Volume de sólido - método das cascas cilíndricas - Exercício resolvido

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• Se S é a região do plano delimitada pelas curvas e , então o volume y = x - x2 y = x
do sólido geradopela rotação de S em torno do eixo Oy é igual a u.v.
8𝜋
3
Resolução:
Interseção:
x - x = x → x - x - x = 0 → x x - 2 = 0 → x = 0 ou x - 2 = 02 2
 x = 2
Gráfico
Vamos encontrar o volume de 3 regiões usando o método das cascas cilindricas, como visto 
na sequência: 
 
 
 
 
 
 Somamos os volumes que interessam, V1 e V3, e subtraimos o volume que não nos 
interessa, V3:
 
V = -V + V -VS 1 2 3
o sinal negativo em V é colocado pois esse volume está abaixo do eixo y e a rotação dera um 1
"volume negativo"!
 
V = - 2𝜋x x - x dx + 2𝜋 2𝜋xxdx - 2𝜋 2𝜋x x - x dxS
1
0
∫ 2
2
0
∫
2
1
∫ 2
 
 
V = 2𝜋 - x - x dx + x dx - x - x dxS
1
0
∫ 3 2
2
0
∫ 2
2
1
∫ 3 2
V = 2𝜋 - - + - -S
x
4
4 x
3
3 1
0
x
3
3 2
0
x
4
4 x
3
3 2
1
V = 2𝜋 - + + - + + - + + -S
1
4
( )4 1
3
( )3 0
4
( )4 0
3
( )3 2
3
( )3 0
3
( )3 2
4
( )4 2
3
( )3 1
4
( )4 1
3
( )3
V = 2𝜋 - + + - 4 + + -S
1
4
1
3
8
3
8
3
1
4
1
3
V = 2𝜋 - 4S
16
3
V = 2𝜋 ⋅S
4
3
 
V = u. v. Verdadeiro!S
8𝜋
3
 
 
 
 Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
 
(Resposta )