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c-lculo II

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. 
 
 A integral inicial fica: 
 
 
C e 
27
2
 e x 
9
2
 e 
3
1
. xdx e.x 3x3x3x23x2 ++−=∫ 
 
Exercícios: 
 
Calcular as integrais: 
 
1) ∫ dx x cos x. 
 
2) ∫ dx e .x 2x 
 
Apostila de Cálculo II 
 
10 
3) ∫ dx x ln 
 
4) ∫ dxx sec .x 2 
 
5) ∫ dx e . x -x 
 
6) ∫ dx e . x -3x 
 
7) ∫ dx x sen . e x 
 
 
2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas 
 
 
Se o integrando contém expressões das formas 
( ) ( ) ( )n22n22n22 xa ou ax xa +−− , tente fazer substituições imediatas (do tipo 
u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no 
integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da 
seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica: 
 
a) Desenhe um triângulo retângulo. 
 
 b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre-
se de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões 
( ) ( ) ( )222222 xa ou ax ,xa +−− que aparecem na sua integral. 
 
 c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição 
correspondente. 
 
Temos os seguintes tipos de substituições: 
 
Apostila de Cálculo II 
 
11 
(a) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa − , use a substituição: 
dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . 
 
 
 
 
Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . 
 
(b) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 ax − , use a substituição 
dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− . 
 
 
 
Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− 
 
(c) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa + , use a substituição 
dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ . 
 
 
 
 
Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ 
 
Apostila de Cálculo II 
 
12 
Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o 
triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura. 
 
 Resolvidos 
 
1) Calcular a integral ( ) dx x16x
1
22
∫
−
 
Faz-se a substituição cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx com , θ sen 4 x 2 === 
 
( ) ( )
θ cotg
16
1
 -
θcossec 
16
1
 dθ 
θsen
1
16
1
 dθ θ cos 4.
θ cos 4 . θsen 16.
1
 dx 
x16x
1 2
2222
=
∫=∫=∫=∫
−
 
 Voltando a variável original ( )
( ) C 
x
x16
 
16
1
- dx 
x16x
1 2
22
+
−
=∫
−
 
 
 
2) Calcular a integral dx 
x4 
1
2
∫
+
 
Faz- se a substituição θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx com , θ tg 2 x 22 =+== . 
 
C tgθ secθ ln dθ θsec dθ θ sec 2
θsec 2
1
 dx 
x4 
1 2
2
++=∫=∫=∫
+
. 
 
Voltando a variável original C 
2
x
2
x4
 ln dx 
x4 
1 2
2
++
+
=∫
+
 
 
 
3) Calcular a integral dx 
 x
9x2∫ − 
Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2 =+== . 
 
Apostila de Cálculo II 
 
13 
( )
θ 3tgθ 3
dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3 
θsec 3
θ tg 3
 dx 
 x
9x
 222
2
−=
=∫ ∫−=∫ −=∫=∫=∫ −
 
 
Voltando a variável original C 
3
x
arcsen39x dx 
 x
9x 22 +−−=∫ − 
 
Exercícios: 
 
Calcular as integrais: 
 
1) ∫
2x-16
dx
 
 
2) ∫
− 25x
dx
2
 
 
3) ( )∫ − 232x6
dx
 
 
4) dx 
81
1
2∫ + x 
 
5) dx 
36
1
2
∫
−x
 
 
6) ∫
+ 2x1x
dx
 
 
 
 
Apostila de Cálculo II 
 
14 
4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais 
 
Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de 
funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p 
é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de 
integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois 
casos: linear e quadrático. 
 
Caso linear 
 
Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares 
(repetidos ou não). 
Consideremos a integral dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
23
∫ . 
 
1)
 Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por 
exemplo, a função racional 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
23
 é imprópria, pois o grau do 
numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 5 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
2
23
23
+= . A integral transforma-se em 
 dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
23
=∫ dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 5 23
2




+∫ , cuja primeira parcela é trivial. 
Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em 
frações parciais. 
 
2)
 Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2-
8x=x(x-4)(x+2). 
 
3)
 Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas 
através de frações parciais. No caso da função racional 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
23
2
basta 
escrever 
2x
C
4-x
B
 
x
A
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 23
2
+
++= . Usando algum método para resolver 
esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e 
Apostila de Cálculo II 
 
15 
resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de 
mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3. 
 
4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a 
substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos 
dx 
2x
314
4-x
38
x
2
 dx 5 dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 5 23
2
∫ ∫ 


+
+−+=



+∫ e esta última integral se 
resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela. 
 
5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k 
frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral 
( ) dx 1xx
2 x 4 x3
2
2
∫
+
++
 usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma 
( ) ( )2
21
2
2
1x
B
 
1x
B
x
A
 
1xx
2 x 4 x3
+
+
+
+=
+
++
. Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1, 
B2=-1. Portanto, temos ( ) dx 1xx
2 x 4 x3
2
2
=∫
+
++
( ) dx 1x
1
 
1x
1
x
2
 2 



+
−
+
+∫ e esta última 
integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada 
parcela. 
 
 
 
Caso quadrático 
 
Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; 
o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não). 
Consideremos a integral 
. 
 
1)
 Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. 
Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita. 
 
Apostila de Cálculo II 
 
16 
2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como 
x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto 
é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com 
coeficientes reais). 
 
3)
 Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. 
Devemos escrever a função racional dada na forma 
1x
C
4x
B A x 
4 x 4 x 
20 x 3 x8
223
2
+
+
+
+
=
+++
++
x
. Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0 
e C=5. Dessa forma