada ângulo agudo está associado um único valor para o 
seno, para o cosseno e para a tangente, em situações que envolvem ângulos não 
notáveis, não precisamos calculá-los sempre, para isso foi construída uma tabela 
trigonométrica (no quadro 8), que nos fornece esses valores.
QUADRO 8 – TABELA TRIGONOMÉTRICA
Ângulo Seno cosseno tangente Ângulo Seno cosseno tangente
1° 0,017 1,000 0,017 46° 0,719 0,695 1,036
2° 0,035 0,999 0,035 47° 0,731 0,682 1,072
3° 0,052 0,999 0,052 48° 0,743 0,669 1,111
4° 0,070 0,998 0,070 49° 0,755 0,656 1,150
5° 0,087 0,996 0,087 50° 0,766 0,643 1,192
6° 0,105 0,995 0,105 51° 0,777 0,629 1,235
7° 0,122 0,993 0,123 52° 0,788 0,616 1,280
8° 0,139 0,990 0,141 53° 0,799 0,602 1,327
9° 0,156 0,988 0,158 54° 0,809 0,588 1,376
10° 0,174 0,985 0,176 55° 0,819 0,574 1,428
11° 0,191 0,982 0,194 56° 0,829 0,559 1,483
12° 0,208 0,978 0,213 57° 0,839 0,545 1,540
13° 0,225 0,974 0,231 58° 0,848 0,530 1,600
14° 0,242 0,970 0,249 59° 0,857 0,515 1,664
15° 0,259 0,966 0,268 60° 0,866 0,500 1,732
16° 0,276 0,961 0,287 61° 0,875 0,485 1,804
17° 0,292 0,956 0,306 62° 0,883 0,469 1,881
18° 0,309 0,951 0,325 63° 0,891 0,454 1,963
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
41
19° 0,326 0,946 0,344 64° 0,899 0,438 2,050
20° 0,342 0,940 0,364 65° 0,906 0,423 2,145
21° 0,358 0,934 0,384 66° 0,914 0,407 2,246
22° 0,375 0,927 0,404 67° 0,921 0,391 2,356
23° 0,391 0,921 0,424 68° 0,927 0,375 2,475
24° 0,407 0,914 0,445 69° 0,934 0,358 2,605
25° 0,423 0,906 0,466 70° 0,940 0,342 2,747
26 0,438 0,899 0,488 71° 0,946 0,326 2,904
27° 0,454 0,891 0,510 72° 0,951 0,309 3,078
28° 0,469 0,883 0,532 73° 0,956 0,292 3,271
29° 0,485 0,875 0,554 74° 0,961 0,276 3,487
30° 0,500 0,866 0,577 75° 0,966 0,259 3,732
31° 0,515 0,857 0,601 76° 0,970 0,242 4,011
32° 0,530 0,848 0,625 77° 0,974 0,225 4,332
33° 0,545 0,839 0,649 78° 0,978 0,208 4,705
34° 0,559 0,829 0,675 79° 0,982 0,191 5,145
35° 0,574 0,819 0,700 80° 0,985 0,174 5,671
36° 0,588 0,809 0,727 81° 0,988 0,156 6,314
37° 0,602 0,799 0,754 82° 0,990 0,139 7,115
38° 0,616 0,788 0,781 83° 0,993 0,122 8,144
39° 0,629 0,777 0,810 84° 0,995 0,105 9,514
40° 0,643 0,766 0,839 85° 0,996 0,087 11,430
41° 0,656 0,755 0,869 86° 0,998 0,070 14,301
42° 0,669 0,743 0,900 87° 0,999 0,052 19,081
43° 0,682 0,731 0,933 88° 0,999 0,035 28,636
44° 0,695 0,719 0,966 89° 1,000 0,017 57,290
45° 0,707 0,707 1,000
FONTE: A autora
Outra opção para encontrar os valores trigonométricos é através do uso 
de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sin (seno), cos (cosseno) e 
tan (tangente). 
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
42
medida do cateto oposto ao ângulo tg 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
htg72
25
h3,078
25
 h 25 . 3,078
 h= 76,95
a
a =
a
° =
=
=
Exemplo 1:
Considere o triângulo ABC isósceles. Sabendo que a base mede 50 cm e que 
cada ângulo da base mede 72°, determine a medida h da altura relativa à base.
Resolução:
Se considerarmos o triângulo retângulo AHC, temos: 
h = cateto oposto ao ângulo de 72°.
25 = cateto adjacente ao ângulo de 72°.
Dessa maneira, temos:
Logo, a altura do triângulo é de 76,95 cm.
Exemplo 2:
Observando a figura e utilizando a Tabela Trigonométrica calcule os valores 
solicitados a seguir:
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
43
medida do cateto oposto ao ângulo sen 
hipotenusa
4,1sen
5,6
sen 0,732
a
a =
a =
a =
a) a medida do ângulo a
b) cos a
c) tg a 
Resolução:
a)
Considerando o triângulo retângulo, temos: 
4,1 = cateto oposto ao ângulo a.
5,6 = hipotenusa.
A relação trigonométrica que utiliza as medidas do cateto oposto e da 
hipotenusa é o seno, assim:
Consultando a Tabela Trigonométrica (no Quadro 8), podemos observar 
que o valor 0,732 na coluna dos senos corresponde, aproximadamente, ao seno do 
ângulo de 47°. Assim, a = 47°.
b) Portanto, o cosseno do ângulo de 47° é 0,682.
c) E a tangente do ângulo de 47° é 1,072.
44
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
medida do cateto adjacente ao ângulo cos = 
hipotenusa
medida do cateto oposto ao ângulo tg
medida do cateto adjacente ao ângulo 
a
a =
a
a
a
a =
a
Neste tópico você fez o estudo das razões trigonométricas (seno, cosseno 
e tangente) no triângulo retângulo, bem como aprendeu a utilizar a tabela 
trigonométrica na resolução de problemas.
É importante saber as razões até aqui estabelecidas:
RESUMO DO TÓPICO 2
O uso da tabela de ângulos notáveis é bastante requerida em vestibulares e 
também são os ângulos que mais aparecem em questões do cotidiano.
Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis
X 30° 45° 60°
sen x
1
2
2
2
3
2
cos x 3
2
2
2
1
2
tg x 3
3
1 3
45
AUTOATIVIDADE
Caro(a) acadêmico(a), chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre 
razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Boa atividade!
1 Um barco encontra-se a 200 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do 
barco sob um ângulo de 10°, calcule sua altura.
2 Uma tábua está apoiada numa árvore, formando um ângulo de 60°. Determine 
o comprimento da tábua, sabendo que ela se apoia na árvore a uma distância 
de 1,5 m do chão.
3 Para alcançarmos o primeiro pavimento de um prédio, subimos uma rampa 
de 5 m que forma com o solo um ângulo de 25°. Qual é a distância do solo ao 
primeiro pavimento?
4 Uma pipa se encontra empinada a 18 m de altura do solo. Sabendo que 
o ângulo formado pela linha esticada com a horizontal é de 60°, calcule o 
comprimento da linha.
5 Determine a sombra projetada por um poste de 3,75 m quando os raios de sol 
que incidem sobre ele formam, com a rua, um ângulo de 77°. 
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 279) Deseja-se construir uma estrada 
ligando as cidades A e B, separadas por um rio de margens paralelas, como 
nos mostra o esquema abaixo.
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 279)
FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES A E B, SEPARADAS 
POR UM RIO DE MARGENS PARALELAS
Sabe-se que a cidade A está distante 30 km da margem do rio, a cidade B está a 
18 km da margem o rio, e a ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de A 
até B, pela estrada, em quilômetros? (Desconsidere a largura da estrada.)
46
7 Uma escada rolante de 11.000 cm de comprimento liga dois andares de um 
shopping e tem inclinação de 45°. Qual é, em metros, a altura h entre um 
andar e outro desse shopping?
8 Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo:
 a) b) c)
9 (FACCHINI. 1996, p. 285) Quando o Sol se encontra a 54° acima da linha do 
horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão, mede 12 m. Qual é a 
altura dessa árvore?
10 (CASTRUCCI, GIOVANNI Jr., 2009 p. 280) A escada de um carro de 
bombeiros pode estender-se a um comprimento de 30 m, quando levantada 
a um ângulo de 70°. Sabe-se que a base da escada está sobre um caminhão, 
a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá 
alcançar em relação ao solo?
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 280)
FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS
47
TÓPICO 3
TRIGONOMETRIA EM UM 
TRIÂNGULO QUALQUER
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Nos tópicos anteriores vimos que os problemas envolvendo trigonometria 
são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos. Mas no cotidiano, 
nem sempre encontramos tamanha facilidade. Algumas situações podem envolver 
outros tipos de triângulo, como o triângulo acutângulo ou o triângulo obtusângulo.
Para esses casos recorremos à lei dos senos e à lei dos cossenos, que 
veremos a seguir.
Para lembrar:
• Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos,ou seja, menores do que 90°. 
• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos, ou seja, um 
ângulo maior do que 90° e dois ângulos menores do que 90°.
NOTA
2 LEI DOS SENOS
Vamos considerar o triângulo acutângulo ABC, conforme figura a seguir:
48
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Onde:
• a, b e c são as medidas dos lados;
• h1 é a medida da altura AH₁;
• h2 é a medida da altura CH₂.
Agora, consideremos os triângulos retângulos ABH1 e ACH1.
No triângulo retângulo ABH1, temos:
A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH1:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen
^
B = 1h
c
 
 h₁ = c ∙ sen ^B
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen
^C = 1h
b 
 h₁ = b ∙ sen ^C
Comparando, podemos escrever:
c ∙ sen ^B = b ∙ sen ^C
ou,
1) 
 c b
sen ^C sen ^B
=
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
49
A seguir, consideremos os triângulos retângulos BCH2 e ACH2:
No triângulo retângulo BCH2, temos:
A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH2:
Comparando, podemos escrever:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^B = 2h
a 
 h₂ = a ∙ sen ^B
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^A = 2h
b 
 h₂ = b ∙ sen ^A
a․sen ^B = b․sen ^A
ou,
2) 
 a b
sen ^A sen ^B
=
Comparando 1 e 2, temos a seguinte igualdade:
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
50
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Essa igualdade é denominada Lei dos Senos.
FONTE: A autora 
Exemplo 1
Determine a medida x indicada no triângulo acutângulo a seguir:
QUADRO 9 – LEI DOS SENOS
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
Resolução:
No triângulo, identificamos
a = x
 = 45°
c = 11 cm
Ĉ = 30°
Usando a lei dos senos, temos:
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
51
Portanto, a medida x encontrada é 11√2 cm.
Exemplo 2:
Em um triângulo isósceles, a base mede 9 cm e o ângulo oposto à base 
mede 120°. Determine a medida dos lados congruentes do triângulo.
Resolução:
No triângulo, identificamos
a = 9 cm
 = 120° (O seno do ângulo de 120° pode ser encontrado através de calculadoras.)
b = c = x
^
B = ^C = 30°
= a c
sen senĈ
 x 11
sen45° sen30°
 x 11
√2 1
 2 2 
 
 11 . √2
 2
 1
 2
2 2x 11 . .
2 1
=
 
 x ₌ 11√2
 
x =
=
=
52
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Usando a lei dos senos, temos:
Cada um dos lados congruentes mede 3√3cm.
 a c
sen senĈ
 9 x
sen120° sen30°
9 . sen30x
sen120
19 . 
2x
3
2
1 2x 9 . . 
2 3
9 3x .
3 3
9 3x
3
x 3 3
°
=
°
=
=
=
=
=
=
=
3 LEI DOS COSSENOS
Consideremos o triângulo acutângulo ABC:
Temos:
• a,b e c são as medidas dos lados do triângulo;
• h é a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo;
• BH é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida;
• HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida;
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
53
No triângulo retângulo ABH, aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
c² = h² + m²
h² = c² – m²
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACH, obtemos:
b² = h² + n²
h² = b² – n²
Comparando as igualdades, temos:
b² - n² = c² - m²
b² = c² – m² + n²
Sabendo que a = m + n, podemos substituir n por a - m:
b² = c² – m² + (a – m)²
b² = c² – m² + a² - 2am + m²
b² = a² + c² – 2am
Do triângulo retângulo ABH, temos:
Então
b² = a² + c² – 2a(c ∙ cos ^B )
E assim:
A demonstração é análoga para a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos e para 
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ.
Obtemos, então, a lei dos cossenos:
medida do cateto oposto ao ângulo cos = 
hipotenusa
a
a
cos ^B = m
c 
 m = c ∙ cos ^B
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
54
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
FONTE: A autora
Exemplo 1:
Calcule a medida y indicada no triângulo a seguir:
QUADRO 10 – LEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das 
medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ
Resolução:
Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = y, c = 8 e 
^
B = 60°, temos:
Logo, a medida y encontrada é 4√7 cm.
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos
^
B
y² = 12² + 8² – 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ cos60°
y² = 144 + 64 – 192 ∙ 1
 2
y² = 208 – 96
y² = 112
y = √112
y = 4√7
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
55
Resolução:
Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = x, c = 16 e 
^
B = 120°, no 
triângulo obtusângulo ABC da figura, temos:
Exemplo 2:
Determine a medida x da diagonal maior do paralelogramo a seguir:
Resposta: A medida x da diagonal maior é 4√37cm.
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos
^
B
y² = 12² + 16² – 2 ∙ 12 ∙ 16 ∙ cos120°
y² = 144 + 256 – 384 ∙ 1
2
 
- 
 
2
2
y 400 192
y 592
y 592
y 4 37
= +
=
=
=
56
Neste tópico ampliamos os conceitos utilizados inicialmente no triângulo 
retângulo para os demais triângulos: acutângulo e obtusângulo.
É importante lembrar-se das relações aqui estabelecidas:
● Lei dos Senos
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
● Lei dos Cossenos
a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ
RESUMO DO TÓPICO 3
57
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades que se destinam à 
averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!
1 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) São cada vez mais frequentes 
construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. 
A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada 
excelente atividade física.
FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA À 
CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 286)
Sabendo que as distâncias AB e AC são iguais a 2 m e o ângulo BÂC corresponde 
a 120°, calcule a distância BC.
2 Use os dados da Tabela Trigonométrica (no Quadro 8) e calcule os valores 
aproximados de x.
a) b)
c)
58
3 (GIOVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 2002, p. 55) Um barco de 
pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido por dois radioamadores, 
B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos A
^
BC e AĈB medem, 
respectivamente, 64° e 50°, determine qual radioamador se encontra mais 
próximo do barco. A que distância ele está do barco? 
4 O ângulo agudo de um losango mede 20° e seus lados medem 6 cm. Calcule 
as medidas das diagonais (maior e menor) do losango. 
5 Num triângulo ABC, são dados A = 45°, B = 30° e a + b = √2 + 1. Determine o 
valor de a.
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) Numa fazenda o galpão fica 50 m 
distante da casa. Considerando que x e y são, respectivamente, as distâncias 
da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme mostra a figura a 
seguir, calcule as medidas x e y indicadas.
FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA
7 No triângulo ABC abaixo, sabe-se que cos = 1_
5
. Nessas condições, calcule o 
valor de x.
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 286)
59
TÓPICO 4
TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
2 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA
2.1 ARCOS E ÂNGULOS
Nos tópicos anteriores estudamos algumas razões trigonométricas 
definidas para ângulo agudo no triângulo retângulo, tal qual ela surgiu há 
milhares de anos, com o objetivo de resolver triângulos. Agora, vamos fazer um 
estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, que é uma necessidade 
mais recente da matemática.
 
Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições 
necessárias e temos a necessidade de ampliar os conceitos da Trigonometria para 
um novo “ambiente”, denominado de circunferência trigonométrica ou ciclo 
trigonométrico.
Portanto, neste tópico veremos conceitos necessários para este novo estudo, 
que, por sua vez, servirá de base para a nossa próxima unidade.
Primeiramente, vamos elucidar alguns conceitos básicos da geometria 
necessários para a compreensão da Circunferência Trigonométrica.
2.1.1 Arcos
Consideremos uma circunferência qualquer de centro O e raio r e dois 
pontos distintos sobre ela, A e B. Note que os pontos A e B, que são extremidades 
dos arcos, dividem a circunferência em duas partes, sendo que cada uma delas 
chama-se arco da circunferência.
Para diferenciar esses arcos, convencionamos percorrer a circunferência no 
sentido anti-horário.
60
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Quando as extremidades A e B coincidem, temos um arco de uma volta ou 
um arco nulo.
Se A e B são extremidades de um mesmo diâmetro, temos um arco de 
meia-volta.
Portanto, definimos:
FONTE: A autora
Arco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência 
fica dividida por dois de seus pontos.
QUADRO 11 – DEFINIÇÃO DE ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
61
2.1.2 Ângulo central
Consideremos, novamente, uma circunferência de centro O e os pontos A 
e B pertencentes a ela. Traçando as semirretas OA
→
 e OB
→
, determinamos o ângulo 
central AÔB e o arco 
(
AB.
A medida do arco 
(
AB corresponde à medida do ângulo central AÔB e 
vice-versa.
2.2 GRAU E RADIANO
2.2.1 Grau
Grau e radiano são unidades de medida de arcos e ângulos.
Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, teremos 360 arcos 
congruentes e cada um desses arcos é chamado de arco de um grau (1°).
Portanto, a circunferência é um arco de 360°.
Os submúltiplos do Grau
Quando dividimos um arco de 1° em 60 arcos congruentes, cada um desses 
novos arcos é denominado de arco de um minuto (1´).
62
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Da mesma maneira, quando dividimos um arco de 1´ em 60 arcos 
congruentes, cada um desses novos arcos é denominado de arco de um segundo 
(1´´).
Portanto, 1° = 60´ e 1´= 60´´.
Se um arco tiver x graus, y minutos e z segundos, escrevemos:
x° y´z´´
NOTA
2.2.2 Radiano
Tomamos, inicialmente, uma circunferência de centro O e raio r e; nessa 
circunferência, um arco de comprimento p, sendo a a medida do ângulo central 
correspondente a esse arco.
Dizemos que o arco mede 1 radiano (1 rad) se seu comprimento p foi igual 
ao comprimento r do raio. O ângulo central correspondente será, também, um 
ângulo de 1 radiano.
p = r <=>{p = 1 rada = 1 rad
Então, para sabermos a medida de um arco em radianos, basta calcular 
quantas vezes o raio de medida r “cabe” nesse arco de comprimento p. Isso pode 
ser obtido quando dividimos p por r.
Simbolicamente,
p
ra ₌
Quando o arco p é um arco de uma volta, então p é o comprimento C da 
circunferência. Como C = 2πr, temos:
a ₌ p ₌ 2πr ₌ 2π
 r r
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
63
Portanto, a circunferência é um arco de 2π rad. E, como o ângulo de uma 
volta tem 360°, então:
2π rad = 360° ⇔ π rad = 180°
Exemplo 1:
Expressar 22° 30’ em radianos.
Resolução:
Vamos transformar 22° 30’ em minutos:
22° 30’ = 22 • 60’ + 30 = 1320’ + 30’ = 1350’
Vamos transformar 180° em minutos:
180° = 180 • 60 = 10800’
Estabeleçamos, portanto, a seguinte proporção:
Logo, 22° 30’ correspondem a π
8
 radianos.
Exemplo 2:
Um ciclista fez 6 voltas em torno de uma pista circular, com o raio medindo 
18 m. Determine a distância percorrida pela bicicleta. (Use π = 3,14).
Resolução:
O comprimento da circunferência é dado por: 
C = 2πr
C = 2 • 3,14 • 18 
C = 113,04 m 
Em 6 voltas, temos:
d = 6C 
d = 6 • 113, 04
d = 678,24 m 
Logo, a distância percorrida pela bicicleta foi de 678,24 m.
10800' π rad
1350' x
10800
1350 x
8x
x
8
π
=
= π
π
=
64
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Exemplo 3:
Determine a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um 
relógio às 8h20min. (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 249).
Resolução:
Vamos considerar: 
a = medida do ângulo solicitado.
x = medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 minutos, a 
partir das 8h.
E assim,
a = x + 120°
a = 10° + 120°
a = 130°
Que a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros.
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco 
compreendido entre dois números consecutivos mede 360 30
12
°
= ° .
Assim, a = x + 120°.
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30°:
60 min → 30°
20 min → x
60 30
20 x
30 . 20x
60
x 10
°
=
°
=
= °
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
65
Existe outra unidade de medida de ângulos além das que abordamos. O Grado 
é uma unidade de medida de ângulos equivalente a 
 π
200
 
radianos ou 0,9 grau. O símbolo 
internacional para esta unidade é “gon”, mas outros símbolos já foram usados no passado: “gr”, 
“grd” e “g”. O termo “grado” tem origem no francês, grade, e embora utilizado por alguns países, 
ele não faz parte do sistema internacional de unidades.
ATENCAO
Acerca de elementos geométricos relacionados com a Astronomia pouco 
se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro 
pelo menos 1500 antes de Copérnico, no entanto este material histórico se perdeu 
na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista histórico, foi um tratado escrito 
por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distância do Sol e da Lua.
A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e não existe 
qualquer razão científica. Talvez exista uma razão histórica que justifique a 
existência de tal número no contexto de estudos do povo babilônio, que viveu 
entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de 
terrenos pantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela Astronomia, 
assim como pela sua relação com conceitos religiosos (eram politeístas) e, para 
viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base 60 
(sistema sexagesimal).
Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais foi escolhido o número 
360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos 
números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores 
distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este 
número tenha sido adotado.
O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes foi Hipsicles 
(180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma 
generalização de Hiparco para este procedimento.
Dividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os 
especialistas daquela época e é possível que se tenha usado o número 60 para 
representar 1/6 do total, que passou a ser 360.
Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 é que o 
movimento de translação da Terra em volta do Sol se realizava em