FUNDAMENTOS-DE-GEOMETRIA

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SUMÁRIO 
1 A ORIGEM DA GEOMETRIA ..................................................................................................... 2 
2 ASPECTOS DO DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA .................................................... 5 
2.1 NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA................................................................................. 22 
2.2 FIGURAS GEOMÉTRICAS .................................................................................................. 26 
3 BIBLIOGRAFIA PARA ESTUDOS COMPLEMENTARES ................................................... 33 
4 ARTIGO PARA REFLEXÃO ...................................................................................................... 35 
BIBLIOGRAFIAS ................................................................................................................................. 48 
 
 
 
 
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1 A ORIGEM DA GEOMETRIA 
 
 
Fonte: www.math.ist.utl.pt 
A Geometria nasceu no Egito antigo pela necessidade de medir terras. 
Os agricultores egípcios cultivavam as terras que ficavam nas margens do rio 
Nilo, dividias em lotes. Na época das chuvas, o Nilo transbordava alagando a terra e, 
quando voltava ao nível normal, deixava o solo fertilizado, ideal para a agricultura. 
Como as marcas dos lotes eram carregadas a cada cheia, tornava-se 
necessário refazer as demarcações para que os lotes fossem redistribuídos aos 
agricultores. 
Dessa forma, medindo e desenhando terrenos, os egípcios descobriram 
métodos e adquiriram conhecimentos que, depois, foram aprendidos pelos gregos. 
Foram os gregos que estudaram e desenvolveram esses conhecimentos, aos quais 
chamaram de Geometria, que significa “medida da terra” (geo=terra; 
metria=medida). 
Usando apenas uma régua não graduada e um compasso, Euclides fez as 
primeiras construções gráficas e descobriu muitas relações entre os elementos 
geométricos. Tais conhecimentos foram publicados em sua obra Elementos 
(Euclides, geômetra grego, viveu entre os séculos IV e III a. C. por volta de 300 a, 
C., lecionava em Alexandria, cidade que ficava ao norte da África, no Egito. Sua 
obra, os Elementos, é um conjunto de 13 volumes, nos quais sintetizou o 
conhecimento matemático da Grécia Antiga). 
Tanto a Geometria como o Desenho Geométrico estudam figuras geométricas 
com seus conceitos e suas propriedades. 
 
 
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A Geometria relaciona figura com números (medidas). Os números são 
abstratos e pertencem ao campo das ideias. 
 
 
Fonte: www.aprendiendodematematicas.bligoo.com.com 
O Desenho Geométrico relaciona as figuras com suas representações 
gráficas (desenhos). Os desenhos são concretos e pertencem ao campo das 
imagens. 
O mundo das imagens virtual ou gráfico está intimamente relacionado com o 
mundo das ideias. 
Construir, significava para os gregos construir apenas com régua e 
compasso. No entanto o historiador Plutarco (46-120 d. C.) testemunha que a 
separação exigida por Platão (428-355 a. C.) entre a “mecânica e a geometria” tinha 
raízes profundas nas próprias concepções filosóficas do platonismo, que 
sublinhavam a diferença entre o que é objeto dos sentidos e o que é objeto da 
inteligência pura. Do ponto de vista matemático, a concepção grega de número real 
era inteiramente geométrica, a distinção entre construções com régua e compasso e 
construções mecânicas (amplamente utilizadas por eles) continha já um germe de 
classificação dos números reais, como ficaria claro séculos mais tarde. 
 
 
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Fonte: mathmatterscaddo.weebly.com 
Desde cedo, os gregos esbarraram na dificuldade de, somente com régua e 
compasso, duplicar o cubo, quadrar o círculo, tri-seccionar um ângulo e construir 
certos polígonos regulares. Logo perceberam que havia aí um problema, o que 
algumas pessoas até hoje não perceberam, confundindo construções aproximadas 
ou mecânicas com construções exatas com régua e compasso. Contudo, o 
instrumental matemático de que tais construções eram impossíveis só viria ocorrer 
no século XIX d. C. 
 
 
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2 ASPECTOS DO DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA 
 
Fonte: www.webquestfacil.com.br 
Texto adaptado de Claudio Gorodski 
Este texto pretende apresentar em uma linguagem não técnica algumas 
linhas históricas importantes do desenvolvimento da geometria. Após um brevíssimo 
prelúdio sobre as etapas iniciais do assunto, mergulhamos no mundo da geometria 
diferencial, que é a área de interesse do autor. Mesmo aí, devido às limitações de 
espaço, a exposição é de nível notadamente superficial. Estamos conscientes da 
inerente tecnicalidade da matemática, característica que dificulta a compreensão de 
suas motivações pelo leigo. Assim, com esse texto esperamos pelo menos causar 
alguma impressão positiva no leitor no que diz respeito à magnitude e ao alcance 
das realizações da geometria. Acrescentamos que importantes seções da geometria 
que são extremamente ativas hoje em dia foram completamente omitidas, como a 
geometria simplética, área relativamente nova, mas que têm raízes mais antigas na 
mecânica clássica, e a geometria algébrica, possivelmente mais antiga do que a 
geometria diferencial. 
Apesar de o historiador grego Heródoto escrever que a geometria nasceu no 
antigo Egito, os registros mais antigos de atividades humanas no campo da 
 
 
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geometria de que dispomos remontam à época dos babilônios há talvez cerca de 
cinco mil anos e foram aparentemente motivadas por problemas práticos de 
agrimensura1. 
Formas primitivas de geometria são encontradas também entre os hindus, 
chineses e japoneses. Entre todos esses povos nota-se que as verdades 
geométricas são afirmadas nas formas de proposições particulares cujas 
justificativas são completamente negligenciadas, de modo que a geometria 
apresenta-se como um conjunto de regras empíricas. Essa maneira de se ver a 
geometria transforma-se profundamente com os gregos. Tales de Mileto, que viveu 
por volta do ano 600 antes da era comum, é normalmente considerado o pai da 
geometria grega. Pouca certeza se tem sobre sua vida e obra. 
 
Fonte: www.mat.ufmg.br 
A proposição conhecida como o teorema de Tales - que um ângulo inscrito 
num semicírculo é um ângulo reto - já era conhecida pelos sumérios cerca de dois 
mil anos antes. De qualquer forma, parece seguro dizer que Tales, juntamente com 
a escola pitagórica grega, fez contribuições importantes na direção de estabelecer o 
método dedutivo-formal em matemática, o que foi finalmente concretizado com o 
aparecimento de Os Elementos (ca. 300 AEC), obra máxima de Euclides e 
 
1 O nome geometria é de origem grega e significa literalmente “medição da Terra”. 
 
 
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provavelmente um dos tratados mais importantes já escritos em toda a história 
ocidental. Os treze volumes de Os Elementos não apenas incluiram toda a 
matemática da sua época, mas forneceram um modelo para o desenvolvimento 
rigoroso das idéias matemáticas que é utilizado até os dias de hoje: inicialmente 
definições e axiomas são apresentados, então proposições são provadas a partir 
dessas premissas e de outras proposições através de dedução lógica. 
Um capítulo crucial na história da geometria, e que de fato faz a ligação entre 
a geometria grega e a geometria diferencial moderna, é a história do Postulado V de 
Euclides, também conhecido como postulado das paralelas: “É verdade que, se uma 
reta corta duas outras retas formando ângulos internos no mesmo lado cuja soma é 
menor do que dois ângulos retos, então as duas retas se continuadas 
indefinidamente encontrar-se-ão no lado em que estão os ângulos cuja soma é 
menor do que dois ângulos retos.” Uma formulação equivalente e mais conhecida 
deste postulado, atribuída a Playfair, é: “Por um ponto fora de uma reta pode-se 
traçar uma única reta paralela à reta dada.” Para seus primeiros leitores, Os 
Elementos forneciam uma descrição idealizada do espaço físico,mas a frase “se 
continuadas indefinidamente” contida no Postulado V desafiava uma intuição 
baseada em construções com régua e compasso. Devido à complexidade relativa de 
formulação e o insuficiente apelo intuitivo, o Postulado V fez com que através dos 
séculos diversos matemáticos tentassem deduzí-lo dos demais axiomas e, portanto 
prová-lo com um teorema. 
O resultado desse esforço continuado, que durou cerca de dois mil anos, 
produziu um grande número de afirmações equivalentes (um exemplo é o 
supracitado axioma de Playfair), mas o Postulado V resistiu a todas as tentativas de 
demonstração. Entre o tempo de Euclides a 1829, o ano da publicação em russo de 
Sobre os Princípios da Geometria do matemático russo Nikolai Lobachevski (1793-
1856), muitas das críticas de Os Elementos estavam relacionadas com o desejo de 
“purificar” o trabalho de Euclides de suas imperfeições. Tão forte era a convicção de 
que o Postulado V dependia dos Postulados I a IV, que esses críticos não 
perceberam no seu trabalho a base para uma nova geometria. Lobachevski entrou 
para a história como o primeiro matemático a publicar um trabalho desenvolvendo 
uma geometria construída sobre uma hipótese em conflito direto com o Postulado V 
de Euclides: “Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar mais de uma reta 
paralela à reta dada”. Seu trabalho mostrou que a geometria Euclideana não era a 
 
 
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verdade absoluta que supunha ser e desferiu um golpe devastador na filosofia 
Kantiana, representando um ato de audácia intelectual comparável ao que havia 
sido em outra época o sistema heliocêntrico de Copérnico. 
 
 
Fonte: queconceito.com.br 
Apesar de Lobachevski ter sido o primeiro a publicar um trabalho sobre a 
geometria não-Euclideana, existe documentação comprovando que Carl Friedrich 
Gauss (1777-1855), a então figura dominante no mundo matemático, já havia 
começado a desenvolver as idéias da nova geometria na década de 1820, como ele 
disse “para si próprio”, e não publicou ou divulgou seu trabalho, talvez por medo de 
incompreensão e perseguição. De fato, a geometria de Lobachevski inicialmente não 
foi bem recebida, como é comumente o caso com descobertas revolucionárias que 
afetam convicções firmemente estabelecidas, e apenas lentamente foi se tornando 
conhecida. O húngaro Janos Bolyai (1802-1860) chegou independentemente à 
mesma descoberta que Lobachevski e publicou seu trabalho Ciência Absoluta do 
Espaço como apêndice de um livro de seu pai, Wolfgang, que era amigo de Gauss, 
em 1831. 
A reação de Gauss tanto ao trabalho de Bolyai como de Lobachevski foi o 
mesmo: aprovação sincera, mas sem apoio impresso. A geometria não-Euclideana 
continuou por várias décadas a ser um aspecto da matemática um tanto à margem 
antes de ser completamente integrada. Mas para entender esse processo, é 
interessante interrompermos esse fluxo de idéias e retornarmos um pouco no tempo 
 
 
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a fim de discutirmos um outro aspecto importante da geometria que estava 
emergindo. 
A história da geometria diferencial começa com o estudo de curvas. Noções 
como retas tangentes a curvas já são encontradas entre os gregos Euclides, 
Arquimedes e Apolônio. No século XVII, os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) 
e René Descartes (1596-1650) criam o método das coordenadas ou a “geometria 
analítica” 2 enquanto que o alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) e o inglês Isaac 
Newton (1643-1727) descobrem os algoritmos do cálculo infinitesimal, os quais 
permitirão o estudo de curvas e superfícies através de suas propriedades 
diferenciais. A curvatura de uma curva plana em um ponto da curva é uma medida 
numérica de quanto à curva se afasta de ser uma reta numa vizinhança daquele 
ponto: é a taxa de variação naquele ponto da direção tangente à curva em relação 
ao comprimento de arco3. Os conceitos de curvatura de uma curva plana e de 
círculo osculador já eram conhecidos por Newton e Leibniz, mas o precursor do 
assunto talvez seja o holandês Christian Huygens (1629-1695), que ainda não 
conhecia o cálculo, mas que em 1673 publicou um trabalho sobre curvas planas 
introduzindo os conceitos de involuta e evoluta de uma curva o qual foi curiosamente 
motivado pelo seu interêsse em pêndulos e relógios. 
Durante o século XVIII e até o início do século XIX, desenvolvem-se os 
fundamentos da teoria de curvas e superfícies mergulhadas nos espaço 
tridimensional. Em 1731, Alexis Clairaut (1713-1765) estuda curvas no espaço 
tridimensional mas se limita às propriedades de primeira ordem (que envolvem 
apenas as derivadas primeiras, como retas tangentes). Em 1775, Gaspard Monge 
(1746-1818) vai mais longe e discute os conceitos de curvatura e torção de uma 
curva espacial. 4 Uma transição natural da teoria de curvas para a teoria de 
superfícies se encontra no problema geodésico, i. e. o problema de se encontrar o 
caminho mais curto entre dois pontos de uma superfície. Nunca ocorreu aos 
matemáticos do século XVIII a necessidade de mostrar a existência de um tal 
 
2 Método que atribui a cada ponto do espaço tridimensional uma tripla de coordenadas (x,y,z) em relação a três eixos 
ortogonais e permite relacionar a geometria com a álgebra. 
3 Isto quer dizer o limite da razão entre o ângulo  entre as retas tangentes às extremidades de um arco e o comprimento 
s daquele arco quando ele se contrai a um ponto: k = 
0s
lim
s

. Essa curvatura é também o inverso do raio de curvatura no ponto 
em questão, i. e. o raio do círculo osculador à curva naquele ponto. Aqui, o círculo osculador em um ponto P de uma curva é definido 
como sendo o limite dos círculos determinados por três pontos sobre a curva quando eles tendem a P. 
4 A torção em um ponto de uma curva mergulhada no espaço é uma medida numérica de quanto a curva se afasta de estar 
contida em um plano numa vizinhança daquele ponto; as curvas espaciais que estão contidas em um plano, ditas curvas planas, são 
caracterizadas por terem torção nula. 
 
 
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caminho, sendo que a sua preocupação era apenas a de determinar a 
caracterização geométrica da curva que teria tal propriedade. O problema atraiu a 
atenção dos irmãos Bernoulli5, Jacob (1654-1705) e Johannes (1667-1748), que, 
entre outros, forneceram ambos soluções corretas, sendo a de Johannes mais clara, 
enquanto que a de Jacob - embora mais confusa e laboriosa - era mais geral. 
O pródigo Leonhard Euler (1707-1783), cuja torrente de descobertas dominou 
a matemática durante a maior parte do século XVIII, foi aluno de Johannes Bernoulli. 
Sua maior contribuição à geometria diferencial talvez tenha sido o estudo da 
curvatura das seções planas de uma superfície6. Em 1772, Euler escreve sobre o 
problema de se determinar quando uma superfície pode ser desenvolvida 
isometricamente (isto é, sem distorcê-la) sobre um plano, como por exemplo é o 
caso do cilindro e do cone. Ele descobre que a condição necessária para que isso 
ocorra é que a superfície seja regrada (ou seja, folheada por retas). Uma das mais 
significativas obervações de Euler acerca da teoria de superfícies encontra-se num 
fragmento sem importância: “Et quia per naturam superficierum quaelibet coordinata 
debet esse functio binarium variabilium”. 
Esse é o reconhecimento do fato das coordenadas (x,y,z) dos pontos de uma 
superfície serem funções de duas variáveis independentes. É curioso notar que nem 
ele nem seus contemporâneos seguiram essa idéia e estudaram superfícies através 
da representação das coordenadas x, y, z em termos de funções de duas variáveis. 
Foi necessário o gênio de Gauss para dar esse passo aparentemente óbvio. 
Citamos ainda os nomes de Charles Dupin (1784-1873), aluno de Monge e 
continuador de sua obra, e de Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Em seu Leçons 
sur l'application du calcul infinitésimal à la géométrie que foi publicado em 1826, 
Cauchy principalmenteintroduz novos métodos ao assunto e sistematiza e esclarece 
diversos cálculos feitos por seus predecessores. Em particular, ele precisa e refina o 
trabalho de Monge sobre a curvatura k e a torção  de uma curva espacial, e chega 
às fórmulas, hoje conhecidas como de Frenet-Serret 7 , que expressam o 
comportamento local da curva em função de k e  em relação a um sistema de 
 
5 O clã dos Bernoulli foi para a matemática o que o dos Bach foi para a música, tendo produzido oito matemáticos em três 
gerações, sendo dois deles brilhantes: Jacob e Johannes. 
6 Essas são as curvas na superfície que são obtidas pela intersecção da superfície com um plano normal a ela. Uma bela 
apresentação desse assunto foi também elaborada pelo menos conhecido soldado francês Jean Baptiste Marie Meusnier (1754-1793). 
7 Essas fórmulas foram redescobertas independentemente por Jean Frenet (1816-1900) e Joseph Serret (1819-1885) que 
publicaram seus trabalhos respectivamente em 1847 e 1850. 
 
 
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coordenadas móvel. 8 Os teoremas de existência e unicidade de soluções de 
equações diferenciais devidos a Cauchy permitem mostrar que as funções k e  
determinam completamente a curva a menos de um movimento rígido do espaço. O 
trabalho de Cauchy marca o final de um período definido na história da geometria 
diferencial. Suas técnicas eram belas, mas tiveram de ceder espaço aos métodos do 
gigante que viria a dar o tom final ao assunto e obter os teoremas mais importantes 
até então inimagináveis. 
 
 
Fonte: 1.bp.blogspot.com 
Por volta de 1820, Gauss foi chamado pelo governo de Hanover para 
supervisionar um levantamento topográfico do reino, e vários aspectos dessa tarefa, 
incluindo exaustivo trabalho de campo e tediosas triangulações, ocuparam-no por 
vários anos, mas propiciaram o estímulo que o conduziu às idéias de sua obra 
Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827). Já comentamos que Euler 
havia percebido que as coordenadas x, y, z de um ponto de uma superfície podem 
ser consideradas como funções de duas variáveis independentes u, v, mas é Gauss 
quem utiliza tal representação paramétrica sistematicamente. 
As variáveis u e v são chamadas de “coordenadas curvilíneas” sobre a 
superfície. Gauss introduz a forma diferencial quadrática ds2, hoje conhecida como 
 
8 Esse é essencialmente o “triedro móvel” introduzido por Gaston Darboux (1842-1917) mais tarde em 1872, que substitui o 
sistema Cartesiano de eixos fixos por um sistema de eixos que acompanha a curva: em cada ponto P da curva considerada, o triedro 
tem origem em P, o seu primeiro eixo é tangente à curva, o segundo eixo é a direção normal principal (definida de modo que os dois 
primeiros eixos geram o plano osculador à curva, que é o plano que mais se aproxima de conter a curva numa vizinhança do ponto) e o 
terceiro eixo é ortogonal aos dois primeiros. Essa idéia seria consideravelmente generalizada no século XX por Élie Cartan (1869-1951) e 
aplicada por ele (sob o nome de método do referencial móvel) de maneira muito frutífera ao estudo dos grupos de Lie e variedades 
diferenciáveis, conduzindo enfim, com Charles Ehresmann (1905-1979) à teoria moderna dos fibrados principais e conexões. 
 
 
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primeira forma fundamental, que essencialmente exprime as distâncias sobre a 
superfície, e escreve ds2 em termos de três funções E, F e G de u e v o que lhe 
permite escrever equações para as curvas geodésicas9. Inspirado por seus trabalhos 
em astronomia e geodesia, ele introduz a noção de “representação esférica” de uma 
superfície, hoje conhecida como aplicação de Gauss 10 . O estudo dessa 
representação o leva a definir a “medida de curvatura” da superfície em P, hoje 
conhecida como curvatura Gaussiana11. 
 
 
Fonte: www.fafit.com.br 
A fim de calcular a curvatura Gaussiana através das coordenadas curvilíneas, 
ele introduziu uma outra forma diferencial quadrática, derivada da aplicação de 
Gauss e que hoje é conhecida como segunda forma fundamental12. Um de seus 
maiores resultados é o famoso theorema egregium, que afirma que a curvatura 
Gaussiana, apesar de ter sido definida através da aplicação de Gauss e portanto 
parecer depender de como a superfície está mergulhada no espaço, depende 
somente da primeira forma fundamental e é portanto invariante se transformarmos a 
superfície sobre outra superfície (ou a deformarmos) isometricamente (isto é, sem 
 
9 Estas são as curvas na superfície com a propriedade que qualquer segmento suficientemente pequeno é o caminho mais 
curto entre os seus extremos. 
10 Esta é a aplicação que associa a cada ponto P da superfície o ponto P’ da esfera de raio um tal que o raio OP’ é paralelo à 
normal unitária à superfície em P. 
11 Trata-se de uma espécie de taxa de variação da normal unitária à superfície em P, ou equivalentemente uma medida de 
quanto a superfície se afasta de ser plana numa vizinhança de P (como a normal unitária a um plano é constante, a sua taxa de variação 
em qualquer ponto do plano é zero, e portanto a curvatura Gaussiana do plano é zero em qualquer ponto). 
12 A segunda forma fundamental de certa forma descreve a maneira pela qual a superfície se curva dentro do espaço 
ambiente. 
 
 
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alterar distâncias sobre ela). Dessa maneira, o cilindro e o cone têm curvatura 
Gaussiana nula, assim como o plano. Mas a esfera têm curvatura Gaussiana 
positiva, sendo esta inversamente proporcional ao quadrado do raio da esfera. 
O ponto crucial envolvido no theorema egregium e em outras realizações de 
Gauss é o conceito de geometria intrínseca. Ele mostrou como estudar a geometria 
de uma superfície operando exclusivamente na própria superfície, sem se preocupar 
com o espaço à sua volta onde ela se encontra. Para tornar isso mais concreto, 
imaginemos um ser inteligente e bidimensional que habita uma superfície e não 
toma conhecimento de uma terceira dimensão ou de nada que não esteja na 
superfície. Se essa criatura for capaz de se mover e medir distâncias ao longo da 
superfície, então ela também é capaz de medir a curvatura Gaussiana em qualquer 
ponto e de criar uma rica geometria na superfície - essa geometria será Euclidiana 
(plana) se e somente se a curvatura Gaussiana for sempre nula. 
É um fato básico de geometria Euclideana que a soma dos ângulos internos 
de um triângulo é igual a 180 graus ou  radianos. Quando consideramos um 
triângulo geodésico numa superfície (isto é, um triângulo cujos lados são 
geodésicas), a soma de seus ângulos internos (em radianos) e  não precisam 
coincidir, pode haver uma diferença. Outro resultado fundamental de Gauss é que 
essa diferença é igual à área da representação esférica do triângulo (ou, o que dá no 
mesmo, a integral da curvatura Gaussiana estendida sobre o triângulo). Este 
resultado de Gauss estava fortemente ligado ao seu interesse pelas geometrias não-
Euclideanas. Além disso, como será discutido mais adiante, esse teorema foi 
sucessivamente generalizado por gerações posteriores de matemáticos e constitui 
um resultado seminal no desenvolvimento da linha de pesquisa global em geometria 
diferencial. Mas a conceituação dessa linha de pesquisa levaria ainda cerca de cem 
anos até ser mais claramente formulada. 
 
 
 
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Fonte: 2.bp.blogspot.com 
Alguns destacados continuadores do trabalho de Gauss são Pierre Bonnet 
(1819-1892), Carl Jacobi (1804-1851) e Ferdinand Minding (1806-1885). Em 1848, 
Bonnet generalizou o teorema de Gauss relativo à área de um triângulo geodésico. 
Uma outra contribuição importante de Bonnet à teoria de superfícies foi a de 
estabelecer o que nós chamamos hoje em dia de teorema fundamental de existência 
de superfícies. Gaspare Mainardi (1800-1879) em 1856 e Delfino Codazzi (1824-
1873) em 1867 haviam exprimido as condições de compatibilidadeentre os 
coeficientes das duas formas fundamentais e suas derivadas. Bonnet demonstra em 
1867 que essas condições, hoje conhecidas como equações de Gauss-Codazzi-
Mainardi, são suficientes para que exista uma superfície com essas formas 
fundamentais dadas. 
Um segmento suficientemente curto de uma geodésica é o caminho mais 
curto entre os seus extremos, como por exemplo um segmento do meridiano de 
Greenwich terrestre que una a cidade de Greenwich a algum ponto da África. No 
entanto, se prolongarmos esse segmento nos dois sentidos, na direção norte para 
além do pólo norte e na direção sul para além do pólo sul, o caminho mais curto 
entre os seus extremos será agora um trecho de um outro meridiano (que corta o 
oceano Pacífico). Por volta de 1840, Jacobi se ocupou da questão de saber quando 
um segmento de geodésica que é prolongado cessa de ser o caminho mais curto 
entre os seus extremos. Este é um problema de geometria diferencial global. Jacobi 
 
 
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dá uma resposta correta em termos de uma equação diferencial de segunda ordem 
(hoje conhecida como equação de Jacobi), mas sem demonstração; esta é fornecida 
por Bonnet. 
Em 1839, Minding mostrou que duas superfícies com a mesma curvatura 
Gaussiana constante podem ser transformadas isometricamente uma sobre a outra. 
Em outro trabalho, no ano seguinte, ele estabeleceu as relações trigonométricas de 
triângulos geodésicos em superfícies de curvatura constante negativa. Apesar de 
este artigo ter sido publicado na mesma revista em que apareceu a tradução para o 
francês do artigo de Lobachevski Geometria imaginária sobre geometria não-
Euclideana, nenhum dos dois notou que as fórmulas trigonométricas no plano 
hiperbólico de Lobachevski coincidiam com as fórmulas trigonométricas nas 
superfícies de curvatura constante negativa. Quem percebeu essa coincidência foi 
Eugenio Beltrami (1835-1900), que considerou o assunto em Saggio di 
interpretazione della geometria non-Euclidea em 1868 e assim construiu o primeiro 
modelo concreto do plano de Lobachevski demonstrando a consistência da 
geometria não-Euclideana. 
No décimo dia do mês de junho de 1854 Bernhard Riemann (1826-1860) 
proferiu uma conferência para os docentes da faculdade de filosofia da Universidade 
de Göttingen com o intuito de satisfazer os requerimentos para a promoção a 
Privatdozent. Como era de costume, Riemann ofereceu três possíveis tópicos para a 
sua conferência. Os dois primeiros lidavam com partes de sua Habilitationsschrift 
(uma segunda tese também requerida para a promoção), e o terceiro com os 
fundamentos da geometria. Contrariamente à prática usual, Gauss, que era o chefe 
do departamento, escolheu o terceiro tópico. Riemann afastou-se de seus outros 
interesses no momento e durante os dois meses seguintes preparou a sua 
conferência. O resultado foi talvez a mais importante conferência científica jamais 
proferida, Über die Hypotheses, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Conta-se 
que mesmo Gauss ficou entusiasmado. 
 
 
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Fonte: 2.bp.blogspot.com 
Aqui Riemann deslanchou o próximo estágio no desenvolvimento da 
geometria diferencial. O texto da conferência não foi publicado durante a sua vida, 
mas a publicação póstuma em 1868 repercutiu quase que imediatamente entre a 
comunidade de matemáticos trabalhando em geometria diferencial. O artigo de 
Beltrami supracitado não concluía o seu estudo da geometria não-Euclideana. Ele 
deixou em aberto o problema de construir o espaço hiperbólico de Lobachevski em 
três dimensões, e, de fato, acreditava ser impossível construir tal espaço. No 
entanto, em 1869, com o aparecimento do artigo de Riemann, Beltrami publicou uma 
análise de espaços de curvatura constante em várias dimensões baseda nas idéias 
de Riemann incluindo uma versão detalhada do espaço hiperbólico tridimensional. 
Mais tarde, Felix Klein (1849-1925) e o grande matemático e físico francês Henri 
Poincaré (1854-1912) propuseram outros modelos para a geometria de Lobachevski. 
Riemann tentou redigir o texto da conferência de maneira o menos técnica 
possível para atingir mesmo os docentes com pouca experiência matemática. 
Mesmo assim, haviam detalhes suficientes para direcionar a pesquisa de diversas 
gerações subsequentes de geômetras. Ele introduziu o conceito de variedade n-
dimensional de pontos (x1, x2, ... , xn) que generaliza a idéia de superfície 
bidimensional tanto no sentido de considerar um número maior de dimensões 
quanto no sentido de descartar a necessidade do objeto estar mergulhado em algum 
espaço circundante. Em seguida introduziu uma forma diferencial quadrática (hoje 
chamada de métrica Riemanniana) na variedade que generaliza a primeira forma 
fundamental das superfícies e define as distâncias sobre ela. Esse é um dos pontos 
 
 
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essenciais de sua visão: a separação entre os conceitos do conjunto de pontos (a 
variedade n-dimensional) e as possíveis métricas que podem ser definidas sobre 
ele. Dessa maneira, Riemann aprofundou brutalmente o conceito de geometria 
intrínseca da teoria de superfícies de Gauss. Finalmente, ele ainda introduziu a 
curvatura Riemanniana (que generaliza a curvatura Gaussiana) e discutiu o caso de 
variedades Riemannianas de curvatura constante. O trabalho de Riemann não 
apenas unificou a geometria Euclideana e a não-Euclideana, mas representou uma 
vasta generalização dessas geometrias. 
As investigações de Riemann foram continuadas por Elwin Christoffel (1829-
1900) que publicou um trabalho em 1869 onde colocou a questão de se saber em 
que condições duas métricas Riemannianas determinam a mesma geometria. Assim 
como a intenção de Riemann era de generalizar a teoria de superfícies de Gauss, a 
intenção de Christoffel era de generalizar o problema de superposição de 
superfícies. Para resolver esse problema, ele introduziu os hoje chamados símbolos 
de Christoffel e o tensor de curvatura de Riemann-Christoffel, e derivou como 
condição necessária a coincidência das tensores de Riemann-Christoffel calculados 
para as duas métricas Riemannianas. Os cálculos de Christoffel formam a base dos 
métodos invariantes em geometria Riemanniana que caracterizariam o próximo 
estágio de desenvolvimento. 
 
 
Fonte: wefashionyou.com 
 
 
18 
 
No final do século XIX a teoria de superfícies já estava bem estabelecida. 
Entre 1887 e 1896 apareceram os quatro volumes do clássico Leçons sur la théorie 
générale des surfaces de Gaston Darboux. Por outro lado, o trabalho de Riemann 
havia despertado considerável interesse em variedades Riemannianas de dimensão 
arbitrária e curvatura constante arbitrária, e o problema de se classificar tais 
variedades, proposto por Killing em seu livro de 1891, ficou conhecido como 
problema de Clifford-Klein pelas contribuições desses dois matemáticos ao assunto. 
Em um desenvolvimento paralelo, o Erlanger Programm de Klein de 1872 sintetizava 
a geometria como o estudo das propriedades do espaço que são invariantes sob um 
grupo de transformações dado. O norueguês Sophus Lie (1842-1899), inspirado por 
conversações com Klein e motivado pelo seu desejo de criar uma teoria de 
solubilidade de equações diferenciais análoga à teoria de solubilidade de equações 
algébricas de Galois, inventou a teoria geral dos grupos contínuos de 
transformações (hoje conhecidos como grupos de Lie) em 1885-6. 
As pesquisas de Riemann também influenciaram questões da filosofia do 
espaço físico. William Clifford (1845-1879) formulou um programa de geometrização 
a física onde ele admitia a possibilidade de que pequenas variações de curvatura, 
dependentes do tempo, podem ocorrer de ponto para ponto no nosso espaço e 
causar efeitos que nós atribuímos a causas físicas. Também a esse respeito, 
Poincaré escreveu que espaço e tempo assim como todas as leis da natureza são 
meros símbolos criados pelo homem para a sua conveniência, e que as hipóteses 
fundamentaisda geometria não são fatos baseados nem em lógica nem em 
experiência, mas que a observação de certos fenômenos físicos nos leva a acolher 
certas hipóteses em detrimento de outras. Albert Einstein (1879-1955), ao contrário 
de Poincaré, parte da realidade física e da possibilidade de escolher arbitrariamente 
axiomas geométricos que, conjuntamente com as leis físicas, devem confrontar a 
experiência. Assim ele acredita que a questão de saber qual geometria concebível 
corresponde à geometria do mundo real deve ser decidida experimentalmente. 
 
 
19 
 
 
Fonte: 3.bp.blogspot.com 
A apresentação da teoria geral da relatividade foi iniciada por Einstein 
juntamente com o matemático alemão Marcel Grossmann (1878-1936) em Entwurf 
einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und Theorie der Gravitation (1913) e 
concluída com Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie (1916). O mais 
importante elemento dessa teoria é a interpretação geométrica da gravidade: a 
densidade da matéria numa certa região, e portanto a intensidade do campo 
gravitacional é proporcional à curvatura do espaço-tempo na métrica pseudo-
Riemanniana13. 
Essa teoria deu grande ímpeto ao avanço da geometria diferencial. Já no 
artigo de 1913 Einstein e Grossmann usaram o cálculo tensorial criado em 1884 pelo 
geômetra italiano Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) e subsequentemente 
desenvolvido com o seu aluno Tullio Levi-Civita (1873-1941) em 1901, o qual era 
uma reformulação das idéias de Christoffel que permitia considerar objetos do 
cálculo diferencial em variedades independentemente da escolha de coordenadas. 
Esse interesse ampliado em geometria Riemanniana advindo da teoria da 
relatividade levou mais tarde Levi-Civita a descobrir o importante conceito de 
transporte paralelo de vetores (1917). Por sua vez, as tentativas de se unificar as 
teorias do campo gravitacional e eletromagnético também beneficiaram a geometria 
e incentivaram o desenvolvimento do conceito de conexões afins em espaços 
 
13 Generalização da métrica Riemanniana. 
 
 
20 
 
fibrados através dos sucessivos esforços de Weyl (1918), Schouten (1922), Cartan 
(1923) e Ehresmann (1950). 
As variedades introduzidas por Riemann e os grupos introduzidos por Lie, 
assim como outros espaços considerados pelos geômetras até o início do século XX 
tinham em geral um carácter local - estavam definidos apenas no domínio de uma 
sistema de coordenadas. Mas mesmo sem contar com definições precisas, em 1857 
Riemann havia introduzido idéias globais com suas superfícies de Riemann em 
teoria de funções analíticas e mais tarde, a partir de 1895, Poincaré iniciou o estudo 
da topologia global de variedades tridimensionais. O crescente interesse dos 
matemáticos pela nova área da topologia14 repercutiu entre os geômetras. Em 1912, 
no livro de Weyl sobre superfícies de Riemann, apareceu uma definição do conceito 
global de variedade diferenciável mostrando como “colar” os diversos sistemas de 
coordenadas de maneira compatível a fim de formar um “atlas”. Em 1924 o mesmo 
Weyl reconheceu a importância dos métodos topológicos na teoria dos grupos de Lie 
e assim inaugurou o ponto de vista global nessa teoria. O conceito de variedade 
diferenciável global amadureceu até atingir o seu formato definitivo com os trabalhos 
de O. Veblen e J. H. C. Whitehead (1933) e H. Whitney (1936). 
 
 
Fonte: www.culturamix.com 
 
14 Tipo de geometria inventado por Poincaré que não se ocupa de propriedades métricas dos objetos mas apenas de suas 
propriedades invariantes por deformações contínuas. Em topologia, o ponto de vista global é freqüentemente substancialmente mais 
importante do que o local. 
 
 
21 
 
Como consequência da evolução do conceito de variedade diferenciável, 
antigos problemas em geometria foram revistos sob o novo ponto de vista global e 
novos problemas surgiram. S. Cohn-Vossen, W. Blaschke, S. S. Chern e outros 
estudaram as propriedades globais relacionando os invariantes Riemannianos com a 
topologia das variedades. H. Poincaré, G. Birkhoff, M. Morse, J. Hadamard e E. Hopf 
estudaram várias propriedades de geodésicas de diversos pontos de vistas 
diferentes. H. Hopf estudou as propriedades globais dos espaços de curvatura 
constante e É. Cartan definiu e investigou exaustivamente os espaços simétricos, 
uma classe notável de variedades Riemannianas. Através desse esforço 
monumental, a geometria Riemanniana foi ligada a diversas áreas de matemática, e 
foi reconhecido que a relação entre as propriedades locais determinadas pelas 
métricas Riemannianas (e. g. curvatura) e as propriedades globais relacionadas com 
a estrutura global da variedade (e. g. invariantes topológicos) são importantes 
objetos de investigação (e. g. o teorema de Gauss-Bonnet generalizado). Através da 
noção de completude introduzida por H. Hopf e W. Rinow (1931), as noções globais 
foram firmemente estabelecidas. 
A geometria diferencial que foi desenvolvida durante o período que vai da 
época de Riemann até a Segunda Guerra Mundial pode ser chamada de “geometria 
Riemanniana clássica”. Ela corresponde mais ou menos ao que é usualmente 
lecionado em um primeiro curso de pós-graduação em geometria Riemanniana (a 
teoria de superfícies de Gauss faz parte dos currículos de graduação). O texto 
básico correntemente em uso, e que contém também a moderna teoria de conexões 
criada nos anos 50, é o Foundations of Differential Geometry, em dois volumes, de 
S. Kobayashi e K. Nomizu (1963-9). 
Um dos resultados mais importantes do pós-guerra é o teorema da esfera que 
foi demonstrado através dos sucessivos esforços de H. Rauch, M. Berger, 
V. Toponogov e W. Klingenberg entre 1951 e 1961. Aqui, métodos de comparação, 
que comparam uma variedade Riemanniana dada com uma variedade Riemanniana 
de curvatura constante em termos de alguns invariantes geométricos, foram 
desenvolvidos. Desde então esses métodos têm conduzido a outros teoremas 
profundos relacionados com a seguinte pergunta: como é o espaço formado por 
todas aquelas variedades Riemannianas que estão sujeitas à limitação de 
determinados elementos geométricos (como curvatura, diâmetro, volume etc.)? As 
idéias de Mikhail Gromov, considerado por muitos o maior geômetra em atividade 
 
 
22 
 
(suas idéias ultrapassam as fronteiras da geometria e chegam a ter alcance em 
outras áreas de matemática, como teoria dos grupos e análise funcional), têm sido 
uma das principais fontes promotoras de desenvolvimento recente em geometria 
Riemanniana e têm inspirado um sem-número de excelentes jovens geômetras. 
2.1 NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA 
 
Fonte: mathmatterscaddo.weebly.com 
A palavra Geometria tem origem grega e significa medida da Terra (geo = 
Terra, metria = medida). Para se aprender Geometria é necessário partir de três 
noções importantes, adotadas sem definição e por essa razão, chamadas de 
primitivas geométricas: 
 Ponto: “A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a ideia do 
que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de 
pontos.” (Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: 
Scipione, 1998). 
Ponto P 
Costuma-se representar pontos por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
 Reta: uma linha traçada com régua é uma reta. Imagine agora uma 
linha reta sem começo, sem fim, sem espessura. É assim que se concebe 
 
 
23 
 
uma reta em matemática. (Imenes & Lellis. Microdicionário de 
Matemática. São Paulo: Scipione, 1998). 
 
Reta r 
As retas são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. 
 Plano: A superfície de uma mesa é plana. Imagine que tal superfície, 
conservando-se plana, se estenda infinitamente em todas as direções. A 
nova superfície assim obtida é um plano. (Imenes & Lellis. Microdicionário 
de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998).Plano 
Os planos são representados por letras gregas minúsculas. 
Por exemplo: α (alfa), β (beta) e γ (gama). 
Outras definições geométricas importantes: 
 Semirreta: Escolhendo-se um ponto sobre uma reta, formamos duas 
semirretas: 
 
 A reta r 
 
Costuma-se dizer que as semirretas têm começo, mas não tem fim, já que é 
uma parte da reta. 
 Segmento de reta: é uma parte da reta compreendida entre dois de 
seus pontos. É representado pelos dois pontos que o limita, estes são 
chamados de extremos. Costuma-se dizer que um segmento de reta tem 
começo e fim. 
 
 
Segmento AB 
 
 
24 
 
 
 Ângulo: é o espaço compreendido entre duas semirretas de mesma 
origem, ou seja, que iniciam no mesmo ponto. 
 
Ângulo AÔB 
Ao nomear um ângulo devemos prestar atenção, pois o ponto de origem 
das semirretas, também chamado de vértice do ângulo deve ficar no centro e 
apresentar o símbolo ^ que significa ângulo. 
As unidades para medir ângulos são chamadas graus e o instrumento 
usado para medi-los é o transferidor: 
 
 
 
Para utilizá-lo, deve-se colocar seu centro (C) sobre o vértice do ângulo e sua 
linha base sobre um dos lados do ângulo. O valor apontado pelo outro lado do 
ângulo será igual à medida deste. 
Classificação dos ângulos: 
Quando um ângulo mede 90º chamamos de ângulo reto. 
 
Como o ângulo de 90º é muito utilizado (é só olhar nos cantos da sala de aula 
ou de uma mesa retangular, por exemplo), ao invés de colocar sua medida em 
 
 
25 
 
números, utiliza-se do símbolo: Quando ele mede menos de 90º é chamado de 
ângulo agudo. 
Quando ele mede mais de 90º é chamado de ângulo obtuso. 
 Retas (ou segmentos) paralelas: dizemos que duas ou mais retas (ou 
segmentos) são paralelos quando a distância entre as retas (ou 
segmentos) não se altera. 
 
diz-se que r//s (r é paralela a s). 
 Retas concorrentes: são assim chamadas as retas que se encontram 
em um ponto: 
 
 
 São representadas por r X s. 
 
 Retas (ou segmentos) perpendiculares: duas retas são chamadas 
perpendiculares quando são concorrentes e o ângulo formado entre elas 
mede 90º. 
 
diz-se que r s (r é perpendicular a s). 
 
 
26 
 
2.2 FIGURAS GEOMÉTRICAS 
 
Fonte: www.escolakids.com 
Polígonos: 
As figuras geométricas recebem nomes diferentes dependendo da quantidade 
de lados que possuem. Abaixo você encontrará alguns desses nomes: 
Número de 
lados 
Nome Número de 
lados 
Nome 
3 Triângulo 7 Heptágono 
4 Quadrilátero 8 Octógono 
5 Pentágono 9 Eneágono 
6 Hexágono 10 Decágono 
 
Um polígono é chamado regular quando seus lados têm todos a mesma 
medida e seus ângulos tem medidas iguais. Estas figuras são muito utilizadas para 
se fazer mosaicos, em pavimentos de ruas, no chão de casas etc. 
Entre os quadriláteros temos várias figuras, algumas com características 
especiais como por exemplo: 
1. Trapézio: possui dois lados paralelos. 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
2. Paralelogramo: possui lados opostos paralelos. 
 
 
 
Todo paralelogramos é também trapézios pois tem dois lados paralelos. 
 
3. Retângulo: possui lados opostos iguais e todos os ângulos 
medem 90º. 
 
 
 
 
 
Todos os retângulos são também paralelogramos pois tem lados opostos 
paralelos. 
 
4. Quadrado: possui quatro lados de mesma medida e os quatro 
ângulos medem 90º. 
 
 
 
 
Podemos dizer que os quadrados são um tipo especial de retângulo: um 
retângulo de 4 lados iguais. 
 
SUGESTÃO DE ATIVIDADE: TANGRAM 
 
O Tangram é um quebra-cabeça chinês antigo. O 
nome significa "7 tábuas da sabedoria". Ele é composto 
de sete peças: 5 triângulos, 1 quadrado e 1 
paralelogramo. Além do quadrado, diversas outras 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Tangram.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Tangram.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Tangram.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Tangram.png
 
 
28 
 
formas podem ser obtidas, sempre observando duas regras: todas as peças devem 
ser sempre usadas e não é permitido sobrepô-las. 
Entre as figuras que podem ser montadas tem-se: 
 
Fonte: portaldoprofessor.mec.gov.br 
 
Fonte: encrypted-tbn0.gstatic.com 
Circunferência: 
É uma linha fechada onde cada ponto está a uma mesma distância do seu 
centro (C). 
 
 
 
29 
 
 
 
Para se desenhar uma circunferência, costuma-se utilizar-se um instrumento 
chamado compasso: 
 
Fonte: www.realmais.com.br 
Outros elementos importantes da circunferência: 
 
 
Raio(r): é o segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência. 
Corda: é um segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. 
Diâmetro(d): é uma corda que passa pelo centro. Pode-se observar que o 
diâmetro é igual a dois raios, ou seja, d = 2.r 
 
 
30 
 
Quando se considera o interior da circunferência, e não apenas seu contorno, 
tem-se um círculo. 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 
Fonte: matematicadegraca.com.br 
Ao observarmos objetos do nosso dia-a-dia, como por exemplo uma caixa de 
sapato, podemos perceber que nem todos os seus lados ficam em cima de um 
mesmo plano. Por esta razão, estas figuras são chamadas de figuras espaciais. Em 
uma figura espacial, temos, por exemplo: 
 
 
 
 
 
Faces: são os “lados” do objeto; 
Vértices: pontos comuns às arestas dos objetos; 
Arestas: segmento onde duas faces se encontram. 
As figuras espaciais também têm nomes especiais assim como os polígonos. 
Abaixo se encontram alguns deles: 
 Paralelepípedo ou bloco retangular 
Todas as suas faces são retangulares, por exemplo, o desenho acima. 
 Cubo 
Face 
Vértice 
Aresta 
 
 
31 
 
 É um paralelepípedo onde todas as faces são quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 Prisma 
As bases são um polígono qualquer e as faces são retangulares. 
Exemplos: 
 
Prisma de base triangular prisma de base hexagonal 
Quando o prisma apresenta as bases retangulares temos um paralelepípedo. 
Portanto, podemos dizer que o paralelepípedo é um tipo especial de prisma. 
 Pirâmide: 
A base é um polígono qualquer, as faces são triângulos e estes se encontram 
em um único ponto chamado vértice da pirâmide. A mais conhecida é a pirâmide de 
base quadrada. 
 
Pirâmide de base quadrada 
http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma03.png&imgrefurl=http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma.htm&h=132&w=81&sz=1&hl=pt-BR&start=13&um=1&tbnid=IC8ZD-hki4BZxM:&tbnh=92&tbnw=56&prev=/images?q=prisma+de+base+triangular&svnum=10&um=1&hl=pt-BR&rls=GZHZ,GZHZ:2007-26,GZHZ:pt-BR
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32 
 
Quando toda a base é também um triângulo, a pirâmide é chamada tetraedro. 
 
 
 Cilindro 
Tem bases circulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 Esfera 
Todos os seus pontos estão a uma mesma distância de seu centro. 
 
 
Por exemplo, as bolas: 
 
 
 
http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.upc.es/ea-smi/personal/claudi/web3d/imgs/d20.gif&imgrefurl=http://www.upc.es/ea-smi/personal/claudi/web3d/espanyol/tetraedre.htm&h=493&w=522&sz=4&hl=pt-BR&start=4&um=1&tbnid=ZHBfXug_ajG6IM:&tbnh=124&tbnw=131&prev=/images?q=tetraedro&svnum=10&um=1&hl=pt-BR&rls=GZHZ,GZHZ:2007-26,GZHZ:pt-BR
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33 
 
3 BIBLIOGRAFIA PARA ESTUDOS COMPLEMENTARES 
1. Atividades e jogos com Áreas e Volumes – Investigação Matemática 
Marion Smoothey 
Papirus Scipione, 1997 
2. Retângulo áureo, divisão áurea e sequência de Fibonacci 
Geraldo Ávila 
Revista do Professor de Matemática – n. 6 
3. Atividades de Geometria – Coleção Matemática: aprendendo e ensinando 
Nilson José Machado 
Atual, 1996 
4. Aprendendo e Ensinando Geometria 
Mary M. Lindquist e Albert P. Shulte 
Atual, 1994 
5. O uso de quadriculados no ensino da Geometria 
Fusako H. Ochi, Rosa M. Paulo, Joana H. Yokoia e João K. Ikegami 
IME/USP, 1992 
6. O ensino de Geometria no Ensino Fundamental – três questões para a 
formação do professor dos ciclos iniciais 
Maria Fonseca, Maria Lopes, Maria Barbosa, Maria Gomes e Mônica Dayrell 
Editora Autêntica, 2001 
 
7. Explorando figuras feitas com palitos: áreas e perímetros 
Joaquim Giménez 
Educação Matemática em Revista – ano 3, n. 5, 1996 
8. Quebra-cabeças geométricos e formas planas – conversando com o 
professor 
Ana Maria Kaleff 
EDUFF, 1997 
9. A matemática das sete peças do Tangram 
ElianeReame Souza 
CAEM/USP, 1995 
10. Geometria experimental: livro do aluno 
 
 
34 
 
UNICAMP/FAE, 1985 
 
 
 
35 
 
4 ARTIGO PARA REFLEXÃO 
 
AUTORES: Maria Lucia Cordeiro Rogenski e Sandra Mara Dias Pedroso 
DISPONÍVEL EM: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/44-4.pdf 
ACESSO: 27 de julho de 016 
 
 
O ENSINO DA GEOMETRIA NA EDUCAÇAO BÁSICA: REALIDADE E 
POSSIBILIDADES 
 
Maria Lucia Cordeiro Rogenski 
 Profª PDE de Matemática da Rede Estadual de Ensino, Colégio E. Polivalente, Ponta 
Grossa-PR. Email: mlcrogenski@yahoo.com.br 
Sandra Mara Dias Pedroso 
 Profª do Departamento de Métodos e Técnicas, Estágio Supervisionado de 
Biologia (UEPG), Faculdade União, Faculdade Sant’Ana, Instituto de Educação César 
P. Martinez. E-mail: sandrrinha@bol.com.br. Orientadora PDE 
 
Resumo 
O presente artigo relata a investigação, realizada com alunos do 2º ano do Ensino Médio, 
abordando a matemática a partir de diferentes situações da realidade do aluno, possibilidade esta 
amplamente encontrada na geometria. Partindo dessas situações vivenciadas pelo aluno, é possível 
explorar diversos conceitos geométricos, desde o reconhecimento da percepção espacial e 
visualização até conceitos mais complexos tratados no ensino médio, não apenas para a matemática 
como também para as demais áreas de ensino. Foi utilizado o cinema como ponto de partida, 
relacionando-o às artes, à biologia, à arquitetura e a outros aspectos do mundo físico, assim, 
pretendeu-se demonstrar aos alunos que a geometria está presente em diversas situações do 
cotidiano e que é possível associá-la aos conteúdos trabalhados em sala de aula. Para isso, foram 
abordados conceitos relacionados à proporção, número de ouro e sequências. Os alunos interagiram 
com o corpo humano, com as obras de arte, com a natureza, com os sólidos e com as figuras 
geométricas, realizando observações, medições, construções e cálculos. Por fim, através da 
investigação verificou-se que os alunos apresentavam dificuldades de conceituação e visualização 
geométrica. Contudo, buscou-se, com a realização das atividades propostas, minimizar as 
dificuldades apresentadas e reconstruir conceitos, tornando-os participantes de um ambiente de 
aprendizagem significativa. 
Palavras-chave: visualização; geometria da natureza; sólidos geométricos; 
percepção espacial; geometria das artes. 
 
 
 
36 
 
Introdução 
Estamos imersos num mundo de formas. Para onde quer que se direcione o 
olhar, as ideias geométricas estão presentes no mundo tridimensional, seja na 
natureza, nas artes, na arquitetura ou em outras áreas do conhecimento. Daí a 
constituição da geometria como um dos conteúdos estruturantes para o Ensino 
Fundamental e para o Ensino Médio. Essa é ponte que une diferentes conteúdos, é 
rica em elementos facilitadores à aprendizagem da álgebra e números. Sabe-se que 
a geometria é considerada a ciência do espaço, pois trabalha com formas e 
medições, nesse sentido, as Diretrizes Curriculares Estaduais contribuem ao dizer 
que “conhecer Geometria implica em reconhecer-se num dado espaço e, a partir 
dele, localizar-se no plano”. Essa ciência favorece a percepção espacial e a 
visualização, sendo conhecimento relevante para as diferentes áreas, permitindo 
que o aluno desenvolva sua percepção, sua linguagem e raciocínio geométrico de 
forma a construir conceitos. 
Tomando-se por base as experiências da prática pedagógica, verifica-se a 
dificuldade dos alunos de Ensino Médio quando se trata da Geometria Espacial, com 
relação à visualização, conhecimentos básicos da geometria plana e nas relações 
existentes entre as formas. Quando o aluno se depara com cálculos de área e 
volume, o entendimento torna-se ainda mais complicado, realiza-os por 
mecanização, não entendendo a aplicação em novas situações. Esse fato ocorre 
devido à defasagem existente no Ensino Fundamental, em que a geometria nem 
sempre é apresentada ao aluno inter-relacionada com os demais conteúdos 
estruturantes, como a álgebra e números, torna-se mera ilustração e exemplificação, 
sem entendimento de conceitos e propriedades. Em estudos realizados percebe-se 
que “na prática, vem sendo dada à geometria menos atenção do que ao trabalho 
com outros temas e, muitas vezes confunde-se seu ensino com o ensino de 
geometria” afirmação de Almouloud (citado por Machado, 2003, p.125). Buscou-se, 
portanto, a abordagem no Ensino Médio, dos conceitos geométricos não 
compreendidos anteriormente, partindo de situações do mundo real, de forma que 
os alunos desenvolvam sua percepção espacial e a visualização tão necessárias 
para que a geometria seja a conexão didática pedagógica da Matemática e demais 
áreas do conhecimento. 
A pesquisa teve como proposta resgatar, nos alunos de Ensino Médio, a 
visualização, a representação e a interpretação geométrica, presentes nos aspectos 
 
 
37 
 
globais e/ou corriqueiros, dessa forma, buscando proporcionar o entendimento 
desse conhecimento e a correlação com os conteúdos de sala de aula, utilizando-se 
dessas informações para facilitar as relações com as outras áreas da matemática e 
diferentes áreas do conhecimento. 
Os autores que pontuam a respeito desse tema são Kallef, Lindquist e 
Fainguelernt. 
A organização do presente texto está abordando num primeiro momento a 
definição de geometria, na sequência a relação da autora com o tema, a geometria 
no livro didático, as questões da globalização e da informática, os recursos 
metodológicos e uma breve síntese da pesquisa. 
 
Geometrias 
Quando pensamos em geometria reportamo-nos a algumas imagens e 
conceitos. Sabe-se que a Geometria, segundo Ferreira (1999, p.983) é 
ciência que investiga as formas e as dimensões dos seres 
matemáticos” ou ainda “um ramo da matemática que estuda as formas, plana 
e espacial, com as suas propriedades, ou ainda, ramo da matemática que 
estuda a extensão e as propriedades das figuras (geometria Plana) e dos 
sólidos (geometria no espaço). 
 Ainda pode-se acrescentar que de acordo com Boyer (1996, p. 5), “o 
desenvolvimento da geometria pode ter sido estimulado por necessidades práticas 
de construção e demarcação de terras, ou por sentimentos estéticos em relação a 
configurações e ordem”. 
Etimologicamente a palavra geometria (geo+metria) significa “medição da 
terra”. A partir dessa definição, é fundamental reconhecer o que está presente no 
mundo físico e visualizar aquilo que é apresentado tridimensionalmente, para 
avançar na construção de conceitos dentro da geometria e no entendimento dessas 
informações visuais. 
Nesse sentido, Kaleff (2003, p.14) cita os estudos de Van Hiele em que “a 
visualização, a análise e a organização informal (síntese) das propriedades 
geométricas relativas a um conceito geométrico são passos preparatórios para o 
entendimento da formalização do conceito”. A preocupação com a visualização em 
geometria é citada pela autora (idem, p.15), baseada em pesquisas em Educação 
 
 
38 
 
Matemática que “(...) apontaram para a importância de se incentivar nos meios 
educacionais o desenvolvimento de habilidades de visualizar”. 
Conforme citado por Ferreira (1996, p.1784), visualizar é “formar ou conceber 
uma imagem visual, mental de (algo que não se tem ante os olhos no momento)” e 
visualização “ato ou efeito de visualizar” ou “transformação de conceitos abstratos 
em imagens real ou mentalmente visíveis”. 
No que se refere à visualização, o uso de materiais manipulativos, um 
desenho ou outro modelo, servem de representação para gerar uma imagem mental, 
permitindo evocar o objeto na sua ausência, inicia-se um processo de raciocínio 
visual, facilitando a representação de um esboço gráfico ou modelo manuseável. 
Conforme Lindquist (1994, p. 77) “materiais de manipulação fornecem oportunidades 
para raciocinar com objetos e, portanto, para ensinar a resolver problemas e ensinarpara resolver problemas”. 
O aluno recorre à habilidade de visualização para executar diferentes 
processos mentais. Porém, os materiais concretos permitem ver o objeto em estudo, 
mas não garantem a habilidade de visualização, que segundo Kaleff (idem, p.17) 
“não é inata a todos os indivíduos”. 
Dessa forma, encontramos indivíduos que visualizam e outros que não-
visualizam. Sendo assim, a exploração de diferentes materiais manuseáveis aguça a 
curiosidade e oportuniza o desenvolvimento da percepção sensorial. 
Por meio de situações cotidianas ou das diferentes áreas do ensino, a 
interpretação dessas informações visuais requer treinamento, partindo do que é 
mais simples como um esboço, até situações mais complexas como 
um mapa que indique o caminho entre duas localidades, (...) 
sofisticadas representações gráficas (...), de plantas de objetos, de imagens 
impressas em fotos ou raio-X, de imagens observadas em microscópio ou de 
imagens pintadas por artistas representando a natureza ou suas visões 
próprias(...). (idem) 
Os conteúdos trabalhados em sala de aula, quando partem de situações 
vivenciadas pelo aluno, facilitam o entendimento do “espaço como referência, de 
modo que seja possível situá-lo, analisá-lo e perceber seus objetos para então ser 
representado” e, posteriormente, explorar todas as propriedades dos objetos. Para a 
geometria é importante partir de “objetos que tenham relação com as formas 
 
 
39 
 
geométricas usuais”, aqueles que lembram os sólidos geométricos e que estão ao 
nosso alcance. (DCE’s, p.30-31) 
 Com isso, percebe-se a importância de fazer com que os alunos 
desenvolvam um olhar geométrico sobre a realidade de forma a “construir e 
apropriar-se de conceitos geométricos abstratos, sobretudo daqueles que se referem 
ao objeto geométrico em si”. (idem, p.37). 
Concordando com Dienes (1974, p.01), “os conceitos não se ensinam – tudo 
que se pode fazer é criar, apresentar situações e as ocorrências que ajudarão a 
formá-los”. Assim, é primordial permitir que os alunos façam atividades 
experimentais e através de diferentes situações formem os conceitos que serão 
utilizados em outros momentos no decorrer de sua aprendizagem. 
 
Vivências em geometria 
Ao optar-se pela pesquisa sobre a geometria espacial, toma-se como ponto 
de partida aquilo que já se experimentou em sala de aula, com alunos do Ensino 
Fundamental e, principalmente, do Ensino Médio. No que se refere às aulas de 
geometria espacial e geometria analítica, verifica-se que os alunos têm amplas 
dificuldades, primeiramente com relação à visualização e representação, pois 
reconhecem poucos conceitos da geometria básica e, por conseguinte da geometria 
espacial. Também apresentam problemas de percepção das relações existentes 
entre os objetos de identificação das propriedades das figuras que formam os 
sólidos, dentre outros conceitos. 
Quando se deparam com cálculos de área ou volume, realizam aqueles de 
aplicação direta e apresentam certa dificuldade em situações mais complexas, como 
no entendimento da sistematização. Nesse caso, acompanham o raciocínio utilizado 
na realização das atividades, porém aplicá-lo em outra situação torna-se 
complicado. Conforme citado por Lindquist (p.240) “são cada vez maiores os indícios 
de que as dificuldades de nossos alunos em cálculo se devem a uma formação 
deficiente em geometria”. Sugere a autora que o papel da geometria seja ampliado 
de forma que “seu estudo propiciará a prontidão para o cálculo e desenvolverá a 
visualização espacial” (idem). Percebe-se então, que toda a problemática encontra-
se nos conhecimentos básicos do Ensino Fundamental, seja no encaminhamento da 
prática, como nos recursos. 
 
 
 
40 
 
Geometria no livro didático 
As considerações anteriores instigaram a análise de livros didáticos utilizados 
em sala de aula, a partir da quinta série. Percebeu-se que diversos autores sugerem 
que a geometria seja explorada ao longo do período letivo, intercalada com outros 
conteúdos da série, e que não seja conteúdo tratado apenas no final desse. Os 
professores, conforme pesquisas realizadas, devido à sua formação têm uma 
tendência em pensar que a geometria é assunto para segundo plano, sendo que os 
outros assuntos de álgebra, por exemplo, são mais importantes e por isso têm 
prioridade. Nesse sentido, no artigo de Ivan Nivem, organizado por Lindquist (p.50) 
ele acrescenta que “devemos ensinar geometria como geometria, do mesmo modo 
como a álgebra e o cálculo são ensinados”. Essas ideias são reforçadas por 
Lorenzato (2006, p.59) quando afirma que “por mais conhecimentos sobre outras 
partes da matemática que alguém possuir, eles não serão suficientes para resolver 
questões que demandarem percepção e raciocínio geométrico”. Assim, a 
matemática apresenta questões que exigem uma maneira própria de raciocínio que 
é desenvolvido apenas pelo estudo da geometria. 
No entanto, estudos esclarecem que a geometria promove o entendimento de 
diferentes conteúdos matemáticos, é por isso que precisa ser trabalhada em 
conjunto com cada conteúdo, pois dessa forma os alunos entenderão melhor até 
mesmo o cálculo algébrico, que, muitas vezes, parece ser abstrato. 
A abordagem de conceitos e construções geométricas, no Ensino 
Fundamental, é de grande importância para o entendimento de outros conteúdos do 
Ensino Médio, seja na trigonometria, na geometria espacial e analítica, entre outros 
das diferentes áreas de ensino. 
 A geometria está presente na física, na natureza, nas obras de arte, no 
artesanato, nas esculturas, nas pinturas, nas artes em geral, portanto faz-se 
imprescindível sua integração às outras disciplinas. Assim reforça as Diretrizes 
Curriculares (idem, p.37) ao dizer que “A geometria é rica em elementos que 
favorecem a percepção espacial e a visualização; constitui, portanto, conhecimentos 
relevantes, inclusive para outras disciplinas escolares”. 
 Também postula que a geometria é elemento importante de conexão, 
interligando-se com a álgebra e a aritmética, citando Lorenzato (1995, p.7) esclarece 
que “conceitos, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser 
clarificados pela geometria, que realiza uma verdadeira tradução para o aprendiz”. 
 
 
41 
 
Cabe destacar, conforme Lindquist (1994, p.50), que a geometria não deve 
servir apenas como exemplificação, pois se o aluno não visualiza e não entende os 
significados do que está vendo, será desnecessária a ilustração geométrica, além de 
não atingir o objetivo que é fazer a interrelação entre os conteúdos, pois 
Nossa questão principal, então, é libertar a geometria elementar de 
seu papel tradicional de servir como introdução geral à estrutura axiomática 
da matemática. Por que deveria o primeiro curso de geometria carregar o 
fardo especial de ilustrar e exemplificar os fundamentos da matemática? 
 Acredita-se que para chegar ao entendimento de conceitos da geometria 
espacial é imprescindível, tendo como ponto de partida todas as situações possíveis 
do cotidiano com as quais se pode deparar, a reexploração dos conceitos básicos, 
para tentar minimizar os impasses existentes, conforme já citado. 
 
O mundo globalizado 
Estamos vivendo na era midiática, em que as tecnologias estão presentes 
desde os mais simples equipamentos até os mais sofisticados, de forma que 
provocam alterações nas relações humanas e na organização do trabalho, num 
modelo de sociedade que exige um trabalhador flexível, que se adapte facilmente, 
seja criativo, atualizado e em constante aperfeiçoamento. Conforme cita Teruya 
(2006, p.75) “o uso do computador no ensino deve criar ambientes de aprendizagem 
com novas formas de pensar e aprender”. 
Os alunos estão cada vez mais se utilizando de recursos oferecidos pelas 
tecnologias da comunicação e da informação, dessa forma, não se pode deixar de 
lado esses recursos também nas escolas. “(...) como o usode computadores, de 
vídeo, de redes, de multimídias, permitem acesso à pesquisa e a informações 
novas, de forma mais interessante e envolvente, o que facilita o processo ensino-
aprendizagem” (idem, p.88). 
Assim, a proposta de pesquisa foi desenvolvida a partir de situações do 
cotidiano percebidas na natureza, nas construções, nas artes, nas embalagens, no 
artesanato, dentre outras áreas, como na física e na geografia. A partir dessa 
relação com a realidade, exploraram-se situações e utilizou-se de materiais 
manipuláveis para o desenvolvimento da visualização e da construção de conceitos 
geométricos, apontando para a possibilidade da construção de conceitos, utilizando-
se das mídias tecnológicas. 
 
 
42 
 
Recursos metodológicos 
Tendo como ponto de partida, o cinema, atividade considerada atraente para 
os alunos dessa faixa etária, buscou-se a exploração da história do cinema e com 
uma sessão na própria escola, orientando os alunos a observarem os aspectos 
matemáticos existentes. 
Por meio do filme e de seus comentários, contemplaram-se os aspectos da 
matemática relacionados à biologia e às artes, culminando com a geometria 
espacial, que é o objetivo do trabalho aqui apresentado. 
Muitos foram os objetivos almejados com a realização desse trabalho, dentre 
eles o de aproximar os temas apresentados nos filmes da realidade em que vivem 
os alunos, tornando para eles o tópico em questão ainda mais cativante e intenso. 
Além disso, buscou-se explorar os aspectos matemáticos presentes no filme, 
em correlação com as demais áreas do conhecimento e ainda o desenvolvimento da 
sensibilidade para melhor usufruírem e sentirem as artes. 
Outro objetivo foi de proporcionar que os alunos identifiquem, no mundo 
físico, a presença de aspectos matemáticos e sua importância para o entendimento 
de variadas situações, além da percepção do homem como agente de produção de 
conhecimento cultural, artístico e científico, ao longo de toda a sua história. 
Com isso, surgiu um questionamento: de que forma pode o professor 
apresentar aos alunos novas perspectivas e fazê-los descobrir as belezas da 
matemática? 
Um dos caminhos é fazer a conexão da matemática com a arte, já que essas 
áreas do conhecimento caminham juntas e são fundamentais à evolução do ser 
humano. 
Tudo isso contribui para o desenvolvimento do pensamento crítico, da 
sensibilidade, tão necessários num mundo de individualismo e da criatividade na 
solução de problemas que surgem na vida pessoal e profissional. Também colabora 
na construção de uma sociedade mais humana e justa, desenvolvendo o ser 
humano integralmente, fortalecendo-o como agente modificador da realidade na qual 
está inserido. Conforme afirmado pelas Diretrizes Curriculares Estaduais (p.24), 
“pela apropriação do conteúdo matemático, o estudante também se apropria de 
conhecimentos que lhe possibilitam criar relações sociais”. 
 
 
43 
 
 O ensino de matemática relacionado à arte torna-se mais atrativo, criativo e 
de encantamento pelo assunto em questão, o que propicia que os alunos tenham 
novos olhares sobre essa disciplina. 
Esse foi um dos motivos que influenciou o estudo de conceitos matemáticos 
envolvidos nas artes, entre eles sólidos e figuras geométricas, proporção e 
perspectiva. 
Sabe-se que a matemática desenvolve o raciocínio dedutivo e auxilia na 
estruturação do pensamento, além disso, também está presente nas diferentes 
atividades humanas e áreas do conhecimento. É por isso que se buscou, por meio 
desse estudo, associar a arte à matemática. 
As artes propiciam a ampliação do universo cultural e da participação social, 
tendo em vista que toda produção artística faz parte de um contexto histórico, social, 
filosófico, religioso, cultural e político, denunciando violências e injustiças. Segundo 
Oliveira (2006, p.20) “a experiência estética que a arte proporciona é uma forma de 
felicidade muito especial porque é transformadora. Ela modifica pela emoção que 
proporciona”. 
Muitos aspectos da matemática estão presentes nas obras de arte de 
diversos artistas, nas pirâmides do Egito, em estátuas gigantescas, no Parthenon, 
em mosaicos que repetem padrões, no Coliseu com forma circular, entre outros 
exemplos. 
Contribuindo com essas ideias têm-se a citação de Fainguelernt (2006, p.26) 
que diz: “Escher utilizava a matemática como ferramenta que lhe ampliava a 
percepção e a exploração”. 
De forma a aplicar os conceitos acima apresentados colocou-se em prática a 
proposta de investigação, que contemplou a presença do número de ouro nas 
proporções do corpo humano, a partir do homem vitruviano citado no filme. Nessa 
atividade os alunos tiveram a oportunidade de realizar medições de diferentes partes 
do corpo e calcular a razão existente entre essas medidas, chegando-se à razão 
áurea que representa a harmonia do corpo humano. Esse estudo das proporções do 
corpo humano é importante para o trabalho realizado por pintores e escultores e foi 
iniciado por Leonardo da Vinci. 
Após serem feitas as medições, os alunos realizaram um desenho livre do 
corpo humano e, posteriormente, um desenho orientado, em que foram indicadas as 
proporções do corpo com relação ao tamanho da cabeça. 
 
 
44 
 
Tem-se conhecimento de que o corpo humano adulto mede de 7,5 a 8 
medidas da cabeça, assim foi possível desenhar uma pessoa, permitindo que seus 
braços, pernas, cabeça e outras partes fossem proporcionais e apresentassem 
harmonia. 
Nas obras de arte e arquitetônicas também se encontra a proporção áurea, 
conferindo valor harmônico aos olhos de quem observa. Baseandose na informação 
de que diversos artistas utilizam-se da proporção áurea em suas obras, realizou-se 
com os alunos, no laboratório de informática, uma pesquisa sobre o assunto. 
Em seguida, explorando outros aspectos matemáticos do filme, por meio da 
observação do homem vitruviano inscrito em figuras geométricas – o círculo e o 
quadrado – foi realizada a atividade de construção do pentagrama e do retângulo de 
ouro, os quais surgem na forma de dobraduras e também com utilização de régua e 
compasso. A partir dessa atividade, outras figuras geométricas foram sendo 
identificadas e exploradas. 
A sequência de Fibonacci foi outro aspecto matemático identificado pelos 
alunos, ela pode ser obtida iniciando-se com o zero e o um, os números seguintes 
originam-se a partir da soma de seus dois antecessores. Ao realizar a divisão de 
cada número pelo seu antecessor, percebe-se um valor constante que é o número 
de ouro. Com os resultados obtidos criou-se um gráfico, no qual o eixo horizontal 
indica os elementos da sequência de Fibonacci, com isso observou-se a constante 
que resulta desses valores. 
Essa sequência está presente em diversos aspectos da natureza, um dos 
exemplos típicos é o problema dos coelhos. Assim, a fim de identificar esse caso, 
proporcionou-se aos alunos que realizassem os cálculos do número de coelhos, ao 
final de um ano. 
Ainda em relação à sequência, mostrou-se aos alunos que é possível 
observá-la até mesmo no cotidiano, tendo em vista sua presença nas espirais das 
pinhas das coníferas, na disposição das sementes do girassol, na concha dos 
moluscos, na casca do abacaxi, nos brócolis, na disposição e organização das 
pétalas nas flores, das folhas nos caules e dos ramos das árvores entre outras 
tantos exemplos. Todas essas situações foram exploradas por meio de pesquisas, 
em sites que abordavam o assunto. 
 
 
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Além disso, levaram-se, para a sala de aula, objetos concretos como pinhas e 
abacaxi para identificação das espirais, de modo que os alunos puderam realizar o 
manuseio e observação desses objetos. 
Em outra situação, os alunos construíram a espiral em papel quadriculado a 
partir da junção de dois quadrados de lado 1, obtendo-se um retângulo de lado 2x1. 
Ao anexarem outro quadrado de lado 2, os alunos obtiveram