2021-06-15T17-47-37-764598-Aula_19-6

Prévia do material em texto

ESTUDO DOS POLÍGONOS 
AULA 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01 
Competência 2 - Utilizar o conhecimento geométrico para 
realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre 
ela. 
 
Estudos dos polígonos 
 
O Pentágono foi inaugurado em 15 de janeiro de 1943 e continua 
sendo um dos edifícios mais famosos do mundo. Sempre foi parte 
das forças armadas dos Estados Unidos desde sua construção 
durante a Segunda Guerra Mundial. 
 
O Pentágono é usado para abrigar todas as forças armadas (exército, 
marinha, aeronáutica, fuzileiros navais e guarda costeira) sob um 
telhado. Assim surgiu o conceito atual do Pentágono. 
 
Nomenclatura dos polígonos: 
De acordo com o número n de lados os polígonos recebem nomes 
especiais. 
 
Em geral, para um número n ( 3n ) qualquer de lados dizemos 
que o polígono é um láteron − . 
 
Polígono Regular: 
Um polígono é regular quando possui todos os seus lados 
congruentes (Eqüilátero) e ângulos também congruentes 
(Eqüiângulo). 
 
Número de Diagonais, Ângulos internos e Ângulos externos: 
 
I) Número de Diagonais: 
 
Obs.: Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades 
são vértices não consecutivos do polígono. 
 
 
 
 
 
 
II) Soma dos ângulos internos de um polígono convexo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
III) Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (UEPB/2009) O número de diagonais de um octógono é: 
a) 20 b) 28 c) 56 d) 48 e) 24 
 
02. (UEPB/2007) Aumentando-se de 5 unidades o número de 
lados de um polígono, o número de diagonais aumenta de 40. Esse 
polígono é o: 
a) heptágono c) hexágono e) eneágono 
b) pentágono d) octógono 
 
03. (G1 - cp2 2016) A figura a seguir mostra um polígono regular 
de 14 lados e todas as suas diagonais: 
 
O número de diagonais traçadas é de 
a) 77. b) 79. c) 80. d) 98. 
 
 
 
 
http://www.google.com.br/imgres?q=%C3%A2ngulos+externos+de+um+pol%C3%ADgono&hl=pt-BR&biw=1366&bih=541&tbm=isch&tbnid=Dq14FtBTL1eIvM:&imgrefurl=http://matematica-para-todos.wikispaces.com/Pol%C3%ADgono+-+Soma+dos+%C3%A2ngulos+externos+-+Dem(2)&docid=PxWze806Q10DCM&imgurl=http://matematica-para-todos.wikispaces.com/file/view/imagem44.png/122564883/imagem44.png&w=492&h=404&ei=JU3nUZ-xIZOA9gSjrIDIDg&zoom=1&iact=hc&vpx=267&vpy=219&dur=1014&hovh=203&hovw=248&tx=123&ty=134&page=1&tbnh=140&tbnw=171&start=0&ndsp=20&ved=1t:429,r:15,s:0,i:124
 
 
 
 
 
 
19 
02 
04. (ETEC SP/2020) Carlos Rogério, empresário do ramo de festas 
e eventos, decidiu oferecer a seus clientes embalagens diferenciadas 
para as populares lembrancinhas. Segundo o empresário, a 
introdução de uma embalagem em formato de poliedro convexo 
regular (apresentada na imagem, com sua planificação) aumentou 
seu faturamento no último mês. 
 
Sabendo que todas as faces da embalagem de Carlos Rogério são 
polígonos regulares, pode-se afirmar que um ângulo interno de uma 
dessas faces mede 
a) 108° b) 180° c) 360° d) 405° e) 540° 
 
05. (UEL PR/2010) Seja o heptágono irregular, ilustrado na figura 
seguinte, onde seis de seus ângulos internos medem 120º, 150º, 
130º, 140º, 100º e 140º. 
A medida do sétimo ângulo é 
 
a) 110º b) 1200 c) 130º d) 140º e) 150º 
 
06. (G1 - utfpr 2016) O valor de x no pentágono abaixo é igual 
a: 
 
a) 25 . b) 40 . c) 250 . d) 540 . e) 1.000 . 
 
07. (UEPB/2009) Sabendo que a figura abaixo nos mostra um 
mosaico onde todos os pentágonos são regulares e iguais entre si, 
então x + y é igual a: 
 
a) 240º d) 232º 
b) 216º e) 220º 
c) 224º 
08. (G1 - epcar (Cpcar) 2021) Para participar de um concurso no 
qual serão escolhidos mosaicos para a calçada de uma igreja, um 
artista construiu seu mosaico usando pentágonos regulares e 
losangos dispostos conforme figura a seguir: 
 
Sabe-se que â e b̂ são ângulos do pentágono regular e do losango, 
respectivamente. 
Se a soma ˆâ b+ equivale a x graus, então, quanto ao valor de x 
pode-se afirmar que é um número 
a) primo. 
b) quadrado perfeito. 
c) divisível por 7. 
d) múltiplo de 10. 
 
09. (Fmj 2021) Em um hexágono regular foram traçadas duas 
diagonais e um segmento de reta, cujas extremidades são um ponto 
sobre um dos lados e um ponto sobre uma das diagonais traçadas, 
conforme mostra a figura. 
 
O valor de α β+ é igual a 
a) 230 b) 220 c) 235 d) 225 e) 215 
 
10. (G1 - ifce 2019) O polígono regular convexo cujo ângulo 
interno é 
7
2
 do seu ângulo externo é 
a) octógono. d) icoságono. 
b) dodecágono. e) eneágono 
c) decágono. 
 
11. (G1 - utfpr 2015) Os ângulos externos de um polígono regular 
medem 15 . O número de diagonais desse polígono é: 
a) 56. d) 
b) 24. e) 
c) 252. 
 
12. (G1 - ifsul 2015) Sabe-se que a medida de cada ângulo interno 
de um polígono regular é 144 , então qual é o número de diagonais 
de tal polígono? 
a) 10 
b) 14 
c) 35 
d) 72 
128.
168.
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
03 
13. (ENEM/2011) 
 
Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010. 
 
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, 
em torno de seu centro, de 
a) 45°. b) 60°. c) 90º d) 120°. e) 180°. 
 
14. (G1 - ifsp 2013) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que 
constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do 
mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua 
Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno 
é 110° e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. 
Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte 
e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de 
 
a) 50°. b) 60°. c) 70°. d) 80°. e) 90°. 
 
15. (Unifesp 2003) Pentágonos regulares congruentes podem ser 
conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, 
conforme destacado na figura. 
 
Nestas condições, o ângulo è mede 
a) 108°. b) 72°. c) 54°. d) 36°. e) 18°. 
 
16. (Uerj 2020) Três pentágonos regulares congruentes e quatro 
quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente 
adjacentes, até se completar o polígono regular 
ABCDEFGH A, que possui dois eixos de simetria indicados 
pelas retas r e s. 
Se as retas perpendiculares r e s são mediatrizes dos lados AB 
e FG, o número de lados do polígono ABCDEFGH A é igual 
a: 
a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 
 
17. (FGV /2013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 
1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do 
polígono AQCEF, em dm, é igual a 
 
a) 
b) 
c) 6 
d) 
e) 
 
18. A moldura de um retrato é formada por trapézios congruentes, 
como está representado na figura abaixo. A moldura dá uma vota 
completa em torno do retrato. Quantos trapézios formam essa 
moldura? 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
19. (ENEM) Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa 
lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular 
quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma 
parte triangular, conforme mostra a figura. 
 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que 
faltava e, para isso, anotou as medidas dos ângulos , 
 e do triângulo ADE. 
As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, respectivamente, 
a) 18, 18 e 108. 
b) 24, 48 e 108. 
c) 36, 36 e 108. 
d) 54, 54 e 72. 
e) 60, 60 e 60. 
24 +
34+
54+
( )222 +
DÂEx =
AD̂Ey = DÊAz =
 
 
 
 
 
 
19 
04 
20. (Enem PPL 2018) As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: 
MMA – mixed martial arts são realizadas num octógono regular. De 
acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão 
respectivamentenas posições G e F, e o juiz está na posição I. O 
triângulo IGH é equilátero e ˆGIF é o ângulo formado pelas 
semirretas com origem na posição do juiz, respectivamente passando 
pelas posições de cada um dos lutadores. 
 
A medida do ângulo ˆGIF é 
a) 120 b) 75 c) 67,5 d) 60 e) 52,5 
 
21. (ENEM/2020) Um estudante, morador da cidade de Contagem, 
ouviu dizer que nessa cidade existem ruas que formam um hexágono 
regular. Ao pesquisar em um sítio de mapas, verificou que o fato é 
verídico, como mostra a figura. 
 
Disponível em: www.google.com. Acesso em: 7 dez. 2017 (adaptado). 
 
Ele observou que o mapa apresentado na tela do computador estava 
na escala 1 : 20 000. Nesse instante, mediu o comprimento de um 
dos segmentos que formam os lados desse hexágono, encontrando 
5 cm. 
Se esse estudante resolver dar uma volta completa pelas ruas que 
formam esse hexágono, ele percorrerá, em quilômetro, 
a) 1. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 20. 
e) 24. 
 
22. (G1 - ifsul 2017) Um objeto de decoração tem a forma de um 
pentágono regular, apresentando todas as suas diagonais. Sabe-se 
que cada diagonal foi pintada de uma cor diferente das demais. 
Então, qual é o número de cores diferentes que foram utilizadas na 
pintura de tais diagonais? 
a) 5 
b) 6 
c) 8 
d) 9 
 
 
 
 
23. (Ufscar 2007) O projeto de uma ferramenta prevê que ela se 
encaixe perfeitamente em um parafuso de cabeça hexagonal regular, 
como indica a figura. 
 
Calcule as medidas de x e y, admitindo a medida do lado do 
hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a 2 cm. 
a) x = 2 cm e y = 3 cm 
b) x = 3 cm e y = 3 cm 
c) x = 2,5 cm e y = 3 3 cm 
d) x = 3 cm e y = 2 3 cm 
e) x = 3,5 cm e y = 2 3 cm 
 
24. (Enem 2014) Uma pessoa possui um espaço retangular de 
lados 11,5m e 14m no quintal de sua casa e pretende fazer um 
pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, 
descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com 
uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre 
elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um 
número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas 
alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. 
 
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no 
espaço disponível é 
a) 4. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 20. 
 
25. (UFG GO/2010) Uma empresa de vigilância irá instalar um 
sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo 
polígono da figura abaixo. 
 
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada 
no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do 
polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os 
equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono 
mede 3.000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à 
distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule, 
aproximadamente, a distância do ponto A, onde será instalada a 
torre, aos vértices do polígono. 
a) 1500 
b) 1732 
c) 1800 
d) 1845 
e) 1900 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
05 
26. (G1 - cp2 2018) Alguns polígonos regulares, quando postos 
juntos, preenchem o plano, isto é, não deixam folga, espaço entre 
si. Por outro lado, outras combinações de polígonos não preenchem 
o plano. 
A seguir, exemplos desse fato: a Figura 1, formada por hexágonos 
regulares, preenche o plano; a Figura 2, formada por pentágonos e 
hexágonos regulares, não preenche o plano. 
 
Na Figura 2, a medida do ângulo é igual a x 
a) 14 . b) 12 . c) 10 . d) 8 . 
 
27. (ENEM/2014) Um fabricante planeja colocar no mercado duas 
linhas de cerâmicas para revestimento de pisos. Diversas formas 
possíveis para as cerâmicas foram apresentadas e decidiu-se que o 
conjunto P de formas possíveis seria composto apenas por figuras 
poligonais regulares. 
Duas formas geométricas que fazem parte de P são 
a) triângulo e pentágono. d) hexágono e heptágono. 
b) triângulo e hexágono. e) hexágono e octógono. 
c) triângulo e octógono. 
 
28. (IFGO) As abelhas, quando armazenam o mel, o fazem em 
compartimentos individuais, de tal maneira que formem um mosaico 
sem buracos nem saliências entre as células, pois elas têm que 
aproveitar o espaço ao máximo. Assim estamos diante da seguinte 
questão: quais são os polígonos regulares que se encaixam 
perfeitamente sem deixar nenhum espaço vago entre eles e que 
otimizam a quantidade de mel armazenado nos seus 
correspondentes mosaicos? 
Uma condição necessária para que os polígonos possam ser 
dispostos entre si sem deixar espaços ou sobreposições é que a soma 
da medida dos ângulos internos em torno de cada vértice tem que 
ser 360º. 
BASSANEZI, Rodney C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. 
Ed. Contexto. 2004, p. 214. (Adaptado). 
 
Assim, com relação ao formato das células que constituem o 
mosaico, pode-se concluir que: 
a) Podem ter o formato de pentágono e hexágono. 
b) Não podem ser heptágonos e hexágonos. 
c) Só podem ser triangulares ou quadrangulares. 
d) Só podem ser hexagonais ou triangulares. 
e) Podem ser triangulares, quadrangulares ou hexagonais. 
 
POLÍGONOS INSCRITOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. (ENEM-2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que 
estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida 
de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada 
sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento 
adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma 
plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a 
medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida 
L do lado da base da estátua. 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo 
que a exigência de segurança seja cumprida? 
a) R L/ 2 d) 
b) R 2L/π e) 
c) R L/ π 
 
30. (Mackenzie 2019) Os raios das circunferências, inscrita e 
circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são, 
respectivamente, 
a) 
a
3
 e 
2a
3
 d) e 
b) 
a
2
 e a e) e 
c) 
a 2
2
 e a 2 
 
31. (Ueg 2019) Observando-se o desenho a seguir, no qual o 
círculo tem raio r, e calculando-se o apótema 4a , obtemos 
 
a) 2r 2 c) e) 
b) 3r 2 d) 
R L/2
( )R L/ 2 2
a 3
6
a 3
3
a 3
2
a 3
3r
2
2
r 2
r
2
2
 
 
 
 
 
 
19 
06 
32. (Enem 2016) Um marceneiro está construindo um material 
didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 
10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de 
madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu 
formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de 
madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma 
quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 
3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero 
(T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base 
circular (C). 
O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração 
circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais 
perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda 
a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo 
(broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, 
encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de 
diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; 
(IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm. 
 
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 3, 
respectivamente. 
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra 
copo o marceneiro deverá escolher? 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
33. (UFPB-2006) A figura a seguir representa um barril totalmente 
fechado, que foiconstruído unindo-se 12 
tábuas encurvadas e iguais, encaixadas e 
presas a outras 2 tábuas circulares e iguais, 
de raio 10 cm. Com base nessas 
informações, pode-se concluir que a 
medida, em cm, do segmento de reta AB é 
igual a: 
a) 10 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
 
34. (Enem PPL 2016) Um arquiteto deseja construir um jardim 
circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno 
será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de 
um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. 
Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte 
externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do 
jardim, serão usados 15 kg de terra para cada 2m . A terra vegetal 
é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como 
valor aproximado para .π 
 
O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir 
a parte descrita do jardim é 
a) 100. 
b) 140. 
c) 200. 
d) 800. 
e) 1.000. 
 
35. (Ufscar 2003) Para fins beneficentes, foi organizado um desfile 
de modas num salão em forma de círculo, com 20 metros de raio. A 
passarela foi montada de acordo com a figura a seguir, sendo que as 
passarelas CA e CB são lados que corresponderiam a um triângulo 
equilátero inscrito na circunferência. No espaço sombreado, ocupado 
pela plateia, foram colocadas cadeiras, sendo uma cadeira por m2 e 
um ingresso para cada cadeira. 
 
Adotando 3 = 1,73 
Determine quantos metros, aproximadamente, cada modelo desfilou, 
seguindo uma única vez o roteiro BC, CA, AO e OB. 
a) 80 metros 
b) 101 metros 
c) 109 metros 
d) 142 metros 
e) 165 metros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. [A] 02. [A] 03. [A] 04. [A] 05. [B] 06. [B] 07. [B] 08. [B] 09. [B] 10. [E] 
11. [C] 12. [C] 13. [D] 14. [B] 15. [D] 16. [B] 17. [B] 18. [D] 19. [C] 20 [E] 
21. [C] 22. [A] 23. [D] 24. [C] 25. [B] 26. [B] 27. [B] 28. [E] 29. [A] 30. [D] 
31. [D] 32. [B] 33. [A] 34. [A] 35. [C]