FichaGeral_AM3_FENG

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Universidade Eduardo Mondlane
– Faculdade de Ciências –
Análise Matemática III
– Ficha Geral de Exercı́cios para Cursos de Engenharias –
– Departamento de Matemática e Informática –
– Maputo, 1 de Junho de 2021 –
– Faculdade de Ciências –
Análise Matemática III
Cursos:
— Engenharia Ćıvil
— Engenharia de Gestão Industrial
— Engenharia do Ambiente
— Engenharia Eléctrica
— Engenharia Electrónica
— Engenharia Informática
— Engenharia Mecânica
— Engenharia Qúımica
Docentes:
Alex Marime (R)
Rolos Nicol’s (A1)
Dário Maxaieie (A2)
Anselmo Cossa (A3)
Rogério Alcindo (A4)
alexmarime@gmail.com
rolosnicols@yahoo.com.br
dariommaxaieie@gmail.com
cossaanselmo@yahoo.com
ralcindo@yahoo.com.br
Apelido: N.o Estudante:
Nomes: E-mail:
Curso: Telemóvel:
Esta ficha de exerćıcios foi
Elaborada por Alfredo Muxlhanga e Rolos Nicol’s
Editada por Alex Marime
alexmarime@gmail.com
rolosnicols@yahoo.com.br
dariommaxaieie@gmail.com
cossaanselmo@yahoo.com
ralcindo@yahoo.com.br
Conteúdo
1 Funções de uma variável complexa 3
1.1 Operações com números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Conjuntos no plano complexo. Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Funções e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Funções de uma variável complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Funções anaĺıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Integrais de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Séries de Taylor e Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Reśıduos e suas aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Equações diferenciais de ordinárias 8
2.1 Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Equações diferenciais homogeneas da primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Equações diferenciais lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . 8
2.4 Equações diferenciais exactas. Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 ED redut́ıveis a equações de ordens inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 ED lineares homogêneas de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 ED lineares não-homogêneas de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.8 Sistemas de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Transformada de Laplace 12
4 Séries de Fourier 14
1
Conteúdo Conteúdo
Unidade Temática
1
Funções de uma variável complexa
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
2 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
1 Funções de uma variável complexa
1 Funções de uma variável complexa
1.1 Operações com números complexos
1. Efectuar as operações indicadas, apresentando os resultados na forma algébrica:
(a)
(
1 + i√
3 + i
)−8
(b)
(
1 + i
√
3
1− i
)40
(c)
(
1− i
−1 + i
√
3
)−6
(d)
(3 + i)10
(−2 + i)8
2. Determinar todas ráızes de potências de expoentes racionais
(a)
(
−1 + i
1−
√
3i
) 4
2
(b)
(
−3− 2i
2− 3i
)− 6
3
(c)
(
1 + i
1− i
√
3
) 5
3
(d)
(
−2 + i
1 + 2i
)− 8
4
3. Resolva as equações seguintes
(a) z3 − 8i = 0
(b) z2 − 4− 3i = 0
(c) z2 − 6 + 8i = 0
(d) z4 + iz3 + 8iz − 8 = 0
4. Usando a fórmula de Moivre expresse mediante as potências de sinα e cosα as funções:
(a) sin(3α) e cos(3α)
(b) sin(4α) e cos(4α)
(c) sin(5α) e cos(5α)
(d) sin(6α) e cos(6α)
1.2 Conjuntos no plano complexo. Sucessões
1. Achar os conjuntos dos pontos do plano complexo que se determinam pelas condições seguintes:
(a) 0 ≤ Im z ≤ 1
(b)
π
2
< arg z < π
(c)
∣∣∣∣1z
∣∣∣∣ ≤ 2, z 6= 0
(d) |z − i|+ |z + i| ≥ 4
(e) |z − 1| ≤ |z − i|
(f) |z| < 2 + Im z
2. Indicar as linhas definidas pelas equações seguintes, dadas na forma complexa:
(a) Re
(
1
z
)
= 1
(b) |z − 1| = |z − i|
(c) |z| = 1− Im z
(d) Im z2 = 2
(e)
√
2|z| = Re z + 1
(f) Re z2 = 1
(g) Im
(
1
z
)
=
1
2
(h) Re(1 + z) = |z|
3. Especificar e representar graficamente os conjuntos dos pontos dados sobre o plano complexo:
(a) D = {z ∈ C : |z + 1− i| ≥ 2 ∧Re(z) ≥ −1}
(b) D = {z ∈ C : 1 < |z + 2 + 3i| ≤ 2 ∧Re(z) ≤ −2 ∧ Im(z) > −3}
(c) D = {z ∈ C : |z − 2 + i| ≥ 2 ∧ Im(z) > −1}
(d) D =
{
z ∈ C : − 3π
4
< arg (z − i) < −π
4
∧ −1 < Re(z) < 1
}
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
3 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
1 Funções de uma variável complexa 1.3 Funções e aplicações
1.3 Funções e aplicações
1.3.1 Funções de uma variável complexa
1. Usando a definição de limite mostrar que:
(a) lim
z→1
2z + 1
z + 2
= 1 (b) limz→3−4i
|z| = 5
2. Calcular os limites seguintes:
(a) lim
z→0
sin z
sinh(iz)
(b) lim
z→−π
2
i
e2z + 1
ez + i
1.3.2 Funções anaĺıticas
3. Utilizando as condições de Cauchy-Riemann, verificar quais das funções dadas são anaĺıticas
pelo menos num ponto e quais não são:
(a) f(z) = zez
(b) f(z) = |z|z
(c) f(z) = sin 3z − i
(d) f(z) = z Im z
(e) f(z) = cosh z
(f) f(z) = |z|Re(z̄)
(g) f(z) = ez
2+z+i
(h) f(z) = (z2 + 1)ch(z)
4. Mostre que cada uma das funções seguintes é harmónica e recupere uma função anaĺıtica f(z)
numa vizinhança dum ponto z0, sabendo a sua parte real u(x, y) ou a sua parte imaginária
v(x, y) e o valor f(z0) :
(a) u(x, y) =
x
x2 + y2
, f(π) =
1
π
(b) u(x, y) = x2 − y2 + 2x, f(i) = 2i− 1
(c) u(x, y) = ex(x cos(y)− y sin(y), f(0) = 0
(d) v(x, y) = 2x2 − 2y2 + x, f(0) = 0
(e) v(x, y) = y − 2 sin(2x)sh(2y), f(0) = −2
(f) v(x, y) = arctan
y
x
, f(1) = 0, (x ≥ 0)
5. Mostrar que as funções seguintes são harmónicas:
(a) u(x, y) = x2 + 2x− y2
(b) u(x, y) = ln(x2 + y2)
(c) u(x, y) =
x
x2 + y2
(d) v(x, y) = ex cos y
(e) v(x, y) =
x
x2 + y2
(f) v(x, y) = arctan
y
x
1.4 Integrais de contorno
1. Calcule os integrais dados, seguindo os contornos indicados
(a)
∫
Γ
Re(z)dz, (b)
∫
Γ
Im(z)dz, (c)
∫
Γ
|z|dz,
onde Γ é poligonal que une os pontos O(0, 0), A(1, 1), B(2, 1) e orientada no sentido de ~OB
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
4 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
1 Funções de uma variável complexa 1.5 Séries de Taylor e Laurent
2.
∫
Γ
Re(sin z) · Im(cos z)dz, onde Γ é segmento Re(z) = π
4
, | Im z| ≤ 1, orientado no sentido do
ponto
(π
4
,−1
)
para
(π
4
, 1
)
.
3.
∮
C+
|z|z̄dz, onde C+ é o contorno fechado, orientado no sentido positivo e composto pela semi-
circunferência |z| = 1, Im(z) ≥ 0 e pelo segmento Im(z) = 0,−1 ≤ Re(z) ≤ 1.
4. Calcule os integrais seguintes, considerando para funções subintegrais multivalentes os ramos
uńıvocos indicados
(a)
∫ i
−i
zezdz
(b)
∫ i
−i
dz√
z
,
√
1 = −1
(c)
∫ i
1
z ln(z)dz
(d)
∫ −1−i
−2
ln(1 + z)
(1 + z)
dz
(e)
∫ −1+i
−1−i
ln(1 + z)√
1 + z
dz,
√
−1 = −i
(f)
∫ −1
−i
3
√
z ln(z)dz, 3
√
−i = i
5. Calcule os integrais dados, utilizando a Fórmula Integral de Cauchy
(a)
∮
Γ+
z4ch(z + 1)
(z + 1)
dz
i. Γ : |z| = 2 ii. Γ : |z| = 1
2
(b)
∮
Γ+
sin(iz)
(z2 − 4z + 3)
dz
i. Γ : |z| = 2 ii. Γ : |z − 3| = 3
(c)
∮
Γ+
cos(z)
z(z2 + 1)
dz
i. Γ : |z| = 1
2
ii. Γ : |z − i| = 3
2
iii. Γ : |z| = 2
(d)
∮
Γ+
sin(z) · sin(z − 1)
(z2 − z)
dz
i. Γ : |z − 1| = 1
2
ii. Γ : |z − 1| = 2
1.5 Séries de Taylor e Laurent
1. Desenvolve as funções dadas em séries de Laurent nos domı́nios indicados
(a) f(z) =
2z + i
z2 + iz + 2
i. 1 < |z| < 2
ii. |z − i| < 3
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R. Alcindo, R. Nicol’s
5 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
1 Funções de uma variável complexa 1.6 Reśıduos e suas aplicações
(b) f(z) =
2z − 7
z2 − 7z + 12
i. |z − 1| < 2
ii. 0 < |z − 3| < 1
2. Ache os pontos singulares finitos das funções e caracterize-os
(a) f(z) =
sin z
z3
(b) f(z)=
(1− cos(z))2
z6
(c) f(z) =
(1− cos 2z)2
z4(ez − 1)
(d) f(z) =
1 + z − ez
z3
(e) f(z) =
esin(z) − ez
z5
(f) f(z) = (z2 + z)e
1
z+1
1.6 Reśıduos e suas aplicações
1. Calcule os reśıduos nos pontos singulares do Exerćıcio 2, das secção [1.5].
2. Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando o primeiro teorema de reśıduos
(a)
∮ +
Γ
(1− cos(z))dz
z3(z2 + 1)
, Γ: |z − i| = 3
2
(b)
∮ +
Γ
(1− cos(z2))dz
(z4 − iz3)
, Γ: |z| = 2
(c)
∮ +
Γ
sin(z2 + 1)dz
z(z2 + 1)2
, Γ: |z| = 3
(d)
∮ +
Γ
sin(z)dz
z2(z − i)2
, Γ: |z − i| = 2
3. Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre reśıduo no ponto infinito
(a)
∮
|z|=4
(z3 − 2z2 + 1)
(z2 + i)(z − 2)
dz
(b)
∮
|z|=5
(1− 4z8)
(z4 + i)
e
z+1
z2 dz
(c)
∮
|z|=6
(z6 + z5 + iz4)
(z3 + i)(z2 − 2i)
e
1
z dz
(d)
∮
|z|=3
(z4 − iz2)
(z3 + i)
ch
(
2
z
)
dz
4. Calcule os integrais improprórios seguintes
(a)
∫ ∞
0
(x2 + 1)dx
(x2 + 4)(x2 + 9)
(b)
∫ ∞
0
(x2 − 1)dx
(x2 − 1)(x2 + 4)
(c)
∫ ∞
−∞
dx
(x2 + 1)(x2 + 4x+ 5)2
(d)
∫ ∞
0
x2dx
(x2 + 4)2(x2 + 9)
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R. Alcindo, R. Nicol’s
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1 Funções de uma variável complexa 1.6 Reśıduos e suas aplicações
Unidade Temática
2
Equações diferenciais ordinárias e
sistemas
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
7 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
2 Equações diferenciais de ordinárias
2 Equações diferenciais de ordinárias
2.1 Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis
1. Classifique o tipo e ache as soluções das equações diferenciais dadas
(a) xydx+ (x+ 1)dy = 0
(b) (xy2 + x)dx+ (y − x2y)dy = 0
(c) (1 + x2)xyy′ = (1 + y2)
(d) 2x2yy′ + y2 = 2
(e)
{
(1 + x2)y′ = (1 + y2)
y(0) = 1
(f)
{
xy′ + y = y2
y(1) = 1
2
(g)
{
(x+ 2y)y′ = 1
y(π/2) = e
2.2 Equações diferenciais homogeneas da primeira ordem
1. Ache as soluções das seguintes equações diferenciais
(a) y′ =
y
x
+ e
y
x
(b) xy′ − y = xtg
(y
x
)
(c) 2x3y′ = y(2x2 − y2)
(d) xy′ = y +
√
xy
(e)
{
y2 + x2y′ = xyy′
y(1) = 1
(f)
{
xy′ = y cos
(
ln y
x
)
y(1) = 1
(g) (3x− y + 2)dx+ (9x− 3y + 1)dy = 0
(h) (x+ 4y)y′ = 2x+ 3y − 5
2.3 Equações diferenciais lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
1. Classifique o tipo e ache as soluções das seguintes equações diferencias
(a) y′ + 2xy = xe−x
2
(b) xy′ − 4y = x2√y
(c) x(y′ − y) = (1 + x2)ex
(d) y(y − 1)dx+ (x3 − xy)dy = 0
(e) y′ − ytg(x) = sec(x); y(0) = 0
(f) x2y′ = y(x+ y); y(e) = −e
(g) y2 = (xyy′ + 1) ln(x); y(e) = 2
(h) (1 + y2)dx =
(√
1 + y2 sin(y)− xy
)
dy = 0
2.4 Equações diferenciais exactas. Factor integrante
1. Resolva as seguintes equações diferenciais
(a) (2x+ 3x2y)dx+ (x3 − 3y2)dy
(b) 2xydx+ (x2 − y2)dy = 0
(c) (x3 − 3xy2 + 2)dx = (3x2y − y2)dy
(d) ydx+ x[y3 + ln(x)]dy = 0
(e) 2xydx+ (y2 − 3x2)dy = 0
(f) 2[x+ 2 sin(y)]dx− (x2 + 1)ctg(y)dy = 0
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R. Alcindo, R. Nicol’s
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2 Equações diferenciais de ordinárias 2.5 ED redut́ıveis a equações de ordens inferiores
2.5 ED redut́ıveis a equações de ordens inferiores
1. Verifique se y1 é solução da equação e, utilizando o método de redução de ordem, determine a
solução geral da equação:
(a) y′′ − y = 0; y1 = ex
(b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0; y1 = x2
(c) y′′ − 4xy′ + (4x2 − 2)y = 0; y1 = ex
2
(d) (1− x2)y′′ + 2xy′ − 2y = 0; y1 = x
(e) (x2 − x)y′′ + (x+ 1)y′ − y = 0; y1 = 1 + x
2. Integre as seguintes equações diferenciais
(a) y′′(1 + ex) + y′ = 0
(b) xy′′ = y′ + x2
(c) y′′ − 2y′ctg(x) = sin3(x)
(d) y′′′ = 2(y′′ − 1)ctg(x)
(e) [1 + ln(x)]y′′ +
y′
x
= 2 + ln(x); y(1) =
y′(1) = 1
(f) y′′ =
y′
x
(
1 + ln
y′
x
)
; y(1) =
1
2
; y′(1) =
1
2.6 ED lineares homogêneas de ordens superiores
1. Resolva as seguintes equações diferenciais
(a) y′′ − 5y′ + 6y = 0
(b) y′′ − 4y′ + 5y = 0
(c) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0
(d) yiv + 2y′′′ + y′′ = 0
(e) yiv + 8y′′′ + 16y′ = 0
(f) y′′′ − 2y′′ + 4y′ − 8y = 0
2.7 ED lineares não-homogêneas de ordens superiores
1. Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de Lagrange
(a) y′′ − 2y′ + y = e
x
x
(b) y′′ + y = ctg(x)
(c) y′′ − y′ = e
x
1 + ex
(d) y′′ + y =
1
sin(x)
(e) y′′−6y′+9y = e
3x
1 + x2
; y(0) = 1, y′(0) = 3
2. Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de coeficientes indeterminados
(a) y′′ − 2y′ − 3y = e4x
(b) y′′ − y = xex
(c) y′′ − y′ = 2(1− x); y(0) = y′(0) = 1
(d) y′′ + 2y′ + 2y = xe−x; y(0) = y′(0) = 0
(e) y′′ + 4y = sin(x); y(0) = y′(0) = 1
3. Resolva as seguintes equações de Euler
(a) x2y′′ − xy′ + y = 8x3
(b) x2y′′ − 2xy′ + 2y = 2x3 − x
(c) x3y′′ − 2xy = 6 ln(x)
(d) x2y′′ = 2y
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
9 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
2 Equações diferenciais de ordinárias 2.8 Sistemas de equações diferenciais
2.8 Sistemas de equações diferenciais
Resolva os seguintes de equações diferenciais
1.

dy
dx
= z − y
dz
dx
= −y − 3z
2.

dx
dt
= y + 2et
dy
dt
= x+ t2
3.

dx
dt
= y − 5 cos(t)
dy
dt
= 2x+ y
4.

dy
dx
= −2y − z + sin(x)
dz
dx
= 4y + 3z + sin(t)
5.

dx
dt
= 4x+ y − 36t
dy
dt
= −2x+ y − 2et
x(0) = 0
y(0) = 1
6.

dx
dt
= −x+ y + z
dy
dt
= x− y + z
dz
dt
= x+ y + z
x(0) = 1
y(0) = 0
z(0) = 0
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
10 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
2 Equações diferenciais de ordinárias 2.8 Sistemas de equações diferenciais
Unidade Temática
3
Cálculo operacional
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
11 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
3 Transformada de Laplace
3 Transformada de Laplace
1. Encontre a transformada de Laplace da funço dada
(a) sinh(bt)
(b) eat cosh(bt)
(c) t sin(bt)
(d)
1
2
e−t/2 cos
(√
3
2
t
)
− 5
2
√
3
e−t/2 sin
(√
3
2
t
)
(e)
e−t cos(2t)− e2t
13
+
29
26
e−t sin(2t)
2. Determinar a original sabendo que a imagem é
(a) F (p) =
p+ 3
p(p− 1)(p+ 2)
(b) F (p) =
p+ 3
p2 − 3p+ 2
(c) F (p) =
p− 3
p2 + 4p+ 4
(d) F (p) =
p− 2
2p2 + 2p+ 2
3. Aplicando a transformada de Laplace resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias.
(a) y′ + 3y = e2t, y(0) = 1
(b)

y′′ + 5y′ + 6y = 2e−t, t ≥ 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
(c) y′ + 3y = sin t, y(π) = 1
(d)

y′′ + 6y′ + 9y = sin t, t ≥ 0
y(0) = 0
y′(0) = 0
4. Aplicando a transformada de Laplace resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais
ordinárias.
(a)

x′ − 2x− y′ − y = 6e3t
2x′ − 3x+ y′ − 3y = 6e3t
x(0) = 3
y(0) = 0
(b)

4x′ + 6x+ y = 2 sin 2t
x′′ + x− y′ = 3e−2t
x(0) = 2
x′(0) = −2
(c)

x′′ + y′ + 3x = 15e−t
y′′ − 4x′ + 3y = 15 sin 2t
x(0) = 35
x′(0) = −48
y(0) = 27
y′(0) = −55
(d)

x′′ − x+ 5y′ = t
y′′ − 4y − 2x′ = −2
x(0) = 0
x′(0) = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
12 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
3 Transformada de Laplace
Unidade Temática
4
Séries de Fourier
GD: A. Marime, A. Cossa, D. Maxaieie,
R. Alcindo, R. Nicol’s
13 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
4 Séries de Fourier
4 Séries de Fourier
1. Diga se é verdade ou falso e justifique a sua resposta.
(a) A série de Fourier da função f(x) =
{
− sinx, se −π < x < 0
sinx, se 0 < x < π
, f(x + 2π) = f(x)
contém somente termos de seno.
(b) A série de Fourier da função f(x) =
{
−x, se −2 < x < 0
x, se 0 ≤ x < 2 não contém termos de seno.
2. Encontre as séries de Fourier para as funções seguintes.
(a) f(x) =
{
−1, se −π < x < 0
1, se 0 < x < π
(b) f(x) = sin(2x), −π
2
≤ x < π
2
(c) f(x) = cos(2x), −π
2
≤ x ≤ π
2
3. Considere a função f : [0, π]→ R dada por f(x) = x(π − x).
(a) Determine a série de senos de f.
(b) Use a série para mostrar que
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)3
=
π3
32
.
4. Desenvolver a função f(x) =
π
4
, no intervalo (0, π), em série de senos dearcos múltiplos.
Empregar o desenvolvimento obtido para a soma das séries numéricas seguintes:
(a) 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+
1
9
− · · · (b) 1− 1
5
+
1
7
− 1
11
+
1
13
− · · ·
5. Desenvolver em séries imcompletas de Fourier, no intervalo (0, π), as funções seguintes:
(a) f(x) = x. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma da série
1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · ·
(b) f(x) = x2. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma da série numérica
1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ · · ·
(c) f(x) = x2. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma da série numérica
1− 1
22
+
1
32
− 1
42
+ · · ·
i. em séries de senos de arcos múltiplos;
ii. em séries de cossenos de arcos múltiplos.
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R. Alcindo, R. Nicol’s
14 Cursos de Engenharias – 2021 / 10 S
	Funções de uma variável complexa 
	Operações com números complexos
	Conjuntos no plano complexo. Sucessões
	Funções e aplicações
	Funções de uma variável complexa
	Funções analíticas
	Integrais de contorno
	Séries de Taylor e Laurent
	Resíduos e suas aplicações
	Equações diferenciais de ordinárias
	Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis
	Equações diferenciais homogeneas da primeira ordem
	Equações diferenciais lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
	Equações diferenciais exactas. Factor integrante
	ED redutíveis a equações de ordens inferiores
	ED lineares homogêneas de ordens superiores
	ED lineares não-homogêneas de ordens superiores
	Sistemas de equações diferenciais
	Transformada de Laplace
	Séries de Fourier