EQUAÇÕES ALGEBRICAS - PARTE 3

Prévia do material em texto

- -1
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
CAPÍTULO 3 – OS NÚMEROS COMPLEXOS: O 
QUE SÃO E POR QUE UTILIZÁ-LOS?
Thuysa Schlichting de Souza
- -2
Introdução
Você já reparou que os números e suas operações estão presentes em diversas situações cotidianas e nos ajudam
a resolver problemas reais? Podemos apresentar exemplos para mostrar que os números são ferramentas
essenciais em nossas vidas, mas que tipo de números são esses? Quando vamos à padaria e lidamos com moedas
e trocos, quando vamos medir determinado objeto ou, ainda, quando calculamos os juros de compras a prazo,
por exemplo, realizamos cálculos com quais tipos de números?
De modo geral, utilizamos os números do conjunto dos reais para nos auxiliar nos problemas do dia a dia. Por
isso, podemos pensar que esse conjunto é o mais abrangente e suficiente para suprir as demandas do mundo.
Entretanto, vamos nos recordar das equações algébricas já estudadas: você se lembra de que existiam equações
que não apresentavam soluções reais? Justamente devido a esses tipos de questões, os matemáticos
desenvolveram um novo conjunto numérico, ainda mais abrangente do que os reais: o conjunto dos números
complexos.
Sendo assim, neste capítulo, você terá a oportunidade de aprender o conceito dos números complexos, suas
propriedades principais e operações básicas. Aprenderá, ainda, duas representações distintas desses números: a
algébrica e a geométrica.
Além do estudo dos números complexos, vamos iniciar nosso capítulo aprofundando nossos estudos quanto as
inequações algébricas e destacando a resolução de inequações quadráticas e inequações racionais ainda no
conjunto dos números reais. Em seguida, os métodos de resolução de inequações servirão para resolvermos
problemas aplicados. Assim, teremos os conhecimentos necessários para, em estudos posteriores, trabalhar com
equações e inequações no conjunto dos números complexos.
Dessa forma, ao final do capítulo, seremos capazes de responder alguns questionamentos, como “O que
caracteriza o conjunto dos números complexos?”, “Quais são suas principais propriedades?”, “Como podemos
operar com esses números?” e “Com qual finalidade o conjunto dos números complexos foi criado?”.
Vamos em frente!
3.1 Inequações
Sabemos que as inequações são expressões algébricas formadas por uma ou mais incógnitas, as quais
apresentam uma desigualdade. Assim como acontece com as equações, dependendo das características
algébricas das inequações, podemos caracterizá-las em diferentes categorias.
Você já conhece detalhadamente as inequações de primeiro grau, também denominadas de inequações lineares.
Agora, vamos nos concentrar, principalmente, nas inequações quadráticas e racionais definidas no conjunto dos
números reais.
Uma inequação quadrática é da forma: ; ; ; ou , sendo as
constantes e números reais com . Isto é, um dos termos da igualdade é um polinômio do 2º grau., 
Alguns exemplos de inequações quadráticas são:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Para entendermos melhor, analisaremos essas inequações separadamente.
Para que a primeira inequação seja verdadeira, os valores do polinômio no lado esquerdo devem ser menores do
que zero, isto é, devem ser negativos. Por exemplo, quando substituímos por 3, obtemos o resultado 6, que é
um número positivo. Logo, 3 não é uma solução da inequação. Porém, se o número substituído no lugar de for
−1, o resultado será −6, que é um número negativo. Portanto, −1 é uma solução da inequação .
Mas como podemos determinar todos os números que fazem parte do conjunto solução da inequação sem
- -3
Mas como podemos determinar todos os números que fazem parte do conjunto solução da inequação sem
testarmos cada número real?
Segundo Young (2017), para qualquer valor de , um polinômio terá, obrigatoriamente, um valor positivo,
negativo ou nulo. Assim, um polinômio precisa assumir o valor nulo antes de seu valor mudar de positivo para
negativo, ou de negativo para positivo.
Os zeros do polinômio — valores de que tornam o polinômio igual a zero — dividem a reta dos números reais
em intervalos de teste, em que o valor do polinômio é positivo ou negativo em cada intervalo. Seguindo esta
ideia, vamos igualar a zero o polinômio da inequação 1, da seguinte forma: . Obtemos, desse modo,
uma equação do 2º grau que pode ser resolvida pela fórmula quadrática .
Substituindo os coeficientes da equação na fórmula, chegamos à conclusão que os zeros do polinômio são 
e Dessa forma, podemos dividir a reta real em três intervalos de teste: , e .
Agora, vamos escolher um número real situado em cada um dos três intervalos para verificar se o valor do
polinômio em cada ponto é positivo ou negativo. Nesse caso, selecionamos de forma arbitrária os números reais: 
, e . Substituindo cada um dos números no polinômio , temos:
• para , . Assim, o resultado é um número positivo;
• para , . Portanto, o resultado é um número negativo;
• para , . Podemos observar que, novamente, o resultado é um número positivo.
Sendo assim, podemos inferir que, quando substituímos por um número real pertencente à um dos intervalos 
 e , o polinômio corresponde a um valor positivo. Já, para valores de pertencentes ao intervalo 
, o polinômio corresponde a um valor negativo, conforme pode ser observado na figura a seguir:
Figura 1 - Sinais da primeira inequação quadrática nos três intervalos de teste.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Então, qual é a solução da inequação quadrática ?
A sentença é verdadeira quando o valor do polinômio à esquerda da desigualdade é negativo. Como no intervalo 
 o valor do polinômio é negativo, a solução da inequação é . Os valores 
 e não foram incluídos no conjunto solução da inequação, pois a desigualdade indica que os números
devem ser menores do que zero ( ) e não menores ou iguais à zero ( ).
Utilizando os mesmos procedimentos, podemos resolver as demais inequações do exemplo anterior, conforme
sistematizado na tabela a seguir.
•
•
•
- -4
Tabela 1 - Procedimentos para encontrar a solução de inequações quadráticas.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Cabe destacar que é possível encontrar algumas inequações que não apresentam solução no conjunto dos reais.
Um exemplo clássico é a inequação , pois sempre que um número real qualquer é elevado ao quadrado o
resultado é um número real não negativo.
Observe: ; ; . Como , a reta dos números reais é dividida em dois
intervalos: e . Já vimos que valores em ambos os intervalos correspondem ao valor de que é
sempre positivo, portanto não existem números reais que satisfaçam à inequação. Assim, seu conjunto solução
pode ser escrito como: ou . São duas representações distintas, sendo que ambas indicam a
inexistência de um conjunto solução, caracterizando-o como vazio.
Atente para o fato de que o símbolo de vazio não pode ser incluído dentro dos colchetes.
Além disso, existem outras formas para determinar as soluções de uma inequação quadrática. Uma possibilidade
é aproveitar os recursos computacionais disponíveis para determinar a própria solução da inequação. Podemos
fazer uso do GeoGebra®, por exemplo, um gratuito de matemática dinâmica que reúne recursossoftware 
algébricos e gráficos em um único ambiente, o qual nos permite encontrar a solução da inequação graficamente.
- -5
Vamos resolver, com uso do GeoGebra®, algumas inequações quadráticas estudadas anteriormente para
verificarmos se as soluções que encontramos estão de acordo com as respostas geradas pelo programa.
Sugerimos que você siga as sugestões de utilização do programa para solucionar as inequações no seu próprio
computador.
Primeiramente, veremos como se dá o funcionamento do GeoGebra®.
O programa apresenta uma Janela Algébrica, onde podemos inserir as inequações desejadas. Por exemplo, se
quisermos resolver a primeira inequação dada no exemplo ( ), devemos digitar na caixa de entrada
algébrica a seguinte expressão: x^2 + x - 6.
Na janela de visualização, a solução aparecerá como uma região pintada de azul, conforme mostra a figura a
seguir.
Figura 2 - Solução da primeira inequação quadráticacom o GeoGebra®.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que a região destacada corresponde aos valores de reais pertencentes ao intervalo entre e . A reta
VOCÊ SABIA?
O GeoGebra® pode ser adquirido para gratuitamente através o <download link http://www.
>. Além disso, é possível utilizar uma versão que está disponível nogeogebra.org on-line
mesmo . Apesar de se tratar de uma ferramenta de manipulação bastante intuitiva, em casosite
de dúvidas, existe um fórum próprio para discussões de questões referentes ao seu uso,
constituindo-se um suporte para os iniciantes ou para aqueles que desejam utilizar um recurso
mais avançado do programa.
http://www.geogebra.org
http://www.geogebra.org
- -6
Observe que a região destacada corresponde aos valores de reais pertencentes ao intervalo entre e . A reta
pontilhada indica que os valores das extremidades do intervalo não fazem parte do conjunto solução da
inequação. Perceba que esta é a mesma solução encontrada quando resolvemos o problema algebricamente.
Agora, vamos digitar na caixa de entrada a quarta inequação ( ), a fim de verificar como a solução é
apresentada na área de visualização do GeoGebra®.
Figura 3 - Solução da quarta inequação quadrática com o GeoGebra®.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que a solução está indicada por duas regiões hachuradas em azul, cujas extremidades são marcadas por
linhas contínuas. Isso significa que a solução é dada por dois intervalos fechados nas extremidades de maior e de
menor valor, respectivamente: e .
O GeoGebra® também soluciona outras inequações polinomiais com expoentes superiores a 2, como as
inequações cúbicas e as quárticas.
Você pode explorar o GeoGebra® e perceber a facilidade em resolver inequações de qualquer tipo e,
principalmente, as que necessitam de métodos muito complexos para a determinação da sua solução. Vejamos o
exemplo da inequação cúbica . Nesse caso, devemos inserir na caixa de entrada a expressão
x^3 + 2*x^2 + 4*x - 9 < 0.
- -7
Figura 4 - Solução da inequação cúbica com o GeoGebra®.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Podemos verificar que a solução da inequação cúbica em questão é . Chegamos à este
número utilizando a opção de aproximar a tela de visualização. Esta é outra vantagem do GeoGebra®, o que nos
permite obter precisão na determinação da solução desejada.
Além das inequações polinomiais, outro tipo importante é a chamada , que apresenta seusinequação racional
numeradores e denominadores formados por polinômios.
Como podemos encontrar a solução de uma inequação racional?
Segundo Young (2017), para resolver inequações racionais usamos um procedimento análogo ao utilizado para
resolver inequações polinomiais, com a inclusão de uma restrição: é necessário eliminar os valores de que
anulam o denominador.
Se considerarmos, por exemplo, a inequação , precisamos eliminar e , pois esses valores
tornam o denominador nulo. Sendo assim, é uma restrição do domínio da inequação racional e,
consequentemente, os valores retirados ( e ) não podem fazer parte do conjunto solução da
inequação.
Após a identificação das restrições de domínio sobre , vamos determinar os zeros do numerador: 
. Assim, temos que o zero do numerador é e os zeros do denominador são e .
Agora, podemos desenhar a reta real, marcando estes números que formam nossos intervalos de teste: 
 e .
Figura 5 - Sinais da inequação racional nos quatro intervalos de teste.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
- -8
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Assim podemos verificar o sinal dos números em cada intervalo, substituindo valores arbitrários destes
intervalos na inequação e observando o sinal do resultado. Logo, os intervalos nos quais o valor da expressão
racional é não negativo, isto é, positivo ou zero — e —, satisfazem à inequação racional em questão.
Como o sinal da inequação é maior ou igual a ( ), incluímos na nossa solução. Contudo, e não
estão incluídos na solução porque não fazem parte do domínio. Sendo assim, o conjunto solução dado, em
notação de intervalo, fica representado por: .
Young (2017) resumiu os procedimentos de resolução de inequações polinomiais e racionais estudados até aqui
conforme o quadro a seguir.
VOCÊ QUER LER?
O artigo intitulado “Equações e inequações com radicais”, de Geraldo Ávila, apresenta um
estudo destacando os pontos básicos no processo de resolução de equações e inequações que,
quando levados em consideração, evitam erros recorrentes na solução dos que envolvem
radicais. O autor ainda apresenta inúmeros exemplos, evidenciando as raízes das equações
após a aplicação de propriedades algébricas dos números reais. Você pode ler o artigo nas
páginas 252 a 256 no : <link http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed
>./expensmat_icap5.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap5.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap5.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap5.pdf
- -9
Quadro 1 - Resumo de procedimentos a serem seguidos para a determinação da solução de inequações 
polinomiais e racionais.
Fonte: Adaptado de YOUNG, 2017.
Até aqui, estudamos os métodos e procedimentos de resolução de equações e inequações, especialmente das
polinomiais de primeiro e segundo graus e das racionais. Agora, verificaremos algumas das principais aplicações,
seja em problemas práticos do cotidiano, seja de outras áreas do conhecimento.
3.2 Aplicações das equações e inequações
Você já conhece os métodos e procedimentos de equações e inequações algébricas. Sendo assim, já é capaz de
resolver problemas e situações práticas que envolvem os conceitos e métodos de resolução já estudados. Além
de situações cotidianas, podemos observar que problemas de outras áreas do conhecimento também utilizam
essas ferramentas matemáticas no processo de resolução.
Cabe destacar que é possível utilizar diferentes formas de resolução para as equações e inequações que
apresentaremos nos problemas a seguir. Por exemplo, em alguns casos, será possível utilizar a fórmula
quadrática ou a fatoração de polinômios para encontrar a solução desejada. Desse modo, vamos alternar sempre
que possível os métodos de resolução, sem privilegiar um em específico.
É claro que você pode resolver o problema utilizando outros procedimentos, mas fique atento se a solução
obtida é compatível com a resposta correta.
- -10
3.2.1 Problema 1: disparo de um projétil
Uma arma dispara um projétil a uma velocidade de 182 metros por segundo. Se essa arma for disparada, para
cima, bem na direção vertical, a altura do projétil em metros é dada pela equação , em que é o
tempo em segundos com correspondendo ao instante em que a arma é disparada (YOUG, 2017).
Levando em consideração tais informações, determine quantos segundos o projétil permanece no ar após o
disparo.
Queremos saber quanto tempo, em segundos, o projétil permanece no ar, isto é, o tempo que o projétil não está
no chão, onde a altura é zero. Em termos matemáticos, procuramos a solução da inequação: .
Vamos igualar a zero o polinômio da inequação, da seguinte forma: .
Para resolver a equação quadrática, vamos utilizar o método da fatoração: .
Portanto, ou .
Dessa forma, podemos dividir a reta real em três intervalos de teste: , e .
Como não pode ser um número negativo, uma vez que não faz sentido pensarmos em tempo negativo, não
precisamos testar o intervalo . Agora, vamos escolher um número real situado nos outros dois intervalos.
Nesse caso, selecionamos de forma arbitrária os números reais: e .
• Para , . Portanto, o resultado é um número positivo.
• Para , . Podemos observar que o resultado é um número 
negativo.
Dessa maneira, podemos inferir que, quando substituímos por um número real pertencente ao intervalo 
, o polinômio corresponde a um valor positivo.
Outra forma de determinarmos a solução da inequação é a utilização do GeoGebra®, inserindo na caixa de
entrada a inequação quadrática .
Figura 6 - Solução da inequação quadrática com o GeoGebra®.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Portanto, a solução da inequação é .
Os valores e não foram incluídos no conjunto solução da inequação, pois a desigualdade indica que
•
•
- -11
Os valores e não foram incluídos no conjunto solução da inequação, pois a desigualdade indica que
os números devem ser menores do que zero ( ) e não menores ou iguais à zero ( ).
Podemos concluir, portanto, que o projétil permanece no ar 37,14 segundos até retornar ao solo, quando sua
altura será igual a zero.
3.2.2 Problema 2: escalas de temperatura
A relação entre as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit é dada por , onde é a temperatura
em graus Celsius e é a temperatura em graus Fahrenheit (STEWART, 2013). Sendo assim, se em uma
determinada cidade a temperatura em graus Celsius varia no intervalo , qual é o intervalo da
temperatura sobre a escala Fahrenheit?
Para responder, vamos substituir pela fórmula na desigualdade . Assim, precisamos
resolver a seguinte inequação linear: .
Para resolvermos, primeiramente, vamos multiplicar por 9 todos os três termos da desigualdade, obtendo: 
. Dividindo os termos da desigualdade por 5, temos: .
Finalmente, somando 32 em todos os termos, obtemos o resultado: .
Logo, a temperatura varia de 50ºF a 81ºF na cidade em questão.
3.2.3 Problema 3: negociação
Young (2017, s./p.) nos propõe que o termo “de cabeça para baixo”, nos financiamentos de carros, refere-se a
dever mais do que o carro vale. Suponha, então, que você compre um carro novo e financie 100% em 5 anos. A
diferença entre o valor do carro e o que é devido será governada pela expressão , em que é a idade (em anos)
do carro. Sendo assim, precisamos determinar o período de tempo em que o carro vale mais do que você deve.
Estamos interessados em descobrir o intervalo de tempo em que a diferença entre o valor do carro e o que é
devido é positiva, uma vez que o valor do carro é maior do que o valor da dívida. Em termos matemáticos,
precisamos resolver a seguinte inequação racional: .
Primeiramente, devemos observar que representa a idade, em anos, do carro. Por isso, não podemos considerar
valores negativos para . Além disso, quando , o denominador da expressão se anula e, portanto, 
também não pode assumir este valor.
Para que o numerador seja nulo, necessariamente, temos que . Dessa forma, podemos dividir a reta real em
dois intervalos de teste: e .
Se tomarmos dois valores arbitrários em cada um dos intervalos e substituirmos na expressão , chegamos à
conclusão de que, quando substituímos por um número real pertencente ao intervalo , o polinômio
corresponde a um valor negativo. Já quando substituímos por um número real pertencente ao intervalo , o
polinômio corresponde a um valor positivo. Portanto, o período de tempo em que o carro vale mais do que você
deve é de 3 a 5 anos de financiamento.
3.2.4 Problema 4: lucro
“Em resposta às condições econômicas, uma empresa local explora o efeito de um aumento de preço sobre o
lucro semanal. A função modela o efeito que um aumento de preço de dólares em uma
garrafa de vinho terá sobre o lucro medido em dólares” (YOUNG, 2017, s./p.). Sendo assim, determine qual é o
aumento de preço que ocasiona um lucro semanal inferior a US$ 460,00.
Como é o lucro, queremos encontrar os valores de que ocasionam um lucro inferior a US$ 460,00, ou seja, 
.
Podemos resolver a inequação, primeiramente, transformando-a numa inequação na forma-padrão e, depois,
- -12
Podemos resolver a inequação, primeiramente, transformando-a numa inequação na forma-padrão e, depois,
analisando os zeros do polinômio e os intervalos de teste. Contudo, nesse problema, optamos por utilizar o
GeoGebra® para a análise da inequação em questão.
Na Janela de Álgebra, inserimos a expressão: -5 * (x + 3) * (x - 24) < 460.
Figura 7 - Solução da inequação quadrática com o GeoGebra®.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que a solução da inequação, em notação de intervalo, é . Porém, precisamos analisar se,
no contexto do problema, estes valores fazem sentido como solução.
Como representa o aumento de preço, em dólares, de uma garrafa de vinho, não faz sentido pensarmos em
aumento negativo. Portanto, interessa-nos apenas os valores positivos destes intervalos.
A solução do problema é: aumentos de preço entre 0 e 1 dólar e maior do que 20 dólares ocasionam um lucro
semanal inferior a US$ 460,00.
Observe um último caso que utiliza os procedimentos de resolução de inequações durante o desenvolvimento da
solução do problema.
CASO
João é proprietário de uma fazenda e deseja cercar uma parte com arame para que seus
animais não fujam. Ele comprou 6.000 metros de arame, com os quais deseja cercar uma área
de pasto retangular localizada em um trecho reto à margem de um rio. Portanto, este lado não
será necessário cercar, já que será a própria margem.
João deseja utilizar todo o arame, mas não quer que a área cercada seja superior a 236.800 m².
Nessas condições, quais serão as medidas possíveis para a largura do pasto?
Para iniciar a solução do problema, vamos chamar de a largura do retângulo que representa
- -13
Você teve a oportunidade de aplicar os conhecimentos acerca das equações e inequações algébricas em ,
estudadas em algumas situações práticas. Agora, aprenderemos um novo conceito: o de números complexos,
bem como um pouco da sua história e diferentes formas de representação.
3.3 Estudo do conjunto dos números complexos
Você se lembra de que existem equações quadráticas sem soluções reais? Um exemplo é a equação que,
por apresentar o discriminante negativo, a saber , não tem um valor de real que torne a igualdade
verdadeira.
Durante muitos anos, tais equações ficaram sem solução. Somente após a criação do conjunto dos números
complexos, cuja representação é dada por , foi possível resolver equações do 2º grau com discriminante
negativo.
O símbolo foi criado para identificarmos números com raízes de índice par cujo radicando é um número
negativo, o que, em , não é passível de solução. Assim, o número , tal que , é denominado de número
.imaginário
Para iniciar a solução do problema, vamos chamar de a largura do retângulo que representa
o pasto e de seu comprimento. Note que a área do pasto retangular pode ser calculada pela
multiplicação dos seus lados, ou seja, . Já o comprimento total da cerca (perímetro) é
dado pela soma de todos os lados, isto é, .
Como todo o arame será usado para cercar o pasto, temos, portanto, a equação .
Reescrevendo a expressão de modo que fique isolado, temos que .
Agora, é possível substituir o valor de na expressão da área , em que obtemos 
.
Devemos lembrar que João quer que a área seja menor do que 236.800 m² ou, em termos
matemáticos, . Para resolver a inequação quadrática, vamos escrevê-la na
forma padrão .
Igualando o polinômio do lado esquerdo da inequação a zero e resolvendo a equação
resultante, obtemos que e . Logo, os intervalos de teste são e 
.
Realizando o teste, verificamos que apenas no intervalo os valores são menores que
zero. Contudo, esta ainda não é a solução do problema, pois devemos considerar que os valores
do lado não podem ser números negativos.
Portanto, a largura do terreno variará entre o intervalo .
VOCÊ QUER LER?
Caso você tenha interesse em saber mais sobre a história dos números complexos e dos
métodos de resolução das equações cúbicas, com ênfase nos trabalhos desenvolvidos por
Cardano e Bombelli, sugerimos a leitura do trabalho de Ulício Pinto Junior, intitulado “A
história dos números complexos: das quantidades sofisticadas de Cardano às linhas orientadas
de Argand”. A dissertação apresenta uma análise dos problemas que motivaram a utilização
dos números complexos e de que maneira os matemáticos lidaram com esses objetos quando
- -14
Agora, é possível resolvermos a equação , observe: .
Note que pode ser escrito como a multiplicação . Logo, . Substituindo por 
, obtemos: . Aplicando a radiciação em ambos os termos, obtemos: 
. Sendo assim, as soluções da equação sãoe .
A partir de agora, as equações quadráticas estudadas anteriormente que não tinham soluções, pois estávamos
trabalhando apenas com números reais, passam a apresentar soluções, que fazem parte do conjunto dos
números complexos.
Os números complexos podem ser escritos na forma , em que e são números reais e é o número
imaginário. Este modo de expressar um número complexo é chamado de .forma algébrica
O coeficiente é conhecido como parte real e representado pelo símbolo , já o coeficiente é chamado de
parte imaginária e comumente representado por . Vejamos alguns exemplos:
• ; e ;
• ; e ;
• ; e ;
• ; e ;
• ; e .
Perceba que, quando o número imaginário é nulo, isto é , é um número real. Portanto, podemos
concluir que os números reais pertencem ao conjunto dos números complexos. Em outras palavras, o conjunto
dos números reais é subconjunto dos números complexos.
No caso em que a parte real é nula e a parte imaginária é diferente de zero, isto é, e , o número
complexo é denominado de .número imaginário puro
Assim, se é um número imaginário puro, devemos ter a condição , uma vez que a
parte real deve ser, necessariamente, nula. Logo, quando , o número será da forma 
. Porém, se é um número real, devemos ter a condição .
Resolvendo a equação quadrática, temos que ou . Portanto, quando , o número será da forma 
. Quando , o número será da forma .
Além da forma algébrica de expressar um número complexo, existe também a forma gráfica de representa-lo.
Segundo Góes (2015), no início do século XIX, os matemáticos Gauss e Jean Argand, atuando de forma
independente, realizaram uma associação entre as partes real e imaginária de um número complexo com as
coordenadas de um ponto no plano cartesiano.
dos números complexos e de que maneira os matemáticos lidaram com esses objetos quando
ainda não eram reconhecidos como números propriamente ditos. Acesse o trabalho completo
em: < >.http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/12%20Ulicio%20Pinto.pdf
VOCÊ O CONHECE?
O suíço Leonard Euler (1707-1783) é considerado um dos maiores matemáticos do século
XVII. Além da própria Matemática, ele contribuiu para diversas áreas do conhecimento, como a
Física, a Astronomia e a Engenharia. No caso dos números complexos, Euler foi quem utilizou,
pela primeira vez, a letra para simbolizar a raiz quadrada de -1, no ano de 1777 (GÓES, 2015).
•
•
•
•
•
http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/12%20Ulicio%20Pinto.pdf
- -15
Assim como os números reais podem ser associados a pontos no plano, formando a reta real, os números
complexos também têm uma representação no plano cartesiano. A cada elemento corresponde um único
ponto do plano cartesiano, sendo que a recíproca também é verdadeira. Veja a figura a seguir para
compreender melhor.
Figura 8 - Representação gráfica de um número complexo .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que a parte real do número complexo é indicada no eixo , também chamado de , já a parteeixo real
VOCÊ SABIA?
O filósofo e matemático francês René Descartes formalizou o sistema de coordenadas
cartesianas, em 1637, no apêndice “A geometria” do livro “O discurso do método”. De modo
geral, sua ideia é que a geometria do plano pode ser reinterpretada em termos algébricos. Ele
chamou um ponto do plano de origem e desenhou dois eixos ( e ) que passam pela origem
formando um ângulo reto, ou seja, são perpendiculares entre si. Então, qualquer ponto do
plano é determinado por um par de distâncias , que nos contam qual é a distância desse
ponto até a origem com medidas paralelas ao eixos e , respectivamente (STEWART, 2014).
- -16
Observe que a parte real do número complexo é indicada no eixo , também chamado de , já a parteeixo real
imaginária é representada no eixo , que é conhecido como .eixo imaginário
O ponto também apresenta uma denominação especial, é chamado de ou .afixo imagem geométrica de 
Podemos verificar, então, que o conjunto dos números complexos pode ser definido como o conjunto de pares
ordenados, cujas coordenadas são números reais. Em termos matemáticos, temos que .
Vejamos alguns exemplos:
• ;
• ;
• ;
• ;
• .
Agora, podemos representar cada um desses pares ordenados no plano cartesiano, da seguinte forma.
Figura 9 - Representação gráfica de números complexos.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
É importante observamos que todo número complexo cujo par ordenado é da forma , com , é também
•
•
•
•
•
- -17
É importante observamos que todo número complexo cujo par ordenado é da forma , com , é também
um número real e, portanto, sua imagem é um ponto localizado na reta ou reta real. Já os números complexos
cujo par ordenado é da forma , com , é um número imaginário puro e sua imagem é um ponto
representado na reta ou reta imaginária.
Um conceito importante dos números complexos é o de .módulo
Se tomarmos um número , com e números reais, já sabemos que o seu afixo é o ponto . Supondo
que este ponto pertença ao primeiro quadrante do plano, vamos unir à origem do sistema para obter um
segmento, o qual denominaremos de , conforme figura a seguir.
VOCÊ QUER VER?
No vídeo , um garoto acredita que a Matemática deveria ser real, concretaUm sonho complexo
e exata, por isso, ao se deparar com as palavras “complexo” e “imaginário”, ele fica muito
intrigado. A história mostra o sonho do garoto com um personagem estranho, que representa
uma dualidade do mundo. Ao acordar, percebe que o sonho mostrou um pouco da magia dos
números complexos. De uma forma simples e de fácil compreensão, os números complexos são
apresentados ao espectador. Além disso, é possível aprender relações entre os números
complexos e a trigonometria, além da representação gráfica. O vídeo está disponível em: <
>.https://www.youtube.com/watch?v=6KTwK0aTwr0
https://www.youtube.com/watch?v=6KTwK0aTwr0
- -18
Figura 10 - Ponto , afixo de um número complexo, e o segmento .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que os pontos , e formam um triângulo retângulo em , ou seja, o ângulo é reto. Logo, podemos
aplicar o teorema de Pitágoras, da seguinte forma: .
Sendo assim, obtemos a medida de que é chamada de de um número complexo e indicada por .módulo
Este número é sempre um número real positivo, pois exprime a distância entre a origem e o afixo de . Veja
alguns exemplos:
;
;
- -19
;
;
.
Consideremos agora o ângulo , que indicaremos pelo símbolo grego (lê-se teta), formado pela semi-reta 
e pelo semi-eixo real positivo . De modo geral, é chamado de do número complexo .argumento 
Outras relações que podemos obter da geometria plana são: e , sendo que .
Na sequência, vamos aprender a operar com números complexos. Do mesmo modo que fazemos com os demais
conjuntos numéricos, é possível definir a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão de números complexos.
3.4 Números complexos: operações
Você sabia que, no conjunto dos números complexos, são definidas quatro operações fundamentais? Para isso,
vamos aproveitar as propriedades dos pares ordenados de números reais.
Você se lembra de como operar com pares ordenados do plano cartesiano? Na tabela a seguir,
sistematizamos essas propriedades.
Tabela 2 - Propriedades dos pares ordenados de números reais.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Podemos compreender mais facilmente tais propriedades com alguns exemplos:
• ;
• ;
• ;
• ;
Agora, vamos utilizar a adição de pares ordenados reais para definir a adição de números complexos.
Dados, e , então a soma será: .
Observe que as partes reais são somadas entre si, assim como as partes reais, isto significa que as partes reais e
as partes imaginárias de e de são somadas separadamente.
Se escrevermos os números complexos na forma algébrica, temos: .
De modo análogo, podemos definir a subtração da seguinte forma: . Isto é,
subtraímos a parte real de um número complexo do outro e, em seguida, realizamos o mesmo procedimento com
a parte imaginária do número.
Agora, vamos observar alguns exemplos:
• ;
• ;
•
•
•
•
•
•
- -20
• ;
• ;
• ;
• .
Para definirmos a multiplicaçãode números complexos, podemos utilizar a multiplicação de pares ordenados de
números reais. Assim, se e , temos que . Porém, uma forma mais
prática de realizarmos a multiplicação, sem a necessidade de memorização, é utilizar a propriedade da
distributiva da multiplicação. Veja: . Observe que o
resultado final é o par ordenado obtido anteriormente.
Agora, vamos realizar alguns exemplos:
• ;
• ;
• ;
• .
Antes de tratarmos efetivamente da divisão de números complexos, precisamos definir um importante conceito:
o .conjugado
Seja um número complexo, então seu conjugado, que é indicado por , é definido como . Isto
significa que, para encontrarmos o conjugado de um número complexo qualquer, basta trocarmos o sinal de sua
parte imaginária. Então, qual é o conjugado dos seguintes números: , , e ?
Temos que:
• ;
• ;
• ;
•
Vale ressaltar que o conjugado de um número complexo é igual ao próprio número complexo somente no caso de
o número complexo ser real puro, como no último exemplo. Além disso, é possível verificar que a multiplicação
de um número complexo qualquer pelo seu conjugado resulta sempre em um número real.
Considerando o número complexo e seu conjugado , temos que: 
, que é um número real.
Segundo Góes (2015), existem outras duas propriedades importantes do conjugado de um número complexo. A
primeira afirma que a soma (ou a subtração) de dois conjugados de números complexos é igual ao conjugado da
soma (ou da subtração). Em termos matemáticos, e . A segunda propriedade diz
respeito à multiplicação de números conjugados.
A multiplicação de conjugados é igual ao conjugado da multiplicação, isto é, .
Como já definimos o conceito de conjugado, podemos estudar a divisão de números complexos.
Sejam os números complexos e , de modo que , podemos definir a divisão como: 
Note que, quando efetuamos a divisão de dois números complexos, estamos expressando estes números em
forma de fração e multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador da fração.
Veja a divisão dos seguintes números complexos:
 e :
 e :
 e :
Por fim, vamos tratar da última operação dos números complexos: a . Sendo assim,potenciação de 
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
- -21
Por fim, vamos tratar da última operação dos números complexos: a . Sendo assim,potenciação de 
consideremos a unidade imaginária e vamos calcular algumas potências de para analisarmos como os seus
resultados aparecem.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• .
Você consegue perceber algum padrão nos resultados das potências de ?
Podemos verificar que os resultados , com pertencente aos reais, repetem-se a cada quatro unidades da
seguinte forma:
• Números divisíveis por quatro: .
• Números que, divididos por 4, deixam resto 1: .
• Números que, divididos por 4, deixam resto 2: .
• Números que, divididos por 4, deixam resto 3: .
Sendo assim, para encontrarmos o resultado da potência de elevado a um expoente real, basta calcularmos ,
sendo o resto da divisão de por .
Seguindo esta ideia, vamos determinar , e .
• Para calcular , vamos dividir inicialmente 22 por 4. Note que , isto é, o quociente da 
divisão é 5 e o resto é 2. Logo, .
• Para determinarmos o valor de i^37, vamos dividir 37 por 4. Como , podemos concluir que o 
quociente da divisão é 9 e o resto é 1. Logo, .
• Para calcular o valor de , precisamos observar, primeiramente, que 
. Observe que 16 é um número divisível por 4, logo 
.
Por enquanto, não aprofundaremos o estudo da potenciação para qualquer número complexo na forma 
. O cálculo da potência , sendo um número natural, se torna muito trabalhoso quando utilizamos a forma
algébrica do número complexo, uma vez que é necessário aplicar o Binômio de Newton para desenvolver a
potência , que equivale a .
Assim você teve a oportunidade de iniciar seus estudos acerca do conjunto dos números complexos, suas
principais operações e propriedades. Assim, foi possível perceber que os números complexos formam um
conjunto mais abrangente do que o conjunto dos reais, apesar de ser menos utilizado em situações cotidianas.
Uma importante aplicação dos números complexos é permitir a determinação de soluções para equações e
inequações polinomiais, principalmente as quadráticas, que não apresentam soluções reais.
Síntese
Neste capítulo, você aprofundou os conceitos de inequações polinomiais e racionais, obtendo os subsídios
necessários para a identificação de situações e problemas práticos que utilizam esses conceitos no
desenvolvimento de resolução. Além disso, foi possível conhecer aspectos históricos e conceitos importantes
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
- -22
desenvolvimento de resolução. Além disso, foi possível conhecer aspectos históricos e conceitos importantes
sobre o conjunto dos números complexos.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• aprender métodos e procedimentos de resolução de inequações polinomiais e racionais;
• utilizar os conhecimentos de inequações algébricas para resolver problemas e situações aplicadas;
• aprender a utilizar o GeoGebra® para a representação, análise e solução de problemas envolvendo 
equações e inequações;
• compreender o conjunto dos números complexos e suas operações;
• utilizar a representação gráfica dos números complexos.
Bibliografia
ÁVILA, G. Equações e inequações com radicais. In: BRASIL. Ministério da Educação. Explorando o Ensino da
: Álgebra. Brasília: Ministério da Educação, 2004. p. 252-256. Disponível em: <Matemática http://portal.mec.gov.
>. Acesso em: 16/07/2018.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap5.pdf
DEMANA, F. D. et al. . 2 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.Pré-cálculo
GEOGEBRA. 2018. Disponível em: < >. Acesso em: 16/07/2018.https://www.geogebra.org/
GÓES, A. R. T. . Curitiba: InterSaberes, 2015.Números Complexos e equações algébricas
M3 MATEMÁTICA Multimídia. . 20 mar. 2012. Disponível em: <Um sonho complexo https://www.youtube.com
>. Acesso em: 23/07/2018./watch?v=6KTwK0aTwr0
PINTO JUNIOR, U. : das quantidades sofisticadas de Cardano às linhasA história dos números complexos
orientadas de Argand. 2009. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Rio de Janeiro, 2009. Disponível em: < >. Acesso em:http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/12%20Ulicio%20Pinto.pdf
16/07/2018.
STEWART, I. : uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos. Rio deEm busca do infinito
Janeiro: Zahar, 2014.
STEWART, J. . São Paulo: Cengage Learning, 2013. Vol. 1.Cálculo
YOUNG, C. Y. . Rio de Janeiro: LTC, 2017.Álgebra e Trigonometria
•
•
•
•
•
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap5.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap5.pdf
https://www.geogebra.org/
https://www.youtube.com/watch?v=6KTwK0aTwr0
https://www.youtube.com/watch?v=6KTwK0aTwr0
http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/12%20Ulicio%20Pinto.pdf
	Introdução
	3.1 Inequações
	3.2 Aplicações das equações e inequações
	3.2.1 Problema 1: disparo de um projétil
	3.2.2 Problema 2: escalas de temperatura
	3.2.3 Problema 3: negociação
	3.2.4 Problema 4: lucro
	3.3 Estudo do conjunto dos números complexos
	3.4 Números complexos: operações
	Síntese
	Bibliografia