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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL (GABARITO) 1. Quantos vértices tem um poliedro convexo que possui 14 faces e 36 arestas? Resposta: 24 vértices Resolução: Do enunciado tem-se que 𝐹 = 14 e 𝐴 = 36 Assim: 𝑉 + 𝐹 − 𝐴 = 2 𝑉 + 14 − 36 = 2 𝑉 = 2 + 36 − 14 𝑉 = 24 O poliedro tem 24 vértices. 2. Dois blocos de ferro, com formato cúbico, têm arestas medindo 10 cm e 8 cm e são levados juntos à fusão. Em seguida, o metal líquido é moldado formando um paralelepípedo com 6 cm de largura, 7 cm de altura e k cm de comprimento. Determine o valor do comprimento k do paralelepípedo. Resposta: 36 𝑐𝑚 Resolução: Lembremos que, sendo x, y e z as dimensões do paralelepípedo, seu volume é dado por: 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑥 . 𝑦 . 𝑧 Lembremos também que o volume de um cubo de aresta 𝑎 é dado por: 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎 3 Assim, após o derretimento, o paralelepípedo apresenta o mesmo volume dos dois cubos juntos, desta forma: 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 1 + 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 2 𝑥 . 𝑦 . 𝑧 = 𝑎1 3 + 𝑎2 3 6 . 7 . 𝑘 = 103 + 83 42𝑘 = 1000 + 512 42𝑘 = 1512 𝑘 = 1512 42 𝑘 = 36 𝑐𝑚 O comprimento k do paralelepípedo mede 36 cm. 3. Um reservatório cúbico está totalmente cheio com 6 m3 de água. Toda essa água foi transferida para outro tanque cilíndrico reto de 1 m de raio. Qual a altura, aproximada, de água atingida no tanque receptor após a água ser totalmente transferida? (Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒). Resposta: 1,91 m Resolução: O volume de água contido no reservatório cúbico, após transferido, é igual ao volume de um cilindro (de água) de altura h desconhecida. Assim: 𝑉á𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑉á𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 6 = 𝜋 . 𝑟2. ℎ 6 = 3,14 . 12. ℎ 6 = 3,14 . ℎ 6 3,14 = ℎ ℎ = 1,91 𝑚 Logo, a altura de água no reservatório cilíndrico será de aproximadamente 1,91 m. 4. Num prisma regular de base hexagonal, a área lateral mede 36 m2 e a altura é 3 m. Qual a medida da aresta da base desse prisma? Resposta: 2 m Resolução: Sendo 𝑆𝑙 = 36 𝑚 2 a área lateral dada por 𝑆𝑙 = 6 . 𝑙 . ℎ e 𝑙 a medida da aresta da base do prisma, tem-se que: 𝑆𝑙 = 6 . 𝑙 . ℎ 36 = 6 . 𝑙 . 3 36 = 18 𝑙 𝑙 = 36 18 ⇒ 𝑙 = 2 𝑚 A medida da aresta da base desse prisma é 2 m. 5. Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo. Calcule o volume de chocolate contido nessa barra. (Use √𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑.) Resposta: 83,04 cm3 Resolução: O volume (V) de um prisma é dado por: 𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ Aplicando teorema de Pitágoras obtemos a medida da altura do triângulo ABC: 42 = 22 + ℎ2 16 = 4 + ℎ2 16 − 4 = ℎ2 12 = ℎ2 ℎ = √12 Decompondo 12 em fatores primos tem-se 22. 3, desta forma, √12 = √22. 3 = 4√3. Assim: ℎ = 4. √3 Assim, sendo a base do prisma um triângulo equilátero (todos os lados com medidas iguais) e sabendo-se que a área (A) de um triângulo equilátero é dada por 𝑙2.√3 4 , tem-se que a área da base é: 𝐴 = 𝑙2. √3 4 𝐴 = 42. 1,73 4 𝐴 = 16 . 1,73 4 𝐴 = 27,68 4 𝐴 = 6,92 𝑐𝑚2 O volume do prisma é: 𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ 𝑉 = 6,92 . 12 𝑉 = 83,04 𝑐𝑚3 O volume do prisma é 83,04 cm3. 6. As medidas internas de uma caixa-d’água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 m, 1 m e 0,7 m. Qual a capacidade desta caixa-d’água? Resposta: 0,84 𝑚3 Resolução: Sendo 𝑎, 𝑏, e 𝑐 as dimensões do paralelepípedo, seu volume (sua capacidade) é: 𝑉 = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐 𝑉 = 1,2 . 1 . 0,7 𝑉 = 0,84 𝑚3 7. Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura. Resposta: 384 𝑚3 Resolução: O galpão tem a forma de um prisma de base quadrangular e a base é formada por um retângulo e um triângulo, conforme a figura acima. Assim, a área da base (Sb) será a soma da área do retângulo com a área do triângulo: 𝑆𝑏 = 𝑏. ℎ + 𝑏 . ℎ 2 𝑆𝑏 = 8.3 + 8 . 2 2 𝑆𝑏 = 24 + 16 2 𝑆𝑏 = 24 + 8 𝑆𝑏 = 32 𝑚 2 O volume (V) do prisma será: 𝑉 = 𝑆𝑏 . ℎ 𝑉 = 32 . 12 𝑉 = 384 𝑚3 8. A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Qual é o volume dessa pirâmide, se sua altura mede 𝟔√𝟑 𝒄𝒎? Resposta: 144 𝑐𝑚3 Resolução: A base da pirâmide é formada por 6 triângulos equiláteros com lados medindo 4 cm: A área de um triângulo equilátero é dada por 𝑙2.√3 4 , desta forma, tem-se que a área da base (𝐴𝑏) da pirâmide é: 𝐴𝑏 = 6 . 𝑙2. √3 4 𝐴𝑏 = 6 . 42. √3 4 𝐴𝑏 = 6 . 16. √3 4 𝐴𝑏 = 96. √3 4 𝐴𝑏 = 24√3 𝑐𝑚 2 O volume da pirâmide é: 𝑉 = 1 3 . 𝐴𝑏 . ℎ 𝑉 = 1 3 . 24√3 . 6√3 𝑉 = 24 . 6 . √3 . √3 3 𝑉 = 144 . √9 3 𝑉 = 144 . 3 3 𝑉 = 432 3 𝑉 = 144 𝑐𝑚3 9. Uma pirâmide regular tem base quadrada inscrita em um círculo de raio 8 cm e seu apótema é igual ao semiperímetro da base. Calcular o volume da pirâmide. Resposta: 512√30 3 𝑐𝑚3 𝑜𝑢 ≅ 934,78 𝑐𝑚3 Resolução: O volume (𝑉) da pirâmide é dado por 𝑉 = 1 3 . 𝐴𝑏 . ℎ. Desta forma, para calcular o volume da pirâmide temos que saber os valores de sua área da base e de sua altura. • Cálculo da medida do lado da base da pirâmide: A medida da diagonal (d) do quadrado é dada por 𝑑 = 𝑙√2. Como a base quadrada está inscrita no círculo, e como a diagonal é igual a 2 vezes a medida do raio, tem-se que a diagonal (d) do quadrado é igual 2 . 8 = 16. Sabendo-se a medida da diagonal do quadrado, obtém-se a medida do seu lado: 𝑑 = 𝑙√2 16 = 𝑙√2 16 √2 = 𝑙 Racionalizando o denominador, tem-se: 𝑙 = 16 √2 . √2 √2 𝑙 = 16 . √2 √4 𝑙 = 16 . √2 2 𝑙 = 8√2 𝑐𝑚 Sabendo-se a medida do lado do quadrado da base, que a medida do apótema (a) é igual ao semiperímetro ( 𝑃 2 ) da base e que o perímetro (𝑃) do quadrado é igual a 4 vezes a medida do seu lado (𝑙), obtém-se a medida do apótema (a) da pirâmide: (OBS: Semiperímetro é igual à metade da medida do perímetro). Assim: 𝑎 = 𝑃 2 𝑎 = 4 . 𝑙 2 𝑎 = 4 . 8√2 2 𝑎 = 32√2 2 Assim, a medida do apótema (a) da pirâmide é: 𝑎 = 16√2 𝑐𝑚 Sabendo-se a medida do apótema da pirâmide e a medida do lado do quadrado da base, obtém- se a medida da altura da pirâmide, aplicando o teorema de Pitágoras: 𝑎2 = ℎ2 + ( 𝑙 2 ) 2 (16√2) 2 = ℎ2 + ( 8√2 2 ) 2 162. (√2) 2 = ℎ2 + (4√2) 2 256 . 2 = ℎ2 + 42. (√2) 2 512 = ℎ2 + 16 . 2 512 = ℎ2 + 32 512 − 32 = ℎ2 480 = ℎ2 √480 = ℎ Decompondo 480 em fatores primos obtém-se 22 . 22 . 2 . 3 . 5 ℎ = √22 . 22 . 2 . 3 . 5 ℎ = 2 . 2 √2 . 3 . 5 Assim, a medida da altura da pirâmide é: ℎ = 4√30 𝑐𝑚 Sabendo-se que a área da base (𝐴𝑏) do quadrado é igual à medida do lado (𝑙) ao quadrado e que a altura da pirâmide é 4√30 𝑐𝑚, podemos calcular o volume (𝑉) da pirâmide: 𝑉 = 1 3 . 𝐴𝑏 . ℎ 𝑉 = 1 3 . (8√2) 2 . 4√30 𝑉 = 1 3 . 82. (√2) 2 . 4√30 𝑉 = 1 3 . 64 . 2 . 4√30 𝑉 = 64 . 2 . 4√30 3 𝑉 = 512√30 3 𝑐𝑚3 Ou 𝑉 ≅ 934,78 𝑐𝑚3 Decomposição de 480 em fatores primos: 480 2 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 22 . 22 . 2 . 3 . 5 10. Uma bobina de papel para a fabricação de jornal tem a forma cilíndrica. Sabendo que essa bobina tem 102 cm de diâmetro por 137 cm de comprimento, qual a quantidade mínima (área) de papel utilizado para embalar cada um desses rolos cilíndricos? (Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒). Resposta: 6,02 𝑚2 Resolução: Sendo a medida do diâmetro da base igual a 102 cm, e sabendo-se que a medida do raio é igual à metade da medida do diâmetro, tem-se que a medida do raio (𝑟) da base é igual a 51 cm. A área total (𝐴𝑡) do cilindro é dada por: 𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟 . (ℎ + 𝑟) Assim: 𝐴𝑡 = 2 . 3,14 . 51 . (137 + 51) 𝐴𝑡 = 320,28 .(188) 𝐴𝑡 = 60212,64 𝑐𝑚 2 Ou 𝐴𝑡 ≅ 6,02 𝑚 2 11. Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. Qual a medida do raio dessa circunferência, em centímetros? Resposta: 5 𝑐𝑚 Resolução: 𝟏𝟑𝟐 = 𝟏𝟐𝟐 + 𝒓𝟐 𝟏𝟔𝟗 = 𝟏𝟒𝟒 + 𝒓𝟐 𝟏𝟔𝟗 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝒓𝟐 𝟐𝟓 = 𝒓𝟐 𝒓 = √𝟐𝟓 𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎 12. Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8𝝅 cm2, calcule a medida do raio da esfera. Resposta: √2 𝑐𝑚 Resolução: A área (𝑆) da superfície esférica é dada por: 𝑆 = 4 . 𝜋 . 𝑟2 Assim: 8𝜋 = 4 . 𝜋 . 𝑟2 8 = 4 . 𝑟2 8 4 = 𝑟2 2 = 𝑟2 𝑟 = √2 𝑐𝑚 13. Uma fôrma de gelo, como a da figura abaixo, tem a forma de tronco de pirâmide, de bases retangulares, com as medidas indicadas. a) Qual a quantidade de água necessária para encher completamente essa fôrma de gelo? Resposta: = 28,62 𝑐𝑚3 b) Sabendo-se que, ao congelar, o volume de água aumenta em 8%, qual o volume de gelo que teremos após o congelamento? Resposta: ≅ 30,91𝑐𝑚3 Resolução: a) Temos que calcular o volume (𝑉) do tronco de pirâmide que é dado por: 𝑉 = ℎ 3 . [ 𝐵 + √𝐵 . 𝑏 + 𝑏] Onde: 𝑉 ⟶ é 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 ℎ ⟶ é 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝐵 ⟶ é 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑏 ⟶ é 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 Cálculo da área da base maior (𝐵): 𝐵 = 3,2 . 4,5 = 14,4 𝑐𝑚2 Cálculo da área da base menor (𝑏): 𝑏 = 3 . 1,8 = 5,4 𝑐𝑚2 Sabendo-se a medida da altura do tronco de pirâmide (ℎ = 3 𝑐𝑚), a medida da base maior (𝐵 = 14,4 𝑐𝑚2) e a medida da base menor (𝑏 = 5,4 𝑐𝑚2) do tronco de pirâmide, tem-se que o volume é: 𝑉 = ℎ 3 . [ 𝐵 + √𝐵 . 𝑏 + 𝑏] 𝑉 = 3 3 . [ 14,4 + √14,4 . 5,4 + 5,4] 𝑉 = 1 . [ 14,4 + √77,76 + 5,4] 𝑉 = 14,4 + 8,82 + 5,4 𝑉 = 28,62 𝑐𝑚3 b) Lembremos que 100% equivale ao todo (um inteiro) ou seja, 100% = 100 100 = 1. Assim: 8% = 8 100 = 0,08 Aumentar em 8% significa somar 0,08 ao inteiro 1. Desta forma: Aumentar em 8% significa multiplicar por 1 + 0,08, ou seja, multiplicar por 1,08. Desta forma, o volume (𝑉′) de gelo que teremos após o congelamento será 1,08 multiplicado pelo volume inicial (𝑉): 𝑉′ = 1,08 . 𝑉 𝑉′ = 1,08 . 28,62 𝑉′ ≅ 30,91𝑐𝑚3
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