EQUAÇÕES POLINOMIAIS

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EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Denominamos euqações polinomiais ou algebricas as equações da forma:P(X)=0,onde P(x) é um polinômio de grau n>0.As raizes da equação algebrica,são as mesmas do polinômio P(x).O grau do polinômio seria tambem o grau da equação.
exemplos:
x4+9x2-10x+3=0
x10+6x2+9=0
Para resolver estas equações é preciso encontrar as raizes do polinomio.As raizes de um polinomio podem ser reais e\ou complexas.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA!
Toda equação algebrica de variavel complexa e grau n,com n≥1,admite pelo menos uma raiz complexa(real ou imaginaria).
A equação 2x-6=0 admite a raiz real 3
A equação x2+4=0 admite as raizes imaginarias 2i-2i.
A equação x4-81=0 admite a raiz real 3 e a raiz imaginaria 3i,entre outras.
Demonstração:
Suponhamos a equação p(x)=0 em que o polimônio p(x) de variavel complexa e grau n≥1 é dado pela seguinte expressão com a0≠0.
p(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+.......+an-1x+2n
vamos provar que p(x) admite n raizes complexas.
Pelo T.F.A,p(x) admite uma raiz complexa x1
P(k1)= 0 e que p(x) é divisivel por (x-k1)
· p(x)= (x-k1)x q1(x)(1)
Pelo T.F.A,p(x) admite uma raiz complexa k2
q1 (k2)=0 e que q1(x) é divisivel por (x-k2)
· q1(x)=(x-k2)x q2(x) (2)
Substituindo (2) em (1) concluimos que:
· p(x)=(x-k1) x (x-k2)x q2(x)
Aplicando esse raciocinio n vezes o ultimo quociente de grau zero é justamente o coeficinete dominante a0 concluimos que:
P(x)= a0 x(x-k1)x(x-k2)x(x-k3)x(x-kn)
O polinomio tem exatamente n raizes complexas k1,k2,k3...kn reais ou imaginarios.Pode ser decomposto no produto de seu coeficiente dominante por n fatores de 1ºgrau do tipo (x-ki) em que ki,representa cada uma das raizes do polinomio.
exemplo:1
mostrar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que 1,-1 e -2 são as raizes de P(x)=2x3+4x2 -2x-4 e escrever p(x) na forma fatorada.
	
	2
	4
	2
	-4
	-1
	2
	6
	4
	0
	-1
	2
	4
	0
	
	-2
	2
	0
	
	
P(x)=(x-1)*(2x2+ 6x =4)=(x-1)*(x+1)*(2x+4)
P(x)=2x*(x-1)*(x+1)*(x+2)
exemplo:2
Quais são os graus das equações (x-1)2=0,(x-1)5=0 a partir do grau quantas raizes complexas tem cada uma dela?Quais são as raizes em cada casa?
(x-1)2=0 é de 2ºgrau
(x-1)2=(x-1)*(x-1)=0
· a equação adimite duas raizes iguais a 1
(x-1)5=0 é de 5ºgrau
(x-1)5=(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)=0
· a equação adimite cinco raiz a 1.
Escrever o polinomio p(x)=(x2-3x)*(x2-9) com o produto de fatores de 1ºgrau e identificar seu grau e sua raizes, fatorando as expressões em parenteses.
P(x)=(x2-3x)*(x2-9)=x (x-3) (x+3) (x-3)
o polinomio é de 4ºgrau e suas raizes são os valores que anulam cada um dos seus quatros fatores.
x=0 ou x= -3 ou x+3=0 ou x-3=0
· x=0 ou x=3 ou x= -3 ou x=3
· raizes são 0,3, -3 e 3
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ:1
Observe o seguinte polinomio:
p(x)=8(x+4)(x-7)(x-5)(x+4)(x-7)(x+4)
p(x) é o produto de uma constante(8) por 6 fatores de 1ºgrau.Ele é 6ºgrau.Suas raizes são: -4,7,5, -4,7 e -4.
· -4 é raiz tripla ou de multiplicidade três;
· 7 é raiz dupla ou de multiplicidade dois;
· 5 é raiz simples ou de multiplicidade um.
p(x)=8(x+4)3+(x-7)2(x-5)
exemplo:
P(x)= -3(x+1)6(x-3)2(3x+2), indicar as raizes e a multiplicidade de cada uma delas.
(x+1)6=0 raiz -1( multiplicidade 6)
(x-3)2=0 raiz 3 (multiplicidade 2)
3x+2=0 raiz -2/3(multiplicidade 1)
Resolução de equações algebricas
o polinomio p(x)= -x3+x2+ ax+b admite -1 como raiz dupla.Obter os valores das constantes a e b, bem como a outra raiz real de p(x).
Escrever p(x) na forma fatorada, temos:
p(x)= -1(x+1)2(x-k)= -1(x2+2x+1)(x-k)
=( -x2 – 2x -1)(x-k)= -x3 +kx2-2x2+2kx – x + k
= -x3+(k-2)x2+(2k -1) x +k
 k -2=1 k=3
 2k- 1=a 6-1= a a=5
 k=b b=3
exemplo:
dado o polinomio p(x)= x5-6x4+13x3-14x2+12x-8 identificar a multiplicidade da raiz 2.
Vamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para isso.
	
	1
	-6
	13
	-14
	12
	-8
	2
	1
	-4
	5
	-4
	4
	0
	2
	1
	-2
	1
	-2
	0
	
	2
	1
	0
	1
	0
	
	
	2
	1
	2
	5
	
	
	
obtivemos resto zero nas três primeiras divisões 2 raiz tripla.
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ:2
Regra:1
Identificar as raizes inteiras da equação 2x3-5x2-4x+3=0
As possiveis raizes inteiras da equação são 1,-1,3 e -3, divisores do termo independente.
p(1)=2-5-4+3= -4 (soma dos coeficientes)
p(-1)=2(-1)3-5(-1)2-4(-1)+3 = -2-5+4+3=0
p(3)=2(3)3-5(3)2-4(3)+3 = 54-45-12+3= -84=0
p(-3)=2(-3)3-5(-3)2-4(-3)+3 = 54-45+12+3= -84
As únicas raizes inteiras da equação são -1 e 3.
Regra:2
Encontrar todas as raizes racionais da equação 2x4+5x3+3x2+x-2=0
As possiveis raizes racionais são do tipo p\q, p e q inteiros, sendo que:
· p é divisor do termo independente -2
p= -1 ou p=1 ou p= -2 ou p=2
· q é divisor do coeficiente dominante 2
q= -1 ou q= 1 ou q= -2 ou q=2
Fazendo todas as combinações possiveis desses valores,
 p/q €{ 1, -1,2, -2,1/2, -1/2}
Regra:3
Construir o polinomio de 2ºgrau de coeficientes reais e coeficiente dominante -1,sabendo que uma de suas raizes é 2- 3i.
O polinomio tem coef. reais.Se 2-3i é raiz, o seu conjugado, 2+3i tambem é.
p(x)=a0.(x-k1)*(x-k2)
p(x)= -1.[x-(2-3i)]*[x-(2+3i)]
p(x)= -1.(x-2+3i)*(x-2-3i)
p(x)= -1.(x-2)2-9i2)= -1.(x²-4x+4+9)
p(x)= -x²+4x+9
RELAÇÕES DE GIRARD
Em 3x²-5x-2=0, a0=3,a1= -5 e a2= -2
· Soma das raizes: x1+x2= -a1\a2= 5/3
· produtos das raizes: x1+x2= a2/a0 =-2/3
Relações na equação de 2ºgrau
A forma geral de uma equação de 2ºgrau é a0x²+a1x+a2=0, co a0≠0. Se x1 e x2 são suas raizes complexas,podemos escrever:
a0x²+a1x+a2=a0.(x-x1).(x-x2)(:a0)
x²+a1/a0x+ a2/a0=(x-x1).(x-x2)= x²-x2x-x1x+x1+x2
x²+ a1/a0x+ a2/a0 = x² - (x1+x2)x+x1x2
a1/a0 = (x1+x2 ) a2/a0 = x1x2
· chegamos as relações que fornecem a soma e o produto das raizes da equação de 2ºgrau,em função de seus coeficientes.
x1x2 = - a1/a0 e x1x2 = a2/a0 
Relações na equação de 3ºgrau
A forma geral da euqação de 3ºgrau é a0x³ + a1x²+ a2x+ a3=0 com a0≠ 0.Suponhamos que x1 , x2 e x3 sejam as suas raizes.As relaçoes de Girard, nesse caso, faça assim:
x1 + x2 + x3 = - a1/a0
x1x2+ x1x3+ x2x3 = a2/a0 
x1x2x3 = - a1/a0
Gráficos de funções polinomiais
Grau de um polinômio:
4x4y + 20x²y4+ 8xy é um polinômio do 6ºgrau;
5ºgrau 6ºgrau 2ºgrau
6a²b4 + a³b5+ 5a7b² é um polinômio do 9ºgrau
5ºgrau 8ºgrau 9ºgrau
Adição de Polinômios
(3x+4y)-(2x-y)+(x+y) →3x+4y+2x-y+x+y→3x+2x+x+4y-y+y=6x+4y
Dados a1=3m²+n,a2=2m²+3n-(m²+n)→3m²+n+2m²+3n-m²-n→3m²+2m²-m²+n+3n-n= 4m²+3n
Multiplicação de um polinômio por outro polinômio
(2x+3y)(x+y)→(2x+3y).(x+y)→ 2x²+2xy+3xy+3y²= 2x²+3y²+5xy
(a+b). (a³- b²)→(a+b). (a³- b²)→ a4-ab²+a³b-b³= a4-b³+ a³b-ab²
Divisão de um polinômio por outro polinômio
obs: Ao dividirmos utilizaremos o sinal adiquirido com a operação, mas ao multiplicarmos,inverteremos o sinal.
dividendo
 (4x³+2x²): (x-1) 
 Divisor
4x³+2x² x-1 
4x³+4x²
 
6x² 4x²+6x+6
6x² + 6x
6x Quociente
6x+6
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