Exercício resolvido - Área entre curvas polares usando integrais

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• Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas e r = 3cos 𝜃( )
. r = 1 + cos 𝜃( )
Resolução:
Interseção:
 
1 + cos 𝜃 = 3cos 𝜃( ) ( )
2cos 𝜃 = 1( )
cos 𝜃 =( )
1
2
 
𝜃 = ou 𝜃 = - 
𝜋
3
𝜋
3
 
O gráfico da região é:
Pela simetria da figura, a área fica:
A = 2 × 1 + cos 𝜃 d𝜃+ 3 cos 𝜃 d𝜃
0
∫
 
𝜋
3
( ( ))2 ∫
 
𝜋
2
𝜋
3
( ( ))2
 
 
 
A = 2 × 1 + 2cos 𝜃 + cos 𝜃 d𝜃+ 9 cos 𝜃 d𝜃
0
∫
 
𝜋
3
( ) 2( ) ∫
 
𝜋
2
𝜋
3
2( )
 
A = 2 × 1d𝜃+ 2 cos 𝜃 d𝜃+ cos 𝜃 d𝜃+ 9 cos 𝜃 d𝜃
0
∫
 
𝜋
3
0
∫
 
𝜋
3
( )
0
∫
 
𝜋
3 2( ) ∫
 
𝜋
2
𝜋
3
2( )
Resolvendo as integrais em sua forma indefinida : 1d𝜃 = 𝜃; cos 𝜃 d𝜃 = sen 𝜃∫ ∫ ( ) ( )
 
 cos 𝜃 d𝜃 cos 𝜃 = + , substituindo :∫ 2( ) → 2( ) cos 2𝜃
2
( ) 1
2
+ d𝜃 = d𝜃+ d𝜃∫ cos 2𝜃
2
( ) 1
2
∫cos 2𝜃
2
( ) ∫1
2
d𝜃 =∫1
2
𝜃
2
 
d𝜃 u = 2𝜃 du = 2d𝜃∫cos 2𝜃
2
( )
→ →
 d𝜃 = , assim, fica :
du
2
 cos u = sen u = sen 2𝜃
1
2
∫ ( )du
2
1
4
( )
1
4
( )
 
 cos 𝜃 d𝜃 = + d𝜃 = d𝜃+ d𝜃 = sen 2𝜃 +∫ 2( ) ∫ cos 2𝜃
2
( ) 1
2
∫cos 2𝜃
2
( ) ∫1
2
1
4
( )
𝜃
2
 
Agora, voltando para a integral definida, fica :
 
A = 2 × 𝜃 + 2sen 𝜃 + sen 2𝜃 + + 9 sen 2𝜃 +
0
𝜋
3
( )
0
𝜋
3 1
4
( )
𝜃
2 0
𝜋
3 1
4
( )
𝜃
2
𝜋
2
𝜋
3
 
A = 2 × - 0 + 2 sen - sen 0 + sen 2 ⋅ + - sen 2 ⋅ 0 +
𝜋
3
𝜋
3
( )
1
4
𝜋
3 2
𝜋
3 1
4
( )
0
2
+2 ⋅ 9 sen 2 ⋅ + - sen 2 ⋅ +
1
4
𝜋
2 2
𝜋
2 1
4
𝜋
3 2
𝜋
3
 
 
 
A = 2 × + 2 ⋅ + + + 18 × - +
𝜋
3 2
3
4
2
3
𝜋
6
𝜋
4 4
2
3
𝜋
6
 
A = 2 × + + + 18 × -
𝜋
2
3
8
3 5𝜋
12 8
3
 
A = 𝜋+ 2 + + -3
4
3 3𝜋
2
9
4
3
 
A = +
2𝜋+ 3𝜋
2
8 + - 9
4
3 3 3
 
A = u. a. 
5𝜋
2
 
Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
 
(Resposta)