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Curso: Administração 
Disciplina: Fundamentos de Matemática Elementar 
Professora: 
Aluno (a): ________________________________________________ 2012/02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª. Verônica Moreira 
 Email: veronica.moreira@oi.com.br 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 2 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
 Página 
Relação Binária 3 
 Exercícios de Fixação 5 
Funções Reais 6 
 Exercícios de Fixação 9 
Função do 1º Grau 11 
 Exercícios de Fixação 16 
Função do 2º Grau 21 
 Exercícios de Fixação 28 
Função Composta 32 
 Exercícios de Fixação 34 
Função Inversa 33 
 Exercícios de Fixação 34 
Equação e Função Exponencial 37 
 Exercícios de Fixação 39 
Bibliografia 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 3 
I - RELAÇÃO 
 
1 - Par Ordenado 
 
Definição: É um elemento de um conjunto formado por dois números reais a e b colocados entre 
parênteses e separados por vírgula, que se apresenta da seguinte forma: 
 
(a, b) 
 
 Um par ordenado representa as coordenadas de um ponto P, onde o primeiro elemento do par 
representa a abscissa do ponto e o segundo elemento representa a ordenado do ponto P. 
 
 
2 - Representação Gráfica 
 
 2.1 - Sistema Cartesiano Ortogonal 
 
Definição: É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si, onde o eixo x é 
denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em 
quatro regiões chamadas quadrantes. 
 
 
 
 
 P(a, b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Marque no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), B(-4, -5), C(0, 5), D(3, 0) e E(1/2, 5/2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 2˚ quadrante 1˚ quadrante 
 
 b 
 
 
 
 0 a x 
 
 3˚ quadrante 4˚ quadrante 
 
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 4 
2.2- Produto Cartesiano A ×××× B 
 
Definição: É o conjunto A × B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro 
elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, sendo A e B dois conjuntos não vazios. 
 
A × B ={(x, y) / x ∈ A e y ∈ B} 
 
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, determine A × B. Construa o Diagrama de setas e faça a 
representação gráfica. 
 
2.3- Produto Cartesiano B ×××× A 
 
Definição: É o conjunto B × A cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro 
elemento pertence a B e o segundo elemento pertence a A, sendo A e B dois conjuntos não vazios. 
 
B × A ={(x, y) / x ∈ B e y ∈ A} 
 
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, determine B × A. Construa o Diagrama de setas e faça a 
representação gráfica. 
 
 
 
 
3 – Relação Binária de A em B 
 
Definição: É todo subconjunto R de A × B, sendo A e B dois conjuntos dados. 
 
R é uma relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B 
 
Exemplo: Dados A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}, quais são os elementos da relação R = {(x, y)/x < y} de 
A em B? Faça a representação gráfica e o diagrama de Venn. 
 
 
 
4 – Domínio e Imagem 
 
Definição: O conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a um 
conjunto R é chamado domínio da Relação. 
 
Definição: O conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a um 
conjunto R é chamado Imagem da Relação. 
 
Exemplo 1: Se A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4}, qual é o domínio e a imagem da relação R = {(x, y) ∈ 
A × B / y = 2x}? 
 
Exemplo 2: Se A = {0,2,3,4} e B = {1,2,3,4,5,6}, qual é o domínio e a imagem da relação 
}/),{( xdemúltiploéyAxByxR ∈= ? 
 
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 5 
5 - Exercícios de Fixação 
 
1. Dados A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo gráfico 
cartesiano os seguintes produtos: 
a) BA× c) CB × e) 2A 
b) AB × d) BC × f) 2C 
 
 
 
2. Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, 3), B(0, -4), C(-4, -5), D(-1, 0), E(0, 5), F(5, 4), 
G(3, 0), H(-3, 2) e I(-1/2, -5/2). 
 
 
 
3. I) represente por meio de setas; II) faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 
0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} definidas por: 
a) ( ){ }2, =+= yxyxR 
b) ( ){ }12, −== xyyxT 
c) ( ){ }yxyxU >= , 
 
 
 
4. Estabelecer o domínio e a imagem das relações do exercício 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 6 
II - FUNÇÕES REAIS 
 
1 – Introdução 
 No estudo científico de qualquer fenômeno, sempre procuramos identificar grandezas 
mensuráveis ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes entre essas duas 
grandezas. 
 Veja dois exemplos de situações do cotidiano. 
 
Exemplo 1: O quiosque do Luiz vende empadas ao preço de R$ 1,50 a unidade. Como vende 
muitas empadas durante o verão, Luiz montou a seguinte tabela para facilitar seus cálculos: 
 
Quantidade de Empadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Preço (R$) 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 9,00 10,50 12,00 13,50 15,00 
 
Nesse exemplo, estão sendo medidas duas grandezas: 
a quantidade de empadas vendidas e o respectivo preço. A 
cada quantidade de empada corresponde um único preço. 
Dizemos que o preço é função do número de empadas vendidas. 
Aqui é possível encontrar uma fórmula que estabelece a relação 
de interdependência entre preço (y) e a quantidade de empadas (x): 
 
y = 1,50 . x 
 
Exemplo 2: Para fretar um ônibus de excursão com 40 lugares paga-se ao todo R$ 360,00. Essa 
despesa deverá ser igualmente repartida entre os participantes. Para saber a quantia que cada um 
deverá desembolsar (y), basta dividir o preço total (R$ 360,00) pelo número de passageiros (x). A 
fórmula que relaciona y com x é: 
x
y 360= 
 
Observe a tabela com alguns valores referentes 
a correspondência entre x e y: 
 
 
 
 
O preço y que cada passageiro pagará pelo ônibus dependerá da quantidade de passageiros x que 
fará a excursão. Esse é um exemplo de função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de Passageiros (x) 4 12 15 18 20 24 36 40 
Preço por passageiro (y) 90 30 24 20 18 15 10 9 
 
 
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 7 
2 – Definição de Função 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência) que associa a 
cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B recebe o nome de função de A em B. 
O conjunto de todos os valores admissíveis de x é chamado de domínio da função e o 
conjunto de todos os valores resultantes de y é chamado de imagem da função. 
 
Exemplo 1: Considere o conjunto A = {a,b,c,d,e} e B = {1,2,3,4,5,6,7}. A relação descrita pela 
tabela em que cada x ∈ A tem um único correspondente y ∈ B é uma função de A em B porque a 
todo elemento de A corresponde um único elemento de B. 
 
x ∈ A y ∈ B 
a 2 
b 3 
c 5 
d 7 
e 1 
 
Exemplo 2: Considere o conjunto A = {0,1,2,3} e B = {-1,0,1,2,3}. Vamos associar a cada 
elemento x ∈ A o elemento y ∈ B tal que y = x + 1. 
 
Para cada elemento que x ∈ A, com exceção do 3, existe umsó y ∈ B tal que y é o correspondente de x. Para o elemento 3 
∈ A não existe correspondente y ∈ B. Logo essa relação não 
representa uma função. Como exercício, represente essa 
relação pelo diagrama de Venn. 
 
3 - Notação 
 
 Toda função é uma relação binária de A em B. Geralmente, existe uma sentença aberta 
y = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x ∈ A, determina-se y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, logo 
 
f = {(x, y)/ x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)} 
 
 Isso significa que dados os conjuntos A e B, a função tem a lei de correspondência y = f(x). 
Retornando ao exemplo 1 temos: f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = 7, f(e) = 1. 
 
4 - Domínio e Contradomínio 
 
Definição: Seja f: A → B uma função. O conjunto A é chamado domínio de f, e o conjunto B é 
chamado contradomínio de f. 
 
Exemplo: Sendo A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5}, a função f: A → B tal que f(x) = x + 1 tem 
domínio A e contradomínio B, ou seja, f = {(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)} 
 
D(f) = A e CD(f) = B 
 
Essa relação ainda poderia ser descrita pelo conjunto f de 
pares ordenados do tipo (x,y) em que x ∈ A e y ∈ B, e y é 
o correspondente de x: 
f = {(a,2),(b,3),(c,5),(d,7),(e,1)} 
Como exercício represente essa relação pelo diagrama de 
Venn e determine o domínio e a imagem de f. 
x y 
0 1 
1 2 
2 3 
 
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 8 
Observe que todo elemento x do domínio tem uma única imagem y no contradomínio, embora 
possam existir elementos no contradomínio que não são imagem de nenhum x do domínio. Note 
que no exemplo anterior 0 e 5 não são imagens de x ∈ A. 
 
5 - Imagem 
 
Definição: Se f: A → B é uma função, chama-se conjunto imagem de f o subconjunto Im do 
contradomínio constituído pelos elementos y que são correspondentes de algum x ∈ A. Retomando 
o exemplo anterior, temos: 
 
Im(f) = {1,2,3,4} 
 
6 - Determinação do Domínio 
 
 Muitas vezes se faz referência a uma função f, dizendo apenas qual é a lei de correspondência 
que a define. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é 
formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de 
correspondência y = f(x), de modo que, efetuando os cálculos, resulte um y real. Vejamos alguns 
exemplos: 
 
Exemplos: Dê o domínio das seguintes funções reais: 
• y = 3x + 4 D = R 
• 
1
3
−
+
=
x
xy }1{−= RD 
• 2−= xy D = x ≥ 2 ou }2/{ ≥∈= xRxD 
• 
3 1+x D = R 
• x
x
y +
−
=
1
1
 D = x ≥ 0 e x ≠ 1 ou }10/{ ≠≥∈= xexRxD 
 
 
 
7 – Funções Iguais 
 
Definição: Duas funções f: A → B e g: C → D são iguais se, e somente se, apresentarem: 
 
i) domínios iguais (A = C) 
ii) contradomínios iguais (B = D) 
iii) f(x) = g(x) para todo x do domínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9 
8 – Exercícios de Fixação 
 
1. Dê o domínio das seguintes funções reais: 
 
2. Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de 
A = {-1,0,1,2} em B = { -2,-1,0,1,2,3}. 
 
 
3. Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {0,1,2} em B = {-1,0,1,2}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 10 
4. Quais das relações de R em R, cujos gráficos aparecem abaixo, são funções ? Justifique. 
 
Respostas: 
1. 
 
2. 
 
 
 
 
 
3. 
 
4. 
 
 
FUNÇÃO DO 1˚ GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
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 11 
III - FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM 
 
1 - Introdução 
 
 Antes de apresentar o conceito de função afim, veja dois exemplos de problemas 
envolvendo situações do dia a dia. 
 
Exemplo 1: Luciana pegou um táxi para ir a faculdade que fica a 18 km de distância. O valor 
cobrado engloba o preço da parcela fixa (bandeirada) de R$ 4,80 mais R$ 1,70 por quilômetro 
rodado. Ou seja, ela pagou 18 . R$ 1,70 = R$ 30,60 pela distância percorrida mais R$ 4,80 pela 
bandeirada, isto é: 
R$ 30,60 + R$ 4,80 = R$ 35,40. 
 
Se a faculdade ficasse a 30 km de distância, Luciana teria pago: 
 
30 . R$ 1,70 + R$ 4,80 = R$ 51,00 + R$ 4,80 = R$ 55,80. 
 
Podemos notar que, para cada distância x percorrida pelo táxi, há certo preço p(x) para a corrida. 
O valor p(x) é uma função de x. 
Para encontrar a fórmula que expressa p(x) em função de x, fazemos: 
 
p(x) = 1,70 . x + 4,80 
 
que é um exemplo de função polinomial do 1º grau ou função afim. 
 
Exemplo 2: Michel é vendedor da empresa “Tô mentindo” e recebe mensalmente um salário 
compostos de duas partes: 
• uma parte fixa, que corresponde ao salário mínimo; 
• outra parte variável, que corresponde a comissão de 
2% sobre o valor das vendas realizadas no mês. 
Considerando o salário mínimo no valor de R$ 545,00 e que o salário 
total mensal de Michel não sofre qualquer desconto, qual o salário 
desse vendedor se suas vendas em certo mês somaram R$ 300 000,00 ? 
Solução: 
Para calcular quanto o vendedor recebeu de salário nesse mês, fazemos: 
 
= 545 + 2% . 300 000 = 545 + 0,02 . 300 000 = 545 + 6000 = 6545 
 
Portanto o salário de Michel nesse mês foi de R$ 6 545,00. 
 
Observamos que, para cada total x de vendas no mês, há um certo salário s(x) pago ao vendedor. O 
valor s(x) é uma função de x. A fórmula que expressa s(x) em função de x é: 
 
s(x) = 500 + 0,02 . x 
 
que é exemplo de função afim. 
 
 
 
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 12 
2 – Definição 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada 
por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0. 
Na lei f(x) = ax + b, o número a é chamado coeficiente de x e o número b é chamado termo 
constante ou independente. O gráfico de uma função afim é uma reta. 
 
Exemplos: 
• f(x) = 3x + 5, em que a = 3 e b = 5; 
• f(x) = - x + 6, em que a = -1 e b = 6; 
• f(x) = - 2x - 
2
1
, em que a = -2 e b = -
2
1
; 
• f(x) = 
7
3
3
−
x
, em que a = 
3
1
 e b = 
7
3
− ; 
• f(x) = 3x, em que a = 3 e b = 0. 
 
3 - Função Identidade 
 
Definição: É uma aplicação de R em R que a cada elemento 
x ∈ R associa o próprio x. Está função é representada por 
 f(x) = x 
O gráfico da função identidade é uma reta que contém as 
bissetrizes do 1˚ e 3˚ quadrantes. 
A imagem é Im = R. 
 
4 – Função Linear 
 
Definição: É um caso particular da função do 1˚ grau definida por f(x) = ax, onde a ≠ 0 é um 
número real dado e b = 0. O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem. 
A imagem é Im = R. 
 
Exemplos: a) f(x) = 3x, em que a = 3 e b = 0; 
b) f(x) = - x, em que a = -1 e b = 0; 
c) f(x) = - 2x, em que a = -2 e b = 0; 
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 (a) (b) (c) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
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5 – Função Constante 
 
Definição: Quando em f(x) = ax + b temos a = 0, essa lei não define uma função afim, mas sim 
outro tipo de função denominada função constante. É a função cuja imagem consiste em um único 
número. Está função é representada por 
f(x) = 0x + b 
ou seja, 
f(x) = b para todo x. 
 
O gráfico da funçãoconstante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, b). 
A imagem é o conjunto Im = {b} 
 
Exemplo: Dê o domínio, a imagem e esboce o gráfico de f(x) = 5. 
Solução: D(f) = R e Im(f) = {3} 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
6 – Zero da Função do 1º Grau (ou Raiz da Função) 
 
Definição: É o valor de x que anula a função, ou seja, torna f(x) = 0. 
 
Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = - 2x + 5 e representar a função geometricamente. 
Solução: - 2x + 5 = 0 
 - 2x = - 5 
 x = 5/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
 
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 14 
7 – Gráfico 
 
Exemplo 1: Construa o gráfico das seguintes funções: 
 
a) y = 2x + 1 b) f(x) = - x + 3 
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
 
Exemplo 2: O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo 
variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de 
unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. 
 
Solução: Seja x o número de unidades produzidas e C(x) o custo total correspondente. Nesse caso, 
 
Custo total = (custo unitário)(número de unidades) + custo fixo 
 
C(x) = 50 . x + 200 
 
 
 
 
que é o custo total em função do número x de 
unidades produzidas. O gráfico dessa função 
de custo é uma linha reta cuja ordenada aumenta 
de 50 unidades cada vez que a abscissa aumenta de 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 15 
8 – Função Crescente 
 
 
Definição: Uma função y = f(x) é crescente, para todo x ∈ D se, e 
somente se para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao seu domínio, 
com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 – Função Decrescente 
 
 
 
Definição: Uma função y = f(x) é decrescente, para todo 
x ∈ D se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes 
ao seu domínio, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). 
 
 
 
 
Exemplos: Construa o gráfico das funções e verifique se são crescentes ou decrescentes: 
 
a) f(x) = x + 2 b) f(x) = - 2x + 3 
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 - Exercícios de Fixação 
 
1. Construa o gráfico cartesiano das funções: 
a) y = 2x –1 b) y = 3x + 2 c) y = - x + 1 d) y = 
2
34 x−
 
 
2. Uma empresa recebeu 5750 currículos de profissionais interessados em participar do processo de 
seleção para preenchimento de vagas de estágios. O departamento de Recursos Humanos (RH) da 
empresa é capaz de, por meio de uma primeira triagem, descartar 300 currículos por semana, até 
que sobrem 50 nomes de candidatos que participarão do processo de seleção. 
a) Como se expressa a quantidade de currículos (y) existentes após x semanas do inicio da triagem 
feita pelo RH ? 
b) Após quantas semanas serão conhecidos os nomes dos 50 candidatos ? 
 
3. Em uma cidade, a empresa de telefonia está promovendo a linha econômica. Sua assinatura é R$ 
20,00, incluindo 100 minutos a serem gastos em ligações locais para telefone fixo. O tempo de 
ligação excedente é tarifado em R$ 0,10 por minuto. 
a) Se x é o número de minutos excedentes, qual é a lei de formação da função que representa o 
valor (v) mensal da conta ? 
b) Calcule o valor da conta mensal de três clientes que gastaram, respectivamente, 80, 120 e 200 
minutos em ligações locais. 
 
4. Um vendedor recebe um salário fixo e mais uma parte variável, correspondente à comissão sobre 
o valor total vendido em um mês. O gráfico seguinte informa algumas possibilidades de salário em 
função das vendas. 
 
a) Encontre a lei da função cujo gráfico é essa reta. 
 
b) Qual é a parte fixa do salário ? 
 
c) Alguém da loja disse ao vendedor que, se ele 
conseguisse dobrar as vendas, seu salário também 
dobraria. Isso é verdade ? Explique. 
 
 
5. Durante uma década, verificou-se que uma empresa apresentou um decréscimo linear no quadro 
de funcionários, como mostra o gráfico seguinte: 
 
a) Qual era o número de funcionários dessa 
empresa em 2007 ? 
 
b) Qual foi a perda de funcionários de 
2001 a 2011 ? 
 
 
 
 
 
 
 
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6. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 5 000,00 e um 
custo variável de R$ 60,00 por unidade. Expresse o custo total em função do número de unidades 
produzidas e desenhe o gráfico relacionado. 
 
7. Cintia leu a seguinte informação numa revista: 
“Conhece-se há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano 
adulto em função da altura: ,150)100(
k
a
aP −−−= onde P é o peso, em quilos, a é a altura, em 
centímetros, k = 4, para homens e k = 2 para mulheres.” 
a) Cintia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com k = 2 e constatou que, segundo a 
fórmula, estava 3 quilos abaixo de seu peso ideal. Calcule a altura de Cintia. 
 
8. A academia Cia. Do Corpo cobra uma Taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de 
R$ 50,00. A academia Energia e Saúde cobra uma taxa de inscrição de R$ 70,00 e uma mensalidade 
de R$ 40,00. E a academia Oficina do Corpo não cobra taxa de inscrição, mas cobra uma 
mensalidade de R$ 60,00. 
a) Expresse o valor total pago y por um aluno em função do tempo t em meses. 
b) Qual academia oferece o menor custo para um aluno que deseja “malhar” durante um ano ? 
Por quê ? 
 
9. Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água a uma taxa 
constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d’água; no dia 21, está apenas 
com 164 milhões de litros. 
a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo. 
b) Quanta água havia no reservatório no dia 8? 
 
10. Uma pizzaria oferece serviço de entrega e cobra por isso uma taxa fixa de R$ 1,50 mais R$ 0,60 
por quilometro rodado no trajeto entre o estabelecimento e o local da entrega. 
a) Qual será o valor da taxa se o local da entrega for a 13 km da pizzaria ? E se o local for a 8,5 km? 
b) Escreva uma função que permita calcular o valor v da taxa de entrega em função da distância d 
percorrida. 
 
11. Um técnico de informática, que presta serviços a empresas, realizou um trabalho em 3horas e 
cobrou R$ 130,00. Sabendo que esse técnico cobra R$ 30,00 por hora de trabalho mais um valor 
fixo, escreva uma função que represente o preço p que ele cobra por h horas de trabalho. 
 
12. Seu Renato assustou-se com sua última conta de celular. Ela veio com o valor 250,00 (em 
reais). Ele, como uma pessoa que não gosta de gastar dinheiro à toa, só liga nos horários de 
descontos e para telefones fixos (PARA CELULAR JAMAIS!). Sendo assim a função que descreve 
o valor da conta telefônica é P = 31,00 + 0,25t, onde P é o valor da conta telefônica, t é o número de 
pulsos, (31,00 é o valor da assinatura básica, 0,25 é o valor de cada pulso por minuto). Quantos 
pulsos seu Renato usou para que sua conta chegasse com este valor absurdo (250,00)?a) 492 b) 500 c) 876 d) 356 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 18 
13. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. 
Condições dos planos: 
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$140,00 e R$20,00 por consulta num certo período. 
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$110,00 e R$25,00 por consulta num certo período. 
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do 
período pré-estabelecido. Vamos determinar: 
a) A função correspondente a cada plano. 
b) Em qual situação os dois planos se equivalem. 
 
14. Diga se cada uma das funções f: R → R é crescente ou decrescente: 
a) y = - x + 3 b) f(x) = 
2
x
 c) g(x) = x – 5 
d) y = 2x e) h(x) = x f) f(x) = - x3 
 
15. Construa o gráfico das seguintes funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 19 
Respostas: 
 
1.a) b) 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
c) d) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
2. a) Após x semanas foram descartados 300x currículos e, dos 5750 iniciais, sobram 5750 – 300x. 
Entao, y = 5750 – 300x, b) 19 semanas; 
 
3. a) v(x) = 20 + 0,10 . x; b) v(80) = 20, pagando somente a assinatura, pois não alcançou os 100 
minutos de franquia. R$ 20,00. v(120) = 20 + 0,10 . 20 = 22, R$ 22,00 e v(200) = 20 + 0,10 . 100 = 
30, R$ 30,00; 
 
4. a) y = 0,05x + 300, b) R$ 300,00, c) Não. Se as vendas fossem iguais a 2x, o salário seria y = 
0,05.2x + 300 = 0,1x + 300, que não é o dobro do salário para vendas iguais a x; 
 
5. a) 1440, b) 400; 
 
6. C(x) = 60x + 5000; Gráfico: 
 
 
7. a) 1,64m; 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 20 
8. a) Academia Cia. Do Corpo → y = 50x + 60, Academia Energia e Saúde → y = 40x + 70, 
Academia Oficina do Corpo → y = 60x, b) Durante 1 ano, o aluno matriculado na academia Cia. 
Do Corpo vai pagar R$ 660,00, se for para a academia Energia e Saúde pagará R$ 550,00 e se for 
para a academia Oficina do Corpo pagará R$ 720,00, assim a que oferece menor custo em um ano é 
a Academia Energia e Saúde; 
 
9. a) f(t) = -4t + 248; b) No dia 8 havia no reservatório 216 milhões de litros d’água; 
 
10. a) R$ 9,30 e R$ 6,60, b) v(d) = 1,50 + 0,60d; 
 
11. p( h ) = 30h + 40; 
 
12. c; 
 
13. a) yA = 140 + 20x e yB = 110 + 25x, b) yA = yB quando 140 + 20x = 110 + 25x → 20x – 25x = 
110 – 140 → - 5x = - 30 → 5x = 30 → x = 6 consultas. 
 
14. decrescente: a, f.; crescente: b, c, d, e; 
15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 21 
IV - FUNÇÃO DO 2˚ GRAU OU QUADRÁTICA 
 
1 - Introdução 
 
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em 
situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo 
e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e 
Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas 
diversas construções. Veja a resolução do seguinte problema: 
 
Exemplo 1: Um campeonato de futebol vai ser disputado por 5 clubes pelo sistema em que todos 
jogam contra todos em dois turnos. Vamos verificar quantos jogos serão realizados. Contamos o 
número de jogos que cada clube fará “em casa”, ou seja, no seu campo: 4 jogos. Como são 5 clubes, 
o total de jogos será 5 . 4 = 20 jogos. 
Se o campeonato fosse disputado por 20 clubes, 
poderíamos calcular quantos jogos seriam 
realizados usando o mesmo raciocínio: 
 
 20 . 19 = 380 jogos 
 
Enfim, para cada número de clubes (x), é 
possível calcular o número de jogos do campeonato (y). 
O valor de y é função de x. 
A regra que permite calcular y a partir de x é a seguinte: 
 
 y = x . (x - 1), ou seja, y = x2 – x 
 
Esse é um exemplo de função polinomial do 2º grau ou função quadrática. 
 
2 – Recordando: Equação do Segundo Grau 
Definição: Toda equação representada na forma 02 =++ cbxax com a ≠ 0 é chamada de equação 
de 2º grau. 
Exemplos: 
 
a) 





=
=
=
=++
6
3
2
0632 2
c
b
a
xx
 b) 





=
=
=
=++
tc
kb
a
tkxx
1
02
 c) 





=
=
=
=++
4
042
c
pb
ma
pxmx
 
d) 
5
0
1
050
05
2
2
=
=
=





=++
=+
c
b
a
xx
ou
x
 
e) 






−
=
=
−=
=−+−
3
1
9
1
0
3
192
c
b
a
xx 
f) 
0
1
3
1
00
3
1
0
3
2
2
=
=
=








=++⋅
=+
c
b
a
xx
ou
x
x
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 22 
Resolução de equações do Segundo grau 
 
Temos sempre que lembrar que resolver uma equação na variável x significa determinar o 
valor de x que satisfaça a equação dada. 
No caso de uma equação de 2º grau do tipo 02 =++ cbxax , os valores de x que satisfazem 
esta equação são chamados de raízes da equação e são obtidos pela “Fórmula de Bhaskara”. 
a
acbb
x
2
42 −±−
=
 
Podemos optar por calcular os valores que estão dentro da raiz quadrada separadamente, 
então dizemos b2 – 4ac = ∆ (lê-se, Delta ou Discriminante). A fórmula fica: 
a
b
x
2
∆±−
= . 
Numa equação de 2º grau: 
• Se ∆ > 0, teremos duas raízes reais e diferentes 
• Se ∆ = 0, teremos duas raízes reais e iguais; 
• Se ∆ < 0, não teremos raízes reais. 
 
 
Tipos de equações do Segundo grau 
 
• Equações Completas 
Quando a equação apresentar todos os coeficientes a, b e c, diferentes de 0, a equação é 
denominada equação completa do segundo grau. 
Neste caso, o melhor método para a determinação das raízes da equação é utilizar a “Fórmula de 
Bhaskara” descrita acima. 
Toda equação de 2º grau pode ser resolvida com a utilização desta fórmula. Portanto 
devemos começar a resolver uma equação de 2º grau identificando os coeficientes a, b e c. 
Exemplo: Calcule as raízes da equação 0342 =+− xx . 
Solução: Coeficientes: a = 1, b = - 4 e c = 3, substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, 
temos: 
( )
( )






=
−
=
=
+
=±+
=
±−−
=
∆±−
=
=−=−−=−=∆
1
2
24
3
2
24
2
24
1.2
44
2
412163.1.44..4
2
1
22
x
x
a
b
x
cab
 
Logo o conjunto solução da equação 0342 =+− xx é S = {1,3}. 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 23 
• Equações Incompletas 
Quando uma equação do segundo grau apresentar o coeficiente b = 0, o coeficiente c = 0 ou os 
dois coeficientes iguais a zero, dizemos que a equação é incompleta. 
Exemplo: 
a) 093 2 =−x b) 05 2 =− xx c) 093 2 =− xx d) 084 2 =−x e) 09 2 =x 
 
Embora as soluções de equações incompletas também posam ser feita pela fórmula 
Bhaskara, existem para elas, métodos mais simples de solução. Vejamos: 
 
1º. Caso: Quando c = 0 
A equação é do tipo 02 =+ bxax . A variável x é um fator comum, portanto podemos colocá-
la em evidência: ( ) 0=+ baxx . 
Neste caso as raízes da equação são: 01 =x e 
a
b
x
−
=2 
 
 
 
Exemplo: Calcule as raízes da equação 042 2 =− xx 
Solução: Como c = 0, então: x1 = 0 
( ) 2
2
4
2
4
2222 =⇒
+
=⇒
−−
=⇒
−
= xxx
a
b
x
 
Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = 2e o conjunto solução é S = {0,2}. 
 
2º. Caso: Quando b = 0 
A equação é do tipo 02 =+ cax . Isolando a variável x no primeiro membro, obtemos; 
a
c
x
a
c
x
−±=
−
=
2
 
 
Exemplo: Calcule as raízes da equação 01004 2 =−x 
Solução: 525
4
10001004 22 ±=⇒±=⇒=⇒=− xxxx 
Logo as raízes da equação são: x1 = 5 e x2 = -5 e o conjunto solução é S = {-5,5}. 
 
 
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 24 
3º. Caso: Quando c = 0 e b = 0 
A equação é do tipo 02 =ax . Neste caso as raízes da equação serão 01 =x e 02 =x e o conjunto 
solução é S = {0}. 
 
Exemplo: Calcule as raízes da equação 04 2 =x 
Solução: 00
4
004 22 ±=⇒±=⇒=⇒= xxxx 
Logo o conjunto solução é S = {0}. 
 
3 – Definição 
 
É uma função f: R → R dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
 
Exemplos: 
• f(x) = x2 – 3x + 2 (a = 1, b = -3 e c = 2). 
• f(x) = 2x2 + 4x – 3 (a = 2, b = 4 e c = -3). 
• f(x) = x2 – 4 (a = 1, b = 0 e c = -4). 
• f(x) = -2x2 + 5x (a = -2, b = 5 e c = 0). 
• f(x) = -3x2 (a = -3, b = 0 e c = 0). 
 
Valor Numérico de uma Função do Segundo Grau 
 
Para se calcular o valor numérico de uma função f(x) = a.x2 + bx + c para xn é dado por 
f(xn) = a.(xn)2 + b.xn + c. 
 
Exemplo: Calcule o valor numérico da função ( ) 042 2 =−= xxxf , para f(3). 
Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) 63129.233.43.23042 22 =⇒−=⇒−=⇒=−= fffxxxf 
 
4 – Raízes da Função Quadrática 
 
Definição: São os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Para determinar 
os zeros ou raízes de uma função quadrática, basta resolver a equação do 2˚ grau ax2 + bx + c = 0. 
 O número de raízes da equação do segundo grau fica condicionado ao valor do ∆, onde 
∆ = b2 – 4ac. Assim, temos três casos: 
� Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais distintas, que são: 
a
b
x
.21
∆+−
= e 
a
b
x
.22
∆−−
= . 
� Se ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais iguais, que são: 
a
b
xx
.221
−
== . 
� Se ∆ < 0, então a equação não possui raízes reais. 
 
 Os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x. 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 25 
Exemplo: Calcule as raízes da função ( ) 24082 −+= xxxf 
Solução: Fazendo 024082 =−+ xx , e aplicando Bhaskara, temos: 
( )






−=
−−
=
=
+−
=
±−
=
±−
=
∆±−
=
=+=−−=−=∆
−===
20
2
328
12
2
328
2
328
1.2
024.18
2
024.196064240.1.48..4
240,8,1
2
1
22
x
x
a
b
x
cab
cba
 
Logo as raízes da equação são: x1 = 12 e x2 = - 20 e S = { -20,12}. 
 
Exemplo: Calcule as raízes da função ( ) xxxf 84 2 += 
Solução: Fazendo 084 2 =+ xx , temos: 01 =x e 24
8
222 −=⇒
−
=⇒
−
= xx
a
b
x 
Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = -2 e S = { -2,0}. 
 
 
5 - Gráfico da Função do Segundo Grau 
 
O gráfico da função definida de IR em IR por: ( ) 02 ≠++= acomcbxaxxf . É uma 
curva chamada parábola. Ao observarmos uma montanha russa, podemos visualizar uma parábola. 
 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática, notaremos sempre que: 
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para cima; 
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo; 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 26 
A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado: vértice. 
 
Vértice 
 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima (a < 0) ou um ponto de ordenada mínima 
(a > 0). A este ponto V (x, y), chamamos de vértice da parábola. É o ponto mais alto ou mais baixo 
do gráfico. 
Para calcular as coordenadas do vértice usamos: 
a
b
x v 2
−
= Para calcular o valor da abscissa x e 
a
y v 4
∆−
= Para calcular o valor da ordenada y, 
Portanto: 




 ∆−−
=
aa
bV
4
,
2
. 
 
 
Tome Nota 
• Podemos calcular o valor da ordenada y do vértice, substituindo na função, o valor da abscissa x 
encontrado anteriormente e calcular seu valor numérico. 
• A fórmula 
a
y v 4
∆−
= só é interessante quando você já calculou o valor do delta ou quando o 
valor do x é na forma de fração. 
 
Exemplo: Calcule as coordenadas do vértice da função 100402 −+= xxy 
 
Para calcular o valor da abscissa x Para calcular o valor da ordenada y 
20
1.2
40
2
−=
−
=
−
=
v
v
v
x
x
a
b
x
 
( ) ( )
500
100800400
100204020
10040
2
2
−=
−−=
−−+−=
−+=
y
y
y
xxy
 
O vértice da parábola é: ( )500,20 −−=V . 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 27 
Pontos notáveis do gráfico 
Para construir o gráfico da função de 2º grau devemos seguir o mesmo procedimento 
utilizado para função do primeiro grau, porém é importante você determinar alguns pontos da 
parábola que facilitarão a construção do gráfico. 
� Determinamos as raízes da função; 
� Determinamos as coordenadas do vértice; 
� Atribuímos a x dois valores menores e dois 
maiores que o x do vértice e calculamos os 
correspondentes valores de y (Caso seja necessário). 
� Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano. 
� Traçamos o gráfico. 
 
Exemplo: Construa o gráfico da função 322 −−= xxy 
Cálculo das raízes Cálculo Vértice Dois maiores e dois menores que xv 
( ) ( )
( )
( )






−=
−+
=
=
++
=
±−−
=
±−−
=
∆±−
=
=+=−−−=−=∆
1
2
42
3
2
42
2
42
1.2
162
2
161243.1.42..4
2
1
22
x
x
x
a
b
x
cab
 ( )
1
1.2
2
2
=
−−
=
−
=
v
v
v
x
x
a
b
x
 
( )
4
3121
32
2
2
−=
−−=
−−=
y
y
xxy
 
( ) ( ) 3030.200 2 −=⇒−−= ff 
( ) ( ) ( ) ( ) 0131.211 2 =−⇒−−−−=− ff 
( ) ( ) 3232.222 2 −=⇒−−= ff 
( ) ( ) 0333.233 2 =⇒−−= ff 
Construção do Gráfico. 
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 28 
6 – Exercícios de Fixação 
 
1. Seja a função y = cbxax ++− 2 , o seu gráfico terá concavidade: 
a) voltada para cima b) voltada para baixo c) será uma reta d) não terá concavidade 
 
2. Se uma função do 2° grau tiver a > 0 e o valor do discriminante (∆) < 0, ela possuirá o gráfico: 
a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
b) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. 
c) com concavidade voltada para cima e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. 
d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
 
3. Se uma função do 2° grau tiver a < 0 e o valor do discriminante (∆) > 0, ela possuirá o gráfico: 
a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
b) com concavidade voltada para cima e 1 ponto de intercessão com o eixo x. 
c) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. 
d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
 
4. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e o valor do discriminante (∆) = 0. 
 
5. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e raízes -1 e 4. 
 
6. Construa o gráfico das funções abaixo: 
a) y = 652 +− xx b) y = 2x c) y = xx 22 − 
d) y = 422 +− xx e) y = 442 ++ xx f) y = 962 −+− xx 
 
7. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue 
vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do 
produto, de acordo com a equação y = 50 – x/2. Sabendo que a receita (quantidade vendida vezes o 
preço de venda) obtida foi de R$ 1250,00, qual foi a quantidade vendida? 
 
 
8. A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 29 
9. Dada a função 34)( 2 +−= xxxf , faça o que se pede: 
 
a) Identifique a concavidade. 
b) Determine os zeros da função. 
c) Determine o vértice da função. 
d) Identifique o valor máximo ou o valor mínimo da função. 
e) Esboce o gráfico de f. 
 
10. Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax vendidos no 
ano x é dado pela função ( ) 2450 xxxf ++= onde x = 0 corresponde ao ano de 2000, x = 1 
corresponde ao ano de 2001 e assim sucessivamente. 
a) O que e quanto f(0) representa? 
b) Determine a quantidade de aparelhos de fax que podem ser vendidos em 2005. 
c) Qual a quantidade de aparelhos de fax vendidos em 2008? 
 
11. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por 
3000802 +−= xxC . Nessas condições, calcule: 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. 
b) o valor mínimo do custo. 
 
12. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula: L = R – C, em que L é o lucro 
total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, 
verificou-se que 27000)( xxxR −= e xxxC 3000)( 2 −= . Nessas condições, qual deve ser a 
produção x para que o lucro da empresa seja máximo ? 
 
13. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por 5302 −+−= xxL , em que x é a 
quantidade mensal vendida, qual o lucro mensal máximo possível? 
 
14. (UFPB/PSS) A função 17001600200)( 2 −+−= xxxL representa o lucro de uma empresa, em 
milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as 
seguintes afirmações: 
I) Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro. 
II) Se vender exatamente 4 unidades, a empresa terá lucro máximo. 
III) Se vender 5 unidades, a empresa terá prejuízo. 
Estão correta(s) apenas: 
a) I b) II c) III d) I e II e) II e III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 30 
Respostas: 
 
1. b; 2. c; 3. d; 
4. e 5. Resposta pessoal; 
6. 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 (a) (b) 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 (c) (d) 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 (e) (f) 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 31 
7. 50; 8. Valor mínimo; -25/4; 9. a) Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima; 
b) x =1 e x = 3; c) V(2, -1); d) ym = -1, e) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
10. a) 50 fax foram vendidos em 2000, b) f(5) = 95, c) f(8) = 146; 11. a) Xv = 40 unidades, b) Cv = 
1400; 12. Xv = 2500 unidades; 13. Lucro máximo = 220; 14. I) 700, portanto lucro, II) lucro 
máximo: Xv = -1600/-400 = 4, portanto é verdadeira, III) L(5) = 1300, portanto lucro. Logo 
resposta d; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 32 
V - FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA 
 
 
1- FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Def.: Sejam três conjuntos distintos A, B e C, tal que entre eles existem as seguintes funções: f: A → 
B e g: B → C. Chama-se função composta de g em f à função h: A → C, indicada por h(x) = g(f(x)). 
 
 Uma função composta também pode ser indicada por g o f (lê – se: g composta com f), assim: 
 
( )( ) ))(( xfgxfg =o 
 
 O domínio de g o f é o conjunto de todos os números x no domínio de f, tal que f(x) esteja no 
domínio de g. 
 
A composta g o f pode ser representada graficamente ou pelo diagrama, vejamos um exemplo 
da representação de uma função composta utilizando diagramas: 
 
Ex.: Sejam as funções reais definidas por f(x) = 4x + 2 e g(x) = 7x – 4. As composições fog e gof são 
possíveis e neste caso serão definidas por: 
 (fog)(x) = f(g(x)) = g(7x - 4) = 4(7x - 4) + 2 = 28x - 14 
(gof)(x) = g(f(x)) = g(4x + 2) = 7(4x + 2) – 4 = 28x + 10 
 
Ex.: Dados três conjuntos A = {-2, -1, 0, 3}, B = {3, 0, -1, 8} e C = {6, 0, -2, 16}, tal que entre eles 
existem as seguintes funções: f: A → B definida por f(x) = x2 – 1 e g: B → C definida por g(x) = 2x. 
Veja o diagrama abaixo que representa essas funções: 
 
 
Observe que, para cada elemento de A existe um elemento em B tal que f(x) = x2 – 1 e para 
cada elemento de B existe um elemento de C tal que g(x) = 2x, onde f(3) = 8 e g(8) = 16. Podemos 
obter g(f(x)) simplesmente tomando g(x) e trocando x por f(x), assim temos uma função h: A → C 
definida por h(x) = g(f(x)), ou seja, h(x) = 2(x2 – 1) = 2x2 – 2, onde h(3) = 16. Veja sua 
representação no diagrama abaixo: 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 33 
 
 
Observação: Em geral, fog é diferente de gof. 
 
2 - FUNÇÃO INJETORA - Uma função f : A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos 
de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: 
x1 x2 implica que f(x1) f(x2) 
ou de forma equivalente 
f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2 
Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores 
diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 
 
3 - FUNÇÃO SOBREJETORA - Uma função f : A B é sobrejetora se todo elemento de B é a 
imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser 
exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal 
que y = f(x). 
Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um 
elemento de R pela função. 
 
4 - FUNÇÃO BIJETORA - Uma função f : A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e 
sobrejetora. 
Ex.: A função f : R R dada por f(x) = 2x é bijetora, pois é injetora e bijetora. 
 
5 - FUNÇÃO INVERSA 
 
Def.: Se f for uma função bijetora, então existirá uma função f -1, chamada de inversa de f, tal que 
 
)(1 yfx −= ⇔ )(xfy = 
 
O domínio de f -1 é a imagem de f e a imagem de f -1 é o domínio de f. 
 O gráfico de f e f -1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano 
cartesiano. 
 
Ex.: Determine a função inversa das funções abaixo: 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 34 
a) 4)( += xxf b) xxf 2)( = 
 
 
 
 
Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções bijetoras que admitem função inversa: 
 
 
Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções que não admitem função inversa: 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
Exercício 1. Dada a função f(x) = 2x + 5, determine: 
a) f(5) b) f(0) c) f(-1) 
 
Exercício 2. Classifique em injetora, sobrejetora ou bijetora as funções representadas pelos 
diagramas abaixo e marque as funções que admitem inversa: 
 
Fundamentos de Matemática Elementar35 
 
 
Exercício 3. Marque a alternativa certa. 
Para ser função: 
a) Todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A pode ter várias imagens em B. 
b) Nem todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A só tem uma única imagem em B. 
c) Todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A só tem uma única imagem em B. 
d) Nem todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A pode ter várias imagens em B. 
 
Exercício 4. Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B, onde A = {a, b, 
c} e B = {1, 2, 3}. 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 36 
Exercício 5. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A = {a, b, c} e B = 
{1, 2, 3}. 
 
 
Exercício 6. Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R está 
definida por f(x) = x² - 4x + 7? 
 
Exercício 7. Para a função real f(x) = 2x + 4, qual é o conjunto f-1(8)? 
 
Exercício 8. Dadas às funções reais f(x) = 3x - 1 e g(x) = x + 2, obter gof, fog, gog e fof. 
 
Exercício 9. Calcule a inversa das funções: 
a. y = 2x + 4 b. y = 3x – 1 c. y = 3x d. y = 3x + 5 
 
Respostas: 1. a) 15, b) 5, c) 3; 2. Injetora: a, b, f, g, h, k, l, Sobrejetora: b, c, d, f, g, i, j, l, m, Bijetora e 
Inversa: b, f, g, l. 3. c; 4. b; 5. b; 6. 7, 28, 3, 67; 7. {2}; 8. (gof)(x) = 3x+1; (fog)(x) = 3x+5; (gog)(x) = x+4; 
(fof)(x) = 9x –4; 9. a) 
2
4−
=
xy , b) 
3
1+
=
xy , c) 
3
xy = , d) 
3
5−
=
xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 37 
VI – EQUAÇÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. 
 
Exemplos: 
1) 3x = 81 (a solução é x = 4) 
2) 2x-5 = 16 (a solução é x = 9) 
 
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) 3x = 81 
Resolução: Como 81 = 34, podemos escrever 3x = 34 
E daí, x = 4. 
 
2) 9x = 1 
Resolução: 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ; logo x=0. 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em 
expoente. 
 A função f:IR�IR+ definida por f(x) = ax, com a ∈ IR+ e a ≠ 1, é chamada função 
exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ 
(reais positivos, maiores que zero). 
)0 e 1( >≠=⇒= aanmaa nm
4
3
 logo ; 33 33 273 :Resolução
273 )4
.4 então ; 
4
3
4
3
 
4
3
4
3
 
256
81
4
3
 :Resolução
256
81
4
3
 )3
4
3
4 34
4
4
4
4
==⇒=⇒=
=
=





=





⇒=





⇒=





=





x
x
xxx
x
xxx
x
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 38 
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Temos 2 casos a considerar: 
 � quando a > 1; 
 � quando 0 < a < 1. 
 
 Acompanhe os exemplos seguintes: 
 
1) y=2x (nesse caso, a = 2, logo a > 1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e 
o gráfico abaixo: 
 
 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 1/4 1/2 1 2 4 
 
 
 
2) y = (1/2)x (nesse caso, a = 1/2, logo 0 < a < 1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e 
o gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 1/4 
 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que 
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 39 
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o 
conjunto imagem é Im = IR+. 
 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
a>1 0<a<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é crescente e Im=IR+ 
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2 > x1 ⇒ y2 > y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im=IR+ 
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2 > x1 ⇒ y2 < y1 (as desigualdades têm 
sentidos diferentes) 
 
Exercícios de Fixação 
 
Exercício 1: Gráficos das funções f1(x) = 3x, f2(x) = 5x, f3(x) = 7x, f4(x) = 1 e f5(x) = 0, estão 
traçados na figura abaixo. 
 
Quais dos gráficos não são funções exponenciais? 
Exercício 2: Dado o gráfico da função exponencial f(x) = 9x. Pede-se os valores de f(1/2), f(2), f(3), 
f(4), e o que ocorre com os valores de y = f(x) quando x aumenta? 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 40 
 
 
 
Exercício 3. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial 
apresentada abaixo como crescente ou decrescente. 
1. f1(x)=7x, f2(x)=7-x , f3(x)=5-x, f4(x)=(1,01)x + 2 e f5(x)=(3/4)x 
 
Exercício 4. Resolva as equações exponenciais: 
a) 322 =x b) 12 =x c) 24327 =x d) 25625 =x 
e) 3
3
1
=
x
 f) 
81
16
9
4
=
x
 g) xx 1255 2 =+ h) 0497 83 =−+x 
 
Exercício 5. Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um 
capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela 
fórmula: tiCM )1( += . Supondo que o capital aplicado é de R$ 155 000,00 a uma taxa de 1% am 
durante 2 meses, qual o montante no final da aplicação ? 
 
 
Exercício 6. (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o inicio de certo 
experimento, é dado pela expressão ttN 4,02.1200)( = . Nessas condições, quanto tempo após o 
inicio do experimento a cultura terá 38 400 bactérias ? 
 
 
 
Exercício 7. Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um 
capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela 
fórmula: tiCM )1( += . Supondo que o capital aplicado é de R$ 10 000,00 a uma taxa de 2% am 
durante 3 meses, qual o montante no final da aplicação ? 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 41 
Respostas: 1. As funções f4(x) = 1 e f5(x) = 0 são constantes e não são funções exponenciais, 2. a) 
f(1/2) = 3, f(2) = 81, f(3) = 729, f(4) = 6561, b) Os valores de y também aumentam, pois esta é uma 
função crescente. Geometricamente, uma função f é crescente se para valores crescentes de x, f 
também cresce. 3. crescentes: f1 e f4, decrescentes: f2, f3 e f5; 4. a) x = 5, b) x = 0, c) x = 5/3, d) x 
= ½, e) x = -1, f) x = 2, g) x = 1, h) x = -2, 5. R$ 158 115,50; 6. 12,5 horas ou 12h e 30 min; 7. R$ 
10 612,08. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
 
 42 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
* (LIVRO TEXTO) 
 
 [1] * IEZZI, G. MURAKAMI, C. MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. Editora 
Atual, 1993. 
 
[2] BEZERRA, M. J. PUTNOKI, M. J. Novo Bezerra Matemática. Editora Scipione, Volume Único, 
1995. 
 
 [3] JR. GONÇALVES, Oscar. Matemática por Assunto. Volume 1, Editora Scipione, 1988. 
 
 [4] MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática Temas e Metas. Volume 6 - Funções e Derivadas. 
Editora Atual, 1988. 
 
 [5] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo. Editora Atual, 1991.