distribuicao-binomial

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D I S T R I B U I Ç Ã O D E P R O B A B I L I D A D E
A função distribuição de probabilidade ou função acumulada de probabilidade de 
uma variável aleatória discreta é definida por 
para todo número real .
Essa função é a soma de todas as probabilidades das variáveis aleatórias que são 
menores ou igual que . 
E X E M P L O 1
Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a 
efetividade de uma vacina contra alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose da 
vacina e, após um mês, passava por novo teste. Caso ainda tivessem algum tipo de 
reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças 
foram consideradas imunizadas. O resultados completos estão na tabela a seguir.
Supondo que uma criança foi dessa população é sorteada ao acaso, qual será a 
probabilidade de ela ter recebido 2 doses?
Doses 1 2 3 4 5
Frequência 245 288 256 145 66
Utilizando a ideia de atribuir probabilidade através de frequência de ocorrências (ou 
frequências relativas), temos que a probabilidade desejada é 
Com isso, ainda podemos escrever a função de probabilidade da variável aleatória 
número de doses recebidas:
Doses 1 2 3 4 5
𝑝 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066
Suponha agora, que queremos saber qual a probabilidade de a criança ter recebido até 
2 duas doses. 
Nesse caso, precisamos obter a função de distribuição de probabilidade em , ou 
seja, calculamos a probabilidade acumulada da ocorrência de valores para variável 
aleatória menores ou iguais a 2.
Gráfico da função de distribuição - doses de vacina
E X E M P L O 2
Num estudo sobre a incidência de câncer foi registrado, para cada paciente com esse 
diagnóstico, o número de casos de câncer em parentes próximos (pais, filhos, tios, 
primos e sobrinhos). Os dados de 26 pacientes são os seguintes:
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Incidência 2 5 0 2 1 5 3 3 3
Paciente 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Incidência 2 0 1 1 4 5 2 2 3
Paciente 19 20 21 22 23 24 25 26
Incidência 2 1 5 4 0 0 3 3
Estudo anteriores assumem que a incidência de câncer em parentes 
próximos pode ser teoricamente modelada pela seguinte função 
discreta de probabilidade:
Incidência 0 1 2 3 4 5
0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,1
Os dados observados concordam com o modelo teórico?
Incidência (observados) (esperados)
0 4 2,6
1 4 2,6
2 6 7,8
3 6 7,8
4 2 2,6
5 4 2,6
total 26 26
Tabela de Frequências
R E V I S Ã O : F A T O R I A L E N Ú M E R O S 
B I N O M I A I S
Dado um número natural , o fatorial de é o número 
Exemplos:
Dados dois números naturais 𝑛 e 𝑝, com 𝑛 ≥ 𝑝, o número binomial 𝒏 sobre 𝒑 é o número
𝑛
𝑝 =
𝑛!
𝑝! 𝑛 − 𝑝 !
Exemplos:
3
2
=
5
3
=
4
4
=
𝑛
𝑛
=
T R I Â N G U L O D E P A S C A L
B I N Ô M I O D E N E W T O N
Termo Geral: 
D I S T R I B U I Ç Ã O B I N O M I A L
F U N Ç Ã O D I S T R I B U I Ç Ã O D E 
P R O B A B I L I D A D E B I N O M I A L
A função de distribuição de probabilidade binomial é, então
Quando a variável aleatória é do tipo binomial utilizamos a notação
E X E M P L O 1
Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote contendo 500 peças. Qual 
é a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das peças do 
lote são defeituosas?
E X E M P L O 2
O escore em um teste internacional de proficiência na língua inglesa inglesa varia de 0 a 700 
pontos, onde mais pontos significa melhor desempenho. Informações coletadas, durante vários 
anos, permitem estabelecer o seguinte modelo:
Pontos [0,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600) [600,700]
𝑝 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0,10
Diversas universidades americanas exigem o escore mínimo de 600 pontos para aceitar 
candidatos de países de língua não inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que 
prestaram o último exame, escolhemos ao acaso, 20 deles. Qual seria a probabilidade de no 
máximo 3 atenderem ao requisito mínimo mencionado?