c-lculo II
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. A integral inicial fica: C e 27 2 e x 9 2 e 3 1 . xdx e.x 3x3x3x23x2 ++\u2212=\u222b Exercícios: Calcular as integrais: 1) \u222b dx x cos x. 2) \u222b dx e .x 2x Apostila de Cálculo II 10 3) \u222b dx x ln 4) \u222b dxx sec .x 2 5) \u222b dx e . x -x 6) \u222b dx e . x -3x 7) \u222b dx x sen . e x 2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas Se o integrando contém expressões das formas ( ) ( ) ( )n22n22n22 xa ou ax xa +\u2212\u2212 , tente fazer substituições imediatas (do tipo u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica: a) Desenhe um triângulo retângulo. b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre- se de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões ( ) ( ) ( )222222 xa ou ax ,xa +\u2212\u2212 que aparecem na sua integral. c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição correspondente. Temos os seguintes tipos de substituições: Apostila de Cálculo II 11 (a) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa \u2212 , use a substituição: d\u3b8 \u3b8 c adx , \u3b8 sen a x os== e ( ) \u3b8 cos axa 22 =\u2212 . Substituição trigonométrica: d\u3b8 \u3b8 c adx , \u3b8 sen a x os== e ( ) \u3b8 cos axa 22 =\u2212 . (b) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 ax \u2212 , use a substituição d\u3b8 \u3b8 tg \u3b8sec adx , \u3b8sec a x == e ( ) \u3b8 tg a ax 22 =\u2212 . Substituição trigonométrica: d\u3b8 \u3b8 tg \u3b8sec adx , \u3b8sec a x == e ( ) \u3b8 tg a ax 22 =\u2212 (c) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa + , use a substituição d\u3b8 \u3b8 sec adx , \u3b8 tg a x 2== e ( ) \u3b8sec a xa 22 =+ . Substituição trigonométrica: d\u3b8 \u3b8 sec adx , \u3b8 tg a x 2== e ( ) \u3b8sec a xa 22 =+ Apostila de Cálculo II 12 Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura. Resolvidos 1) Calcular a integral ( ) dx x16x 1 22 \u222b \u2212 Faz-se a substituição cos\u3b8 4 x-16 e d\u3b8 \u3b8 cos 4 dx com , \u3b8 sen 4 x 2 === ( ) ( ) \u3b8 cotg 16 1 - \u3b8cossec 16 1 d\u3b8 \u3b8sen 1 16 1 d\u3b8 \u3b8 cos 4. \u3b8 cos 4 . \u3b8sen 16. 1 dx x16x 1 2 2222 = \u222b=\u222b=\u222b=\u222b \u2212 Voltando a variável original ( ) ( ) C x x16 16 1 - dx x16x 1 2 22 + \u2212 =\u222b \u2212 2) Calcular a integral dx x4 1 2 \u222b + Faz- se a substituição \u3b8sec 2 x4 e d\u3b8 \u3b8 sec 2 dx com , \u3b8 tg 2 x 22 =+== . C tg\u3b8 sec\u3b8 ln d\u3b8 \u3b8sec d\u3b8 \u3b8 sec 2 \u3b8sec 2 1 dx x4 1 2 2 ++=\u222b=\u222b=\u222b + . Voltando a variável original C 2 x 2 x4 ln dx x4 1 2 2 ++ + =\u222b + 3) Calcular a integral dx x 9x2\u222b \u2212 Faz-se a substituição \u3b8 tg 3 9x e d\u3b8 \u3b8 tg \u3b8sec 3 dx com , \u3b8sec 3 x 2 =+== . Apostila de Cálculo II 13 ( ) \u3b8 3tg\u3b8 3 d\u3b83 d\u3b8 \u3b8sec 3 d\u3b8 1\u3b8sec 3 d\u3b8 \u3b8tg 3 d\u3b8 tg\u3b8 sec\u3b8 3 \u3b8sec 3 \u3b8 tg 3 dx x 9x 222 2 \u2212= =\u222b \u222b\u2212=\u222b \u2212=\u222b=\u222b=\u222b \u2212 Voltando a variável original C 3 x arcsen39x dx x 9x 22 +\u2212\u2212=\u222b \u2212 Exercícios: Calcular as integrais: 1) \u222b 2x-16 dx 2) \u222b \u2212 25x dx 2 3) ( )\u222b \u2212 232x6 dx 4) dx 81 1 2\u222b + x 5) dx 36 1 2 \u222b \u2212x 6) \u222b + 2x1x dx Apostila de Cálculo II 14 4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois casos: linear e quadrático. Caso linear Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares (repetidos ou não). Consideremos a integral dx x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 \u222b . 1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por exemplo, a função racional x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 é imprópria, pois o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 2 23 23 += . A integral transforma-se em dx x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 =\u222b dx x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 23 2 \uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb +\u222b , cuja primeira parcela é trivial. Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em frações parciais. 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2- 8x=x(x-4)(x+2). 3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas através de frações parciais. No caso da função racional x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 23 2 basta escrever 2x C 4-x B x A x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 23 2 + ++= . Usando algum método para resolver esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e Apostila de Cálculo II 15 resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3. 4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos dx 2x 314 4-x 38 x 2 dx 5 dx x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 23 2 \u222b \u222b \uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb + +\u2212+=\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb +\u222b e esta última integral se resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela. 5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral ( ) dx 1xx 2 x 4 x3 2 2 \u222b + ++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma ( ) ( )2 21 2 2 1x B 1x B x A 1xx 2 x 4 x3 + + + += + ++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1, B2=-1. Portanto, temos ( ) dx 1xx 2 x 4 x3 2 2 =\u222b + ++ ( ) dx 1x 1 1x 1 x 2 2 \uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb + \u2212 + +\u222b e esta última integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada parcela. Caso quadrático Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não). Consideremos a integral . 1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita. Apostila de Cálculo II 16 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com coeficientes reais). 3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. Devemos escrever a função racional dada na forma 1x C 4x B A x 4 x 4 x 20 x 3 x8 223 2 + + + + = +++ ++ x . Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0 e C=5. Dessa forma