Trabalho de Métodos Numéricos

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EQE358 – Métodos Numéricos Aplicados aos Processos Químicos
Ajuste de Curva
Propriedade: Temperatura x Volume específico vapor saturado de 50 a 100 °C
 
 
Introdução
Em muitas situações do nosso cotidiano como engenheiro, conhece-se uma tabela de pontos (x, y), onde cada y é obtido através de experimentos, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva y = f(x) que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos. Para isso, pode-se utilizar dois métodos: Regressão e Interpolação. 
O método da Regressão é utilizado quando os dados em questão são imprecisos com grande incerteza e, com isso, a curva não é forçada a passar sobre os dados. Já o método da Interpolação é utilizado quando os dados são precisos e a curva (ou uma série de curvas) é forçada a passar por cada um dos pontos.
Tendo em vista que o erro gerado a partir do método de Interpolação no caso de dados imprecisos pode ser muito grande, utilizou-se o Método dos Mínimos Quadrados (que envolve minimização da soma dos quadrados dos resíduos da função (erros)) a fim de ajustar os dados extraídos da tabela do Livro Smith, Van Ness, Abbott (Introdução a Termodinâmica da Engenharia Química) através de uma função que seja uma boa aproximação para o valor real e que assim, seja possível realizar extrapolação para valores fora do intervalo trabalhado, sem que possua um erro muito elevado.
Para isso, utilizou-se o modelo polinomial e o exponencial, sendo o primeiro de grau 2.
Objetivo
 	O objetivo deste trabalho é propor dois modelos para prever as propriedades de saturação da água em função da temperatura. São propostos um modelo polinomial e um exponencial através da estimação de parâmetros dos dados obtidos no Livro Smith, Van Ness, Abbott (Introdução a Termodinâmica da Engenharia Química), 7ª Edição, LTC, apêndice F. 
A propriedade escolhida foi: Temperatura x Volume específico vapor saturado (de 50 a 100 °C). 
A estimação dos parâmetros foi realizada utilizando 20 pontos retirados da tabela de água, empregando-se métodos dos mínimos quadrados. Para isso desenvolveu-se no ambiente MATLAB uma rotina computacional, onde implementou-se o método dos mínimos quadrados.
Resultados 
1. Modelo polinomial 
A Figura 1 apresenta o conjunto de dados retirados da tabela e a curva do modelo proposto – polinomial de grau dois.
 Figura 1. Gráfico com o modelo polinomial proposto.
Os parâmetros da equação polinomial de grau dois são apresentados na Tabela 1. 
Tabela 1. Parâmetros do modelo polinomial de grau dois.
	Grandeza
	Resultados
	𝑎
	42,9699
	𝑏
	-0,8455
	𝑐
	0,0044
A equação polinomial possui o seguinte formato: 
𝑓(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 
Onde:
𝑓(𝑡) Função do volume especifico vapor saturado (m3/kg)
 𝑡 Temperatura (°C)
2. Modelo exponencial 
Foi proposto para os dados em questão um modelo exponencial. A Figura 2 apresenta o conjunto de dados retirados da tabela e a curva do modelo proposto.
 Figura 2. Gráfico com o exponencial proposto.
Os parâmetros da equação exponencial são apresentados na Tabela 2. 
Tabela 2. Parâmetros do modelo exponencial.
	Grandeza
	Resultados
	𝑎
	4,4090
	𝑏
	-0,0394
A equação exponencial possui o seguinte formato: 
𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑒𝑏𝑡
Onde:
𝑓(𝑡) Função do Volume específico de Vapor Saturado (m3/kg)
 𝑡 Temperatura (°C)
Discussão dos resultados 
Como pode ser observado nas Figuras 1 e 2, ambos os modelos descrevem bem o comportamento do volume específico de vapor saturado em função da temperatura no intervalo de 50°C a 100°C. No entanto, ainda é necessário avaliar a qualidade da estimação. Pra isso utiliza-se o parâmetro denominado Soma de Quadrados dos Resíduos (Erros). Este consiste em calcular a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados (da tabela) e os calculados (através do modelo). Estes resíduos podem ser normalizados pelo número de pontos. 
Com isso, a estimação será considerada boa quando se minimiza os quadrados dos resíduos. 
Efetuando-se estes cálculos, obtém-se o erros apresentados na Tabela 3.
Tabela 3. Erros dos modelos propostos.
	Grandeza
	Erro
	Polinomial
	0,0438
	Exponencial
	0,0360
Portanto, a partir dos resultados da Tabela 3 conclui-se que o modelo exponencial se adequa melhor aos dados nesse intervalo.
Utilizando as equações encontradas, calcula-se cinco pontos acima da faixa de temperatura utilizada para estimar os dados. Esses resultados são apresentados na Tabela 4.
 Tabela 4. Cinco pontos acima da faixa de temperatura utilizada para estimar os dados.
Como pode ser observado na Tabela 4, o erro percentual aumenta em módulo a no caso polinomial. A parábola passa a ser crescente enquanto os valores da tabela continuam decrescentes. Já o modelo exponencial apresentou erros pequenos comparados ao modelo polinomial. É importante ressaltar que os modelos propostos quando aplicados fora do intervalo em estudo tendem fazer os erros aumentarem.
Códigos da Rotina Desenvolvida 
a. Modelo Polinomial
b. Modelo Exponencial
Referências
[1] 	Smith, Van Ness, Abbott. Introdução a Termodinâmica da Engenharia Química. 7ª Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2007. 
[2] 	MATHWORKS. Mathworks - leading developer of mathematical computing software for engineers and scientists. Brasília, p. 3, 2016. Disponível em: https: //www.mathworks.com/support/?s_tid=gn_supp.
 
[3] 	Rodney Josué Biezuner. Ajuste de curvas por quadrados mínimos lineares. Apostila da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear (UFMG). Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/quadrados_minimos.pdf.