Apresentação_Circulo_Trigonométrico

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MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Estudo da função seno
 EIXO GEOMETRIA
 Conteúdos: 
Circunferência;
Círculo trigonométrico;
Funções trigonométricas;
Função seno.
 
1
TRIGONOMETRIA
 A palavra TRIGONOMETRIA vem do grego e significa TRIGONO (triângulo) e METRIA (medir). É um ramo da matemática que estuda a relação entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos.
 CIRCUNFERÊNCIA
Denomina-se circunferência o conjunto dos pontos P de um plano determinado que distam um mesmo valor r de um ponto fixo O (Centro).
 
 
 
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Estudo da função seno
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
 
 Na circunferência, temos os seguintes elementos:
raio= é o segmento de reta que liga o centro da circunferência a um ponto qualquer da circunferência;
diâmetro= é a corda 1 que passa pelo centro da circunferência;
centro = é a origem da circunferência, isto é, o ponto fixo escolhido.
 E podemos calcular o seu comprimento, usando a fórmula:
comprimento da circunferência: C= 2πr, onde π é ≈ 3,14159.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
 É um artifício criado com a finalidade de nos ajudar na visualização das proporções entre os lados dos triângulos retângulos e os ângulos. Ele é uma circunferência orientada de raio 1, com centro na origem dos dois eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um sistema de coordenadas, definido por duas retas numéricas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cruzam. 
 
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
 
 
 
-
A circunferência trigonométrica, ou ciclo trigonométrico, tem centro na origem O(0, 0) de um plano cartesiano e raio 
de 1 unidade. 
No ciclo trigonométrico, o ponto A(1, 0) é a origem de todos os arcos, isto é, o ponto a partir do qual percorremos a circunferência até um ponto P para determinar o arco AP 
(P é a extremidade do arco).
13.16
Circunferência orientada no 
plano cartesiano
6
13.16
(AP)
A cada ponto P da circunferência, associamos a medida ,
tal que: 0 rad  med  2 rad ou 0o  med  360º 
AP
(AP)
Circunferência orientada no 
plano cartesiano
7
Adotando o sentido anti-horário para as medidas positivas, determinamos o sentido oposto (horário) para as 
medidas negativas. 
Sentido anti-horário: med (AP) = 60º
Sentido horário: med (AP) = –300º
Sentido horário e sentido anti-horário
Podemos percorrer uma circunferência em dois sentidos:
no sentido horário e no sentido anti-horário.
13.17
8
O eixo das abscissas (eixo ) e o eixo das ordenadas 
(eixo ) do plano dividem o ciclo em quatro quadrantes 
(QI, QII, QIII e QIV), como mostram as figuras a seguir.
A’A
B’B
13.18
Quadrantes do ciclo trigonométrico
9
Dado um arco AP, temos:
Se P  QI  0 rad < med (AP) < rad 
ou 0º < med (AP) < 90º 
Se P  QII  < med (AP) <  rad 
ou 90º < med (AP) < 180º 
Se P  QIII   rad < med (AP) < rad 
ou 180º < med (AP) < 270º 
Se P  QIV  rad < med (AP) < 2  rad 
ou 270º < med (AP) < 360º
13.18
p
2
p
2
3p
 2
Quadrantes do ciclo trigonométrico
3p
 2
10
13.18
Observação
Os pontos A, A', B e B' pertencem aos eixos, portanto não são considerados pontos dos quadrantes.
Quadrantes do ciclo trigonométrico
11
1 . Circunferência Trigonométrica
O x cos
A’ A
 y sen
B
B’
1
1
P
+
-
2 . Seno e Cosseno
O x
A’ A
y
B
B’
P
M
N

sen 
cos 
2 . Seno e Cosseno
Seno: 
 marcado no eixo Y
 varia de –1 até 1  -1  sen  1
 sinal do seno:
O x
A’ A
y
B
B’
1
-1
2 . Seno e Cosseno
Cosseno: 
 marcado no eixo X
 varia de –1 até 1  -1  cos  1
 sinal do cosseno:
O x
A’ A
y
B
B’
-1 1
3 . Tangente
O x
A’ A
y
B
B’
P
t
t // y
M
tg 

3 . Tangente
O x
A’ A
y
B
B’
Sinal
med (AP) =  rad 
Simetria no ciclo trigonométrico
13.19
18
	Pontos	Simétricos em relação	Característica	Medida do arco
	P e P’	ao eixo das ordenadas	têm abscissas opostas e ordenadas iguais	Med (AP’) = ( – ) rad ou 
(180º – )
	P e P’’	à origem	têm abscissas opostas e ordenadas opostas	med (AP’’) = ( + ) rad ou 
(180º + )
	P e P’’’	ao eixo das abscissas	têm abscissas iguais e ordenadas opostas	med (AP’’’) = (2 – ) rad ou 
(360º – )
13.19
Simetria no ciclo trigonométrico
19
13.19
Se as extremidades de dois arcos com mesma origem são pontos que apresentam uma dessas simetrias, dizemos que esses arcos são arcos simétricos. 
Simetria no ciclo trigonométrico
20
a) Vamos determinar a medida dos arcos simétricos ao arco de 60º 
em relação aos eixos das ordenadas e das abscissas. 
Observe o ciclo trigonométrico abaixo:
Exemplo
13.20
Simetria no ciclo trigonométrico
21
a) Em um ciclo trigonométrico, quando um valor, em grau, está associado a um ponto, subentende-se que esse valor indica a medida, em grau, de um arco cuja extremidade é representada 
por este ponto. 
	Percebemos que os arcos simétricos ao arco de 60º medem:
 em relação ao eixo das ordenadas: 180º – 60º = 120º 
 em relação ao eixo das abscissas: 360º – 60º = 300º 
13.20
Simetria no ciclo trigonométrico
Exemplo
22
b) Agora, analisando a figura do ciclo trigonométrico, no exemplo anterior, vamos encontrar a medida de todos os arcos simétricos ao simétrico de 60º em relação à origem O.
	O arco simétrico ao arco de 60º em relação à origem O é o arco 
de 240º.	
	Portanto, o arco de 240º é simétrico aos arcos:
 de 120º, em relação ao eixo das abscissas;
 de 300º, em relação ao eixo das ordenadas;
 de 60º, em relação à origem: 180º + 60º = 240º 
13.21
Simetria no ciclo trigonométrico
Exemplo
23
med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = a
Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo:
sen  = 
13.23
Seno de um arco
24
De modo geral, para m e n reais pertencentes ao 
intervalo [–1, 1]:
O seno do ângulo a é a ordenada de P no eixo .
O eixo , das ordenadas, é também chamado
eixo dos senos.
Para todo arco AP do ciclo trigonométrico, com P(m, n), 
med(AP) =  rad,   ℝ e 0    2, temos sen  = n.
13.23
Seno de um arco
25
Para determinar o seno dos arcos dos demais quadrantes, devemos considerar a simetria do ponto P, com P  QI, 
e de seus simétricos em relação ao eixo das abscissas, 
à origem O e ao eixo das ordenadas.
13.24
Simetria no estudo do seno
26
Nas figuras a seguir, observe o seno de alguns arcos do 1º quadrante e o seno de seus simétricos em relação aos eixos ou à origem O.
Exemplo
13.25
∎
∎
Simetria no estudo do seno
27
13.25
∎
∎
Exemplo
Simetria no estudo do seno
28
13.25
∎
∎
Simetria no estudo do seno
Exemplo
29
13.25
Observação
Os valores do seno dos arcos 0, , , , , , e 2 são chamados 
de valores notáveis. 
 
 
 
Simetria no estudo do seno
Exemplo
30
Para , em radiano, no 1o quadrante:
13.26
 
 
 
Redução ao 1o quadrante
31
Vamos determinar o seno de e o seno de seus simétricos em 
relação aos eixos e à origem O.
Exemplo
13.27
Redução ao 1o quadrante
32
13.27
O arco (QIII) é simétrico ao arco de: 
 (QII) em relação ao eixo :
	sen = –sen 
 (QIV) em relação ao eixo :
	sen = sen 
 (QI) em relação à origem O:
	sen = –sen 
Exemplo
Redução ao 1o quadrante
33
Se imaginarmos um ponto P percorrendo o ciclo trigonométrico, no sentido anti-horário, a partir de A(1, 0), verificaremos que 
o seno:
cresce de 0 a 1 no 1o quadrante ;
decresce de 1 a 0 no 2o quadrante ;
decresce de 0 a –1 no3o quadrante ;
cresce de –1 a 0 no 4o quadrante . 
13.28
Variação do seno
34
No ciclo trigonométrico, para todo   ℝ, 
com 0    2, temos:
13.28
Variação do seno
Observação
–1  sen   1
35