Método de Euler completo

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Uma ED de primeira ordem ⎯⎯ = 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma fonte de informação. Vimos que 
podemos reunir várias informações qualitativas de uma ED de primeira ordem sem 
resovê-la. Examinamos algumas EDs de primeira ordem analiticamente, isto é, vimos 
alguns procedimentos para obtenção de soluções explícitas e implícitas. Porém, uma ED 
pode assumir uma solução que talvez não sejamos capazes de obter analiticamente. Para 
completar o quadro dos diferentes tipos de análises de equações diferenciais, veremos um 
método pelo qual podemos resolver uma ED numericamente, e isso significa que a ED é 
utilizada como base para um algoritmo para aproximar a solução desconhecida.
Desenvolveremos o método mais simples dos métodos numéricos aqui, que é aquele que 
utiliza a ideia de que uma linha tangente pode ser usada para aproximar os valores de uma 
função nas proximidades do ponto de tangência. Há tratamentos mais extensos tais como 
o método de Euler, Método de Runge-Kutta e o Método dos Passos Múltiplos por 
exemplo, que não serão tratados na disciplina, mas está presente nos livros:
BOYCE, William; DiPRIMA, Richard; IORIO, Valéria de Magalhães. Equações 
Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 9.ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2010. 
ZILL, Denis. Equações diferenciais. 3.ed. São Paulo: Makron Books, 2001. v.1 
Vamos lembrar de dois fatos importantes sobre um PVI de primeira ordem:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯= 𝑓(𝑡, 𝑦)
𝑦(𝑡 ) = 𝑦
 (1)
(1°) Se 𝑓(𝑡, 𝑦) e ⎯⎯ são contínuas, então o PVI (1) tem uma única solução 𝑦 = ϕ(𝑡)em 
algum intervalo contendo o ponto inicial 𝑡 = 𝑡 .
(2°) Não é possível, em geral, encontrar a solução ϕ por manipulações simbólicas da ED. 
Até agora o que vimos foram as principais exceções a essa afirmação, que foram as EDOs 
lineares e as não lineares: separáveis, homogêneas e exatas ou EDOs que podem ser 
transformadas em um desses tipos. 
Apesar disso, a maioria dos PVIs de primeira ordem não podem ser encontrados por 
métodos analíticos como os que foram vistos. É importante saber abordar o PVI de outras 
maneiras. Uma das maneiras é desenhar o campo de direções, o que não envolve resolver 
a ED, e depois visualizar o comportamento das soluções com base nesse campo. É um 
método simples até mesmo para EDOs mais complicadas. No entanto, não serve para 
cálculos quantitativos ou comparações.
Vamos a um exemplo:
Seja a EDO de primeira ordem:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3 − 2𝑡 −
1
2
𝑦
Um método numérico
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𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯= 3 − 2𝑡 −
1
2
⎯⎯𝑦
Vamos analisar seu campo de direções:
Vemos que a partir do eixo y (do seu lado direito), a solução aumenta com t, logo atinge 
um valor máximo e começa a diminuir enquanto t continua aumentando. Muitos 
segmentos de retas tangentes em valores sucessivos de t quase se tocam. Começando em 
um ponto de y e unindo os segmentos para valores sucessivos de t na malha, conseguimos 
produzir um gráfico linear por partes que seria aparentemente uma aproximação de uma 
solução para a ED.
Vamos transformar essa ideia em um método útil de geração de soluções aproximadas. 
Para isso precisamos responder a diversas perguntas, dentre as quais se destacam:
(1) Podemos efetuar essa união de segmentos de retas tangentes de modo sistemático e 
direto?
(2)Em caso afirmativo, a função linear por partes resultantes fornece uma aproximação 
para a solução de fato da ED?
(3) Em caso afirmativo, podemos descobrir a precisão da aproximação? Ou seja, podemos 
estimar o quão longe a aproximação está da solução?
A resposta a cada uma dessas perguntas é afirmativa.
O método resultante foi desenvolvido por Euler em torno de 1768, e é conhecido como 
MÉTODO DA RETA TANGENTE ou MÉTODO DE EULER.
Vamos tratar aqui nas duas primeiras questões e a terceira questão não será vista nesse 
curso, mas está no capítulo 8 do livro do Boyce.
Para ver como funciona o método de Euler vamos considerar como poderíamos usar retas 
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Para ver como funciona o método de Euler vamos considerar como poderíamos usar retas 
tangentes para aproximar a solução 𝑦 = ϕ(𝑡)das equações (1) perto de 𝑡 = 𝑡 .
Sabemos que a solução contém o ponto inicial (𝑡 , 𝑦 ). Sabemos que a inclinação nesse 
ponto é dada por 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(pois ⎯⎯ = 𝑓(𝑡, 𝑦) é a inclinação da reta tg, logo 
𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = ⎯⎯⎯).
Vamos então escrever a equação da reta tangente à curva-solução em (𝑡 , 𝑦 ):
𝑦 − 𝑦 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 ) ⟺ 𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 )
A reta tangente é uma boa aproximação da curva-solução em um intervalo 
suficientemente pequeno, de modo que a inclinação da solução não varie apreciavelmente 
de seu valor no ponto inicial. Ou seja, se 𝑡 está suficientemente próximo de 𝑡 , podemos 
aproximar ϕ(𝑡 ) pelo valor 𝑦 determinado substituindo-se 𝑡 = 𝑡 na aproximação pela 
reta tangente em 𝑡 = 𝑡 , assim:
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 )
Para prosseguir, vamos tentar repetir o processo. Como não sabemos o valor ϕ(𝑡 ) da 
solução em 𝑡 vamos usar o valor aproximado 𝑦 . Assim, construímos a reta que contém 
(𝑡 , 𝑦 ) com coeficiente angular 𝑓(𝑡 , 𝑦 ),
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 )
Para aproximar o valor de ϕ(𝑡) em um ponto próximo 𝑡 usamos a equação acima:
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 )
Continuando dessa maneira, usamos o valor de y calculado em cada passo para 
determinar o coeficiente angular para o próximo passo. 
A expressão geral para a reta tangente, começando em (𝑡 , 𝑦 ) é:
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 )
Portanto, o valor aproximado 𝑦 em 𝑡 em termos de 𝑡 , 𝑡 e 𝑦 é:
𝑦 = 𝑦 + 𝑓 𝑡 , 𝑦 𝑡 − 𝑡 , 𝑛 = 0,1,2, … 
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𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 ), 𝑛 = 0,1,2, … 
Se fizermos 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = 𝑓 e se supusermos que o tamanho do passo h é constante entre 
os pontos 𝑡 , 𝑡 , 𝑡 , … , então 𝑡 = 𝑡 + ℎ para cada n e obteríamos a fórmula de Euler 
na forma:
𝑦 = 𝑦 + 𝑓 ℎ, 𝑛 = 0,1,2, …
Para usarmos a fórmula de Euler, simplesmente calcule a equação 
𝑦 = 𝑦 + 𝑓 ℎ, 𝑛 = 0,1,2, … 
Ou
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 ), 𝑛 = 0,1,2, … 
Repetidamente, dependendo se o tamanho do passo é constante ou não, usando o 
resultado de cada passo para executar o próximo.
Desse modo, você terá uma sequência de valores 𝑦 , 𝑦 , 𝑦 , … que aproximam os valores 
da solução ϕ(t) nos pontos 𝑡 , 𝑡 , 𝑡 , … Se você precisa de uma função, em vez de 
sequência de pontos, para aproximar a solução ϕ(t) você pode usar a função linear por 
partes construída da coleção de segmentos de retas tangentes. Ou seja, 
y é dada no intervalo [𝑡 , 𝑡 ] pela equação 
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 ) com n=0, 
y é dada no intervalo [𝑡 , 𝑡 ] pela equação 
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )(𝑡 − 𝑡 ) com n=1, 
E assim por diante.
Exemplo: Considere o PVI
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯= 3 − 2𝑡 −
1
2
⎯⎯𝑦
𝑦(0) = 1
Use o método de Euler com passos de tamanho ℎ = 0,2 para encontrar valores 
aproximados da solução em t=0,2; 0,4; 0,6; 0,8 e 1. Compare-os com os valores 
correspondentes da solução exata do problema de valor inicial.
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𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯= 3 − 2𝑡 −
1
2
⎯⎯𝑦
𝑦 0 = 1
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𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯= 3 − 2𝑡 −
1
2
⎯⎯𝑦
𝑦(0) = 1
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𝑓(𝑡, 𝑦) = 3 − 2𝑡 −
1
2
⎯⎯𝑦
Outra forma de se resolver pelo método de Euler:
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𝑓(𝑡, 𝑦) = 3 − 2𝑡 −
1
2
⎯⎯𝑦
𝑡 = 0, 𝑦 = 1
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = 𝑓(0,1) = 2,5
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺ 𝑦 = 1 + 2,5(𝑡 − 0) ⟺ 𝑦 = 1 + 2,5𝑡 (1)
𝑡 = 𝑡 + ℎ = 0 + 0,2 = 0,2 𝑒𝑚 (1) ⇒ 𝑦 = 1,5
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = 𝑓(0,2; 1,5) = 1,85
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺ 𝑦 = 1,5 + 1,85(𝑡 − 0,2) ⟺ 𝑦 = 1,13 + 1,85𝑡 (2)
𝑡 = 𝑡 + ℎ = 0,2 + 0,2 = 0,4 𝑒𝑚 (2) ⇒ 𝑦 = 1,87
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = 𝑓(0,4; 1,87) = 1,265
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺ 𝑦 = 1,87 + 1,265(𝑡 − 0,4) ⟺ 𝑦 = 1,364 + 1,265𝑡 (3)
𝑡 = 𝑡 + ℎ = 0,4 + 0,2 = 0,6 𝑒𝑚 (3) ⇒ 𝑦 = 2,123
𝑓 = 𝑓(𝑡, 𝑦 ) = 𝑓(0,6; 2,123) = 0,7385
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺ 𝑦 = 2,123 + 0,7385(𝑡 − 0,6) ⟺ 𝑦 = 1,6799 + 0,7385𝑡 (4)
𝑡 = 𝑡 + ℎ = 0,6 + 0,2 = 0,8 𝑒𝑚 (4) ⇒ 𝑦 = 2,2707
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = 𝑓(0,8; 2,2707) = 0,26465
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺ 𝑦 = 2,2707 + 0,26465(𝑡 − 0,8) ⟺
𝑦 = 2,05898 + 0,26465𝑡 (5)
𝑡 = 𝑡 + ℎ = 0,8 + 0,2 = 1 𝑒𝑚 (5) ⇒ 𝑦 = 2,32363
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = 𝑓(1; 2,32363) = −0,161815
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺ 𝑦 = 2,32363 − 0,161815(𝑡 − 1) ⟺
𝑦 = 2,485445 − 0,161815𝑡 
t y 𝑦 Reta tangente
0 1 1 𝑦 = 1 + 2,5𝑡
0,2 1,43711 1,5 𝑦 = 1,13 + 1,85𝑡
0,4 1,75630 1,87 𝑦 = 1,364 + 1,265𝑡
0,6 1,96936 2,123 𝑦 = 1,6799 + 0,7385𝑡
0,8 2,08584 2,2707 𝑦 = 2,05898 + 0,26465𝑡
1 2,11510 2,32363 𝑦 = 2,485445 − 0,161815𝑡
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Exemplo: Considere o PVI
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯= 𝑡 𝑦
𝑦(0) = −2
Use o método de Euler com passos de tamanho ℎ = 0,5 para encontrar valores 
aproximados da solução. Compare-os com os valores correspondentes da solução exata do 
problema de valor inicial.
SOLUÇÃO:
Vamos resolver a EDO para comparar a solução exata com a aproximação feita pelo 
método de Euler:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
⎯⎯⎯= 𝑡 𝑦 ⟺ 𝑑𝑦 = 𝑡 𝑦 𝑑𝑡 ⟺
𝑑𝑦
𝑦
⎯⎯⎯= 𝑡 𝑑𝑡 ⟺
𝑑𝑦
𝑦
⎯⎯⎯= 𝑡 𝑑𝑡 ⟺
 
 
 
 
t y
0 -2
0,8 2,08584 2,2707 𝑦 = 2,05898 + 0,26465𝑡
1 2,11510 2,32363 𝑦 = 2,485445 − 0,161815𝑡
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t y
0 -2
0,5 -2,09
1 -2,79
1,5 -6,1604
2 -28,7838
Com o método de Euler temos:
Temos que 𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝑡 𝑦
𝑡 = 0, 𝑦 = −2
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) = 𝑓(0, −2) =
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺
𝑡 = 𝑡 + ℎ =
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) =
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺
𝑡 = 𝑡 + ℎ =
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) =
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺
𝑡 = 𝑡 + ℎ =
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) =
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺
𝑡 = 𝑡 + ℎ =
𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) =
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺
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𝑓 = 𝑓(𝑡 , 𝑦 ) =
𝑡𝑎𝑛: 𝑦 = 𝑦 + 𝑓 (𝑡 − 𝑡 ) ⟺
t y 𝑦 Reta tangente
0 -2
0,5
1
1,5
2
Se não encontrar a reta tangente, achamos os pontos como fizemos no exemplo anterior:
𝑡 = 0, 𝑦 = −2
𝑡 = 𝑡 + ℎ = 0 + 0,5 = 0,5
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )ℎ =
𝑡 = 𝑡 + ℎ =
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )ℎ =
𝑡 = 𝑡 + ℎ =
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )ℎ =
𝑡 = 𝑡 + ℎ =
𝑦 = 𝑦 + 𝑓(𝑡 , 𝑦 )ℎ =
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