Lista 2 - Matemática 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 2 - Derivadas Parciais, Derivadas Parciais de
Ordem Superior e Máximos e Mı́nimos
Disciplina: GEC004 - Matemática 2
Cursos: Ciências Econômicas
Professora: Francielle Rodrigues de Castro Coelho
1. Encontre as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = 3xy + 6x− y2, ∂f
∂x
(x, y) (b) f(x, y) =
x+ y√
y2 − x2
,
∂f
∂y
(x, y)
(c) f(x, y) = e
y
x ln(x
2
y
),
∂f
∂y
(x, y) (d) f(x, y, z) = x2y − 3xy2 + 2yz, ∂f
∂y
(x, y, z)
Resp.: (A) 3y + 6. (B) − x2−xy
(y2−x2)
3
2
. (C) e
y
x [ 1
x
ln(x
2
y
)− 1
y
]. (D) x2 − 6xy + 2z.
2. Calcule as derivadas parciais indicadas.
(A) f(x, y) = (x2 + y2)
3
2 , (i) fxx(x, y); (ii) fyx(x, y).
(B) f(x, y) = xcosy − yex, (i) fyy(x, y); (ii) fxy(x, y).
(C) f(x, y, z) = ln(x2 + 8y − 3z2), (i) fxx(x, y, z); (ii) fzy(x, y, z).
(D) f(x, y, z) = y2z + sen(x2z), (i) fxz(x, y, z); (ii) fyzx(x, y, z).
Resp.: (A) fxx =
3(2x2+y2)√
x2+y2
; fyx =
3xy√
x2+y2
. (B) fyy = −xcosy; fxy = −seny − ex.
(C) fxx =
2(−x2+8y−3z2)
(x2+8y−3z2)2 ; fzy =
48z
(x2+8y−3z2)2 . (D) fxz = 2x(cos(x
2z)−x2zsen(x2z)); fyzx =
0.
3. Se f(x, y) = ln(x− y) + tg(x+ y), mostre que ∂
2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
.
4. Se f(x, y) = xye
x
y , mostre que x
∂3f
∂x3
+ y
∂3f
∂y∂x2
= 0.
5. Mostre que as funções
(A) f(x, y) = ln(x2 + y2)
(B) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2
satisfazem às respectivas equações de Laplace:
(a)
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0.
(b)
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0.
(Uma função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica.)
6. Analise a natureza dos pontos cŕıticos das seguintes funções:
(A) f(x, y) = 4xy2 − 2x2y − x.
(B) f(x, y) = xseny.
(C) f(x, y) = xy − x3 − y2.
(D) f(x, y) = x2 + xy + y2 +
1
x
+
1
y
.
(E) f(x, y) = 4y2e−(x
2+y2).
Resp.: (A) (0, 1
2
) e (0,−1
2
) pontos de sela; (B) (0, kπ), k ∈ Z, pontos de sela; (C)
(0, 0) ponto de sela e (1
6
, 1
12
) ponto de máximo relativo; (D) ( 13√3 ,
1
3√3) ponto de
mı́nimo relativo; (E) (0, 1) e (0,−1) pontos de máximo relativo e (x, 0), x ∈ R,
pontos de mı́nimo.
7. Estude a natureza do ponto cŕıtico das funções abaixo, mostrando que tal ponto
tem a propriedade indicada.
(A) f(x, y) = (x− y)4 + (x+ y + 2)2, mı́nimo.
(B) f(x, y) = 1− x4 − y4, máximo.
(C) f(x, y) = x3 + (x− y)2, nem máximo, nem mı́nimo.
8. Encontre o máximo e mı́nimo absoluto de cada uma das seguintes funções:
(A) f(x, y) = senx+ seny + sen(x+ y), 0 ≤ x ≤ π
2
, 0 ≤ y ≤ π
2
.
(B) f(x, y) = x3 +y3−3xy, na região triangular de vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0).
(C) f(x, y) = ex
2+y2+y, |x| ≤ 1, |y| ≤ 1.
Resp.: (A) máximo em 3
√
3
2
em (π
3
, π
3
), mı́nimo 0 em (0, 0). (B) máximo 1 em
(0, 1) e (1, 0), mı́nimo −1
2
em (1
2
, 1
2
). (C) máximo e3 em (1, 1) e (−1, 1), mı́nimo
e−
1
4 em (0,−1
2
).
9. Encontre o máximo e o mı́nimo de f(x, y) = x + y2 na região D = {(x, y) ∈
R2| (x− 2)2 + y2 ≤ 1}. Resp.: Máximo: 13
4
, Mı́nimo: 1.
10. Um disco plano tem a forma da região do plano xy definida por x2 + y2 ≤ 1.
Aquece-se o disco (inclusive a fronteira, onde x2 + y2 = 1) de modo que a
temperatura em cada ponto é dada por T (x, y) = x2 + 2y2 − x. Determine os
pontos de maior e menor aquecimento. Resp.: Maior aquecimento: (−1
2
,
√
3
2
) e
(−1
2
,−
√
3
2
), menor aquecimento: (1
2
, 0).
11. Calcule a menor distância do ponto (0, 2) à curva de equação y = x2− 4. Resp.:√
23
2
.
12. Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas, uma pessoa está na origem,
no interior de uma praça cujo contorno tem por equação 3x2 + 4xy+ 6y2 = 140.
A que ponto a pessoa deve se dirigir, ao sair da praça, para caminhar o menos
posśıvel? Resp.: (2, 4) e (−2,−4).