c-lculo II
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c-lculo II

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.

 A integral inicial fica:

C e
27
2

 e x
9
2

 e
3
1

. xdx e.x 3x3x3x23x2 ++−=∫

Exercícios:

Calcular as integrais:

1) ∫ dx x cos x.

2) ∫ dx e .x 2x

Apostila de Cálculo II

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3) ∫ dx x ln

4) ∫ dxx sec .x 2

5) ∫ dx e . x -x

6) ∫ dx e . x -3x

7) ∫ dx x sen . e x

2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas

Se o integrando contém expressões das formas

( ) ( ) ( )n22n22n22 xa ou ax xa +−− , tente fazer substituições imediatas (do tipo
u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no
integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da
seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica:

a) Desenhe um triângulo retângulo.

 b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre-
se de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões

( ) ( ) ( )222222 xa ou ax ,xa +−− que aparecem na sua integral.

 c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição
correspondente.

Temos os seguintes tipos de substituições:

Apostila de Cálculo II

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(a) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa − , use a substituição:
dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− .

Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− .

(b) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 ax − , use a substituição
dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− .

Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =−

(c) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa + , use a substituição
dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ .

Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+

Apostila de Cálculo II

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Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o
triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura.

 Resolvidos

1) Calcular a integral ( ) dx x16x
1

22
∫

−

Faz-se a substituição cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx com , θ sen 4 x 2 ===

( ) ( )

θ cotg
16
1

 -

θcossec
16
1

 dθ
θsen

1
16
1

 dθ θ cos 4.
θ cos 4 . θsen 16.

1
 dx

x16x
1 2

2222

=

∫=∫=∫=∫
−

 Voltando a variável original ( )
( ) C

x

x16

16
1

- dx
x16x

1 2
22

+
−

=∫
−

2) Calcular a integral dx
x4

1
2

∫
+

Faz- se a substituição θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx com , θ tg 2 x 22 =+== .

C tgθ secθ ln dθ θsec dθ θ sec 2
θsec 2

1
 dx

x4
1 2

2
++=∫=∫=∫

+
.

Voltando a variável original C
2
x

2
x4

 ln dx
x4

1 2
2

++
+

=∫
+

3) Calcular a integral dx
 x

9x2∫ −

Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2 =+== .

Apostila de Cálculo II

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( )

θ 3tgθ 3

dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3
θsec 3
θ tg 3

 dx
 x

9x
 222

2

−=

=∫ ∫−=∫ −=∫=∫=∫ −

Voltando a variável original C
3
x

arcsen39x dx
 x

9x 22 +−−=∫ −

Exercícios:

Calcular as integrais:

1) ∫
2x-16

dx

2) ∫
− 25x

dx
2

3) ( )∫ − 232x6
dx

4) dx
81

1
2∫ + x

5) dx
36

1
2

∫
−x

6) ∫
+ 2x1x

dx

Apostila de Cálculo II

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4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais

Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de
funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p
é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de
integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois
casos: linear e quadrático.

Caso linear

Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares
(repetidos ou não).

Consideremos a integral dx
 x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x5
23

23

∫ .

1)
 Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por

exemplo, a função racional
 x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x5
23

23

 é imprópria, pois o grau do

numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos

 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4

 5
 x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x5
23

2

23

23

+= . A integral transforma-se em

 dx
 x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x5
23

23

=∫ dx
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4

 5 23
2







+∫ , cuja primeira parcela é trivial.

Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em
frações parciais.

2)
 Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2-

8x=x(x-4)(x+2).

3)
 Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas

através de frações parciais. No caso da função racional
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4

23

2

basta

escrever
2x

C
4-x

B

x

A
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4

 23

2

+
++= . Usando algum método para resolver

esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e

Apostila de Cálculo II

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resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de
mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3.

4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a
substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos

dx
2x
314

4-x
38

x

2
 dx 5 dx

 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4

 5 23
2

∫ ∫ 



+

+−+=





+∫ e esta última integral se

resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela.

5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k
frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral

( ) dx 1xx
2 x 4 x3

2

2

∫
+

++
 usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

( ) ( )2
21

2

2

1x
B

1x
B

x

A

1xx
2 x 4 x3

+
+

+
+=

+

++
. Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1,

B2=-1. Portanto, temos ( ) dx 1xx
2 x 4 x3

2

2

=∫
+

++

( ) dx 1x
1

1x
1

x

2
 2 





+
−

+
+∫ e esta última

integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada
parcela.

Caso quadrático

Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares;
o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não).
Consideremos a integral

.

1)
 Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão.

Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita.

Apostila de Cálculo II

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2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como
x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto
é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com
coeficientes reais).

3)
 Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas.

Devemos escrever a função racional dada na forma

1x
C

4x
B A x

4 x 4 x
20 x 3 x8

223

2

+
+

+

+
=

+++

++

x
. Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0

e C=5. Dessa forma