Integral por Partes - Cálculo I

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1 Cálculo diferencial e integral I – Prof.ª Paula C. M. Clemente 
Aula 10 – Parte 1 
 
O conteúdo desta nota de aula abrange: Integração por partes. 
 
1 – Integral por partes 
 Sejam duas funções diferenciáveis de 𝑥. Temos que: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢. 𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Integrando: 
∫
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢. 𝑣) 𝑑𝑥 = ∫𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + ∫𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥 
𝑢. 𝑣 = ∫𝑢𝑑𝑣 +∫𝑣 𝑑𝑢 
Isolando o primeiro termo da direita, temos: 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢 (1) 
Logo esta técnica de integração consiste em determinar as funções de 𝑥 que serão 𝑢 e 𝑣 
e aplicar a relação (1). 
 
Exemplo 1.1: 
𝑎)∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Escolhemos: 
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫𝑑𝑣 = ∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑒𝑥 + 𝑘 
 
Substituindo na integral: 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣 𝑑𝑢 
Rectangle
 
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∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥(𝑒𝑥 + 𝑘) − ∫(𝑒𝑥 + 𝑘) 𝑑𝑥 
∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑘𝑒𝑥 − [∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑘 𝑑𝑥] 
∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑘𝑥 − 𝑒𝑥 − 𝑘𝑥 + 𝑐 
∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐 
 
OBS: De fato, a constante de integração 𝑘, proveniente do cálculo de 𝑣, nunca contribuirá 
ao resultado da nossa integral original. Por isso, podemos desconsiderá-lo durante o 
cálculo. 
𝑏)∫𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 
Escolhemos: 
𝑢 = 𝑥2 
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
∫𝑑𝑣 = ∫cos (𝑥) 𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
Substituindo na integral: 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣 𝑑𝑢 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 2𝑥 𝑑𝑥 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2∫𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
⏟ 
𝐼
 
Teremos que resolver I aplicando a mesma técnica. 
I - 
∫𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
Escolhemos: 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫𝑑𝑣 = ∫ sen (𝑥) 𝑑𝑥 
Rectangle
 
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𝑣 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
Substituindo na integral: 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣 𝑑𝑢 
∫𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − ∫−𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 
∫𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Voltando a integral original: 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2[−𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] + 𝑐 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 
 
𝑐)∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 
Escolhemos: 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) 
 
𝑑𝑢 =
cos(𝑙𝑛|𝑥|)
𝑥
𝑑𝑥 
∫𝑑𝑣 = ∫𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑥 
 
Substituindo na integral: 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣 𝑑𝑢 
∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − ∫𝑥 
cos(𝑙𝑛|𝑥|)
𝑥
𝑑𝑥 
∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − ∫cos(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥
⏟ 
𝐼
 
 
I - 
Rectangle
 
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∫𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 
Escolhemos: 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|) 
 
𝑑𝑢 = −
sen(𝑙𝑛|𝑥|)
𝑥
𝑑𝑥 
∫𝑑𝑣 = ∫𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑥 
 
Substituindo na integral: 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣 𝑑𝑢 
∫𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − ∫𝑥 [−
sen(𝑙𝑛|𝑥|)
𝑥
] 𝑑𝑥 
∫𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 + ∫sen(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 
Chegamos na mesma integral do início. Substituindo o resultado da integral I, na integral 
original, temos: 
∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − [𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 + ∫ sen(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥] 
∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − ∫sen(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 
∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 + ∫ sen(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 
2∫ sen(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|). 𝑥 
∫sen(𝑙𝑛|𝑥|) 𝑑𝑥 =
𝑥[𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥|) − 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛|𝑥|)]
2
+ 𝑐 
 
 
 
 
 
 
Rectangle
 
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Bibliografia: 
 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3a ed. São Paulo - Harbra, 
C1994. v1. 
 
STEWART, James. Cálculo. 5a., 6a. ou 7a. ed. São Paulo - Pioneira /Thomson Learning 
v1. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Livros Técnicos e Científ. Ed., 1997. v1. 
 
Rectangle