GUIA TUTORIAL - Geometria Euclidiana e Descritiva 2021

Prévia do material em texto

Universidade Católica de Moçambique 
Instituto de Educação à Distância 
 Rua Correia de Brito, 613, Ponta Gêa 
C.P 90 - Beira - Moçambique 
Tel: (+258) 23 32 64 05 Fax: (+258) 23 32 64 06 
E-mail: ied@ucm.ac.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tutor: _____________________________ 
e-mail ________________________________________ 
Cell ________________________________________ 
Licenciatura em Ensino de Matemática 
2º ano - 2021 
Geometria Euclidiana e Descritiva 
Guia Tutorial 
mailto:ied@ucm.ac.m
 
 
Índice 
1 Introdução ............................................................................................................................... 3 
2 Objetivos gerais de aprendizagem .......................................................................................... 3 
3 .Conteúdos a abordar .............................................................................................................. 4 
4 Método de ensino – aprendizagem ......................................................................................... 4 
5 Desempenho esperado............................................................................................................ 4 
6 Formas de Avaliação ................................................................................................................ 5 
7 Atividades a realizar ................................................................................................................ 5 
7.1 Atividade 1 – (1a Sessão Presencial) ................................................................................ 5 
7.2 Atividade 2 – (2a Sessão Presencial) ................................................................................. 6 
8 Sessões Presenciais/Síncronas ................................................................................................ 7 
8.1 1a Sessão Presencial: 07 a 08 de Março ........................................................................... 7 
8.2 2a Sessão Presencial: 16 a 17 de Maio ............................................................................. 8 
9. Momento interregno .................................................................................................................. 9 
10. Recursos .................................................................................................................................... 9 
11. Bibliografias Recomendadas ................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
1 Introdução 
Seja bem-vindo a disciplina de GEOMETRIA EUCLIDIANA E DESCRITICA. Este módulo foi concebido 
para servir de texto básico para alunos de Geometria Euclidiana e Geometria Descritiva do curso 
de Licenciatura em Ensino de Matemática do Centro de Ensino á Distância da Universidade 
Católica de Moçambique, e também para preconizar um ambiente de aprendizagem e ensaio de 
técnicas, estratégias e procedimentos diversos de ensino nas suas várias formas e alternativas, 
de modo a capacitar o futuro professor na realização da nobre tarefa de ensinar. Este módulo é 
constituido por duas partes (contendo 23 unidades temáticas). 
A disciplina Geometria Euclidiana e Descritiva, tem como objectivo, proporcionar ao estudante 
conhecimento sobre a Geometria como um sistema dedutivo e de apoio na resolução de 
problemas, interpretar geometricamente objetos algébricos e executar as construções 
geométricas a partir de resultados. Com estes objectivos, serão ferramentas essenciais de apoio 
a outras disciplinas específicas do curso. 
 
O Material de apoio base é o Módulo da Disciplina mas deve ser enriquecido pelas bibliografias 
que serão recomendadas e por outras que abordam os conteúdos das unidades relacionadas. 
2 Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao terminar a cadeira de Geometria Euclidiana e Descritiva, o estudante deverá ser capaz de: 
 Compreender a Geometria como um sistema dedutivo. 
 Intuir e demonstrar resultados da Geometria; 
 Aplicar conhecimentos geométricos na resolução de problemas; 
 Empregar as construções com régua e compasso como 
 instrumento para a aprendizagem e o ensino de Geometria; 
 Interpretar geometricamente objetos algébricos; 
 Executar construções geométricas a partir de resultados 
 
 
3 .Conteúdos a abordar 
Nesta disciplina iremos abordar os seguintes conteúdos: 
 Definições de Euclides; 
 Plano e espaço de incidência; 
 Axiomas de incidência; 
 Distância e ordenação nas rectas; 
 Ângulos e triângulos; 
 Separação no plano; 
 Medição angular; 
 Desigualdades geométricas; 
 Perpendicularidade, Paralelismo no espaço; 
 Projecções paralelas e semelhança de triângulos; 
 Noção de projecção, representação da linha recta e Diédrica de figuras planas; 
 Intersecção de dois planos e rectas com planos; 
 Projecções de sólidos geométricos 
4 Método de ensino – aprendizagem 
O curso adota métodos inovadores centrados na aprendizagem do estudante. Isto significa que a 
responsabilidade pelo processo de aprendizagem é do estudante. Quanto ao tutor, ele passa a 
ser, sobretudo, um gestor/mediador/facilitador de situações de aprendizagem. 
As sessões serão ministradas segundo métodos de exposição aberta do tutor da disciplina e 
trabalho independente dos estudantes, durante os intervalos das presenciais seguidas de 
partilhas na sala de aula. 
5 Desempenho esperado 
No fim da disciplina, espera-se que o estudante desenvolva bases científicas sobre as técnicas e 
resultados associados à Geometria Euclidiana e Descritiva constantes no módulo. 
 
 
6 Formas de Avaliação 
Ao longo da disciplina o estudante deverá realizar todas actividades propostas para 
autoavaliação, pois constitui uma avaliação de carácter formativo. Os trabalhos individuais ou de 
campo (teóricos ou práticos) realizados pelo estudante têm sobre a média de frequência o peso 
de 40% e são indicados pelos tutores. No final do ano será realizado um exame que terá o peso 
de 60% sobre a média final. A nota final será calculada através da seguinte fórmula: NF = MF x 
40% + NE x 60%; onde: 
NF -Nota Final; MF - Média de frequência; NE - Nota de Exame. 
 
7 Atividades a realizar 
7.1 Atividade 1 – (1a Sessão Presencial) 
1. Mostre, a partir dos axiomas (I), que; 
a) O conjunto de todos os pontos não é uma linha; 
b) Existe, pelo menos um plano; 
c) Existe pelos menos dois planos; 
d) Todo plano contem pelo – menos duas linhas; 
 
2. Mostre que: 
 (a) toda linha recta tem uma infinidade de pontos, 
(b) quaisquer duas linhas rectas são equipotentes são linhas paralelas. 
 
3. Represente, no modelo de Moulton, o triangulo Δ ABC, onde A (-2; 0); B(2; 3) e C(4; -1) e 
determine: 
a) os c omptrimentos dos lados 
b) os pontos medios dos lados 
c) o triangulo cujosa vertices são os pontos medios dos lados do 
Δ ABC 
 
4. A partir do diagrama seguinte, tente construir uma demonstração do teorema de Pitágoras 
pelo método de dissecção. 
 
 
 
5. Prove que o vértice A do Δ ABC não esta entre dos pontos do triangulo. 
 
6. Considera t uma linha recta, P1 e P2 dois semi-planos limitados por t . Mostre que: 
Se M e N são pontos distintos não em t e o segmento MN corta t , então os pontos M. 
 
7. e N não estão num mesmo semi-plano limitado por t . (lema da pagina 64) 
 
8. Mostre se P é um ponto do interior do triângulo ABC, então o segmento BP corta o interior 
do segmento AC. (pagina 68). 
 
9. Prove que as diagonais de um quadrilátero convexo intersectam-se num ponto. (pagina 71). 
 
10. Considera o ângulo PRT igual ao ângulo ABC. Mostre que R = B. 
 
11. Prove que, entre ângulos semelhantes a razão entre dois lados homólogos é igual a razão 
entre as alturas reactivas a esses lados. 
 
7.2 Atividade 2 – (2a Sessão Presencial) 
1. Representar as projecções dum ponto do espaço do I diedro. Dados: distancia ao PH 250mm; 
distância ao PV 370mm. Indicar a escala do traçado. 
 
2. Representar as projecçõesdum ponto que está 20mm para trás do PV e 35 mm para baixo do PH. 
Indicar o quadrante em que se encontra o ponto. 
 
3. Representar as projecções dum ponto simétrico do anterior em relação ao PH. Indicar as suas 
coordenadas. 
 
4. Representar as projecções dum ponto que está 26mm para frente do PV e 38mm para baixo do PH. 
 
5. Representar, também as projecções nos diedros em perspectiva e indicar o rebatimento do PV sobre 
o PH. 
 
 
 
6. Representa as projecções de um ponto que se encontra no semiplano Vi. Indicar as suas coordenadas. 
Representar as mesmas projecções nos diedros em perspectiva. 
 
7. Descrever as diversas fases do rebatimento de PV sobre PH. 
 
8. Representar as projecções duma recta que passa pelos pontos: A (-5, -12), B (10,18), distância entre 
projectantes 60 mm. 
 
9. Representar as projecções da recta: C (0, -15), D (0, -20) C0D0 = 40 mm 
 
10. Determinar os traços de rectas dos exercícios anteriores 
 
11. Representar um ponto do IV diedro e um ponto do II diedro. Fazer a análise da recta da recta que 
passa por esses dois pontos. 
 
12. Determinar os pontos de encontro da recta anterior com os planos bissectores. 
 
13. Representar as projecções da recta simétrica em relação ao PV duma frontal do IV diedro. 
 
8 Sessões Presenciais/Síncronas 
8.1 1a Sessão Presencial: 
1º grupo: 24.04 -25.04. 2021 
2º grupo: 08.05 - 09.05.2021 
3º grupo: 15.05 - 16.05.2021. 
Papel do tutor 
O seu papel centra-se na motivação, mediação, orientação e promoção de um contexto de 
aprendizagem conducente a formação da comunidade de aprendizagem. É da sua 
responsabilidade a elaboração do trabalho de campo que será realizado pelos estudantes. 
 
 
NB: O trabalho de campo realizado pelos estudantes é de carácter avaliativo. 
Nesta sessão inaugural, o tutor: 
 Faz a apresentação do Guia de Estudo, os objectivos gerais da disciplina, a metodologia 
a ser usada, as formas de avaliação, os resultados de aprendizagem esperados; 
 Orienta de debate dos conteúdos das primeiras unidades do módulo, as actividades de 
autoavaliação a serem realizadas; 
 Define com os estudantes as estratégias de interacção; 
 Orienta o trabalho de campo que será realizado pelos estudantes. 
Em relação aos estudantes, figuras autónomas na sua aprendizagem, apresentam dúvidas 
pontuais referentes ao Guia de estudo e ao Conteúdo Básico de Referência (Módulo), criam 
laços sociais, coordenam estratégias de interação entre eles, isto é, são responsáveis pela 
formação de grupos de estudos, e sugerem estratégias de comunicação entre estes e o tutor. 
Datas de entrega do 1º Trabalho de Campo: 
1º grupo: 21.05.2021 
2º grupo: 28.05.2021 
3º grupo: 04-06.2021 
 
8.2 2a Sessão Presencial: 
1º grupo: 26.06 - 27.06. 2021 
2º grupo: 03.07 - 04.07.2021 
3º grupo: 10.07 - 11.07.2021 
Nesta sessão, o tutor movido pela orientação de fazer com que o estudante assuma o seu 
processo de aprendizagem de forma activa, concentra-se em esclarecer dúvidas, dar feedback 
 
 
das actividades até então realizadas, orientar o segundo trabalho de campo, monitorar 
actividades práticas e fornecer as directrizes na preparação para o exame. 
Os estudantes expõem as dúvidas encontradas durante o estudo individual ou em grupo e 
interagem com os colegas e tutor, recebem o feedback do tutor, realizam actividades práticas, 
debatem em torno das restantes unidades do módulo e partilham recursos. 
Datas de entrega do 2º Trabalho de Campo: 
1º grupo: 23.07.2021 
2º grupo: 30.08.2021 
3º grupo: 06.08.2021 
9. Momento interregno 
Neste período, o tutor faz o acompanhamento, que consiste em atender pelo telefone, internet 
ou fisicamente os estudantes, dar feedback, reforçar o processo de auto aprendizagem. Nesta 
fase, o tutor esclarece dúvidas, direciona conteúdos, promove o diálogo problematizador, 
modera, acompanha as discussões nos grupos de estudo e actualiza o conteúdo pedagógico. 
O estudante realiza actividades de autoavaliação individualmente ou em grupo, conforme os 
objectivos preconizados em cada unidade. Interage com o conteúdo, seus pares, tutor, realiza as 
actvidades de autoavaliação, realiza o segundo trabalho de campo. A colaboração entre os 
estudantes é estimulada de modo que juntos construam o conhecimento, pelo debate de ideias e 
partilha de informações e recursos. 
10. Recursos 
As disciplinas são ministradas com o emprego de recursos que propiciem ao estudante a devida 
autonomia e o desenvolvimento de sua capacidade de iniciativa. Assim sendo, dispõem-se os 
seguintes recursos de aprendizagem: Guias de estudo, Conteúdo Básico de Referência (Módulo), 
 
 
Bibliografias básicas e complementares e objectos de aprendizagem (Textos de apoio, 
PowerPoint, Prezi, entre outros). 
Também são usados suportes tecnológicos como recursos audiovisuais (projector multimídia, 
tela interativa, Tablet, data-show e CD). 
Com relação as aulas práticas desenvolvidas no decorrer do curso, cumpre salientar que as 
mesmas são concebidas de acordo com as especificidades de cada disciplina, principalmente 
aquelas que carecem de laboratórios de informática, com acesso a internet, laboratórios de 
química, física, Biologia, Educação Física e Desporto, receptor GPS, Software SIG, aula-excursão, 
dentre outros, com vista a dinamizar o aprendizado e incentivar a busca pelo conhecimento. 
Sessões de Exames 
Exame Normal de Cadeiras Gerais: 04 - 05; 11 - 12 de Setembro de 2021. 
Exames Normais de Especialidade: 23 – 24 de Outubro de 2021. 
Exames de Recorrência das Cadeiras Gerais: 20 – 21 de Novembro de 2021. 
Exames de Recorrência de Especialidades: 27 – 28 de Novembro de 2021. 
 
11. Bibliografias Recomendadas 
Lexandrov, A. D,(1963). – Non-Euclidean Geometry, cap. XVII in Mathematics, its Content, end 
Meaning, vol. III, MIT Press. 
 
Apostal, T. M. (1974).– Matematical Analysis, Second Edition, Addison- Wesley, 
 
BEHNKE, H., BECHMANN, F., FLADT, K. e SUSS, W. (editors) – fundamentals of Mathematics, vol II, 
Geometry, MIT Press, 1974. 
 
Birkhoff, G. D. – A set of postulates for Plane Geometry, based onScale and Protactor, Annals of math., 
33 (1932), 329-345 
 
Birkhoff, G. D. & Beatly, R. (1959).,– Basic Geometry, Third Edition, Chelsea, 
 
Carreira, A. R. (1972), Compêndio de desenho (para o 3º Ciclo de Ensino Liceal), 2ª Edição, Livraria Sá 
da Costa, Lisboa. 
 
 
 
Mesa, A., & Camundimo, V. F., (1995), Desenho, 8ª Classe, DINAME. 
 
Comundimo, V. F., (2010), Desenho e Geometria Descritiva, 11ª Classe, Texto Editores,. 
 
Santa R., José F., (2005), Geometria Descritiva A/B bloco 2, Volume 1 – 11º/12º Anos, 1ª Edição, Texto 
Editores, Lta.