10-FamíliasElementos-MEF-I

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Introdução, teoria, aplicações e programação 
usando Python
Prof. Marcos Arndt
 Família Lagrange
 Polinômios de Lagrange multiplicados.
 Família Serendipity
 Funções determinadas por tentativa.
 Elementos Triângulares
 Coordenadas triângulares
 Elementos Isoparamétricos
 Elementos de forma distorcida
16/09/2019 Método dos Elementos Finitos I - Aula Introdutória 2
O elemento finito retangular linear, definido na aula anterior, possui 
funções de interpolação:
Obtidas de funções lineares unidimensionais:
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  





+−−−−=
ab
xy
b
y
a
x
ab
xy
b
y
ab
xy
ab
xy
a
x
NNNN 14321
Nx1 = 1 −
x
a
Nx2 =
x
a
Ny1 = 1 −
y
b
Ny2 =
y
b
Ou seja, pode-se reescrever as funções do elemento linear como:
Na família Lagrange, utiliza-se esse procedimento, multiplicação de 
funções (polinômios de Lagrange) de interpolação de coordenadas 
distintas.
Utilizando coordenadas normalizadas (,), com origem no centroide do 
elemento, um polinômio de Lagrange de ordem m-1, de valor unitário no 
i-ésimo nó e valor nulo nos demais pontos j, é escrito como:
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N1 = Nx2Ny1
N2 = Nx2Ny2
N3 = Nx1Ny2
N4 = Nx1Ny1
𝑙𝑖
𝑚−1 𝜉 =ෑ
𝑗=1
𝑗≠𝑖
𝑚
𝜉 − 𝜉𝑗
𝜉𝑖 − 𝜉𝑗
Portanto, as funções de interpolação são escritas:
Elemento unidimensional:
Elemento bidimensional:
Sendo i a numeração do 
nó, j a numeração do nó 
na direção  e k a 
numeração do nó na 
direção .
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𝑁𝑖 = 𝑙𝑖
𝑚−1 𝜉
𝑁𝑖 = 𝑙𝑗
𝑚−1 𝜉 𝑙𝑘
𝑚−1 𝜂
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O nome se refere à habilidade de descobertas por acaso, isso porque as 
funções da família Serendipity foram determinadas por tentativa.
Na família de Serendipity, apenas no elemento quártico aparecerá o 
primero nó interno (Lagrange já no quadrático).
Elementos lineares, as funções Serendipity são idênticas as de Lagrange.
Elementos quadráticos:
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𝑁𝑖 =
1
4
(1 + 𝜉𝜉𝑖)(1 + 𝜂𝜂𝑖)
𝑁𝑖=1,2,3,4 =
1
32
1 + 𝜉𝜉𝑖 1 + 𝜂𝜂𝑖 (𝜉𝜉𝑖 + 𝜂𝜂𝑖 − 1)
𝑁𝑖=5,7 =
1
2
1 + 𝜉2 1 + 𝜂𝜂𝑖
𝑁𝑖=6,8 =
1
2
1 + 𝜉𝜉𝑖 1 + 𝜂
2
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Funções de base contidas nas funções de interpolação bidimensionais:
Note que o conjunto de funções de base de cada família tem simetria em 
relação as coordenadas  e , resultando em um elemento com isotropia 
geométrica, o que equivale a ser invariante em relação à ordem de 
numeração de seus pontos nodais.
É usual se adotar as coordenadas triangulares normalizadas. 
Considere o triangulo de área Ae. 
Adotando o ponto interno P, de coordenadas (x,y), marcado pela 
intersecção das bissetrizes, e as áreas internas por elas definidas, 
escreve-se as relações:
Definindo-se assim, o ponto P por 1, 2 e 3.
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𝜉1 =
𝐴1
𝐴𝑒
𝜉2 =
𝐴2
𝐴𝑒
𝜉3 =
𝐴3
𝐴𝑒
Como A1+A2+A3=Ae e sendo (x1,x2,x3) e (y1,y2,y3) as coordenadas dos 
vértices do triângulo, pode-se escrever as relações:
Assim, cada ponto do triângulo corresponde a um e apenas um conjunto 
(1,2,3), as referidas coordenadas triangulares normalizadas.
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x = ξ1x1 + ξ2x2+ξ3x3
y = ξ1y1 + ξ2y2+ξ3y3
ξ1 + ξ2+ξ3=1
A relação das coordenadas triangulares normalizadas, com as 
coordenadas cartesianas é feita calculando-se as áreas A1, A2 e A3 em 
função das coordenadas cartesianas de cada vértice.
Os elementos são obtidos conforme o esquema:
Assim, no elemento triangular de ordem p
tem-se ½(p+1)(p+2) pontos nodais. 
A partir de cada expansão polinomial
completa, são obtidas as funções
de interpolação do correspon-
dente elemento.
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𝜉1 =
1
2𝐴𝑒
1 𝑥 𝑦
1 𝑥2 𝑦2
1 𝑥3 𝑦3
𝜉2 =
1
2𝐴𝑒
1 𝑥1 𝑦1
1 𝑥 𝑦
1 𝑥3 𝑦3
𝜉3 =
1
2𝐴𝑒
1 𝑥1 𝑦1
1 𝑥2 𝑦2
1 𝑥 𝑦
Ou seja, as funções de interpolação para os elementos lineares são:
Para os quadráticos:
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N1 = ξ1
N2 = ξ2
N3 = ξ3
N1 = ξ1(2𝜉1 − 1)
N2 = ξ2(2𝜉2 − 1)
N3 = ξ3(2𝜉3 − 1)
N4 = 4ξ1ξ2
N5 = 4ξ2ξ3
N6 = 4ξ3ξ1
Um entendimento melhor é obtido mapeando o elemento triangular no 
espaço 12.
Nesse espaço a equação da reta paralela ao lado 1-2 é 1+2=1-3. Assim, 
pode-se considerar 1=, 2= e 3=1--, para raciocinar em termos das 
coordenadas , com origem no ponto nodal 3,  variando de 0 a 1 e 
variando de 0 a 1-. O mapeamento de um domínio auxiliar de 
coordenadas normalizadas e o domínio físico é visto a seguir.
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É pratico e muito vantajoso definir a geometria de um elemento distorcido 
por interpolação de suas coordenadas nodais.
Quando para essa interpolação são utilizadas as mesmas funções da 
solução aproximada do campo de deslocamentos, funções de forma (N), o 
elemento é denominado isoparamétrico.
Por questões de praticidade, considera-se a numeração do conjunto de 
deslocamentos nodais primeiro segundo x e depois y.
Onde 𝑁 é a matriz linha formada pelas funções de interpolação Ni nas 
coordenadas normalizadas . 𝑢𝑒 e 𝑣𝑒 são os conjuntos de deslocamentos 
ui e vi de acordo com x e y.
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𝑢
𝑣
=
𝑁 0
0 𝑁
𝑢𝑒
𝑣𝑒
=෍
𝑖=1
𝑝
𝑁𝑖
𝑢𝑖
𝑣𝑖
Assim, nos elementos isoparamétricos tem-se:
Sendo 𝑥𝑒 e 𝑦𝑒 os conjuntos das coordenadas nodais xi e yi.
Dessa maneira mapeia-se um elemento do domínio auxiliar regular de 
coordenadas  ortogonais, em um elemento no domínio físico de 
coordenadas cartesianas xy.
É necessária a correspondência biunívoca entre os domínios.
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𝑥
𝑦 =
𝑁 0
0 𝑁
𝑥𝑒
𝑦𝑒
=෍
𝑖=1
𝑝
𝑁𝑖
𝑥𝑖
𝑦𝑖
Como as componentes de deformação são definidas por derivadas dos 
deslocamentos em relação às coordenadas cartesianas e as funções de 
interpolação expressas em termos de coordenadas adimensionais, é 
necessário obtê-las a partir de derivadas dessas funções em relação as 
coordenadas adimensionais.
Na forma matricial ( J matriz jacobiana):
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𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
=
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜉
+
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜉
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
=
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜂
+
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜂
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
=
𝜕𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑦
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜕𝑦
𝜕𝜂
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
= J
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
No caso das coordenadas triangulares, determina-se as derivadas
e em termos de , ...
Sendo a correspondência biunívoca, a matriz Jacobiana é não singular, 
permitindo escrever, para um ponto qualquer do elemento:
As componentes de deformação se escrevem:
Sendo:
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𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
= J −1
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉1
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉2
𝜀 =
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑦
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝐻
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐻 =
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 1 0
A partir da interpolação dos deslocamentos tem-se que:
Equações análogas podem ser escritas para os deslocamentos v.
As deformações então podem ser escritas como:
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𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= J −1
𝜕 𝑁
𝜕𝜉
𝜕 𝑁
𝜕𝜂
𝑢 𝑒
𝜀 = 𝐻
J −1 0
0 J −1
𝜕 𝑁
𝜕𝜉
𝜕 𝑁
𝜕𝜂
𝜕 𝑁
𝜕𝜉
𝜕 𝑁
𝜕𝜂
𝑢 𝑒
𝑣 𝑒
= 𝐵
𝑢 𝑒
𝑣 𝑒
Além disso, para um elemento bidimensional de espessura constante t:
Ou seja, a matriz de rigidez do elemento se escreve com:
Sendo:
e:
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𝑑𝑉 = 𝑡 𝑑𝑒𝑡 J 𝑑𝜉𝑑𝜂
𝐾 𝑒 = 𝑡න
−1
1
න
−1
1
𝐵 𝑇 𝐷 𝐵 𝑑𝑒𝑡 J 𝑑𝜉𝑑𝜂
J =
𝜕 𝑁
𝜕𝜉
𝜕 𝑁
𝜕𝜉
𝜕 𝑁
𝜕𝜂
𝜕 𝑁
𝜕𝜂
𝑥 𝑒
𝑦 𝑒
=෍
𝑖=1
𝑝
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
𝑥𝑖
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
𝑦𝑖
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
𝑥𝑖
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
𝑦𝑖
𝐵 =
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 1 0
J −1 0
0 J −1
𝜕 𝑁
𝜕𝜉
𝜕 𝑁
𝜕𝜂
𝜕 𝑁
𝜕𝜉
𝜕 𝑁
𝜕𝜂