4 Matrizes

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Álgebra Linear I
Matrizes
Prof. Hugo Nunes
Matemática Licenciatura
Instituto Federal de Alagoas
Campus Maceió
2019
1/74
Sumário
1 Matrizes
Primeiras definições
Tipos de matrizes
Operações matrizes
2/74
Matrizes
3/74
Primeiras definições
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente: [
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:[
2
]
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente: [
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:[
2
]
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:
[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente: [
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:[
2
]
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente: [
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:[
2
]
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente:
[
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:[
2
]
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente: [
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:[
2
]
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente: [
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:
[
2
]
3/74
Considere a coleção retangular de três linhas e sete colunas que descreve o número de horas que
um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Cálculo 1 2 3 2 4 1 4 2
Álgebra Linear 0 3 1 4 3 2 2
Teoria dos Números 4 1 3 1 0 0 2
Se quisermos ver as horas estudadas em uma determinada disciplina, digamos, Álgebra Linear,
basta olharmos a linha correspondente:[
0 3 1 4 3 2 2
]
Se quisermos ver as horas estudadas em um determinado dia, digamos, Terça, basta olharmos
a coluna correspondente: [
3 3 1
]
Podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, quantidade de
horas estudadas da disciplina Cálculo 1 na segunda feira:[
2
]
3/74
Suprimindo os t́ıtulos, ficamos com a seguinte coleção retangular de números
com três linhas e sete colunas, denominada matriz:
2 3 2 4 1 4 20 3 1 4 3 2 2
4 1 3 1 0 0 2

Definição
Uma matriz Am×n é um agrupamento retangular de números e/ou funções.
Dizemos que os elementos nesse agrupamento são as entradas da matriz.
Exemplo
São exemplos de matrizes:
A =
[
3 −4 7
2 5 −1
]
B =
[
sen(x ) cos(x )
ln(x ) x 2
]
4/74
Suprimindo os t́ıtulos, ficamos com a seguinte coleção retangular de números
com três linhas e sete colunas, denominada matriz:2 3 2 4 1 4 20 3 1 4 3 2 2
4 1 3 1 0 0 2

Definição
Uma matriz Am×n é um agrupamento retangular de números e/ou funções.
Dizemos que os elementos nesse agrupamento são as entradas da matriz.
Exemplo
São exemplos de matrizes:
A =
[
3 −4 7
2 5 −1
]
B =
[
sen(x ) cos(x )
ln(x ) x 2
]
4/74
Suprimindo os t́ıtulos, ficamos com a seguinte coleção retangular de números
com três linhas e sete colunas, denominada matriz:2 3 2 4 1 4 20 3 1 4 3 2 2
4 1 3 1 0 0 2

Definição
Uma matriz Am×n é um agrupamento retangular de números e/ou funções.
Dizemos que os elementos nesse agrupamento são as entradas da matriz.
Exemplo
São exemplos de matrizes:
A =
[
3 −4 7
2 5 −1
]
B =
[
sen(x ) cos(x )
ln(x ) x 2
]
4/74
Suprimindo os t́ıtulos, ficamos com a seguinte coleção retangular de números
com três linhas e sete colunas, denominada matriz:2 3 2 4 1 4 20 3 1 4 3 2 2
4 1 3 1 0 0 2

Definição
Uma matriz Am×n é um agrupamento retangular de números e/ou funções.
Dizemos que os elementos nesse agrupamento são as entradas da matriz.
Exemplo
São exemplos de matrizes:
A =
[
3 −4 7
2 5 −1
]
B =
[
sen(x ) cos(x )
ln(x ) x 2
]
4/74
Definição (Definição formal)
Uma matriz A m × n é um arranjo retangular de mn elementos distribúıdos em m linhas
horizontais e n colunas verticais:a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
...
... · · ·
... · · ·
...
ai1 ai2 · · · aij · · · ain
...
... · · ·
... · · ·
...
am1 am2 · · · amj · · · amn

A i−ésima linha de A é: [
a1i a1i · · · a1n
]
(1 ≤ i ≤ m)
A j−ésima coluna de A é: 
a1j
a2j
...
amj
 (1 ≤ j ≤ n)
5/74
Definição (Definição formal)
Uma matriz A m × n é um arranjo retangular de mn elementos distribúıdos em m linhas
horizontais e n colunas verticais:
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
...
... · · ·
... · · ·
...
ai1 ai2 · · · aij · · · ain
...
... · · ·
... · · ·
...
am1 am2 · · · amj · · · amn

A i−ésima linha de A é: [
a1i a1i · · · a1n
]
(1 ≤ i ≤ m)
A j−ésima coluna de A é: 
a1j
a2j
...
amj
 (1 ≤ j ≤ n)
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Definição (Definição formal)
Uma matriz A m × n é um arranjo retangular de mn elementos distribúıdos em m linhas
horizontais e n colunas verticais:
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
...
... · · ·
... · · ·
...
ai1 ai2 · · · aij · · · ain
...
... · · ·
... · · ·
...
am1 am2 · · · amj · · · amn

A i−ésima linha de A é: [
a1i a1i · · · a1n
]
(1 ≤ i ≤ m)
A j−ésima coluna de A é: 
a1j
a2j
...
amj
 (1 ≤ j ≤ n)
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Observação
Quando for desejada uma notação mais compacta, a matriz precedente pode
ser escrita como
[aij ]m×n ou [aij ]
sendo utilizada a primeira notação quando for importante, na argumentação,
saber o tamanho da matriz, e a segunda quando o tamanho não necessitar
ênfase.
6/74
Definição
A ordem da matriz Am×n informa sobre o seu tamanho e faz menção à quan-
tidade de linhas e colunas que ela contém.
m × n ⇒ m linhas e n colunas
Quando uma matriz apresenta o mesmo número de linhas e colunas diz que a
matriz tem ordem n:
n = número de linhas = número de colunas
7/74
Definição
A ordem da matriz Am×n informa sobre o seu tamanho e faz menção à quan-
tidade de linhas e colunas que ela contém.
m × n ⇒ m linhas e n colunas
Quando uma matriz apresenta o mesmo número de linhas e colunas diz que a
matriz tem ordem n:
n = número de linhas = número de colunas
7/74
Definição
A ordem da matriz Am×n informa sobre o seu tamanho e faz menção à quan-
tidade de linhas e colunas que ela contém.
m × n ⇒ m linhas e n colunas
Quando uma matriz apresenta o mesmo número de linhas e colunas diz que a
matriz tem ordem n:
n = número de linhas = número de colunas
7/74
Definição
A ordem da matriz Am×n informa sobre o seu tamanho e faz menção à quan-
tidade de linhas e colunas que ela contém.
m × n ⇒ m linhas e n colunas
Quando uma matriz apresenta o mesmo número de linhas e colunas diz que a
matriz tem ordem n:
n = número de linhas = número de colunas
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Exemplo
A =
[
1 2 3
−1 0 1
]
⇒ Ordem 2× 3
B =
[
1 4
2 −3
]
⇒ Ordem 2× 2
C =
[
3
]
⇒ Ordem 1× 1
8/74
Exemplo
A =
[
1 2 3
−1 0 1
]
⇒ Ordem 2× 3
B =
[
1 4
2 −3
]
⇒ Ordem 2× 2
C =
[
3
]
⇒ Ordem 1× 1
8/74
Exemplo
A =
[
1 2 3
−1 0 1
]
⇒ Ordem 2× 3
B =
[
1 4
2 −3
]
⇒ Ordem 2× 2
C =
[
3
]
⇒ Ordem 1× 1
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Definição
Os elementos da i−ésima linha e j−ésima coluna de A será denotado por aij
e será chamado de elemento (i , j ) de A.
i indica a linha
j indica a coluna.
Exemplo
Dada a matriz
A =
1 3 72 4 6
3 6 9

6 é o elemento (3, 2), representado por a32 que está situado na terceira linha
e na segunda coluna.
9/74
Definição
Os elementos da i−ésima linha e j−ésima coluna de A será denotado por aij
e será chamado de elemento (i , j ) de A.
i indica a linha
j indica a coluna.
Exemplo
Dada a matriz
A =
1 3 72 4 6
3 6 9

6 é o elemento (3, 2), representado por a32 que está situado na terceira linha
e na segunda coluna.
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Definição (Lei de formação)
Uma matriz pode ser descrita por uma regra para seus elementos que consiste
numa função ordinal de duas variáveis. Estas variáveis assumem os valores dos
ı́ndices que designam a posição (linha e coluna) de cada elemento da matriz.
Exemplo
Construa a matriz A2×4 tal que:
aij =
{
i2 + j , se i = j
i − 2j , se i 6= j
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Definição (Lei de formação)
Uma matriz pode ser descrita por uma regra para seus elementos que consiste
numa função ordinal de duas variáveis. Estas variáveis assumem os valores dos
ı́ndices que designam a posição (linha e coluna) de cada elemento da matriz.
Exemplo
Construa a matriz A2×4 tal que:
aij =
{
i2 + j , se i = j
i − 2j , se i 6= j
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11
i = j i2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j
i2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j
11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1
2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12
i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j
i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
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Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j
1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2)
−3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13
i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j
i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j
1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3)
−5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14
i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j
i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j
1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4)
−7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21
i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j
i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j
2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1)
0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22
i = j i2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j
i2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j
22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2
6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23
i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j
i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j
2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3)
−4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24
i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j
i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j
2− 2(4) −6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4)
−6
11/74
Solução.
A matriz procurada é do tipo
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
Seguindo a lei de formação, temos:
Entrada Relação Lei de formação Substituição Resultado
a11 i = j i
2 + j 11 + 1 2
a12 i 6= j i − 2j 1− 2(2) −3
a13 i 6= j i − 2j 1− 2(3) −5
a14 i 6= j i − 2j 1− 2(4) −7
a21 i 6= j i − 2j 2− 2(1) 0
a22 i = j i
2 + j 22 + 2 6
a23 i 6= j i − 2j 2− 2(3) −4
a24 i 6= j i − 2j 2− 2(4) −6
11/74
Solução.
Logo, a matriz procurada é
A =
[
2 −3 −5 −7
0 6 −4 −6
]
12/74
Tipos de matrizes
13/74
Definição
Uma matriz pode possuir uma só linha ou uma só coluna:
Toda matriz que possui apenas uma linha, ou seja, toda matriz Am×n
com m = 1 é denominada matriz linha.
C1×n =
[
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
]
Toda matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, toda matriz A1×n
com n = 1 é denominada matriz coluna.
Bm×1 =

a11
a21
...
am1

13/74
Definição
Uma matriz pode possuir uma só linha ou uma só coluna:
Toda matriz que possui apenas uma linha, ou seja, toda matriz Am×n
com m = 1 é denominada matriz linha.
C1×n =
[
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
]
Toda matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, toda matriz A1×n
com n = 1 é denominada matriz coluna.
Bm×1 =

a11
a21
...
am1

13/74
Definição
Uma matriz pode possuir uma só linha ou uma só coluna:
Toda matriz que possui apenas uma linha, ou seja, toda matriz Am×n
com m = 1 é denominada matriz linha.
C1×n =
[
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
]
Toda matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, toda matriz A1×n
com n = 1 é denominada matriz coluna.
Bm×1 =

a11
a21
...
am1

13/74
Definição
Uma matriz pode possuir uma só linha ou uma só coluna:
Toda matriz que possui apenas uma linha,ou seja, toda matriz Am×n
com m = 1 é denominada matriz linha.
C1×n =
[
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
]
Toda matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, toda matriz A1×n
com n = 1 é denominada matriz coluna.
Bm×1 =

a11
a21
...
am1

13/74
Definição
Uma matriz pode possuir uma só linha ou uma só coluna:
Toda matriz que possui apenas uma linha, ou seja, toda matriz Am×n
com m = 1 é denominada matriz linha.
C1×n =
[
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
]
Toda matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, toda matriz A1×n
com n = 1 é denominada matriz coluna.
Bm×1 =

a11
a21
...
am1

13/74
Exemplo
Matrizes Linhas:
A1×3 =
[
0 8 4
]
Matrizes coluna:
B3×1 =
 14
−3
 C4×1 =

sen(x )
cos(2x )
tan(3x )
0

14/74
Exemplo
Matrizes Linhas:
A1×3 =
[
0 8 4
]
Matrizes coluna:
B3×1 =
 14
−3
 C4×1 =

sen(x )
cos(2x )
tan(3x )
0

14/74
Definição
Uma matriz
1× n ou m × 1
também é chamada de vetor de dimensão n e será representado por letras
minúsculas em negrito.
Quando não houver confusão, vamos nos referir aos vetores de dimensão n
simplesmente como vetores.
Exemplo
u =
[
1 2 −1 0
]
é um vetor de dimensão 4
v =
 1−1
3
 é um vetor de dimensão 3
15/74
Definição
Uma matriz
1× n ou m × 1
também é chamada de vetor de dimensão n e será representado por letras
minúsculas em negrito.
Quando não houver confusão, vamos nos referir aos vetores de dimensão n
simplesmente como vetores.
Exemplo
u =
[
1 2 −1 0
]
é um vetor de dimensão 4
v =
 1−1
3
 é um vetor de dimensão 3
15/74
Definição
Diremos que uma matriz Am×n é quadrada quando m = n, ou seja, quando
o número de linhas da matriz A for igual ao número de colunas de A.
Quando uma matriz é quadrada, dizemos simplesmente que a matriz A tem
ordem n.
An =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann

16/74
Definição
Matriz unitária é aquela que possui apenas um elemento, ou seja é quadrada
de ordem 1× 1.
A =
[
a11
]
17/74
Exemplo
A =
[
1 5
−2 6
]
Matriz quadrada de ordem 2
B =
2 7 103 −5 −4
3 12 9
 Matriz quadrada de ordem 3
18/74
Definição
As matrizes quadradas possuem duas diagonais:
Denominam-se como elementos da diagonal principal os elementos que
apresentam i = j :
Denominam-se como elementos da diagonal secundária os elementos
que apresentam i + j = n + 1:
19/74
Definição
As matrizes quadradas possuem duas diagonais:
Denominam-se como elementos da diagonal principal os elementos que
apresentam i = j :
Denominam-se como elementos da diagonal secundária os elementos
que apresentam i + j = n + 1:
19/74
Definição
As matrizes quadradas possuem duas diagonais:
Denominam-se como elementos da diagonal principal os elementos que
apresentam i = j :
Denominam-se como elementos da diagonal secundária os elementos
que apresentam i + j = n + 1:
19/74
Exemplo
Diagonal principal:
A3 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Diagonal secundária:
A3 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

20/74
Exemplo
Diagonal principal:
A3 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Diagonal secundária:
A3 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

20/74
Definição
Uma matriz quadrada em que todo elemento fora da diagonal principal é zero,
isto é:
aij = 0 para i 6= j
é chamada matriz diagonal.
Exemplo
São matrizes diagonais
G =
(
4 0
0 −2
)
e H =
−3 0 00 −2 0
0 0 4

21/74
Definição
Uma matriz quadrada em que todo elemento fora da diagonal principal é zero,
isto é:
aij = 0 para i 6= j
é chamada matriz diagonal.
Exemplo
São matrizes diagonais
G =
(
4 0
0 −2
)
e H =
−3 0 00 −2 0
0 0 4

21/74
Definição
Uma matriz quadrada em que todos os termos da diagonal principal são iguais,
aij = c para i = j e aij = 0 para i 6= j .
é chamada matriz escalar.
Exemplo
São matrizes diagonais
G =
(
4 0
0 4
)
e H =
−3 0 00 −3 0
0 0 −3

22/74
Definição
Uma matriz quadrada em que todos os termos da diagonal principal são iguais,
aij = c para i = j e aij = 0 para i 6= j .
é chamada matriz escalar.
Exemplo
São matrizes diagonais
G =
(
4 0
0 4
)
e H =
−3 0 00 −3 0
0 0 −3

22/74
Definição
Uma matriz escalar em que todos os termos da diagonal principal são iguais a
1 é chamada matriz identidade.
Exemplo
São matrizes diagonais
I2 =
(
1 0
0 1
)
e I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1

23/74
Definição
Uma matriz escalar em que todos os termos da diagonal principal são iguais a
1 é chamada matriz identidade.
Exemplo
São matrizes diagonais
I2 =
(
1 0
0 1
)
e I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1

23/74
Definição
Uma matriz é denominada matriz nula quando aij = 0 para quaisquer i e j .
Exemplo
A matriz nula é representada por
0 =

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0

24/74
Definição
Uma matriz é denominada matriz nula quando aij = 0 para quaisquer i e j .
Exemplo
A matriz nula é representada por
0 =

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0

24/74
Definição
Uma matriz é triangular superior quando todos os elementos abaixo da dia-
gonal principal são nulos.
aij = 0, ∀ i > j ⇒ A =

a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
0 0 · · · ann

Exemplo
A matriz nula é representada por
A =
 2 5 80 1 2
0 0 3

25/74
Definição
Uma matriz é triangular superior quando todos os elementos abaixo da dia-
gonal principal são nulos.
aij = 0, ∀ i > j ⇒ A =

a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
0 0 · · · ann

Exemplo
A matriz nula é representada por
A =
 2 5 80 1 2
0 0 3

25/74
Definição
Uma matriz é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal
principal são nulos.
aij = 0, ∀ i < j ⇒ A =

a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann

Exemplo
A matriz nula é representada por
T =

2 0 0 0
9 1 0 0
0 7 -2 0
-1 5 -7 3

26/74
Definição
Uma matriz é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal
principal são nulos.
aij = 0, ∀ i < j ⇒ A =

a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann

Exemplo
A matriz nula é representada por
T =

2 0 0 0
9 1 0 0
0 7 -2 0
-1 5 -7 3

26/74
Operações matrizes
27/74
Definição (Igualdade de matrizes)
Duas matrizes são definidas como sendo iguais se tiverem o mesmo tamanho
e suas entradas correspondentes forem iguais.
Exemplo
Dada as matrizes
A =
(
x + 3 −1
4 5
)
e B =
(
6 y
z − 3 5
)
encontre os valores de x , y e z para que A = B
27/74
Definição (Igualdade de matrizes)
Duas matrizes são definidas como sendo iguais se tiverem o mesmo tamanho
e suas entradas correspondentes forem iguais.
Exemplo
Dada as matrizes
A =
(
x + 3 −1
4 5
)
e B =
(
6 y
z − 3 5
)
encontre os valores de x , y e z para que A = B
27/74
Solução.
Para que tenhamos uma igualdade entre matrizes, suas entradas devem ser
iguais. Logo:
x + 3 = 6 ⇒ x = 3
y = −1
z − 3 = 4 ⇒ z = −7
28/74
Solução.
Para que tenhamos uma igualdade entre matrizes, suas entradas devem ser
iguais. Logo:
x + 3 = 6
⇒ x = 3
y = −1
z − 3 = 4 ⇒ z = −7
28/74
Solução.
Para que tenhamos uma igualdade entre matrizes, suas entradas devem ser
iguais. Logo:
x + 3 = 6 ⇒ x = 3
y = −1
z − 3 = 4 ⇒ z = −7
28/74
Solução.
Para que tenhamos uma igualdade entre matrizes, suas entradas devem ser
iguais. Logo:
x + 3 = 6 ⇒ x = 3
y = −1
z − 3 = 4 ⇒ z = −7
28/74
Solução.
Para que tenhamos uma igualdade entre matrizes, suas entradas devem ser
iguais. Logo:
x + 3 = 6 ⇒ x = 3
y = −1
z − 3 = 4
⇒ z = −7
28/74
Solução.
Para que tenhamos uma igualdade entre matrizes, suas entradas devem ser
iguais. Logo:
x + 3 = 6 ⇒ x = 3
y = −1
z − 3 = 4 ⇒ z = −7
28/74
Definição (Adição e subtração)
Se A e B são matrizesde mesmo tamanho, então:
a soma A+ B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas
correspondentes de A.
a diferença A − B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das
entradas correspondentes de A.
Observação
Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtráıdas.
29/74
Definição (Adição e subtração)
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então:
a soma A+ B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas
correspondentes de A.
a diferença A − B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das
entradas correspondentes de A.
Observação
Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtráıdas.
29/74
Definição (Adição e subtração)
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então:
a soma A+ B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas
correspondentes de A.
a diferença A − B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das
entradas correspondentes de A.
Observação
Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtráıdas.
29/74
Definição (Adição e subtração)
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então:
a soma A+ B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas
correspondentes de A.
a diferença A − B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das
entradas correspondentes de A.
Observação
Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtráıdas.
29/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0 −2 + 2 4 + (−4)
2 + 1 −1 + 3 3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0
−2 + 2 4 + (−4)
2 + 1 −1 + 3 3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0 −2 + 2
4 + (−4)
2 + 1 −1 + 3 3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0 −2 + 2 4 + (−4)
2 + 1 −1 + 3 3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0 −2 + 2 4 + (−4)
2 + 1
−1 + 3 3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0 −2 + 2 4 + (−4)
2 + 1 −1 + 3
3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0 −2 + 2 4 + (−4)
2 + 1 −1 + 3 3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
(
1 −2 4
2 −1 3
)
e B =
(
0 2 −4
1 3 1
)
Então:
A+ B =
(
1 + 0 −2 + 2 4 + (−4)
2 + 1 −1 + 3 3 + 1
)
=
(
1 0 0
3 2 4
)
30/74
Exemplo (Aplicação)
Um fabricante de um determinado produto produz três modelos A, B e C .
Cada modelo é produzido parcialmente na fábrica F1 e, então, finalizado na
fábrica F2. O custo total de cada produto é composto pelo custo de produção
e pelo custo de transporte. Portanto, o custo de cada fábrica, em dólares,
pode ser descrito pelas matrizes F1 e F2, 3× 2:
F1 =

Custo de
produção
Custo de
transporte
32 40 Modelo A
50 80 Modelo B
70 20 Modelo C
 e F2 =

Custo de
produção
Custo de
transporte
40 60 Modelo A
50 50 Modelo B
130 20 Modelo C

A matriz F1+F2 fornece o total dos custos de produção e transporte para cada
produto. Assim, o total dos custo de produção e transporte de um produto do
modelo C é de $200 e $40.
31/74
Exemplo (Aplicação)
Um fabricante de um determinado produto produz três modelos A, B e C .
Cada modelo é produzido parcialmente na fábrica F1 e, então, finalizado na
fábrica F2. O custo total de cada produto é composto pelo custo de produção
e pelo custo de transporte. Portanto, o custo de cada fábrica, em dólares,
pode ser descrito pelas matrizes F1 e F2, 3× 2:
F1 =

Custo de
produção
Custo de
transporte
32 40 Modelo A
50 80 Modelo B
70 20 Modelo C
 e F2 =

Custo de
produção
Custo de
transporte
40 60 Modelo A
50 50 Modelo B
130 20 Modelo C

A matriz F1+F2 fornece o total dos custos de produção e transporte para cada
produto. Assim, o total dos custo de produção e transporte de um produto do
modelo C é de $200 e $40.
31/74
Exemplo (Aplicação)
Um fabricante de um determinado produto produz três modelos A, B e C .
Cada modelo é produzido parcialmente na fábrica F1 e, então, finalizado na
fábrica F2. O custo total de cada produto é composto pelo custo de produção
e pelo custo de transporte. Portanto, o custo de cada fábrica, em dólares,
pode ser descrito pelas matrizes F1 e F2, 3× 2:
F1 =

Custo de
produção
Custo de
transporte
32 40 Modelo A
50 80 Modelo B
70 20 Modelo C
 e F2 =

Custo de
produção
Custo de
transporte
40 60 Modelo A
50 50 Modelo B
130 20 Modelo C

A matriz F1+F2 fornece o total dos custos de produção e transporte para cada
produto. Assim, o total dos custo de produção e transporte de um produto do
modelo C é de $200 e $40.
31/74
Definição (Multiplicação por escalar)
Se A for uma matriz e λ um escalar, então o produto λA é a matriz obtida
pela multiplicação de cada entrada da matriz A por λ. Dizemos que a matriz
λA é um múltiplo escalar de A.
Exemplo (Múltiplos escalares)
Seja a matriz
A =
(
2 3 4
1 3 1
)
Então:
2A =
(
4 6 8
2 6 2
)
32/74
Definição (Multiplicação por escalar)
Se A for uma matriz e λ um escalar, então o produto λA é a matriz obtida
pela multiplicação de cada entrada da matriz A por λ. Dizemos que a matriz
λA é um múltiplo escalar de A.
Exemplo (Múltiplos escalares)
Seja a matriz
A =
(
2 3 4
1 3 1
)
Então:
2A =
(
4 6 8
2 6 2
)
32/74
Definição (Multiplicação por escalar)
Se A for uma matriz e λ um escalar, então o produto λA é a matriz obtida
pela multiplicação de cada entrada da matriz A por λ. Dizemos que a matriz
λA é um múltiplo escalar de A.
Exemplo (Múltiplos escalares)
Seja a matriz
A =
(
2 3 4
1 3 1
)
Então:
2A =
(
4 6 8
2 6 2
)
32/74
Exemplo (Aplicação)
Seja
p = [18, 96 14, 75 8, 60]
um vetor de dimensão 3 que representa os preços atuais de três itens de uma
loja. Suponha que a loja anuncie uma promoção em que o preço de cada item
esteja reduzido em 20%.
(a) Determine um vetor de dimensão 3 que forneça as alterações de preço
para os três itens.
(b) Determine um vetor de dimensão 3 que forneça os novos preços dos itens.
33/74
Exemplo (Aplicação)
Seja
p = [18, 96 14, 75 8, 60]
um vetor de dimensão 3 que representa os preços atuais de três itens de uma
loja. Suponha que a loja anuncie uma promoção em que o preço de cada item
esteja reduzido em 20%.
(a) Determine um vetor de dimensão 3 que forneça as alterações de preço
para os três itens.
(b) Determine um vetor de dimensão 3 que forneça os novos preços dos itens.
33/74
Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2, 95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
34/74
Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2, 95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
34/74
Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2,95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
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Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2, 95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
34/74
Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2, 95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
34/74
Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2, 95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
34/74
Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2, 95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
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Solução.
(a) Como cada item está mais barato em 20%, o vetor de dimensão 3:
(0, 20)p = [(0, 20)18, 96 (0, 20)14, 75 (0, 20)8, 60]
= [3, 79 2, 95 1, 72]
fornece as reduções de preço para os três itens.
(b) Os novos preços dos itens são dados pela expressão:
p− (0, 20)p = [18, 96 14, 75 8, 60]− [3, 79 2, 95 1, 72]
= [15, 16 11, 80 6, 88]
Observe que a expressão pode também ser escrita como
p− (0, 20)p = (0, 80)p
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Definição (Combinação linear)
Se A1,A2, . . . ...An são matrizes e c1, c2, . . . , cn são números reais, então uma
expressão do tipo
A = c1A1 + c2A2 + · · ·+ cnAn
é chamada combinação linear de A1,A2, . . . ...An .
Chamamos c1, c2, . . . , cn de coeficientes da combinação.
35/74
Exemplo
Dada as matrizes
A1 =
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
 e A2 =
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

A matriz C = 3A1 −
1
2
A2 é uma combinação linear de A1 e A2.
C = 3
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
− 1
2
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

=
−5/2 −10 27/23 8 21/2
7/2 −5 −21/2

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Exemplo
Dada as matrizes
A1 =
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
 e A2 =
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

A matriz C = 3A1 −
1
2
A2 é uma combinação linear de A1 e A2.
C = 3
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
− 1
2
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

=
−5/2 −10 27/23 8 21/2
7/2 −5 −21/2

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Exemplo
Dada as matrizes
A1 =
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
 e A2 =
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

A matriz C = 3A1 −
1
2
A2 é uma combinação linear de A1 e A2.
C = 3
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
− 1
2
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

=
−5/2 −10 27/23 8 21/2
7/2 −5 −21/2

36/74
Exemplo
Dada as matrizes
A1 =
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
 e A2 =
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

A matriz C = 3A1 −
1
2
A2 é uma combinação linear de A1 e A2.
C = 3
0 −3 52 3 4
1 −2 −3
− 1
2
 5 2 36 2 3
−1 −2 3

=
−5/2 −10 27/23 8 21/2
7/2 −5 −21/2

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Definição (Transposta de uma matriz)
Se A é uma matriz m × n, então a matriz n ×m, AT onde:
aTij = aji
é chamada transposta de A. Dessa maneira, os elementos em cada linha de
AT são os elementos na coluna correspondente de A.
37/74
Exemplo
Matriz Transposta
A2×3 =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
AT3×2 =
 4 0−2 5
3 2

B3×3 =
6 2 −43 −1 2
0 4 3
 BT3×3 =
 6 3 02 −1 4
−4 2 3

C1×3 =
[
3 −5 1
]
CT3×1 =
 3−5
1

38/74
Exemplo
Matriz Transposta
A2×3 =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
AT3×2 =
 4 0−2 5
3 2

B3×3 =
6 2 −43 −1 2
0 4 3
 BT3×3 =
 6 3 02 −1 4
−4 2 3

C1×3 =
[
3 −5 1
]
CT3×1 =
 3−5
1

38/74
Exemplo
Matriz Transposta
A2×3 =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
AT3×2 =
 4 0−2 5
3 2

B3×3 =
6 2 −43 −1 2
0 4 3

BT3×3 =
 6 3 02 −1 4
−4 2 3

C1×3 =
[
3 −5 1
]
CT3×1 =
 3−5
1

38/74
Exemplo
Matriz Transposta
A2×3 =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
AT3×2 =
 4 0−2 5
3 2

B3×3 =
6 2 −43 −1 2
0 4 3
 BT3×3 =
 6 3 02 −1 4
−4 2 3

C1×3 =
[
3 −5 1
]
CT3×1 =
 3−5
1

38/74
Exemplo
Matriz Transposta
A2×3 =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
AT3×2 =
 4 0−2 5
3 2

B3×3 =
6 2 −43 −1 2
0 4 3
 BT3×3 =
 6 3 02 −1 4
−4 2 3

C1×3 =
[
3 −5 1
]
CT3×1 =
 3−5
1

38/74
Exemplo
Matriz Transposta
A2×3 =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
AT3×2 =
 4 0−2 5
3 2

B3×3 =
6 2 −43 −1 2
0 4 3
 BT3×3 =
 6 3 02 −1 4
−4 2 3

C1×3 =
[
3 −5 1
]
CT3×1 =
 3−5
1

38/74
Definição (Matrizes de bits)
Uma matriz de bits m×n é uma matriz em que todos os elementos são bits.
Ou seja, cada elemento vale 0 ou 1;
Exemplo
A matriz
A =
1 0 01 1 1
0 1 0

é uma matriz binária de ordem 3.
39/74
Definição (Matrizes de bits)
Uma matriz de bits m×n é uma matriz em que todos os elementos são bits.
Ou seja, cada elemento vale 0 ou 1;
Exemplo
A matriz
A =
1 0 01 1 1
0 1 0

é uma matriz binária de ordem 3.
39/74
Definição
Um vetor de bits de dimensão n (ou apenas vetor) é uma matriz m × 1
ou 1× n em que todos os elementos são bits.
Exemplo
A matriz
v =

1
1
0
0
1

é um vetor de bits de dimensão 5.
40/74
Definição
Um vetor de bits de dimensão n (ou apenas vetor) é uma matriz m × 1
ou 1× n em que todos os elementos são bits.
Exemplo
A matriz
v =

1
1
0
0
1

é um vetor de bits de dimensão 5.
40/74
Operações com bits
A estrutura de soma e multiplicação nos binários é dado por:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
Exemplo
Sejam
A =
1 01 1
0 1
 e B =
1 10 1
1 0

Temos:
A+ B =
1 + 1 0 + 11 + 0 1 + 1
0 + 1 1 + 0
 =
0 11 0
1 1

41/74
Operações com bits
A estrutura de soma e multiplicação nos binários é dado por:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
Exemplo
Sejam
A =
1 01 1
0 1
 e B =
1 10 1
1 0

Temos:
A+ B =
1 + 1 0 + 11 + 0 1 + 1
0 + 1 1 + 0
 =
0 11 0
1 1

41/74
Operações com bits
A estrutura de soma e multiplicação nos binários é dado por:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
Exemplo
Sejam
A =
1 01 1
0 1
 e B =
1 10 1
1 0

Temos:
A+ B =
1 + 1 0 + 11 + 0 1 + 1
0 + 1 1 + 0

=
0 11 0
1 1

41/74
Operações com bits
A estrutura de soma e multiplicação nos binários é dado por:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
Exemplo
Sejam
A =
1 01 1
0 1
 e B =
1 10 1
1 0

Temos:
A+ B =
1 + 1 0 + 11 + 0 1 + 1
0 + 1 1 + 0
 =
0 11 0
1 1

41/74
Diferença
O cálculo da diferença das matrizes de bits A e B é realizado da seguinte
forma:
A− B = A+ (inversa de (1)B
= A+ 1B
= A+ B
42/74
Diferença
O cálculo da diferença das matrizes de bits A e B é realizado da seguinte
forma:
A− B = A+ (inversa de (1)B
= A+ 1B
= A+ B
42/74
Diferença
O cálculo da diferença das matrizes de bits A e B é realizado da seguinte
forma:
A− B = A+ (inversa de (1)B
= A+ 1B
= A+ B
42/74
Exemplo
Dada a matriz
A =
 LIGADO LIGADO DESLIGADOLIGADO LIGADO DESLIGADO
DESLIGADO LIGADO LIGADO

onde
DESLIGADO = 0 e LIGADO = 1
Encontre a matrizB tal que A+ B seja uma matriz em que todos os
elementos sejam DESLIGADO.
43/74
Solução.
Queremos encontrar uma matriz:
B =
a b cd e f
g h i

tal que:  LIGADO LIGADO DESLIGADOLIGADO LIGADO DESLIGADO
DESLIGADO LIGADO LIGADO

+a b cd e f
g h i

=DESLIGADO DESLIGADO DESLIGADODESLIGADO DESLIGADO DESLIGADO
DESLIGADO DESLIGADO DESLIGADO

44/74
Solução.
Queremos encontrar uma matriz:
B =
a b cd e f
g h i

tal que:  LIGADO LIGADO DESLIGADOLIGADO LIGADO DESLIGADO
DESLIGADO LIGADO LIGADO

+a b cd e f
g h i

=DESLIGADO DESLIGADO DESLIGADODESLIGADO DESLIGADO DESLIGADO
DESLIGADO DESLIGADO DESLIGADO

44/74
Solução (continuação).
Lembrando que:
DESLIGADO = 0 e LIGADO = 1
Temos: 1 1 01 1 0
0 1 1
+
a b cd e f
g h i
 =
0 0 00 0 0
0 0 0

1 + a 1 + b 0 + c1 + d 1 + e 0 + f
0 + g 1 + h 1 + i
 =
0 0 00 0 0
0 0 0

45/74
Solução (continuação).
Lembrando que:
DESLIGADO = 0 e LIGADO = 1
Temos: 1 1 01 1 0
0 1 1
+
a b cd e f
g h i
 =
0 0 00 0 0
0 0 0

1 + a 1 + b 0 + c1 + d 1 + e 0 + f
0 + g 1 + h 1 + i
 =
0 0 00 0 0
0 0 0

45/74
Solução (continuação).
Lembrando que:
DESLIGADO = 0 e LIGADO = 1
Temos: 1 1 01 1 0
0 1 1
+
a b cd e f
g h i
 =
0 0 00 0 0
0 0 0

1 + a 1 + b 0 + c1 + d 1 + e 0 + f
0 + g 1 + h 1 + i
 =
0 0 00 0 0
0 0 0

45/74
Solução (continuação).
Por igualdade de matrizes, temos:
1 + a = 0 1 + b = 0 0 + c = 0
1 + d = 0 1 + e = 0 0 + f = 0
0 + g = 0 1 + h = 0 1 + i = 0
Verificando nossa tabela da soma:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
Temos:
a = 1 b = 1 c = 0
d = 1 e = 0 f = 0
g = 0 h = 1 i = 1
46/74
Solução (continuação).
Por igualdade de matrizes, temos:
1 + a = 0 1 + b = 0 0 + c = 0
1 + d = 0 1 + e = 0 0 + f = 0
0 + g = 0 1 + h = 0 1 + i = 0
Verificando nossa tabela da soma:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
Temos:
a = 1 b = 1 c = 0
d = 1 e = 0 f = 0
g = 0 h = 1 i = 1
46/74
Solução (continuação).
Por igualdade de matrizes, temos:
1 + a = 0 1 + b = 0 0 + c = 0
1 + d = 0 1 + e = 0 0 + f = 0
0 + g = 0 1 + h = 0 1 + i = 0
Verificando nossa tabela da soma:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
Temos:
a = 1 b = 1 c = 0
d = 1 e = 0 f = 0
g = 0 h = 1 i = 1
46/74
Solução (continuação).
Portanto, a matriz procurada é: 1 1 01 0 0
0 1 1

Que corresponde: LIGADO LIGADO DESLIGADOLIGADO DESLIGADO DESLIGADO
DESLIGADO LIGADO LIGADO

47/74
Solução (continuação).
Portanto, a matriz procurada é: 1 1 01 0 0
0 1 1

Que corresponde: LIGADO LIGADO DESLIGADOLIGADO DESLIGADO DESLIGADO
DESLIGADO LIGADO LIGADO

47/74
Definição (Produto escalar)
O produto escalar (ou produto interno) dos vetores de dimensão n u e v é a
soma dos produtos dos elementos correspondentes. Dessa maneira:
u =

u1
u2
...
un
 e v =

v1
v2
...
vn

então
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
48/74
Exemplo
O produto escalar de
u =

1
−2
3
4
 e v =

2
3
−2
1

é:
u · v = (1)(2) + (−2)(3) + (3)(−2) + (4)(1) = −6
49/74
Exemplo
O produto escalar de
u =

1
−2
3
4
 e v =

2
3
−2
1

é:
u · v = (1)(2) + (−2)(3) + (3)(−2) + (4)(1) = −6
49/74
Exemplo
Sejam
u =
[
x 2 3
]
e v =
41
2

Se u · v = −4, encontre x :
Solução.
u · v = (4)(x ) + (2)(1) + (3)(2)
−4 = 4x + 2 + 6
−12 = 4x
x = −3
50/74
Exemplo
Sejam
u =
[
x 2 3
]
e v =
41
2

Se u · v = −4, encontre x :
Solução.
u · v = (4)(x ) + (2)(1) + (3)(2)
−4 = 4x + 2 + 6
−12 = 4x
x = −3
50/74
Exemplo
Sejam
u =
[
x 2 3
]
e v =
41
2

Se u · v = −4, encontre x :
Solução.
u · v = (4)(x ) + (2)(1) + (3)(2)
−4 = 4x + 2 + 6
−12 = 4x
x = −3
50/74
Exemplo
Sejam
u =
[
x 2 3
]
e v =
41
2

Se u · v = −4, encontre x :
Solução.
u · v = (4)(x ) + (2)(1) + (3)(2)
−4 = 4x + 2 + 6
−12 = 4x
x = −3
50/74
Exemplo
Sejam
u =
[
x 2 3
]
e v =
41
2

Se u · v = −4, encontre x :
Solução.
u · v = (4)(x ) + (2)(1) + (3)(2)
−4 = 4x + 2 + 6
−12 = 4x
x = −3
50/74
Exemplo
Sejam
u =
[
x 2 3
]
e v =
41
2

Se u · v = −4, encontre x :
Solução.
u · v = (4)(x ) + (2)(1) + (3)(2)
−4 = 4x + 2 + 6
−12 = 4x
x = −3
50/74
Exemplo (Aplicação)
Suponha que um professor utilize quatro tipos de avaliação para determinar a
média de um estudante: questionários, dois exames de uma hora cada, e um
exame final. Seus pesos são de 10%, 30%, 30% e 30% respectivamente. Se
as notas de um estudante forem 7, 8; 8, 4; 6, 2 e 8, 5 respectivamente, podemos
calcular sua média no curso definindo:
p =

0, 10
0, 30
0, 30
0, 30
 e n =

7, 8
8, 4
6, 2
8, 5

Temos:
p · n = (0, 10)(7, 8) + (0, 30)(8, 4) + (0, 30)(6, 2) + (0, 30)(8, 5) = 7, 71
51/74
Exemplo (Aplicação)
Suponha que um professor utilize quatro tipos de avaliação para determinar a
média de um estudante: questionários, dois exames de uma hora cada, e um
exame final. Seus pesos são de 10%, 30%, 30% e 30% respectivamente. Se
as notas de um estudante forem 7, 8; 8, 4; 6, 2 e 8, 5 respectivamente, podemos
calcular sua média no curso definindo:
p =

0, 10
0, 30
0, 30
0, 30
 e n =

7, 8
8, 4
6, 2
8, 5

Temos:
p · n = (0, 10)(7, 8) + (0, 30)(8, 4) + (0, 30)(6, 2) + (0, 30)(8, 5) = 7, 71
51/74
Exemplo (Aplicação)
Suponha que um professor utilize quatro tipos de avaliação para determinar a
média de um estudante: questionários, dois exames de uma hora cada, e um
exame final. Seus pesos são de 10%, 30%, 30% e 30% respectivamente. Se
as notas de um estudante forem 7, 8; 8, 4; 6, 2 e 8, 5 respectivamente, podemos
calcular sua média no curso definindo:
p =

0, 10
0, 30
0, 30
0, 30
 e n =

7, 8
8, 4
6, 2
8, 5

Temos:
p · n = (0, 10)(7, 8) + (0, 30)(8, 4) + (0, 30)(6, 2) + (0, 30)(8, 5) = 7, 71
51/74
As entradas de um vetor são chamadas componentes. Dada uma matriz A, é
conveniente referir-se a seus vetores linha e seus vetores coluna.
Dada a matriz
A =
1 2 −13 0 1
4 −1 2

Então, os vetores coluna de A são:13
4
 ,
 20
−1
 e
−11
2

Enquanto, os vetores linha de A, escrito verticalmente, são: 12
−1
 ,
30
1
 e
 4−1
2

52/74
As entradas de um vetor são chamadas componentes. Dada uma matriz A, é
conveniente referir-se a seus vetores linha e seus vetores coluna.
Dada a matriz
A =
1 2 −13 0 1
4 −1 2

Então, os vetores coluna de A são:13
4
 ,
 20
−1
 e
−11
2

Enquanto, os vetores linha de A, escrito verticalmente, são: 12
−1
 ,
30
1
 e
 4−1
2

52/74
As entradas de um vetor são chamadas componentes. Dada uma matriz A, é
conveniente referir-se a seus vetores linha e seus vetores coluna.
Dada a matriz
A =
1 2 −13 0 1
4 −1 2

Então, os vetores coluna de A são:13
4
 ,
 20
−1
 e
−11
2

Enquanto, os vetores linha de A, escrito verticalmente, são: 12
−1
 ,
30
1
 e
 4−1
2

52/74
As entradas de um vetor são chamadas componentes. Dada uma matriz A, é
conveniente referir-se a seus vetores linha e seus vetores coluna.
Dada a matriz
A =
1 2 −13 0 1
4 −1 2

Então, os vetores coluna de A são:13
4
 ,
 20
−1
 e
−11
2

Enquanto, os vetores linha de A, escrito verticalmente, são: 12
−1
 ,
30
1
 e
 4−1
2

52/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v.
[
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v.
[
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Para começar a falar sobre multiplicação de matrizes, vamos introduzir a
operação de multiplicação de um vetor por uma matriz. Seja:
B =
[
1 −1
−2 1
]
e v =
[
1
3
]
O produto de B com v, denotado Bv, é um vetor, neste caso com duas
componentes:
O primeiro componente de Bv é o produto escalar da primeira linha de
B com v. [
1 −1
]
·
[
1
3
]
= (1)(1) + (−1)(3) = −2
O segundo componente de Bv é o produto escalar da segunda linha de
B com v. [
−2 1
]
·
[
1
3
]
= (−2)(1) + (1)(3) = 1
53/74
Assim, temos:
Bv =
[
1 −1
−2 1
]
·
[
1
3
]
=
[
(1)(1) + (−1)(3)
(−2)(1) + (1)(3)
]
=
[
−2
1
]
Isso que dizer que, a matriz B transforma o vetor v no vetor Bv.
54/74
Assim, temos:
Bv =
[
1 −1
−2 1
]
·
[
1
3
]
=
[
(1)(1) + (−1)(3)
(−2)(1) + (1)(3)
]
=
[
−2
1
]
Isso que dizer que, a matriz B transforma o vetor v no vetor Bv.
54/74
Assim, temos:
Bv =
[
1 −1
−2 1
]
·
[
1
3
]
=
[
(1)(1) + (−1)(3)
(−2)(1) + (1)(3)
]
=
[
−2
1
]
Isso que dizer que, a matriz B transforma o vetor v no vetor Bv.
54/74
Seja agora a matriz
A =
[
−1 2
0 1
]
Então o produto de A por Bv é dado por:
A (Bv) =
[
−1 2
0 1
] [
−2
1
]
=
[
(−1)(−2) + (2)(1)
(0)(−2) + (1)(1)
]
=
[
4
1
]
55/74
Seja agora a matriz
A =
[
−1 2
0 1
]
Então o produto de A por Bv é dado por:
A (Bv) =
[
−1 2
0 1
] [
−2
1
]
=
[
(−1)(−2) + (2)(1)
(0)(−2) + (1)(1)
]
=
[
4
1
]
55/74
Seja agora a matriz
A =
[
−1 2
0 1
]
Então o produto de A por Bv é dado por:
A (Bv) =
[
−1 2
0 1
] [
−2
1
]
=
[
(−1)(−2) + (2)(1)
(0)(−2) + (1)(1)
]
=
[
4
1
]
55/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1)
+ (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2)
(−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1)
+ (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1)
+ (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2)
(0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1)
+ (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1) + (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
Usando as matrizes A e B :
AB =
[
−1 2
0 1
] [
1 −1
−2 1
]
=
[
(−1)(1)+ (2)(−2) (−1)(−1) + (2)(1)
(0)(1) + (1)(−2) (0)(−1) + (1)(1)
]
=
[
−5 3
−2 1
]
Esta matriz transforma o vetor v no vetor (AB)v:
(AB)v =
[
−5 3
−2 1
] [
1
3
]
=
[
4
1
]
56/74
57/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3) + (3)(-1) + (0)(1) � �� � �
� � �
 =
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3) + (3)(-1) + (0)(1) � �� � �
� � �
 =
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3) + (3)(-1) + (0)(1) � �� � �
� � �
 =
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3) + (3)(-1) + (0)(1) � �� � �
� � �
 =
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3)
+ (3)(-1) + (0)(1) � �
� � �
� � �
 =
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3) + (3)(-1)
+ (0)(1) � �
� � �
� � �
 =
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3) + (3)(-1) + (0)(1) � �� � �
� � �

=
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para uma melhor fixação, vejamos outro exemplo:
A =
 1 3 02 1 −3
−4 6 2
 e B =
 3 −2 5−1 4 −2
1 0 3

A primeira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto escalar
no primeiro vetor linha de A com o primeiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Primeira
coluna
3 −2 5
-1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
 (1)(3) + (3)(-1) + (0)(1) � �� � �
� � �
 =
 0 � �� � �
� � �

58/74
Para a segunda entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o segundo vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Segunda
coluna
3 -2 5
−1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
0 (1)(-2) + (3)(4) + (0)(0) �� � �
� � �
 =
0 10 �� � �
� � �

59/74
Para a segunda entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o segundo vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Segunda
coluna
3 -2 5
−1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
0 (1)(-2) + (3)(4) + (0)(0) �� � �
� � �
 =
0 10 �� � �
� � �

59/74
Para a segunda entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o segundo vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Segunda
coluna
3 -2 5
−1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
0 (1)(-2)
+ (3)(4) + (0)(0) �
� � �
� � �
 =
0 10 �� � �
� � �

59/74
Para a segunda entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o segundo vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Segunda
coluna
3 -2 5
−1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
0 (1)(-2) + (3)(4)
+ (0)(0) �
� � �
� � �
 =
0 10 �� � �
� � �

59/74
Para a segunda entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o segundo vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Segunda
coluna
3 -2 5
−1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
0 (1)(-2) + (3)(4) + (0)(0) �� � �
� � �

=
0 10 �� � �
� � �

59/74
Para a segunda entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o segundo vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Segunda
coluna
3 -2 5
−1 4 −2
1 0 3

Assim:
AB =
0 (1)(-2) + (3)(4) + (0)(0) �� � �
� � �
 =
0 10 �� � �
� � �

59/74
Para a terceira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o terceiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Terceira
coluna
3 −2 5
−1 4 -2
1 0 3

Assim:
AB =
0 10 (1)(5) + (3)(-2) + (0)(3)� � �
� � �
 =
0 10 -1� � �
� � �

60/74
Para a terceira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o terceiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Terceira
coluna
3 −2 5
−1 4 -2
1 0 3

Assim:
AB =
0 10 (1)(5) + (3)(-2) + (0)(3)� � �
� � �
 =
0 10 -1� � �
� � �

60/74
Para a terceira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o terceiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Terceira
coluna
3 −2 5
−1 4 -2
1 0 3

Assim:
AB =
0 10 (1)(5)
+ (3)(-2) + (0)(3)
� � �
� � �
 =
0 10 -1� � �
� � �

60/74
Para a terceira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o terceiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Terceira
coluna
3 −2 5
−1 4 -2
1 0 3

Assim:
AB =
0 10 (1)(5) + (3)(-2)
+ (0)(3)
� � �
� � �
 =
0 10 -1� � �
� � �

60/74
Para a terceira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o terceiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Terceira
coluna
3 −2 5
−1 4 -2
1 0 3

Assim:
AB =
0 10 (1)(5) + (3)(-2) + (0)(3)� � �
� � �

=
0 10 -1� � �
� � �

60/74
Para a terceira entrada da matriz produto AB é obtida a partir do produto
escalar no primeiro vetor linha de A com o terceiro vetor coluna de B :
A =
 1 3 0 Primeiralinha2 1 −3
−4 6 2
 e B =

Terceira
coluna
3 −2 5
−1 4 -2
1 0 3

Assim:
AB =
0 10 (1)(5)