ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA-Calculo Integral

Prévia do material em texto

ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – CALCULO INTEGRAL 
 
Nome Completo: João Wilkson Barbosa da Silva 
Matrícula: 01342199 
Curso: Engenharia Elétrica 
 
Uma empresa que produz materiais diversos está desenvolvendo um material 
para um determinado fim. Em uma primeira fase de desenvolvimento, a empresa 
esboçou o projeto desse material, que é definido pela área embaixo da curva f(x) 
= sem(x) + cos(2x) + 2, definida no intervalo [0; 11]. A próxima etapa seria 
determinar a composição desse material e como seria seu processo de 
manufatura. Para isso, a empresa está decidindo acerca de dois materiais. 
Para elaborar o material na composição K, a empresa teria que efetuar a compra 
de chapas com um determinado formato, definidos pela área embaixo da função 
k(x)/10 + 4, definida no mesmo intervalo. Já para a elaboração do material na 
composição L, a empresa teria que efetuar a compra de chapas com um formato 
definido pela área embaixo da curva 1(x) = 4,15. 
Para descartar de maneira reciclável os resíduos excedentes da produção do 
material, a empresa paga uma quantia que varia conforme a quantidade de 
descartes. Portanto, a empresa preocupa-se em produzir a menor quantidade de 
resíduos possíveis e isso é um fator predominante para a escolha da composição 
do material, sendo que, para fins práticos, a composição não interfere em sua 
funcionalidade. 
Outro fato é que, para a empresa ganhar visibilidade positiva no mercado, ela 
deve conseguir fazer com que seus produtos tenham menor impacto ambiental 
ao terem seus resíduos descartados na sua produção, ou seja, devem se 
decompor mais rápido. Sabendo disso, a empresa analisa a porcentagem das 
composições K e L, que são biodegradáveis. A composição K é 20% 
biodegradável e a composição L é 28% biodegradável, levando em conta a área. 
 
1) Qual deve ser a escolha da composição do material se levasse em conta 
apenas a área de resíduos inerentes à produção, uma vez que busca 
reduzir os descartes? 
 
Para termos uma composição do material que gera menor descarte, que fosse 
levasse em conta apenas a área de resíduos inerentes à produção, foi calculado 
a diferença da área em baixo da curva das equações. 
A diferenciação entre o projeto, onde se tem a definição pela área embaixo da 
curva f(x) = sem(x) + cos(2x) + 2, e material na composição K, definidos pela 
área abaixo da função k(x) = sem(x)/10 + 4, sendo que ambos no intervalo [0; 
11] 
 
∫ [(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
10
+4)−(𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos(2𝑥)+2)]𝑑𝑥
11
0
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
10
+∫ 4𝑑𝑥−∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥−∫ cos(2𝑥)𝑑𝑥−∫ 2𝑑𝑥
11
0
11
0
11
0
11
0
11
0
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)10 𝑑𝑥=
1
10 ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
11
0
11
0
 = 
 
1
10
[− cos(x)]
11
0
=
1
10
(− cos(11) + 1) 
 
∫ 4𝑑𝑥=44
11
0
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = [cos(𝑥)]
11
0
= − cos(11) + 1
11
0
 
 
∫ cos (2𝑥)𝑑𝑥= ∫
cos(𝑢)1
2
11
0
11
0
= 𝑑𝑢 =
1
2
∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢
22
0
 = 
 
[
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑢)]
22
0
= 
1
2
sen(22) 
 
∫ 2𝑑𝑥 = 22
11
0
 
 
1
10
(− cos(11)+1)+44−(− cos(11)+1)−
1
2
sen(22)−22 
 
−
1
10
cos(11)+ 1
10
+44−23−
1
2
sen(22)+cos(11) = 
 
211
10
+ 9
10
cos(11)−1
2
sen(22) = 21,10841 
 
Resíduo de material na composição K=21,10841 
 
Na diferença entre o projeto iremos realizar o cálculo, sendo que o mesmo é definido 
pela área embaixo da curva f(x) = sem(x) + cos(2x) + 2, e material na composição L 
definidos pela área embaixo de função l(x) = 4,15, ambos no intervalo [0; 11] 
 
∫ [(4,15) − (sen(𝑥) + cos(2𝑥) + 2)
11
0
]dx 
 
∫ 4,15𝑑𝑥 − ∫ sen(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑑𝑥
11
0
11
0
11
0
11
0
 
 
∫ 4,15𝑑𝑥 = (4,15) ∗ 11 − (4,15) ∗ 0 = 45,65
11
0
 
 
∫ sen(𝑥)𝑑𝑥 = [− cos(𝑥)]
11
0
11
0
= − cos(11) + 1 
 
∫ cos(2𝑥)𝑑𝑥 = 
11
0
∫ cos(𝑢)1
2
11
0
𝑑𝑢 = 
1
2
 ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢
22
0
 
 
 
= [
1
2
sen(𝑢)] 22
0
= 
1
2
𝑠𝑒𝑛(22) 
 
∫ 2𝑑𝑥 = 22
11
0
 
 
= 45,65 – 23 - 
1
2
sen(22) + cos (11) 
= 22,65 - 
1
2
sen(22) + cos (11) 
= 22,65885 
 
O resíduo de material na composição L de 22,65885. 
 
2) Qual deve ser a escolha da composição do material se levasse em conta, 
também a biodecomposição de sua matéria-prima e seu impacto na 
natureza durante o processo produtivo? 
 
Com os dados obtidos sobre os resíduos, é possível de montar a seguinte tabela. 
 
COMPOSIÇÃO DO 
MATERIAL 
RESÍDUO DE 
PRODUÇÃO 
BIODEGRADABILIDADE 
K 21,10841 20% 
L 22,65885 80% 
 
20% de 21,10841 = 4,22168 
 
28% de 22,65885 = 6,34448 
 
Portanto veremos que a porcentagem de biodegradabilidade de um material é a 
porcentagem de conteúdo orgânico se converte em água e gás carbônico no 
período de 28 dias. Se subtrairmos a porcentagem do total verificamos que após o 
período definido vamos ter menos resíduos do material de composição L do que o 
material de composição K. Pesemos o material de composição K gerar menos 
resíduos do que o material de composição L ao avaliarmos a porcentagem de 
biodegradabilidade, podemos concluir, que o Material de composição possui uma 
porcentagem maior de biodegradabilidade sendo capaz de compor mais rápido, 
causando menor impacto ambiental. 
Agora podemos concluir que o material de composição L é o selecionado, se o 
requisito da escolha for a biodecomposição de sua matéria-prima onde seu 
impacto na natureza.