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. A integral inicial fica: C e 27 2 e x 9 2 e 3 1 . xdx e.x 3x3x3x23x2 ++−=∫ Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫ dx x cos x. 2) ∫ dx e .x 2x Apostila de Cálculo II 10 3) ∫ dx x ln 4) ∫ dxx sec .x 2 5) ∫ dx e . x -x 6) ∫ dx e . x -3x 7) ∫ dx x sen . e x 2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas Se o integrando contém expressões das formas ( ) ( ) ( )n22n22n22 xa ou ax xa +−− , tente fazer substituições imediatas (do tipo u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica: a) Desenhe um triângulo retângulo. b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre- se de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões ( ) ( ) ( )222222 xa ou ax ,xa +−− que aparecem na sua integral. c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição correspondente. Temos os seguintes tipos de substituições: Apostila de Cálculo II 11 (a) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa − , use a substituição: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . (b) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 ax − , use a substituição dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− . Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− (c) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa + , use a substituição dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ . Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ Apostila de Cálculo II 12 Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura. Resolvidos 1) Calcular a integral ( ) dx x16x 1 22 ∫ − Faz-se a substituição cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx com , θ sen 4 x 2 === ( ) ( ) θ cotg 16 1 - θcossec 16 1 dθ θsen 1 16 1 dθ θ cos 4. θ cos 4 . θsen 16. 1 dx x16x 1 2 2222 = ∫=∫=∫=∫ − Voltando a variável original ( ) ( ) C x x16 16 1 - dx x16x 1 2 22 + − =∫ − 2) Calcular a integral dx x4 1 2 ∫ + Faz- se a substituição θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx com , θ tg 2 x 22 =+== . C tgθ secθ ln dθ θsec dθ θ sec 2 θsec 2 1 dx x4 1 2 2 ++=∫=∫=∫ + . Voltando a variável original C 2 x 2 x4 ln dx x4 1 2 2 ++ + =∫ + 3) Calcular a integral dx x 9x2∫ − Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2 =+== . Apostila de Cálculo II 13 ( ) θ 3tgθ 3 dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3 θsec 3 θ tg 3 dx x 9x 222 2 −= =∫ ∫−=∫ −=∫=∫=∫ − Voltando a variável original C 3 x arcsen39x dx x 9x 22 +−−=∫ − Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫ 2x-16 dx 2) ∫ − 25x dx 2 3) ( )∫ − 232x6 dx 4) dx 81 1 2∫ + x 5) dx 36 1 2 ∫ −x 6) ∫ + 2x1x dx Apostila de Cálculo II 14 4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois casos: linear e quadrático. Caso linear Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares (repetidos ou não). Consideremos a integral dx x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 ∫ . 1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por exemplo, a função racional x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 é imprópria, pois o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 2 23 23 += . A integral transforma-se em dx x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 =∫ dx x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 23 2 +∫ , cuja primeira parcela é trivial. Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em frações parciais. 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2- 8x=x(x-4)(x+2). 3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas através de frações parciais. No caso da função racional x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 23 2 basta escrever 2x C 4-x B x A x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 23 2 + ++= . Usando algum método para resolver esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e Apostila de Cálculo II 15 resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3. 4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos dx 2x 314 4-x 38 x 2 dx 5 dx x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 23 2 ∫ ∫ + +−+= +∫ e esta última integral se resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela. 5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral ( ) dx 1xx 2 x 4 x3 2 2 ∫ + ++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma ( ) ( )2 21 2 2 1x B 1x B x A 1xx 2 x 4 x3 + + + += + ++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1, B2=-1. Portanto, temos ( ) dx 1xx 2 x 4 x3 2 2 =∫ + ++ ( ) dx 1x 1 1x 1 x 2 2 + − + +∫ e esta última integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada parcela. Caso quadrático Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não). Consideremos a integral . 1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita. Apostila de Cálculo II 16 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com coeficientes reais). 3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. Devemos escrever a função racional dada na forma 1x C 4x B A x 4 x 4 x 20 x 3 x8 223 2 + + + + = +++ ++ x . Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0 e C=5. Dessa forma