Função exponencial_VESTIBULAR_GABARITO

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Função exponencial exercícios e teoria
Função exponencial
Uma função  dada por , em que em que a é constante positiva e diferente de 1, denomina-se função exponencial.
A função exponencial será crescente quando a base a for maior que 1, e decrescente se a for positivo menor que 1. Seu gráfico terá sempre um do seguintes aspectos:
a > 1, f é crescente
a < 1, f é decrescente
Observe que nos dois casos, o gráfico de F(x) = a^x não cruza o eixo Ox, pois para  para qualquer . No entanto o gráfico de uma função  cruza o eixo Oy no ponto (0,1), pois a0 = 1.
O domínio da função exponencial é D=R, e seu contradomínio é CD=R positivos com exceção do numero 0. Como a > 0 e a ≠ 1, as imagens da função sempre serão positivas.
Outra característica da função exponencial é ela ser bijetora, pois f é sobrejetora e injetora.
Representação da Função Exponencial no Plano Cartesiano
Para representarmos graficamente uma função exponencial, podemos fazê-lo da mesma forma que fizemos com a função quadrática, ou seja, arbitrarmos alguns valores para x, montarmos uma tabela com os respectivos valores de f(x), localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos a curva do gráfico.
Para a representação gráfica da função  arbitraremos os seguinte valores para x:
-6, -3, -1, 0, 1 e 2.
Montando a tabela temos:
	 x 
	y = 1,8x
	-6
	y = 1,8-6 = 0.03
	-3
	y = 1,8-3 = 0.17
	-1
	y = 1,8-1 = 0.56
	0
	y = 1,80 = 1
	1
	y = 1,81 = 1.8
	2
	y = 1,82 = 3.24
Ao lado temos o gráfico desta função exponencial, onde localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função:
Fonte: www.Infoescola.com
           www.brasilescola.com
           www.matematicadidatica.com.br
Exercícios sobre função exponencial
1) (Vunesp) - Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei , em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a.
	
Resolução:
A função exponencial  passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048).
Substituindo esses pontos na função, temos:
2) (PUC/MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:
Resolução:
No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.
No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16.
No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32.
Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por .
Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será de .
Resposta: E.
3) (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
4) (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial:
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
5)  (Fatec-SP - Adaptada) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, por  . Determine a população referente ao terceiro ano.
  A população referente ao 3º ano é de 19.875 habitantes.
6)  Qual o domínio da função exponencial  y = 2x ?
Resolução:
Sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja: 
D = R.
 
7) Dada a função exponencial, calcule o valor de m que a torne decrescente.
Resolução:
Para que a função   seja decrescente os possíveis valores de m deve respeitar a seguinte condição: 5 < m < 5,5. Portanto:
S = {m Є R / 5 < m < 5,5}
 
8) Na função exponencial a seguir calcule o valor de k, considerando uma função crescente.
 
Resolução:
A condição para que uma função exponencial seja crescente é considerar a base do expoente x maior que 1.
12 – 2k > 1
12 > 2k
k < 6
A função exponencial f(x) = (12 – 2k)x é crescente quando k < 6.
9)  (Unicamp, 2011) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que
a) M(t) = 24−t/75
b) M(t) = 24−t/50
c) M(t) = 25−t/50
d) M(t) = 25−t/150
Resolução
· Para o ponto (0,16), temos:
M(0) = 16 = 24
· Para o ponto (150,4), temos:
M(150) = 4 = 22 = M(0).2k = 24.2k = 24 + k = 24 - 2 = 24 - 150/75 
M(t) = 24 - t/75
10) (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r jm a partir do seu centro é dado por P(r) = k * 23r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?
Resolução:
P(r) = k * 23r
98 304 = k * 2 3*5
98 304 = k * 215
98 304 = k * 32 768
k =98 304 / 32 768
k = 3
Calculando o número de habitantes num raio de  3 km
P (r) = k * 23r
P (3) = 3 * 23*3
P (3) = 3 * 29
P (3) = 3 * 512
P(3) = 1536
O número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.
11) (LUMEN) O maior valor inteiro que devemos atribuir a "p" para que a função f(x) = (11 - p)x seja crescente é: 
a)8 
b)9 
c)7 
d)10 
e)11 
12) (ITA) Considere a função f : Z \ {0} --> R,,x para quais y² + 2y + f(x) = 0 tem raiz dupla é: 
a)Zero 
b)6 
c)2 
d)1 
e)4 
13) (UFPB) O valor de um certo imóvel, em reais, daqui a t anos é dado pela função V(t) = 1000(0,8)t . Daqui a dois anos, esse imóvel sofrerá, em relação ao valor atual, uma desvalorização de: 
a)R$ 800,00 
b)R$ 512,00 
c)R$ 640,00 
d)R$ 360,00 
e)R$ 200,00 
14) As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em:
a) nenhum ponto;
b) 2 pontos;
c) 4 pontos;
d) 1 ponto;
e) infinitos pontos.
15) (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2:
a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);
b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) não intercepta o eixo dos x.