Relatório 10 - Física Experimental completo

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10° RELATÓRIO REFERENTE À 
DISCIPLINA DE FÍSICA EXPERIMENTAL – I 
 
Relatório montado pelos alunos dos cursos de Engenharia Química 
e Engenharia de Alimentos: 
 
Isabel Hilda – 201721011-9 
Maurício Mancini Jr. – 201702031-1 
Rayane da Silva – 201721022-4 
Thacilla Carolinne – 201702537-0 
Vítor Patrício – 201721027-5 
 
Professor orientador: 
Karol Amon Marx de Oliveira 
 
Departamento de Física 
 
Rio de Janeiro 
Junho 2018 
Lançamento de projéteis: 
- Objetivo: 
O objetivo do relatório é determinar a função matemática de y por x e 
determinar também a aceleração da gravidade local. 
 
- Fundamentos teóricos: 
 
Para estudar esse movimento, procuramos dividi-lo em dois: num 
movimento horizontal e num vertical. Como ponto de partida, fazemos a 
decomposição de sua velocidade inicial ( ), descobrindo as intensidades de 
suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ). 
Observando-se que a aceleração da gravidade local atua na vertical e, 
portanto, afeta apenas a velocidade vertical, o móvel passa a executar 
simultaneamente dois movimentos: uniforme na horizontal e uniformemente 
variado na vertical (típico de um lançamento vertical para cima). 
Esse movimento foi estudado por Galileu, que propôs um princípio, 
denominado "Princípio de Independência dos Movimentos", o qual podemos 
resumir na seguinte declaração: 
"Dado um movimento complexo, este pode ser desdobrado na ocorrência 
simultânea de dois ou mais movimentos independentes que se compõem 
definindo a trajetória observada." 
 O Princípio da Independência dos Movimentos está contido na 
formulação da Mecânica Newtoniana, se relembramos que a Equação 
Fundamental da Dinâmica, R = dp/dt, é de caráter vetorial, tal que se verificam 
igualdades componente a componente entre os vetores envolvidos. Logo, é 
possível desmembrar os movimentos segundo a dinâmica em cada uma das 
direções do espaço tridimensional. 
Consideremos então a Figura 1 a seguir, onde esquematizamos um 
lançamento de uma esfera, de massa m, por uma canaleta. A esfera é liberada 
no repouso (Energia mecânica sem termo cinético), porém sob ação do campo 
gravitacional da terra. Uma vez livre, ela se desloca pela canaleta e é lançada na 
horizontal. Neste processo, ela é acelerada e após seu lançamento realiza uma 
dada trajetória até se chocar com um anteparo (no nosso esquema, o anteparo 
é horizontal, mas nada impedia que fosse vertical). 
 
Figura 1: Lançamento de uma esfera numa canaleta na vertical. 
 Durante sua trajetória fora da canaleta, se desprezamos a resistência do 
ar temos que sobre a esfera atua apenas a força-peso, dada por: →𝑝 = 𝑚 →𝑔 . 
Ao atingir o anteparo, a esfera terá se distanciado de um certo intervalo 
"A" com relação ao ponto de lançamento. Esta distância recebe o nome de 
"Alcance" da esfera. Ao mudar o ponto de liberação da esfera na canaleta, o 
alcance da esfera também mudará. No ponto de lançamento, supomos que a 
velocidade da esfera consiste apenas de uma componente horizontal. Logo, no 
termo geral: 
→ = 𝑉0𝑥 𝑥 ̂ + 𝑉0𝑦 𝑦 ̂ , temos que 𝑉0𝑦 = 0. 
𝑉(2) 
 Além disso, sobre a esfera em movimento só atua a sua força-peso, que 
está na direção vertical com sentido "para baixo". Só existe, portanto, 
componente de força na vertical, e não na horizontal. Logo, só existe aceleração 
na direção vertical. Desta forma, podemos considerar o movimento de queda da 
esfera como composto de um MRU na horizontal, e um MRUV, com aceleração 
"g", na vertical, compondo-se para produzir a trajetória final no espaço. 
Integrando a posição em relação ao tempo (supondo a origem das 
posições no ponto de lançamento): 
x(t) = V(2) t 
y(t) =
𝑔𝑡²
2
 
Estas são as chamadas "Equações paramétricas" do problema. Para 
obtermos equação de trajetória y(x), temos que eliminar o parâmetro t, tal que: 
 y(x) = 
𝑔𝑥²
2𝑣2²
 
 
O alcance horizontal corresponde ao deslocamento do movimento 
horizontal uniforme, durante o tempo de vôo. 
Para a medida do alcance, será utilizada a seguinte equação: 
 𝑡 = 
∆𝑥
𝑉𝑜𝑥
 
∆𝑥 = 𝑉0𝑥𝑡 , onde 𝑉0𝑥 = 𝐷 𝑡 
- Montagem experimental: 
 
Nesse experimento foi necessário utilizar: o aparelho “conjunto para 
lançamento horizontal”, um anteparo, um fio de prumo, um papel branco, um 
papel carbono, uma esfera metálica, um paquímetro, uma régua e utilizamos 
também um sensor eletro-óptico de movimento para captar o tempo junto a um 
cronômetro eletrônico. 
 
Figura 2: Conjunto para lançamento horizontal. 
- Procedimento experimental: 
Primeiramente, com a ajuda de um paquímetro, foi coletada a medida do 
diâmetro da esfera metálica. Após isso foi coletada a medida também do plano 
inclinado. Foi coletada a medida da altura e ela foi mantida constante até que 
fossem recolhidas todas as outras medidas do experimento. A partir daí, foi 
marcado um ponto zero com o fio de prumo na folha de papel branca que estava 
junto ao papel carbono colocada na horizontal, logo após foi colocada a esfera 
metálica no marco 10 e a partir dali foi repetido o experimento de soltar 10 vezes 
a esfera para que fosse marcada onde ela bateu em cada vez que foi solta do 
marco 10, ou seja, a partir disso, foi medido o alcance. Após recolher todas as 
medidas na horizontal, a folha branca e o papel carbono foram colocados presos 
no anteparo na vertical para que fossem coletadas novas medidas. Tanto na 
horizontal quanto na vertical o sensor captou a medida do tempo cada vez que a 
esfera metálica era solta no marco. 
- Registro de dados: 
 
 Através do procedimento experimental utilizando o plano horizontal, foi 
construída uma tabela, sendo que esta continha o diâmetro da esfera medido 
com o paquímetro e os tempos demarcados pelos sensores dos equipamentos 
com a passagem da esfera. 
Na Tabela 1, foram calculadas as velocidades finais da esfera. Ressalta-
se que a velocidade inicial do objeto é zero em todas as repetições, pois partiu-
se do repouso, a seguir é demonstrada a tabela com suas respectivas 
incertezas. 
Informações da esfera para o experimento 
Medidas Diâmetro (±0,025.10^-3)m Tempo (±0,001)s Velocidade (±0,005)m/s 
1 
2,10 
0,021 0,100 
2 0,020 0,105 
3 0,021 0,100 
Média 0,021 0,100 
Tabela 1 – Informações da esfera utilizada no experimento. 
 
A Tabela 2 mostra a posição das coordenadas x e y, quando a esfera é 
lançada do plano, os valores foram obtidos por demarcações em papel 
milimetrado e também com papel carbono. As incertezas foram obtidas pela 
régua milimetrada utilizada na medição das posições. 
Coordenadas da trajetória da esfera lançada 
Posições xi (±0,05.10^-3)m yi (±0,05.10^-3)m 
1 0,00174 0,0001 
2 0,00348 0,0017 
3 0,00522 0,0031 
4 0,00696 0,0062 
5 0,00870 0,0076 
6 0,0104 0,0106 
7 0,0122 0,0125 
8 0,0140 0,0147 
9 0,0157 0,0167 
10 0,0174 0,0175 
Média 0,00958 0,00907 
Tabela 2 – Coordenadas da trajetória da esfera no experimento. 
 
A Tabela 3 foi construída para linearizar a função parabólica que descreve 
a trajetória da esfera através da análise gráfica que será discutida 
posteriormente. 
Tabela auxiliar para estudo da trajetória da 
esfera 
Posições X (±0,05.10^-3)m Y (±0,9.10^-6)m 
1 0,0001 0,00000303 
2 0,0017 0,0000121 
3 0,0031 0,0000272 
4 0,0062 0,0000484 
5 0,0076 0,0000757 
6 0,0106 0,000108 
7 0,0125 0,000149 
8 0,0147 0,000196 
9 0,0167 0,000246 
10 0,0175 0,000303 
Média 0,00907 0,000117 
Tabela 3 - Tabela para a linearização da função parabólica. 
 
- Resultados e discussão: 
Para compreender o lançamento da esfera, foi necessário determinar as 
respectivas velocidades na componente horizontal em cada um dos tempos, 
visto que o experimento foi realizado três vezes. Para o cálculo das velocidades, 
utilizou-se a seguinte equação 
V = 
D
t
 
Sendo D, o diâmetro do cilindro e t, o tempo demarcado pelos sensores. 
Para a determinação das velocidadesdo cilindro, calculou-se: 
V1 = 
2,4.10^−3m
0,021s
= 0,100m/s 
V2 = 
2,4.10^−3m
0,020s
= 0,105m/s 
V3 = 
2,4.10^−3m
0,021s
= 0,100m/s 
A velocidade média é calculada através do tempo médio, conforme a 
seguir: 
Vm = 
2,4.10^−3m
0,021s
= 0,100m/s 
Para o a determinação do cálculo das incertezas, foram consideradas as 
incertezas de cada medida analisada, conforme a seguir. As incertezas das 
velocidades são determinadas pela fórmula em sequência, sabendo que a 
incerteza do tempo, δt=0,001s e δD= 0,025.10-3 m, dado pelo paquímetro, sendo 
“D” o diâmetro da esfera. Cada incerteza da velocidade pode ser obtida pela 
multiplicação de sua velocidade com a razão da incerteza do diâmetro do cilindro 
D medida pelo paquímetro e a incerteza do tempo (t) pelo tempo de passagem t 
pelo sensor do equipamento, conforme a fórmula abaixo: 
δV = ( 
𝐷
𝑡
 ).( 
δD
𝐷
+ 
δt
𝑡
 ) 
Logo, para a primeira medida de incerteza para o tempo 1, obtemos: 
δV1 = 0,100 x (0,05) 
δV1 = 0,005 
V1= 0,100 ±0,005m/s 
Para os demais valores de incerteza para a velocidade da esfera, 
procedeu-se aos cálculos da mesma forma, conforme descrito anteriormente e 
obteve-se as seguintes velocidades com as suas respectivas incertezas: 
δV2 = 0,005 
V2= 0,105 ±0,005m/s 
δV3 = 0,005 
V3= 0,100 ±0,005m/s 
 Para determinar a incerteza da velocidade média, calculou-se a média 
aritmética somando-se as três incertezas das velocidades e dividimos por três. 
A incerteza velocidade média é dada por: 
δV = 
3 𝑥 0.005
3
 = 0,005 
A determinação experimental da trajetória da esfera analisada, foi obtida 
pelos valores medidos por uma régua milimétrica. Sabendo que a altura do plano 
de lançamento é fixa com 0,10m. O tamanho do papel milimetrado utilizado no 
experimento é 0,0174m em relação ao plano horizontal. A distância entre a 
posição e a saída da canaleta foram divididas em 10 posições. As medidas das 
posições y estão relacionadas diretamente com as demarcações de x, conforme 
será demonstrado na Figura 3. 
 
 
 
Figura 3 – Gráfico da relação de x e y na trajetória da esfera. 
Pode-se compreender através de uma análise gráfica, ao relacionar as 
coordenadas x e y, percebe-se que a trajetória da esfera se apresenta como uma 
curva, mais precisamente, uma função parabólica. 
Linearizar a função parabólica através do experimento, é necessário 
compreender que as componentes da função linear, também chamada de 
equação da reta, são demonstradas a seguir: 
 Y=xi² e X=yi, resultando em Y= A+B.X. 
Sabe-se que A= coeficiente linear e B= Coeficiente angular. 
Entende-se que os valores das variáveis acima podem ser obtidas através 
da Tabela 2, em que Y=xi² para todas as posições obtidas, sabe-se que Xm= 
0,00907m e Y= (xi)² que será calculado, conforme será demonstrado a seguir. 
Como os valores de Y=yi já são conhecidos, calculou-se Y= (xi)² 
diretamente na tabela. 
O cálculo da incerteza da coordenada Y é dada pela fórmula: 
δY = 2.xi.δxi 
0
0,00005
0,0001
0,00015
0,0002
0,00025
0,0003
0,00035
0 0,005 0,01 0,015 0,02
C
o
o
rd
e
n
a
d
a
 Y
(x
)
Coordenada X
Gráfico para estudo da trajetória da esfera 
Logo, substituindo os valores de xi =0,00907m e δxi = 0,05. 10−3 . 
Obtemos que a incerteza da coordenada é :δY= 0,9. 10−6 
Obtém-se, através desses cálculos a posição média, Ym= 
0,000117m ± 0,9. 10−6 e assim foi possível construir o gráfico que pudesse 
linearizar a função parabólica da trajetória da esfera. A seguir é apresentado a 
Figura 4 que mostra a extrapolação linear da parábola, com sua respectiva 
margem de erro. 
 
Figura 4 - Linearização da função da trajetória da esfera. 
Através de uma análise gráfica, é possível extrair os coeficientes angular 
e linear da reta. Verificando-se assim a equação da reta obtida é y(x) = 1,1867x-
0,0023. A aceleração obtida através da análise gráfica pelo coeficiente angular 
com a sua respectiva incerteza é dada por 2,373±0,001m/s². 
Em que a incerteza de B é dada por: 
𝛿B= 
𝑔𝛿𝑣+𝑣𝛿𝐵
2𝑣2²
 = 
2,373.0,005+0,1.0,001
2(0,1)²
 =0,5 
Analisando o gráfico 2 e dispondo do coeficiente angular (B), é possível 
encontrar a velocidade horizontal através da equação a seguir: 
 
V²=g/2B 
y = 1,1867x - 0,0023
R² = 0,9932
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
y
i 
(±
0
,0
5
.1
0
^-
3
)m
xi (±0,05.10^-3)m
Coordenadas da trajetória da esfera lançada 
V= √
𝑔
2𝐵
 
 
 Substituindo os valores, tem-se: 
V= √
9,879
2𝑥1,1867
 
V= 2,04 m/s 
 
 Então, também pode-se calcular a incerteza, conforme a equação 
abaixo: 
𝛿v= √
𝑔
2𝐵
{
1
4
(
𝑔𝑥𝛿𝐵+𝐵𝑥𝛿𝑔
𝐵²
) 
 
 Substituindo os dados, fica: 
𝛿v=2,04 𝑥 0,51(
2,373𝑥0,5+1,1867𝑥0,001
1,1867²
) 
𝛿v= 0,8 
 
Logo, a velocidade horizontal: V = 2,04±0,8m/s 
- Conclusão: 
 
 
- Anexos: 
 
- Referência bibliográfica: 
Apostila do professor Marcelo Azevedo Neves, UFRRJ, Instituto de ciências 
exatas – departamento de física – curso de física experimental I. 
HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 1, volume 1, 
4.Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 326 p. 
https://www.coladaweb.com/fisica/mecanica/lancamento-de-projeteis 
 
https://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/2726.htm